CAPÍTULO 8 PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

177 CAPÍTULO 8 PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES 8.1 SEÑALES Se trtrán 4 tipo de eñle: Anlógic, x(t): mplitud y tiempo continuo. Muetred, X[n], tiempo dicreto, mplitud continu. Cuntizd, Xq[t], tiempo continuo, mplitud dicret. Digitl, -xq[n], mplitud y tiempo dicreto. Clificción de l eñle Según u durción: Continu: Se definen pr todo tiempo t. Periódic: xp(t) = xp(t±nt), donde T e el periodo y n e un entero. Cule: Son pr t<. Se definen ólo pr el eje poitivo de t. Anticule: Son pr t>. Se definen ólo pr el eje negtivo de t. No cule: Se definen pr mbo eje de t. Bd en l imetrí Simetrí Pr: x(t) = x(-t) Simetrí Impr: x(t) = -x(-t) En energí y potenci (impulo limitdo en tiempo y eñle periódic) Energí de un eñl:

178 Potenci de un eñl: Un eñl e dice que e de energí i Ex e finito, lo que implic que Px e. Ej. Pulo limitdo en el tiempo. Un eñl e dice que e de potenci i Px e finito, lo que implic que Ex e infinito. Ej. Un eñl periódic. Funcione elementle: Eclón unidd : u(t) Rmp : r(t)=t u(t) Pulo : u(t+1/)-u(t-1/) Tringulr : tri(t)=r(t+1)-r(t)+r(t-1) Seno Crdinl, Sinc: inc( t)= en (πt)/πt Impulo δ(t) o función delt de Dirc: δ(t) =, t ; - + δ(τ) d τ = 1 Repreentción de l eñle: Opercione con eñle: Deplzmiento en el tiempo: x(t-), dep. A l derech Compreión en el tiempo: x(t) Diltción en el tiempo: x(t/) Reflexión: x(-t)

179 Algun eñle en Mtlb >> y = diric (x,n) L función de Dirichlet e define de l iguiente form: D(x) = in(nx/) / N in(x/) El rgumento de entrd e un vector x en cuyo punto queremo clculr l función de dirichlet y el prámetro N, e e el número de máximo de l función en el intervlo (-π). >> y = wtooth (x,width) Gener un eñl en diente de ierr con período π pr lo elemento del vector x. El prámetro width e un eclr entre y 1 y decribe l frcción del período π en el que ocurre el máximo. >> y = inc (x) L función inc (x) = in (πx) / (πx) >> y = qure (x, duty) Gener un ond cudrd de período π con un ciclo de trbjo ddo. El prámetro duty e el porcentje del período en el cul l eñl e poitiv. 8. SISTEMAS Un item fíico e un conjunto de dipoitivo conectdo entre í, cuyo funcionmiento etá ujeto leye fíic. Pr nootro un item e un procedor de eñle. L eñle er proced on l excitción del item. L lid del item e nuetr eñl proced. El item e repreent medinte ecucione diferencile que relcionn l lid y(t) y l entrd x(t)medinte contnte, prámetro y vrible independiente. Sitem: Clificción Lo item e clificn en: Linele: lo coeficiente no dependen de x o y, no hy término contnte. No linele: lo coeficiente dependen de x o y, hy término contnte. Invrinte en el tiempo: Lo coeficiente no dependen de t. Vrinte en el tiempo: Lo coeficiente on funcione de t. A lo item linele e le puede plicr el principio de uperpoición. Si x(t)=x1(t)+x(t) -> y(t)= y1(t)+y(t) x(t)=k x1(t) -> y(t)=k. y1(t)

18 Un item e invrinte en el tiempo cundo l repuet y(t) depende ólo de l form de l entrd x(t) y no del tiempo en que e plic. Mtemáticmente: Si L{x(t)}=y(t) -> L{x(t-t)}=y(t-t) L{} indic el item fíico en cuetión. Uremo item LTI: linel e invrinte en el tiempo. L repuet l impulo del item e repreent con h(t) y e l repuet l excitción delt de Dirc. E l principl herrmient pr el etudio de un item. 8.3 CONVOLUCIÓN Podremo clculr l repuet y(t) de un item un entrd culquier x(t). Condicione pr llevrl cbo: Sitem LTI Repuet l impulo del item h(t) Bándono en el principio de uperpoición y en que el item e invrinte en el tiempo: Un eñl rbitrri de entrd x(t) puede exprere como un tren infinito de impulo. Pr ello, dividimo x(t) en tir rectngulre de nchur t y ltur x(k t). Cd tir l reemplzmo por un impulo cuy mplitud e el áre de l tir: t. x(k.t) δ(t kt) L función x(t) que proxim x(t) e: x(t) e el límite cundo t -> dλ, kt->λ x ( t) tx( kt ). ( t kt ) k x( t) limt tx( kt ). ( t kt ) x( ). ( t ). d k Y plicndo el principio de uperpoición: Medinte convolución hemo ido cpce de determinr l repuet del item un eñl de entrd prtir de l repuet del item un entrd impulo. L función h(t) e define pr t >= y decrece cundo t ->, pr l myorí de lo item fíico. Por tnto: L repuet en t depende de lo vlore ctule y pdo de l entrd y de l repuet l impulo.

181 Lo vlore má reciente de x(t) on multiplicdo por u correpondiente má ntiguo (y má grnde) vlore de h(t). Propiedde de l convolución: 8.4 CORRELACIÓN E un operción imilr l convolución, con l diferenci de que en l correlción no e reflej un de l eñle. L correlción no d un medid de l imilitud entre do eñle. No exite l propiedd conmuttiv por lo que dd do eñle x(t) e y(t) e definen do correlcione: Que olo coinciden en t=: R R Not: correlción dicret xy yx 8.4.1 Autocorrelción L correlción de un eñl conigo mim e denomin utocorrelción:

18 L utocorrelción repreent l imilitud entre l eñl y u deplzd. El máximo de utocorrelción e obtiene cundo no hy deplzmiento (t=). L utocorrelción e imétric R t R t con repecto l origen, y que Not: Autocorrelción dicret xx xx Ejemplo de uo de l utocorrelción: Rdr. 8.5 CONVOLUCIÓN DISCRETA Cundo e trt de hcer un procemiento digitl de Cundo e trt de hcer un procemiento digitl de eñl no tiene entido hblr de convolucione plicndo etrictmente l definición y que ólo diponemo de vlore en intnte dicreto de tiempo. E necerio, pue, un proximción numéric. Pr relizr l convolución entre do eñle, e evlurá el áre de l función x(l)h(t-l). Pr ello, diponemo de muetreo de mb eñle en lo intnte de tiempo nt, que llmremo x[k] y h[n-k] (donde n y k on entero). El áre e, por tnto, n t. x k. h n k x k h n k y. k k L convolución dicret e define pr un intervlo de muetreo t 1 n xn*. hn x k h n k k y.

183 A vece e poible hcer un convolución dicret nlític. Vemo un ejemplo. Se trt de hcer l convolución de un eñl x[n]=nu[n+1] con h[n]= -n u[n], iendo <1. y[ n] ( n1) ( n1) ( n1) k k. u[ k 1]. n n n1 (1 ).( 3. (1 3 ( nk).(1 ( n 1). u[ n k] 3... n.... n. n n k1 n n ) n1 k. ) ) ( nk) ( nk) n n k k. k En l práctic e trbj con ecuenci de longitud finit. Pr hcer l convolución, un de l ecuenci e reflej y e deplz uceivmente. Veremo lguno método pr clculr l convolución prtir de do ecuenci. 8.5.1 Propiedde obre l durción de l convolución dicret. El índice del comienzo de l convolución e l um de lo índice de comienzo de l repectiv eñle. Si l do eñle comienzn en n=n y n=n1, l convolución Pr do ecuenci de durción M y N, u convolución e extiende durnte M+N-1 muetreo. comienz en n=n+n1. Propiedde de l convolución dicret (x[n]*h[n]=y[n]) y[ n]= x[ k] h[ n- k]

184 con k vrindo entre y. [Ax1 +Bx ]*h= y1 + y x[n]*h[n-]=x[n-]* h[ n]=y[n-] x[n-]*h[n-]=y[n-] n hn hn hnn hn u[n]-u[n-1]}*h[n]=yu[n]-yu[n-1] u[n]*h[n]= x[k] con k vrindo entre y. x[n]-x[n-1] h[n]y[n]-y[n-1] 8.5. Convolución y Correlción en MATLAB >> y = conv(x,h) Hce l convolución de lo vectore x y h. El vector reultnte y tiene un tmño igul length(x)+length(h)-1 >> rxy = xcorr(x,y) Hce l correlción de lo vectore de M elemento x e y. Devuelve un vector de M-1 elemento. >> rxx = xcorr(x) Hce l utocorrelción del vector x de M elemento. Devuelve un vector de M-1 elemento. 8.6 SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER 8.6.1 Serie de Fourier L erie de Fourier decriben eñle periódic como un combinción de eñle rmónic (inuoide). Se puede nlizr un eñl periódic en término de u contenido frecuencil o epectro. Dulidd entre tiempo y frecuenci. Form trigonométric de l erie de Fourier: e pretende decribir un función periódic x(t) de período T, frecuenci fundmentl f=1/t, ω = πf.

185 x p ( t) n i k 1 1 co( t)... co( k t) b 1 in( k t) i co( k t)... b 1 in( t)... b 1 in( k t) 8.6. Efecto Gibb Pr eñle dicontinu, u recontrucción prtir de l erie de Fourier produce el llmdo efecto Gibb, que conite en l prición de un pico de del 9% en el punto de dicontinuidd. Aún e tiene ete efecto cundo e utilicen grn cntidd de rmónico pr l recontrucción. Al querer proximr l función periódic que tiene infinito rmónico hy que truncr l función ht el rmónico N -> e produce ete efecto. Pr eliminrlo e un l llmd ventn epectrle que uvizn l recontrucción de l función. 8.6.3 Trnformd de Fourier Pr mplir el concepto de erie de Fourier eñle no periódic e puede viulizr un eñl no periódic como un eñl continu de período infinito. El epcido entre frecuenci e prox. A cero y e por lo tnto un función continu L eñl p er de potenci eñl de energí. Lo coeficiente X[k] on cero. Y no e un indicdor del contenido epectrl de l eñl. Se define l Trnformd de Fourier de x(t) como: t X ( f ) limt. X [ k] x( t).exp( j ft) dt S 8.6.4 Relción entre erie y trnformd de Fourier X(w) e l función envolvente de X[k] Si muetremo X(w) intervlo f. l función reultnte e el epectro de un eñl periódic de período T=1/f E decir, muetrer en el dominio frecuencil e correponde con eñle periódic en el dominio temporl. X ( f ) T. X [ k] S kf-f X ( f ) X S [ k] f- kf T L trnformd inver de Fourier de X(w) x ( t) X ( f ).exp( j ft). df

186 Podemo utilizr l Trnformd de Fourier pr nlizr l repuet item LTI, vliéndono del hecho de que convolución en el tiempo equivle l producto en el dominio frecuencil. Si l repuet y(t) un item con un repuet impulo h(t) y entrd x(t) con condicione inicile cero e: y(t)x(t)h(t) Aplicndo l Trnformd de Fourier mbo miembro, Y(w)X()H( H(w)=Y(w)/X(w) e l función de Trnferenci del item. Et no permite nlizr l repuet frecuencil del item. Como e vió en l Serie de Fourier, e puede nlizr l repuet en el etdo etcionrio del item prtir de H(w). Limitcione de l Trnformd de Fourier: El item debe tener condicione inicile cero. Entrd que no on eñle de energí requieren el uo de impulo. Por ello e extiende el concepto de l Trnformd de Fourier l Trnformd de Lplce. 8.7 TRANSFORMADA DE LAPLACE Se define l Trnformd de Lplce de l eñl x(t): X() Lx(t)x(t)exp(t)dt L cntidd complej =+jw. De et form e generliz el concepto de frecuenci en l Trnformd de Fourier. Se hce notr que el límite inferior de l integrl e, lo cul proporcion un mim trnformd pr eñle cule y que x(t) y x(t)u(t) on igule. L Trnformd de Lplce exite i l integrl que l define e finit. Pr ello e neceit que lo vlore de en uno concreto, lo que define un región de convergenci de l Trnformd de Lplce. Con l Trnformd de Lplce e generliz el concepto de función de Trnferenci de un item quello cuy condicione inicile on no nul.

187 X()=L{x(t)}=x(t)exp(-t)dt 8.8 MUESTREO Y CUANTIZACIÓN El muetreo digitl de un eñl nlógic tre conigo un dicretizción tnto en el dominio temporl como en el de l mplitud. Pr decribir mtemáticmente el muetreo no bremo en el muetreo idel. Conite en un función que tom lo vlore de l eñl Xc(t) en lo intnte de muetreo y cero en lo otro punto. x (t)= xc tδt- nt ) = xc n tδt- nt ) = xc txi t En l vrición e de n entre y -. Donde t e el período de muetreo y x(t) e l función de interpolción. El muetreo tre prejdo pérdid de informción de l eñl originl. El teorem del muetreo etblece en que condicione e debe muetrer pr que no e no ecpen lo evento de l eñl originl que on importnte pr nuetro poterior derrollo con l eñl. 8.8.1 Teorem del muetreo Un eñl Xc(t) con un epectro limitdo l frecuenci Fb ( f <=Fb) puede er muetred in pérdid de informción i l frecuenci de muetreo f uper l cntidd Fb, e decir f>=fb. De no muetrere l meno e frecuenci tiene lugr el fenómeno de Aliing. E decir, el epectro de l eñl muetred e compone de un función de período 1/t, replicándoe en cd período el epectro de l eñl originl. En l ig. Fig. e oberv el fenómeno:

188 Pr recuperr l eñl originl prtir de l muetrd no tenemo má que plicr un filtro pobjo con un frecuenci de corte en f=fb y un mplificción t, e decir, XC (f)= XS (f). HPB (f) xc (t)= xs (t)* hpb (t) HPB (f)= t.rect(f/fb) hpb (t)=.t. fb. inc(t..fb) xs(t)= xc (k ts). δ( t- k ts )= xc (k). δ( t- k ts ) xc (t)= xc (k). hpb ( t- k ts )= =.ts.fb xc (k). inc [.fb (t- k ts )] con k vrindo entre y. A l función inc(t) e le denomin función de interpolción crdinl. Ete tipo de recontrucción tiene lo iguiente problem: El dominio de l función inc e infinito Requiere muetreo pdo y futuro Se puede truncr l función inc(t) -> precerí el efecto Gibb No e poible recontruir funcione con dicontinuidde. 8.8. Cuntizción Pr procer eñle digitle no olo lcnz con muetrer l eñl nlógic, ino tmbién cuntizr l mplitud de l eñl un número finito de nivele. El tipo má uul e l cuntizción uniforme en el que lo nivele on todo igule. L myorí un un número de nivele que e potenci de. Si L = b, cd uno de lo nivele e codificdo un número binrio de b bit. Ruido de Cuntizción: Llmremo X[n] l eñl dicret y Xq[n] l eñl dicret cuntizd. El error e: nx nxq n Se define l relción eñl ruido de cuntizción (SNRQ) como l relción entre l potenci PS de l eñl y l potenci PN del error e[n], medido en decibelio. P S SNR Q 1. N n x S n P ( db) 1. log P S N 1. log n n x S n n P N 1. N n n