LA GEOMETRÍA PLANA La geometría plana trata de aquellos elementos que solo tienen dos dimensiones y, que por lo tanto, se encuentran y operan en un plano. Los elementos básicos con los que se suele trabajar en geometría plana son el punto, la recta, la circunferencia y otras curvas. Los trazados básicos son las operaciones geométricas más elementales y que tienen una utilidad universal, como por ejemplo el trazado de mediatrices, bisectrices, etc. Una parte importante de la geometría plana son las construcciones con regla y compás. Dos rectas p y q son perpendiculares cuando se cortan formando ángulos iguales, que se llaman rectos. Dos rectas r y s que no tengan ningún punto en común se llaman paralelas. Rectas perpendiculares Rectas paralelas Agudos: Si su medida esta comprendida entre 0 y 90. Rectos: si su medida es 90 CLASES DE ÁNGULOS Obtusos: Si su medida esta comprendida entre 90 y 180. Llanos: Si su medida es de 180º
Circunferencia Definición: La circunferencia es una línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a igual distancia de otro fijo que se llama centro. Circulo es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia. Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia: Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia; Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro); Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros; Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos; Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto; Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia; Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia; Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro. Posiciones relativas de dos circunferencias Exteriores (1) Tangentes exteriormente, tienen un punto tangente y son exteriores (2) Secantes, se cortan en dos puntos (3) Tangentes interiormente, tienen un punto tangente y son interiores (4) Interiores excéntricas, tienen el mismo centro y distinto radio forman una corona circular o anillo.(5)
a a b
Mediatriz de un segmento Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a ese segmento y que lo divide en dos partes iguales Su trazado se realiza con regla y compás. Dado el segmento AB Construcción de la mediatriz de un segmento 1. Con centro en A y con cualquier radio mayor a la mitad del segmento se traza un arco. 2. Con centro en B y con el mismo radio cogido desde A se traza otro arco 1 2 3. Los puntos de intersección de ambas circunferencias determinan la mediatriz del segmento en cuestión. El trazado de la mediatriz es muy útil para realizar muchos otros procedimientos como hallar el punto medio de un segmento, realizar polígonos regulares etc.
Su trazado se realiza con regla y compás. Dado un ángulo : Construcción de la bisectriz de un a segmento a 1. Con centro en el vértice V y con cualquier radio se traza un arco que corta a las dos semirrectas en los puntos A y B 4. Con centro en A y con cualquier radio un arco. 5. Con centro en B y con el mismo radio cogido desde A se traza otro arco que se corta con en anterior en el punto C. Unimos C y V obteniendo la bisectriz. El trazado de la mediatriz y de la bisectriz es muy útil para realizar muchos otros procedimientos como hallar el punto medio de un segmento, realizar polígonos regulares etc.
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES DADO EL LADO Recuerda: Polígono es una figura plana y cerrada limitada por lados. El mínimo de lados que puede tener un polígono es de 3 lados. Polígono regular: polígono que tiene los lados y los ángulos iguales. TRIÁNGULO EQUILÁTERO Triángulo equilátero: el polígono regular que tiene tres lados y tres ángulos iguales. Construcción triángulo equilátero dado el lado A B 1. Con Centro en A y con un radio igual al lado AB, se traza un arco. 2. Con centro en B y con el mismo radio anterior AB se traza otro arco que corta al arco anterior en C 3. Unimos C con A y con B y construimos así el triángulo equilátero. CUADRADO Cuadrado: polígono regular que tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales de 90º Construcción de un cuadrado dado el lado A B 1. Trazamos una perpendicular por A (con la escuadra y cartabón) 2. Con centro en A y radio AB (igual al lado) trazamos un arco que corta a la perpendicular en C. 3. Con centro en C y en B realizamos dos arcos con radio AB, obteniendo el punto D. 4. Unimos D con C y con B obteniendo así el cuadrado. PENTÁGONO Pentágono regular: polígono regular de 5 lados y 5 ángulos iguales. Construcción pentágono dado el lado A B 1. Se traza la mediatriz del segmento AB (ver ejercicio de mediatriz), hallando el
punto medio C. 2. Desde C colocamos en la mediatriz hacia abajo tres veces la medida CA (mitad del lado), hallando D. 3. Unimos D con B y con A obteniendo así loas ángulos del pentágono desde A y B 4. Con centro en B y radio AB (lado del pentágono) realizamos un arco que corta a la prolongación DB, en el punto E. 5. Con centro en A y con la medida del lado AB realizamos otro arco que corta a la prolongación DA en el punto F. 6. Con centro en E y en F respectivamente y con radio igual al lado AB realizamos dos arcos que se cortan en el punto G. Unimos G con E y con F obteniendo así el pentágono HEXÁGONO Hexágono regular : Polígono regular de 6 lados y 6 ángulos iguales. Construcción triángulo hexágono dado el lado A B 1. Con centro en A y en B realizamos dos arcos con el radio igual al lado AB, hallando el punto O. 2. Con centro en O y con radio igual al lado AB = CA = CB. Realizamos una circunferencia que pasa por el punto A y B. 3. Con centro en A y en B respectivamente y con radio igual al lado AB realizamos dos arcos que cortan a la circunferencia en los puntos F y C. 4. Con centro en F y en C respectivamente realizamos dos arcos con radio igual al lado AB que corta a la circunferencia en los puntos E y D. Unimos B con C, C con E, E con D, D con F y F con A y obtenemos así el hexágono.
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES y ESTRELLAS DADO EL RADIO. A continuación aprenderás a realizar polígonos regulares o estrella regulares a partir de una circunferencia, por lo tanto si nos dan el radio de la circunferencia, podemos trazar con el compás esta y aplicando los pasos adecuados la dividimos en las partes que queramos y con cuerdas consecutivas o no consecutivas trazamos los polígonos o estrellas TRIÁNGULO EQUILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA. Triángulo equilátero: el polígono regular que tiene tres lados y tres ángulos iguales. Construcción triángulo equilátero a partir de una circunferencia. 1 2 1. Se traza un diámetro cualquiera, por ejemplo uno vertical. Los extremos del diámetro los llamamos M y A. 2. Con centro en M y con radio igual al radio de la circunferencia (OM), realizamos un arco que corte a la circunferencia en los puntos B y C 3. Unimos A con B y con C y construimos así el triángulo equilátero. 3 Triángulo equilátero. CUADRADO Cuadrado: el polígono regular que tiene 4 lados y 4 ángulos iguales. Construcción cuadrado a partir de una circunferencia: 1 2 1. Se traza un diámetro cualquiera, por ejemplo uno vertical, los extremos del diámetro los llamamos A y C 2. Realizamos la mediatriz del diámetro AC (ver ejercicio de mediatriz), obteniendo así el diámetro perpendicular BD y quedándonos la circunferencia dividida en cuatro partes iguales. 3. Unimos A con B, B con C y C con D construyendo así el cuadrado inscrito. 3 Cuadrado B B D D
HEXÁGONO REGULAR Y ESTRELLA DE 6 PUNTAS INSCRITA EN UNA CIRCUNFERENCIA. Hexágono regular: el polígono regular que tiene 6lados y 6 ángulos iguales. Construcción hexágono regular y 1 2 de una estrella de 6 puntas a partir de una circunferencia: 1. Se traza un diámetro cualquiera y llamamos A y D a los extremos de ese diámetro. 2. Con centro en A realizamos arcos igual al radio (OA = AO) que corten a la circunferencia en los puntos B y F. 3. Con centro en D realizamos arcos igual al radio (OD = DO =OA) que corten a la circunferencia en los puntos C y E. 4. Unimos con cuerdas consecutivas los puntos A, B, C, D, E y F, obteniendo así el Hexágono regular. 5. Si unimos puntos alternos obtenemos una falsa estrella formada por dos triángulos equiláteros: A con C y E, y B con D y F 3 4 Hexágono 5 Estrella
DODECÁGONO REGULAR Y ESTRELLA DE 12 PUNTAS INSCRITA EN UNA CIRCUNFERENCIA. Dodecágono: el polígono regular que tiene 12 lados y 12 ángulos iguales. Construcción dodecágono regular y 1 2 de una estrella de 12 puntas a partir de una circunferencia: 1. Trazamos un diámetro cualquiera, y denominamos a sus extremos como punto A y G. 2. Realizamos una mediatriz (ver ejercicio de mediatriz) al diámetro AG, trazando así otro diámetro perpendicular al primero realizado que denominamos D y J. 3. Con centro en los cuatros extremos de los dos diámetro perpendiculares y con radio igual al de la circunferencia (OA=OG) realizamos arcos que cortan a esta en los puntos siguientes: A en C y K, G en E y en I, D en B y F y J en H y L. 4. Unimos todos los puntos con cuerdas consecutivas obteniendo así el dodecágono. 5. Obtenemos la estrella trazando cuerdas uniendo puntos alternos saltando de 5 en 5. 6. También podemos construir una falsa estrella trazando dos hexágonos saltando un punto. 3 4 Dodecágono 5 Estrella 6 Estrella falsa
OCTÓGONO REGULAR Y ESTRELLA DE 8 PUNTAS INSTRITA EN UNA CIRCUNFERENCIA Dodecágono: el polígono regular que tiene 8 lados y 8ángulos iguales. Construcción dodecágono regular y 1 1 de una estrella de 12 puntas a partir de una circunferencia: 1. Se divide la circunferencia en 4 partes iguales (ver ejercicio del cuadrado). 2. Se halla las bisectrices (ver ejercicio de bisectriz). de los ángulos que forman los 4 radios trazados, quedando así dividida en 8 partes iguales. 3. Se realizan 8 cuerdas consecutivas por las 8 divisiones y se obtiene el octógono regular. 4. Se traza la estrella saltando de 4 en 4 puntos. 5. O se traza una estrella falsa saltando sólo un punto y trazando dos cuadrados. 2 2 4 Estrella 3 Octógono 5 Estrella falsa