VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS M. en C. Juan Carlos Gutiérrez Matus Instituto Politécnico Nacional Primavera 2004 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus

Variables Aleatorias Variables Aleatorias Definición: Una variable aleatoria es una función del espacio muestral a la ĺınea de los reales. X : Ω R Ω ω 2 ω 1 ω 4 ω 5 ω 3 1 0 1 2 3 R IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 1

Variables Aleatorias Variables Aleatorias Ejemplo: Al lanzar dos monedas, Ω = {ss, sa, as, aa}. Suponga que X es una variable aleatoria que corresponde al número de águilas. X(ss) = 0, X(sa) = X(as) = 1, X(aa) = 2 Ω {as} {aa} {ss} {sa} 0 1 2 X P(X = 0) = 1 4, P(X = 1) = 1 2, P(X = 2) = 1 4 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 2

Variables Aleatorias Variables Aleatorias Notación: Usualmente, letras mayúsculas tales como X, Y, Z, U, V, representan variables aleatorias. Letras minúsculas tales como x, y, z, u, v, w, representan valores particulares de las variables aleatorias. Así que podemos hablar de P(X = x). IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 3

Variables Aleatorias Variables Aleatorias Ejemplo: Sea X la suma de los resultados al lanzar dos dados. Entonces tenemos que X ([6, 5]) = 11. Además: P(X = x) = 1/36 si x = 2 2/36 si x = 3. 6/36 si x = 7. 2/36 si x = 11 1/36 si x = 12 0 cualquier otro valor IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 4

Ejemplo: Lanzar una moneda. Variables Aleatorias X = { 0 si {s} 1 si {a} Ejemplo: Lanzar un dado. Y = { 0 si {1,3, 5} 1 si {2,4, 6} Para nuestros propósitos, tanto X como Y son lo mismo, dado que: P(X = 0) = P(Y = 0) = 1 2 P(X = 1) = P(Y = 1) = 1 2 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 5

Variables Aleatorias Discretas Variables Aleatorias Discretas Definición: Si el número de los posibles valores de una Variable Aleatoria X es finito ó contablemente infinito, entonces X es una variable aleatoria discreta. Ejemplo: Lanzar tres moneda, obtener el número posible de águilas. Se trata de una variable discreta. Ejemplo: Seleccionar en forma aleatoria un punto en [0,1]. Se trata de una variable no discreta. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 6

Función de Probabilidad Función de Probabilidad Definición: Si X es una variable aleatoria discreta, entonces la Función de Probabilidad se define para cada posible x como: f(x) = P(X = x) Definición: El conjunto de todas las parejas [x, f(x)] es la Distribución de Probabilidad. Note que: f(x) 0 x f(x) = 1 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 7

Función de Probabilidad Función de Probabilidad Ejemplo: Lanzar 2 monedas. Sea X el número de soles. f(x) = 1/4 para x = 0 1/2 para x = 1 1/4 para x = 2 0 para otro valor IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 8

Función de Distribución Acumulada (fda) Función de Distribución Acumulada (fda) Definición: Si X es una variable aleatoria discreta, y función de probabilidad f(x) entonces la fda de X es definida para toda x como F(x) = P(X x), entonces: F(x) = i f(x i ), x i x Ejemplo: Lanzar dos monedas. Sea X el número de soles. 0 si x < 0 1/4 si 0 x < 1 F(x) = 3/4 si 1 x < 2 1 si 2 x IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 9

Representación Gráfica Representación Gráfica f(x) 1 F(x) 1 3 4 1 2 1 4 3 4 1 2 1 4 0 1 2 X 1 0 1 2 X Función de Probabilidad y Función de Distribución Acumulada IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 10

Propiedades de la fda Propiedades de la fda F(x) es no decreciente en x, esto es, si x 1 < x 2 implica que: F(x 1 ) < F(x 1 ) lim F(x) = 1 x lim F(x) = 0 x IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 11

Propiedades de la fda Propiedades de la fda Teorema: P(X > x) = 1 F(x) Demostración: 1 = P(X x) + P(X > x) = F(x) + P(X > x) Teorema: x 1 < x 2 P(x 1 < X x 2 ) = F(x 2 ) F(x 1 ) Demostración: P(x 1 < X x 2 ) = P(X > x 1 X x 2 ) = P(X > x 1 ) + P(X x 2 ) P(X > x 1 X x 2 ) = 1 F(x 1 ) + F(x 2 ) 1 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 12

Valor Esperado Valor Esperado Definición: El valor esperado ó la media ó el valor promedio de una variable aleatoria discreta X es : µ = E[X] = x xf(x) La media ó valor esperado nos da una indicación de la tendencia central de una variable aleatoria. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 13

Valor Esperado Valor Esperado Ejemplo: Si al lanzar una moneda cargada, sea la VAD X el número de águilas, P(X = 0) = 0.4, P(X = 1) = 0.6, entonces: E[X] = x xp(x = x) = 0 0.4 + 1 0.6 = 0.6 Ejemplo: Al lanzar un dado, X = 1,2,...,6, cada x con una probabilidad de 1 6. Entonces: E[X] = x xf(x) = 1 1 6 + 2 1 6 +... + 6 1 6 = 3.5 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 14

Valor Esperado Valor Esperado Ejemplo 1 : Un inspector de calidad hace un muestreo un lote que contiene siete componentes; de los cuales tres son defectuosos. El inspector toma una muestra de tres componentes. Encuentre el valor esperado del número de componentes buenos en esta muestra. Sea X el número de componentes buenos. probabilidad de X es: f(x) = ( ) ( 4 3 x ( 7 3 3 x ) ), x = 0,1,2, 3. La distribución de 1 Walpole & Myers; Prob. y Estadística para Ings. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 15

Valor Esperado Al realizar los cálculos de la distribución de probabilidad de X, obtenemos: f(0) = 1, f(1) =12, f(2) =18 35 35 35, f(3) = 4 35. entonces el valor esperado de X es: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 12 18 4 µ = E[X] = 0 + 1 + 2 + 3 35 35 35 35 = 12 7 = 1.7 Esto es, que la muestra descrita, contendría un promedio de 1.7 componentes buenos. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 16

Valor Esperado de Funciones Valor Esperado de Funciones Teorema: Al realizar un cambio de variable lineal Y = ax + b, donde a y b son constantes, el valor esperado de la nueva variable esta dado por: E[Y ] = ae[x] + b Teorema: El valor esperado de una función de una variable aleatoria discreta, por ejemplo g(x), es: E[g(X)] = x g(x)f(x) Ejemplo: E [ (3X 1) 2] = x (3x 1)2 f(x) IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 17

Valor Esperado de Funciones Valor Esperado de Funciones Ejercicio: Sea X un VAD con la siguiente distribución de probabilidad: 1/6 para x = 3 1/2 para x = 6 f(x) = 1/3 para x = 9 0 para otro valor Encuentre E[g(X)], donde g(x) = (2X + 1) 2. Nota: E[g(X)] también se puede simbolizar como µ g (X) IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 18

Momentos Momentos Definición: El momento k de una variable aleatoria discreta X es: E[X k ] = x x k f(x) Definición: El momento central k de una variable aleatoria discreta X es: E [ (X µ) k] = (x µ) k f(x) x IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 19

Varianza Varianza La varianza de la variable aleatoria discreta X es el segundo momento central. Var(X) = E [ (X µ) 2] = x (x E[X]) 2 f(x) La varianza es un parámetro que describe la disperción de la VA. Notación: σ 2 = σ 2 X = Var(X) = V(X). Definición: La desviación estándar de la variable aleatoria discreta X es: σ X = + Var(X) IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 20

Varianza Varianza Teorema: Demostración: Var(X) = E[X 2 ] (E[X]) 2 Var(X) = E [ (X µ) 2] = E[X 2 2µX + µ 2 ] = E[X 2 ] 2µE[X] + µ 2 = E[X 2 ] µ 2 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 21

Varianza Varianza Ejemplo: Si al lanzar una moneda cargada, sea la VAD X el número de águilas, P(X = 0) = 0.3, P(X = 1) = 0.7, entonces: E[X] = x xp(x = x) = 0 0.3 + 1 0.7 = 0.7 Cabe recalcar E[X] = 0.7, de hecho, para cualquier k. E[X k ] = 0 k 0.3 + 1 k 0.7 = 0.7 Así que: Var(X) = E[X 2 ] (E[X]) 2 = 0.7 0.7 2 = 0.21 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 22

Varianza Varianza Ejercicio: Sea la VAD X el no. de partes defectuosas al sacar una muestra de tres de una ĺınea de producción, con la siguiente distribución de probabilidad: 0.51 para x = 0 0.38 para x = 1 f(x) = 0.10 para x = 2 0.01 para x = 3 0 para otro valor IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 23

Varianza Varianza Ejercicio: Sea la VAD X el no. de partes defectuosas al sacar una muestra de tres de una ĺınea de producción, con la siguiente distribución de probabilidad: 0.51 para x = 0 0.38 para x = 1 f(x) = 0.10 para x = 2 0.01 para x = 3 0 para otro valor µ =0(0.51) + 1(.38) + 2(0.1) + 3(0.01) = 0.61 E[X 2 ] =0(0.51) + 1(.38) + 4(0.1) + 9(0.01) = 0.87 Var(X) =0.87 (0.61) 2 = 0.4979 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 24

Varianza de una Función Lineal Varianza de una Función Lineal Teorema: Var(aX + b) = a 2 Var(X) Ejemplo: En el caso anterior de la moneda cargada. E[X] = 0.7; Var(X) = 0.21 Sea Y = g(x) = 4X + 5, entonces: E[Y ] = E[4X + 5] = 4E[X] + 5 = 7.8 Var(Y ) = Var(4X + 5) = 16 Var(X) = 3.36 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 25

Varianza de una Función Varianza de una Función Teorema: Sea X una VAD con distribución de probabilidad f(x). La varianza de la variable aleatoria g(x) es: σ 2 g(x) = E { [g(x) µ g(x) ] 2} = x [g(x) µ g(x) ] 2 f(x) La utilidad de este teorema se destaca cuando g(x) no es una transformación lineal de X. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 26