1 Contraste de hipótesis Tema 3 1. Pasos del contraste de hipótesis 1.1 Hipótesis estadísticas: nula y alternativa 1.2 Supuestos 1.3 Estadístico de contraste 1.4 Regla de decisión: zona de aceptación y rechazo. Nivel de significación α (riesgo) y nivel de confianza 1-α 1.5 Decisión 2. Error de tipo I y tipo II. Potencia del contraste (1-β)
2 Ejemplo. En las últimas elecciones un partido obtuvo el 40% de los votos. Para comprobar si este porcentaje ha aumentado, un investigador toma una muestra de 30 personas y encuentra que 19 votarán al partido Qué puede concluirse? Z = X nπ nπ (1 π ) = 19 (30)0,4 30(0,4)0,6 = 2,6 Si π fuera 0,4 entonces P ( X 19) = P( Z 2,6) = 0,0047 (muy improbable) En conclusión π > 0,4
3 Se utiliza para comprobar si una afirmación sobre alguna propiedad poblacional puede ser sostenida utilizando los datos disponibles Ejemplos: 1) Queremos saber si la media en un examen es mayor que 4,8, 2) si la proporción de votantes de un partido difiere de 0,18. 1. Hipótesis estadísticas Afirmación sobre una o más distribuciones de probabilidad. Sobre su forma o el valor de sus parámetros. Hipótesis nula: Es concreta. Lleva el signo = Hipótesis alternativa: Negación de la nula
4 Ejemplos: Unilateral Unilateral derecho izquierdo Bilateral H 0 : µ 4,8 H 0 : µ 25 H 0 : π = 0,18 H 1 : µ > 4,8 H 1 : µ < 25 H 1 : π 0,18 2. Supuestos Son las condiciones que deben cumplirse para poder tomar una decisión sobre H 0. Ejemplos: Normalidad, muestra aleatoria 3. Estadístico de contraste Resultado muestral que se utiliza para tomar una decisión: 1) Proporciona información sobre las hipótesis 2) Distribución muestral conocida bajo H 0 Ejemplos: 1) X, 2) P
5 4. Regla de decisión Criterio para tomar una decisión sobre H 0 utilizando el estadístico de contraste Consiste en dividir los posibles valores del estadístico en dos zonas: Zona de aceptación: Valores con los que se mantiene H 0 Zona de rechazo o crítica: Valores con los que se rechaza H 0 Ambas se establecen en función de: Nivel de significación o riesgo (α). Es la probabilidad de que el estadístico de contraste caiga en la zona crítica si H 0 es verdadera. Suele usarse α = 0,05 óα = 0,01 El nivel de confianza es 1- α
6 Ejemplos: 1) Zona de aceptación X 6 Zona de rechazo X > 6 2) Zona de aceptación 0,1 P 0,26 Zona de rechazo P < 0,1 y P > 0,26 5. Decisión Puede tomarse en función de: a) zona de aceptación y rechazo, b) nivel critico (p), que es la probabilidad asociada al estadístico de contraste. Mantener H 0 : a) Si el estadístico de contraste cae en la zona de aceptación. b) Mantener H 0 si p > α No se concluye que H 0 es cierta Rechazar H 0 : a) Si el estadístico de contraste cae en la zona crítica, b) si p α Se concluye que H 0 es falsa
7 Ejemplo: Se aplican tres métodos de enseñanza: A, B y C en tres clases. Se toman las notas de los alumnos. Formular las hipótesis para: a) Contrastar si la media con el método B es 5 b) Contrastar si son iguales las medias de los métodos A y B c) Comprobar si la media con el método A es menor que con el B d) Comprobar si la media con el método B es mayor que con el C e) Contrastar si son iguales las medias de los tres métodos
8 a) H 0 : µ B = 5 H 1 : µ B 5 b) H 0 : µ A = µ B H 1 : µ A µ B c) H 0 : µ A µ B H 1 : µ A < µ B d) H 0 : µ B µ C H 1 : µ B > µ C e) H 0 : µ A = µ B = µ C H 1 : Alguna µ es distinta Bilateral Bilateral Un. izquierdo Un. derecho
9 Ejemplo: El cociente intelectual se distribuye N(100, 15) en la población general. Un investigador toma una muestra de 6 niños autistas y desea comprobar si la media es mayor en esta población. Encuentra que la media es 116. a) Cuál es la probabilidad de encontrar una media igual o mayor que 116? b) Puede concluirse que la media de esta población es mayor que 112? c) Puede concluirse que la media de esta población es mayor que 115?
a) X µ 116 100 Z = = = 2,61 σ 15 n 6 P( X 116) = P( Z 2,61) = 1 0,9955 = 10 0,0045 Luego µ no debe ser 100 b) X µ 116 112 Z = = = 0,65 σ 15 n 6 P( X 116) = P( Z 0,65) = 1 0,7422 = 0,2578 Luego µ podría ser 112 c) X µ 116 115 Z = = = 0,16 σ 15 n 6 P( X 116) = P( Z 0,16) = 1 0,5636 = 0,4364 Entonces, µ es 112 ó 115?
11 Errores de tipo I y tipo II Error de tipo I. Rechazar H 0 siendo verdadera. Su probabilidad es α Error de tipo II. Mantener H 0 siendo falsa. Su probabilidad es β Decisión Mantener H 0 Rechazar H 0 Realidad H 0 es cierta Decisión correcta P = 1-α Nivel de confianza Error de tipo I P = α Nivel de significación o riesgo H 0 es falsa Error de tipo II P = β Decisión correcta P = 1 - β Potencia del contraste
12 Ejemplo Un investigador desea contrastar si el porcentaje de votantes de un determinado partido es mayor de 0,5. Para ello toma una muestra de n=5 personas y les pregunta si votarán a este partido. a) Obtener la zona crítica y la potencia (α = 0,05) b) Decisión si 4 personas votarán al partido (Nota: la verdadera proporción de votantes es 0,6, aunque este investigador no lo sabe) a) Solución: 1. Hipótesis H 0 : π 0,5 H 1 : π > 0,5
13 2. Supuestos: Muestra aleatoria 3. Estadístico de contraste La variable X (número de votantes) tiene distribución Binomial (n=5, π=0,5) bajo H 0 Mirando en las tablas: Zona de Aceptación Z.R. 0 1 2 3 4 5 π=0,5 0,031 0,157 0,312 0,312 0,157 0,031 π= 0,6 0,010 0,077 0,230 0,346 0.259 0,078 4. Regla de decisión Zona de aceptación: X 4 Zona de rechazo: X = 5 Potencia: 1 - β = 0,078 Prob. Error tipo II: β = 1-0,078 = 0,922 b) Mantener H 0
14 Ejemplo Un estadístico de contraste X tiene la siguiente función de distribución bajo H 0 y H 1 X 1 2 3 4 5 6 7 F(x) H 0 0,05 0,16 0,39 0,65 0,90 0,95 1,00 F(x) H 1 0,35 0,45 0,63 0,77 0,85 0,94 1,00 En un contraste unilateral izquierdo con α = 0,05. a) Qué valores de X forman la zona de rechazo? y la de aceptación? b) Cuál es la regla de decisión en términos de probabilidad? c) Cuál sería la probabilidad de rechazar H 0 si fuera verdadera? d) Cuál sería la probabilidad de mantener H 0 si fuera falsa? e) Si X = 2 Qué decisión tomará sobre H 0? Por qué? f) Cuál será el valor del nivel crítico? g) Cuál es la potencia del contraste? h) A partir de qué nivel de significación puede rechazarse H 0?
15 Solución: α X 1 2 3 4 5 6 7 F(x) H 0 0,05 0,16 0,39 0,65 0,90 0,95 1,00 F(x) H 1 0,35 0,45 0,63 0,77 0,85 0,94 1,00 a) Rechazo 1. Aceptación: 2, 3, 4, 5, 6 y 7 b) Rechazar H 0 si p = P (X x i ) 0,05 c) Error tipo I: α = 0,05 d) Error tipo II: β = 1-0,35 = 0,65 e) Mantener H 0 pues X cae dentro de la zona de aceptación f) p = P(X 2) = 0,16 g) 1 - β = 0,35 h) α = 0,16
16 Ejemplo Un estadístico de contraste Y tiene las funciones de probabilidad bajo H 0 y bajo H 1 que aparecen en la tabla inferior. Y 1 2 3 4 5 6 f (y) H 0 0,025 0,025 0,25 0,45 0,20 0,05 f (y) H 1 0,10 0,05 0,15 0,05 0,25 0,40 En un contraste unilateral derecho con Y = 3 y α = 0,05. a) Qué decidirá sobre H 0? b) Cuál es el valor del nivel crítico? c) Cuál es la probabilidad de rechazar H 0 y equivocarnos? d) Cuál es la potencia del contraste? e) Cuál es la probabilidad de mantener H 0 y equivocarnos?
17 Solución: α Y 1 2 3 4 5 6 F (y) H 0 0,025 0,025 0,25 0,45 0,20 0,05 F (y) H 1 0,10 0,05 0,15 0,05 0,25 0,40 a) Mantener H 0 pues Y = 3 cae dentro de la zona de aceptación b) p = P(X 3) = 1 - P(X 2) = 1-0,05 = 0,95 c) Error tipo I: α = 0,05 d) 1 - β = 0,40 e) Error tipo II: β = 0,60
18 Ejercicios recomendados del libro 3.1 3.2 3.11 3.12 3.13 3.14