Método alternativo de descomposición factorial

Método alternativo de descomposición factorial A continuación expongo un algoritmo para hallar los divisores primos de un número. Este algoritmo puede ser eficaz en la resolución de los mensajes cifrados. Lo primero es crear una tabla. En ella se van a situar, en la columna de la izquierda, los primos conocidos, y a la derecha de cada primo la distancia entre una serie de números cuadrados y el número múltiplo del primo más próximo a ellos. La serie de cuadrados a la que me refiero comienza con el cuadrado del número primo y finaliza con el cuadrado del doble del número primo. Por ejemplo al número primo 2 le corresponden en la tabla los cuadrados de 2, 3 y 4, que son 4, 9 y 16. Al número primo 3 le corresponden los cuadrados de 3, 4, 5 y 6, que son 9, 16, 25 y 36. Al número primo 5 le corresponden los cuadrados de 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Y al número 7 le corresponden los cuadrados de 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 y 14. Elijamos por ejemplos los primos 2, 3 y 5: 2 0-1 0 3 0-1 -1 0 5 0-1 1 1-1 0 Respecto al 2 2 0-1 0 La distancia que separa a 4 del número múltiplo de 2 más próximo (que es también 4) resulta 0 y así lo trasladamos a la tabla. La distancia que separa al siguiente cuadrado (9) del múltiplo de 2 más próximo (8) es -1. Igualmente próximo está el número 10, pues dista +1 unidad de 9 (así que +1 o -1 serían datos válidos para la tabla). La distancia que separa al siguiente cuadrado (16) del múltiplo de 2 más próximo (que también es 16) resulta 0. Página 1 de 12

Respecto al 3 3 0-1 -1 0 La distancia que separa a 9 del múltiplo de 3 más próximo (9) es 0. La distancia que separa a 16 del múltiplo de 3 más próximo (15) es -1. La distancia que separa 25 del múltiplo de 3 más próximo (24) es -1. La distancia que separa 36 del múltiplo de 3 más próximo (36) es 0. Respecto al 5 5 0-1 1 1-1 0 La distancia que separa a 25 del múltiplo de 5 más próximo (25) es 0. La distancia que separa a 36 del múltiplo más próximo (35) es -1. La distancia que separa 49 del múltiplo más próximo (50) es +1. La distancia que separa 64 del múltiplo más próximo (65) es +1. La distancia que separa 81 del múltiplo más próximo (80) es -1. La distancia que separa 100 del múltiplo más próximo (100) es 0. De este modo tenemos una tabla que hasta el número 23 es como sigue (obsérvese que hay una simetría y que a partir de la mitad los datos se repiten en orden inverso): 2 0-1 0 3 0-1 -1 0 5 0-1 1 1-1 0 7 0-1 3-2 -2 3-1 0 11 0-1 -4 2-5 -3-3 -5 2-4 -1 0 13 0-1 -4 4-3 1 3 3 1-3 4-4 -1 0 17 0-1 -4 8 1-8 -2 2 4 4 2-2 -8 1 8-4 -1 0 19 0-1 -4-9 3-6 2 8-7 -5-5 -7 8 2-6 3-9 -4-1 0 23 0-1 -4-9 7-2 10-3 5 11-8 -6-6 -8 11 5-3 10-2 7-9 -4-1 0 Cómo calcular estos datos de forma sencilla? Vayamos ahora a la tabla y tomemos ejemplos (en todas las filas se procede igual): Número 2 2 0-1 0 Página 2 de 12

Todas las series comienzan con el número 0, pues la distancia entre el cuadrado de un número primo y el número múltiplo del primo más próximo es siempre 0 (4-4=0 en este caso). A continuación efectuamos la suma 0+1=1. Si este resultado es mayor que la mitad del número primo correspondiente (en este caso 2/2) se resta a este resultado el número primo. Si no es mayor que esta mitad no se efectúa resta. En este caso, 1 no es mayor que 2/2 así que no se efectúa resta. Finalmente invertimos el signo del resultado (-1) y lo trasladamos a la tabla. Y aquí habríamos acabado con la fila del 2, pues los valores se repiten. Número 3 3 0-1 -1 0 Efectuamos la suma 0+1=1. Si este resultado es mayor que la mitad del número primo correspondiente (en este caso 3/2) se le resta el número primo. Si no es mayor que esta mitad no se efectúa resta. En este caso, 1 no es mayor que 3/2 así que no se efectúa resta. Finalmente invertimos el signo del resultado (-1) y lo trasladamos a la tabla. Y aquí habríamos acabado con la fila del 3, pues los valores se repiten. Número 5 5 0-1 1 1-1 0 Efectuamos la suma 0+1=1. Este resultado no es mayor que la mitad de 5 (5/2) luego no se le resta el número primo y se traslada a la tabla con signo contrario (-1). Sumamos al último resultado (1) el número 3 (el número 3 resulta de añadir 2 unidades al segundo miembro de la suma anterior), así que 1+3=4. Este resultado sí es mayor que la mitad de 5, luego se le resta el número primo. 4-5=-1. Y ahora este último resultado se traslada a la tabla pero con signo contrario (+1). Y aquí habríamos finalizado pues los valores se repiten. Página 3 de 12

Número 7 7 0-1 3-2 -2 3-1 0 Efectuamos la suma 0+1=1. Este resultado se traslada a la tabla pero invirtiendo el signo (-1) pues no es mayor que la mitad de 7 (7/2) y no se efectúa resta. Efectuamos la siguiente suma 1+3=4. Al ser este resultado (4) mayor que esta mitad (7/2) se le resta el número primo: 4-7=-3. Y este resultado se traslada a la tabla con signo contrario (+3). Efectuamos la siguiente suma y así sumamos al último resultado (-3) el número 5 (al añadir 2 unidades al número 3, segundo miembro de la suma anterior), -3+5=2. Ya que 2 no es mayor que la mitad de 7 no se efectúa resta y se traslada a la tabla con signo contrario (-2). Y aquí finalizamos al repetirse los valores. Número 11 11 0-1 -4 2-5 -3-3 -5 2-4 -1 0 Efectuamos la suma 0+1=1 y trasladamos el valor -1 a la tabla. El segundo valor de todas las filas es como se ve -1, ya que nunca se supera la mitad del número primo en esta primera suma. Efectuamos la siguiente suma 1+3=4 y siendo inferior a la mitad de 11 (11/2) no efectuamos resta. Y así trasladamos el valor a la tabla pero con signo contrario (-4). Efectuamos la siguiente suma y así sumamos al último resultado (4) el número 5 (al añadir 2 unidades a número 3, segundo miembro de la suma anterior): 4+5=9. Siendo mayor que la mitad de 11 se le resta el número primo: 9-11=-2. Este último valor se traslada a la tabla con signo contrario (+2). Página 4 de 12

Efectuamos la siguiente suma, que es la suma del último resultado (-2) más el número 5 aumentado 2 unidades: -2+7=5. 5 no es mayor que la mitad de 11 luego se traslada a la tabla con signo contrario (-5). Efectuamos la siguiente suma, que es la suma del último resultado (5) más el número 7 aumentado 2 unidades: 5+9=14. 14 es mayor que la mitad de 11 luego a 14 se le resta el número primo: 14-11=3. Y este valor se traslada a la tabla con signo contrario (-3). Y aquí finalizamos pues se repiten valores. Número 13 13 0-1 -4 4-3 1 3 3 1-3 4-4 -1 0 Efectuamos la suma 0+1=1 y trasladamos el valor -1 a la tabla. Efectuamos la siguiente suma 1+3=4 y siendo inferior a la mitad de 13 (13/2) no efectuamos resta y trasladamos el valor a la tabla pero con signo contrario. Efectuamos la siguiente suma, que es la suma del último resultado (4) más el número 3 aumentado en 2 unidades: 4+5=9. 9 es mayor que la mitad de 13 luego a 9 se le resta el número primo: 9-13=-4. Este último valor se traslada a la tabla con signo contrario (+4). Efectuamos la siguiente suma, que es la suma del último resultado (-4) más el número 5 aumentado 2 unidades: -4+7=3. 3 no es mayor que la mitad de 11 luego se traslada a la tabla con signo contrario (-3). Efectuamos la siguiente suma, que es la suma del último resultado (3) más el número 7 aumentado 2 unidades: 3+9=12. 12 es mayor que la mitad de 13 luego a 12 se le resta el número primo: 12-13=-1. Y este valor se traslada a la tabla con signo contrario (+1). Efectuamos la siguiente suma, que es la suma del último resultado (-1) más el número 9 aumentado 2 unidades: -1+11=10. 10 es mayor que la Página 5 de 12

mitad de 13, luego a 10 hay que restarle 13: 10-13=-3. Y este valor se traslada a la tabla pero con signo contrario (+3). Y aquí finalizamos pues se repiten valores. El último número que deberemos llevar a la tabla es el mayor número primo conocido. Obsérvese que las sumas cuando dan como resultado los cuadrados de los números naturales se repiten siempre en la misma columna (véanse los cuadrados 1, 4 y 9 en la tabla de la página 2). Apliquemos ahora el algoritmo para saber si el número 301.831.530 es divisible por determinados números. En primer lugar veamos si es divisible entre 23: Lo primero que hace la computadora es buscar el cuadrado más próximo a 301.831.530, así como su base y la distancia que separa a este número de su cuadrado más próximo. Si el cuadrado en la recta numérica está a la derecha del número, y por tanto es mayor que el número, la distancia será negativa, si por el contrario el cuadrado está a la izquierda del número, y por tanto es menor que el número, la distancia es positiva. El cuadrado más próximo a 301.831.530 es 301.821.129, que resulta de elevar al cuadrado la base 17.373. Y la distancia que les separa es de +10.401 pues el cuadrado está a la izquierda del número. Volvamos a repetir la operación pero tomando como punto de partida el número 17.373 (la base del cuadrado anterior). El cuadrado más próximo a este número es 17.424, que es el resultado de elevar la base 132 al cuadrado. La distancia que separa a ambos es -51, pues el cuadrado está a la derecha del número. Y de nuevo repetimos todo tomando como punto de partida 132 (la anterior base). El cuadrado más próximo a 132 es 121, resultado de elevar la base 11 al cuadrado. La distancia es +11, pues el cuadrado está a la izquierda del número. Página 6 de 12

Y aquí, cuando el posible divisor (en este caso 23) es mayor que la última base (en este caso 11) paramos de buscar cuadrados cada vez más pequeños. Los datos que debería haber encontrado la computadora para el número 301.831.530 son, pues, los siguientes: 301.821.129 17.373 10.401 17.424 132-51 121 11 11 Se procede a continuación del siguiente modo: Al posible divisor primo (23) se le resta la base que tiene por debajo (11), obteniendo en este caso 23-11=12. A continuación la computadora toma este resultado y acude a la tabla, a la fila del número primo 23, donde los datos están numerados de 0 a 23. La computadora busca a qué número corresponde el 12, que es -6: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 0-1 -4-9 7-2 10-3 5 11-8 -6-6 -8 11 5-3 10-2 7-9 -4-1 0 A continuación se cambia el signo del resultado (+6) y se suma a la distancia inferior (la que está en la última fila, 11 en este caso), así pues 11+6=17. Volvemos a la tabla y vemos a qué número corresponde 17, que es 10. Se cambia (como en el caso anterior) el signo del resultado (-10) y se suma a la distancia inmediatamente superior (en este caso -51): -10 + (-51)=-61. Si este último resultado es negativo se toma su valor absoluto (61), es decir se prescinde del signo. Al ser 61 mayor que 23 no podemos asociarlo a ningún número de la tabla. Primero debemos hallar el cuadrado más próximo a 61 así como su base, descendiendo a los cuadrados y bases inferiores (al igual que hicimos con el número 301.831.530 y repitiendo el mismo proceso). Página 7 de 12

De este modo la computadora obtiene que 64 es el cuadrado más próximo a 61, resultado de elevar 8 al cuadrado, y que la distancia es de -3. Como el número está a la izquierda del cuadrado la distancia es negativa. 64 8-3 Aquí paramos de buscar cuadrados inferiores pues 23 es mayor que 8. A continuación (como hicimos antes) se resta al posible divisor la base inmediatamente inferior: 23-8=15. El número 15 implica +5 en la tabla 15 5 Se invierte el signo (-5) y se suma a la distancia inferior (en este caso -3). Así pues: -5+(-3)=-8 Tomamos el valor absoluto (8) y siendo igual o menor que 23 se puede llevar a la tabla. En este caso corresponde el número +5: 8 5 Se invierte el signo (-5) y se suma a la distancia inmediatamente superior (10.401, ver tabla de la página 7), así pues: -5+10.401=10.396 Siendo 10.396 mayor que 23 no se puede trasladar a la tabla, así que la computadora vuelve a buscar los cuadrados más próximos, bases y distancias, de mayor a menor. Y así se obtiene: 10.404 102-8 100 10 2 Y aquí paramos de hallar cuadrados porque 23 es mayor que la base 10. Página 8 de 12

Y seguimos con el proceso conocido: Lo primero restar 23-10=13, que implica -8 en la tabla. Cambiamos el signo (+8) y lo sumamos a la distancia inferior (2): 2+8=10, que implica -8 en la tabla. 10-8 Cambio de signo (+8) y suma a la distancia inmediatamente superior (-8): 8+(-8)=0, que implica 0 en la tabla. Y no habiendo más distancias por encima (ver tabla de la página 7) y siendo 0 el resultado podemos determinar que el número 301.831.530 es divisible por 23. Si no fuera 0 el resultado no sería múltiplo de 23. Apliquemos el algoritmo para saber si 301.831.530 es divisible entre 19. La computadora de nuevo busca cuadrados, bases y distancias de un modo descendente, parándose en la base 11, ya que es mayor que 19. De este modo se obtiene: 301.821.129 17.373 10.401 17.424 132-51 121 11 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19 0-1 -4-9 3-6 2 8-7 -5-5 -7 8 2-6 3-9 -4-1 0 19-11=8, que implica -7 en la tabla. Cambio de signo (+7) y sumamos 11(distancia inferior)+7=18. 18 implica -1 en la tabla. Cambio de signo (+1) y suma a la distancia inmediatamente superior: -51+1=-50 Página 9 de 12

Se toma el valor absoluto (50) y vemos que de momento no se puede llevar a la tabla al ser mayor que 19. De este modo se hallan los cuadrados más próximos, bases y distancias: El cuadrado más próximo a 50 es 49, resultado de elevar 7 al cuadrado, y la distancia es 1. Aquí nos paramos pues 19 es mayor que 7. 49 7 1 19-7=12 12 implica +8 en la tabla, en la fila del 19: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19 0-1 -4-9 3-6 2 8-7 -5-5 -7 8 2-6 3-9 -4-1 0 Cambiamos signo (-8) y lo sumamos a la distancia inferior (1): -8+1= (-7), que implica 8 en la tabla. Cambiamos signo (-8) y lo sumamos a la distancia inmediatamente superior que en este caso es la última: -8+10.401=10.393 Como 10.393, al ser mayor que 19, no se puede llevar a la tabla se hallan los cuadrados, bases y distancias, obteniendo: 10.404 102-11 100 10 2 19-10=9, que implica -5 en la tabla. Cambiamos signo (+5) y sumamos este valor a la distancia inferior: 2+5=7. 7 implica +8 en la tabla. Cambiamos signo (-8) y sumamos este valor a la distancia inmediatamente superior: -8 + (-11)=-19 Página 10 de 12

-19 (19 tomando el valor absoluto) implica 0 en la tabla. Y habiendo alcanzado la distancia superior y siendo el resultado 0 se concluye que 301.831.530 es múltiplo de 19. Si fuera otro el resultado no sería múltiplo de 19. Veamos ejemplos con un número más pequeño: Comprobemos si 403 es múltiplo de 11: 400 20 3 16 4 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 0-1 -4 2-5 -3-3 -5 2-4 -1 0 11-4=7 7 implica -5 Cambio de signo (+5) 5+4=9 9 implica -4 Cambio de signo (+4) 4+3=7 7 implica -5 Al ser -5 distinto de 0 se concluye que 403 no es múltiplo de 11. Veamos si 396 es múltiplo de 11: 400 20-4 16 4 4 11-4=7 7 implica -5 Cambio de signo (+5) 5+4=9 9 implica -4 Cambio de signo (+4) 4-4=0 0 implica 0 Al ser 0 el último resultado se concluye que es divisible por 11 Cuál es el valor de este algoritmo? Con este algoritmo se determina primero si un número es divisible por el primo en cuestión y si lo es se efectúa la división. En el método clásico sin embargo se efectúan únicamente divisiones. Mediante una división se Página 11 de 12

genera un cociente y un resto. Si el resto es 0 (y por tanto el dividendo es múltiplo del divisor) el cociente es de utilidad pues es el siguiente número del que partimos para seguir factorizando. Imaginemos por ejemplo que queremos factorizar el número 32, que es el resultado de elevar la base 2 al exponente 5. En este caso haríamos las siguiente divisiones: 32/2=16 16/2=8 8/2=4 4/2=2 2/2=1 Estas divisiones arrojan unos cocientes que nos sirven de base para seguir buscando los divisores primos. Sin embargo si el resto es distinto a 0 (y por tanto el dividendo no es múltiplo del divisor) el cociente ya no es la base de la que partimos para seguir factorizando. Imaginemos que queremos factorizar el número 401. Tras dividirlo por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19 concluimos que: 401/2=200,5 401/3=133,6 401/5=80,2 401/7=57,2 401/11=36,4 401/13=30,8 401/17=23,5 401/19=21,1 En este caso el cociente de la división no supone una ayuda en la factorización sino una pérdida de tiempo (ya sabemos por el resto si el número primo divide al número, luego no necesitamos cocientes). Se da el hecho de que a medida que nos adentramos en la recta numérica los cocientes innecesarios del método clásico aumentan en relación con los necesarios. De este modo la búsqueda de divisores se hace más y más costosa. El algoritmo que propongo evita esta información inútil y su rapidez aumenta así crecen las cantidades. Puede ser al principio más lento que el método normal pero llegado cierto número (desconozco cuál) la tortuga sobrepasa a la liebre. Miguel Ángel trufarica@hotmail.com 3-7-2015 Página 12 de 12