Capítulo II nería espeífia momenta CAPIULO II NRGIA SPCIFICA Y MOMNA 7. nería espeífia La enería de la orriente en una seión determinada de un anal es iual a la suma del tirante, la enería de veloidad la elevaión del fondo on respeto a un plano horizontal de referenia arbitrariamente esoido se expresa así nería + + z α (7-) es el tirante, α el oefiiente de Coriolis, la veloidad media de la orriente en la seión onsiderada, z la elevaión del fondo on respeto a un plano de referenia. Si tomamos omo plano de referenia el fondo del anal, la enería así alulada se denomina enería espeífia se desina on la letra. sta definiión sinifia z 0. +α (7-) La enería espeífia es, pues, la suma del tirante la enería de veloidad. Como está referida al fondo va a ambiar ada vez que éste asienda o desienda. Obsérvese que las definiiones anteriores no implian neesariamente ondiiones normales. Puede, por ejemplo, alularse la enería espeífia para una seión que forma parte de un
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha movimiento radualmente variado, siempre uando el flujo pueda onsiderarse omo paralelo aeptarse una distribuión hidrostátia de presiones, que son los supuestos fundamentales de la euaión 7-. La enería espeífia se interpreta ráfiamente así Línea de enería α Fondo (plano de referenia) Fiura 7. Interpretaión ráfia de la nería speífia stamos onsiderando que la pendiente del anal es ero (horizontal), o mu pequeña. n onseuenia, es indiferente que el tirante se mida vertial o normalmente al fondo. Hemos visto en el apítulo I que en muhos asos se justifia onsiderar que el oefiiente de Coriolis es iual a la unidad. ntones, + (7-) es la euaión de la enería para este aso partiular. sta euaión puede también expresarse en funión del asto Q el área A de la seión transversal, que es una funión del tirante ( Q A ). Q + A (7-4) n esta euaión se ve on laridad que ha tres variables involuradas: enería espeífia, asto tirante 4
Capítulo II nería espeífia momenta (, Q) ö (7-5) Para poder disutir analizar esta funión onsideraremos suesivamente la onstania de ada una de las dos variables del seundo miembro de la euaión 7-5. Así, si aeptamos que el asto es onstante ( ) φ (7-6) Pero si la enería es onstante, φ( Q) (7-7) 7. nería espeífia a asto onstante Disusión de la urva La euaión de la enería espeífia a asto onstante puede ser rafiada oloando en el eje de absisas los valores de la enería espeífia en el eje de ordenadas los del tirante, tal omo se ve en el Fiura 7.. mpezaremos por disutir las asíntotas de la euaión 7-4, Q + A que evidentemente son 0 ; 0 s deir, que las dos asíntotas están onstituidas por una reta a 45º ( ) por el eje de absisas. s laro que si la pendiente del anal no es ero entones diha asíntota no está a 45º. s deir, que si la pendiente del anal es lo sufiientemente rande omo para tenerse que tomar en uenta, entones no es lo mismo medir el tirante vertial o normalmente al fondo. xaminemos el mínimo de la euaión 7-4 que orresponde a d d 0 5
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha irante + RIO < F < d 0 < < d Q A < d 0 d Q CONSAN 45º CRISIS Q F A ORRN d > F > < 0 d Q > A min + + + nería speífia ORRN RIO e son tirantes alternos ( ) > (flujo superrítio) F > ( < ) < (flujo subrítio) F < ( > ) Si < min no ha flujo posible del asto Q Fiura 7. Gráfio de la nería speífia a asto onstante (Curva ) 6
Capítulo II nería espeífia momenta a partir de la euaión 7-4 se obtiene d d Q A da d (7-8) sta expresión es apliable a una seión transversal ualquiera, omo la que se ve en la fiura Para ada valor del tirante, que es variable, ha un valor del área A un d valor del anho superfiial. l área es A A ( ) ( ) d 0 Al difereniar esta expresión se llea a da d Lueo, da (7-9) d Siempre se umple que la derivada del área on respeto al tirante es iual al anho superfiial. videntemente que esta iualdad también es válida para un onduto abovedado. Obsérvese en el uadro lementos eométrios de diversas seiones (abla 6.) que para todas las seiones se umple la euaión 7-9. Reemplazando este valor en la euaión 7-8 se obtiene d d Q (7-0) A Si esta euaión se iuala a ero nos da el mínimo valor de la enería on que puede esurrir un asto Q en un anal dado que orresponde a las ondiiones rítias d d Q A 0 7
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha o bien, Q A Q ó A (7-) que es la ondiión eneral de flujo rítio en ualquier seión transversal. s interesante notar que la euaión 7-, de ondiión eneral de risis, puede haerse adimensional al dividir ambos miembros por 5 L. Q A 5 5 (7-a) L L siendo L una manitud lineal araterístia de la seión (anho, diámetro, et.). Hasta el momento hemos estableido que la euaión de la enería espeífia tiene dos asíntotas un mínimo. Por lo tanto tiene dos ramas tal omo se ve en la Fiura 7.. La rama superior orresponde al réimen denominado RIO. n él siempre se umple que Q A < La rama inferior orresponde al réimen denominado ORRN. n él siempre se umple que Q A > l réimen rítio, que separa los ríos de los torrentes, orresponde a (e. 7-) Q A La veloidad el tirante que orresponden a la enería mínima se denominan rítios. De esta última euaión se obtiene Q A A 8
Capítulo II nería espeífia momenta l tirante hidráulio se definió en el apítulo I omo, d A es deir, omo la relaión entre el área de la seión transversal el anho superfiial. Lueo, Q A d o bien, A d que es la veloidad que orresponde al mínimo ontenido de enería que se denomina veloidad rítia (en ualquier seión transversal). A (7-) d Desde el punto de vista de la onsistenia en la notaión quizá sería más onveniente que en las euaiones 7-, 7- otras se esriba en luar de A, A en luar de,, et. Por omodidad se omiten los subíndies, pero debe entenderse laramente que los valores de A, otros que orresponden al mínimo ontenido de enería son neesariamente rítios. Si no hubiéramos onsiderado que el oefiiente de Coriolis es iual a, entones la veloidad rítia sería α (7-) d De la euaión 7-, para α, se obtiene que d (7-4) Sinifia esta euaión que en un réimen rítio la enería de veloidad es iual a la mitad del tirante hidráulio (para ualquier seión). s laro que las expresiones 7-, 7-7-4 son absolutamente equivalentes. 9
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha Se observa en la Fiura 7. que para un valor dado de la enería espeífia, superior a la mínima, pueden presentarse dos tirantes diferentes. l maor de ellos orresponde a un réimen de río. Se arateriza porque la veloidad siempre es menor que la rítia. Por eso se llama réimen subrítio. l menor de ellos orresponde a un réimen de torrente. Se arateriza porque la veloidad siempre es maor que la rítia. Por eso se llama réimen superrítio. De auerdo a las definiiones anteriores se omprende de inmediato que min + (7-5) Más adelante veremos que la proporión en la que se distribue la enería mínima entre tirante enería de veloidad depende de la forma de la seión transversal. Los tirantes e, uno de torrente otro de río, que orresponden a la misma enería espeífia se denominan alternos. Introduión del Número de Froude eamos omo el número de Froude es útil para distinuir los tres reímenes anteriormente presentados. l número de Froude es un indiador del tipo de flujo desribe la importania relativa de las fuerzas ravitaionales e ineriales. Su definiión eneral es F d A (7-6) Si la veloidad de la orriente es iual a la rítia, entones d F (7-7) d Lleándose así a la importante onlusión que en un réimen rítio el número de Froude es iual a. 0
Capítulo II nería espeífia momenta n un río la veloidad de la orriente es menor que la rítia, por lo tanto, el número de Froude es menor que. n un torrente la veloidad de la orriente es maor que la rítia, por lo tanto, el número de Froude es maor que. xaminemos nuevamente la euaión 7-0 d d Q A Al introduir Q A se obtiene d d A (7-8) Pero, (e. 7-6) F A De donde, d d F (7-9) Si el número de Froude es iual a (ondiiones rítias) entones, d d 0 (7-0) Condiión que es preisamente la de enería mínima. Si el número de Froude es menor que (réimen subrítio) entones, d 0 < < d (7-)
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha Propaaión de una onda superfiial xaminemos otra interpretaión de los reímenes de orriente antes desritos Si en la superfiie libre de un anal se produe una onda superfiial ésta adquiere una eleridad, es deir, una veloidad on respeto a la orriente que aproximadamente es iual a (7-) Siendo la profundidad de la orriente. - + Resulta evidente que la ondiión para que un onda pueda remontar la orriente es que su eleridad sea maor que la veloidad de la orriente. n un torrente siempre se umple que la veloidad media de la orriente es maor que (seión retanular). De aá que los torrentes se araterizan porque una onda superfiial no puede remontar la orriente. n ambio, en los ríos si es posible que un onda superfiial remonte la orriente. n el réimen rítio la veloidad de la orriente es iual a la eleridad de la onda ésta permanee estaionaria, ( ). Ríos torrentes Los ríos se araterizan por tener pequeña veloidad ran tirante (réimen subrítio). n ambio, en los torrentes la veloidad es rande el tirante pequeño (réimen superrítio): la maor parte de la enería espeífia orresponde a enería de veloidad. La onlusión que obtenemos es que la relaión desribe el réimen de la orriente. La relaión es fija para el réimen rítio, pero depende de la forma de la seión. n los torrentes la variaión del tirante la enería espeífia es de sino ontrario: si aumenta el tirante disminue la enería espeífia. sto se ve laramente en la Fiura 7. en la Fiura 7.a.
Capítulo II nería espeífia momenta n ambio en los ríos la variaión es del mismo sino. sta es una propiedad importante de ríos torrentes que será mu útil para la disusión de los perfiles de la superfiie libre uando se presente, por ejemplo, pequeñas radas de fondo que implian un ambio en la enería espeífia. Propiedades de la urva de la nería speífia (Fiura 7.) Aunque las araterístias de la euaión de la nería speífia, a asto onstante, han sido analizadas disutidas en las páinas anteriores, se presenta a ontinuaión, en forma de resumen, sus prinipales araterístias. i) La urva (enería espeífia tirante, a asto onstante) tiene dos ramas: una superior que orresponde al réimen de río otra inferior que orresponde a los torrentes. ii) n un torrente, d es neativo, en un río es positivo, (menor que ). d iii) La urva tiene dos asíntotas que son ; 0. iv) La urva tiene un mínimo que orresponde al mínimo ontenido de enería, d d 0. Se define por las euaiones 7-, 7-, ó 7-4. l tirante la veloidad que orresponden al mínimo ontenido de enería se denominan rítios. v) Para ualquier ontenido de enería superior a la mínima existen dos puntos sobre la urva: uno orresponde a un río el otro a un torrente. Los tirantes respetivos, que se araterizan por tener la misma enería espeífia, se denominan alternos. vi) Para la enería espeífia mínima sólo ha un flujo posible: el rítio. vii) n la zona superior de la urva la veloidad siempre es menor que la rítia (flujo subrítio). n la rama inferior la veloidad de la orriente es siempre superior que la rítia (flujo superrítio). viii) n un río el número de Froude es menor que. n un torrente, maor que. n la risis es. ix) Una onda superfiial puede remontar la orriente en un río, pero no en un torrente.
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha x) n un río un aumento del tirante implia un aumento de la enería espeífia > 0. n ambio, en un torrente un aumento del tirante implia una disminuión de la enería d d espeífia < 0. d d n un río las variaiones de e son del mismo sino del mismo orden de manitud. RIO n un torrente las variaiones de 45º ORRN e son de diferente sino de diferente orden de manitud. Fiura 7.a ariaión de la enería espeífia el tirante jemplo 7. Probar que la seión de un anal en la ual el flujo es rítio puede ser expresada en la forma siuiente x Q Donde x es la mitad del anho superfiial e es la distania de la superfiie del aua a la línea de enería. Soluión. Sea el anho superfiial la veloidad media de la orriente. ntones, x Como el problema establee que el flujo es rítio debe umplirse la euaión fundamental 7- Q A 4
Capítulo II nería espeífia momenta Siendo en este aso, x Q A Q Reemplazando los valores de A de en el seundo miembro de la euaión 7- se verifia la expresión propuesta. Podría haberse usado omo ondiión de risis la euaión 7-. 7. Seión retanular Condiiones rítias n ualquier seión transversal en la que el flujo es rítio debe umplirse la euaión 7- ó la 7-, a que son equivalentes. Partamos de esta última euaión A expresión en la que anho superfiial. es la veloidad rítia, A el área de la seión transversal, el al omo lo señalamos antes, siendo el flujo rítio se sobreentiende que A es. A es n una seión retanular la relaión A (tirante hidráulio) es iual al tirante. Lueo, (7-) que es la euaión de la veloidad rítia en una seión retanular. De esta euaión se obtiene de inmediato (7-4) sta última euaión sinifia que en un réimen rítio en seión retanular la enería de veloidad es iual a la mitad del tirante rítio. 5
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha La enería que orresponde a las ondiiones rítias es + ste valor de la enería es el mínimo en la urva Combinando las dos últimas euaiones se obtiene, tal omo se ve en la Fiura 7.. (7-5) (7-6) sta es, pues, la proporión en la que se distribue la enería, en ondiiones rítias, en un anal retanular. Al respeto puede leerse nuevamente el omentario heho después de presentar la euaión 7-5. Fiura 7. Distribuión de la nería speífia en un anal retanular Se puede obtener fáilmente una expresión para el tirante rítio en funión del asto reordando que 6
Capítulo II nería espeífia momenta Q A q o o o q 0,467q (7-7) q es el asto espeífio, es deir, el asto por unidad de anho. La última expresión orresponde al sistema métrio. n eneral, la enería espeífia de un anal retanular es + Si dividimos ambos miembros por el tirante, se llea a + Introduiendo el número de Froude F se obtiene F + (7-8) Si esta expresión se ombina on la euaión 7-9, se obtiene, d d (7-9) Nótese que si en la euaión 7-8 haemos F esto sinifia ondiiones rítias, se obtiene, tal omo se demostró anteriormente. Lo mismo se podrá haer en la euaión 7-9. Las ondiiones rítias están dadas por 7
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha d d 0, obteniéndose también. xpresión adimensional de la enería espeífia (Fiura 7.4) La expresión que nos da la enería espeífia en un anal retanular uo asto espeífio es q, se obtiene de inmediato a partir de 7-4 q + (7-0) Dividiendo ambos miembros por el tirante rítio se obtiene q + Pero, en una seión retanular q ó lo que es lo mismo, q (7-) Reemplazando se obtiene + (7-) que es la expresión adimensional de la enería espeífia en un anal retanular. La euaión 7- puede también tomar la forma siuiente min + (7-a) 8
Capítulo II nería espeífia momenta + RIO CRISIS ORRN 45º 0,5 Fiura 7.4 Diarama adimensional de la nería speífia en anal retanular 9
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha ariaión del asto on el tirante a enería espeífia onstante l análisis heho hasta ahora ha sido onsiderando asto onstante enería espeífia variable en funión del tirante. amos a examinar ahora la posibilidad menionada en la euaión 7-7 φ( Q), para enería onstante La euaión de la enería espeífia en un anal retanular es q + De aá podemos despejar el asto espeífio q q ( ) (7-) Siendo la enería espeífia onstante se tendrá que para ada valor del tirante ha un valor orrespondiente del asto. Por lo tanto habrá un valor del tirante que produza el asto máximo dq d 0 dq d ( ) ( ) 0 De donde, Se obtiene así que el asto es máximo uando el tirante es los / de la enería espeífia. sta es preisamente la euaión 7-5 obtenida al examinar las ondiiones rítias en un anal retanular. Lueo, pues, el asto es máximo uando las ondiiones son rítias. l asto máximo en un anal es el que orresponde a las ondiiones rítias Q A b b 40
Capítulo II nería espeífia momenta Pero, en un anal retanular Lueo,omo Q q se obtiene b q (7-4) n el sistema métrio q,704 (7-5) ste es el asto máximo que puede transportar un anal on un ontenido de enería espeífia dado. La representaión ráfia de la euaión 7- aparee en la Fiura 7.5. jemplo 7. n un anal retanular de 4 m de anho se ha determinado que las ondas superfiiales remontan la orriente on una veloidad de, m/s son arrastradas por la orriente on una veloidad de,0 m/s. Hallar el asto en el anal. Soluión. Sea la veloidad de la orriente en el anal la eleridad de las ondas superfiiales. ntones, -, + De donde,,6 m/s 0,4 m/s A partir de la euaión 7- obtenemos que 0,69 m l asto es Q A,76 x 0,4,0 m /s Como las ondas pueden remontar la orriente esto sinifia que el número de Froude es menor que que la veloidad media de la orriente es menor que la rítia, omo puede fáilmente omprobarse. (F 0,5). Si la onda se produe en la direión de la orriente su veloidad sería de,6 + 0,4,0 m/s, pero si la onda se produe ontra la orriente su veloidad sería,6-0,4, m/s. 4
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha q ( - ) R R q RIO q,704 q max F R < dq 0 d CRISIS F (seión retanular) q F > ORRN q < q max q q,704 max (seión retanular) R F R 8 ( + + ) 4 F R R F 8 ( + + ) 4 F Los subíndies R se refieren a río torrente Fiura 7.5 Curva de desara para nería speífia onstante 4
Capítulo II nería espeífia momenta jemplo 7. n un anal retanular el asto espeífio es de m /s/m. Presentar una tabla que muestre la variaión de la enería espeífia de otros parámetros desriptivos de la orriente en funión del tirante, para valores omprendidos entre,50 m 0,0 m. Soluión. Asinaremos suesivamente valores al tirante. Para ada uno de ellos se puede alular el área, la veloidad media, la enería de veloidad la enería espeífia. Conviene alular en primer luar el tirante rítio. Por ser una seión retanular usamos la euaión 7-7 q 0,467 m (0,47 aprox.) n la tabla se ha onsiderado uatro tirantes maores que el rítio uatro menores. (er Fiura 7.6 abla 7.). La veloidad rítia puede alularse omo asto entre área, o usando la euaión 7-,4 m/s La enería mínima es 0,7009 m. sta es la mínima enería on la que puede estableerse un réimen de m /s/m en un anal retanular. 0,467 + (,4) 0,7009 (mínima) Para ualquier valor de la enería superior a 0,7009 m puede estableerse dos tipos de esurrimiento (ríos torrentes). Los ríos tienen tirantes maores que el rítio veloidades menores que la rítia (réimen subrítio). Los torrentes tienen tirantes menores que el rítio veloidades maores que la rítia (réimen superrítio). Los tirantes que orresponden al mismo ontenido de enería espeífia se denominan alternos. Así por ejemplo, on una enería de,48 m puede haber dos esurrimientos a) Un río, on un tirante de,46 m una veloidad de 0,685 m/s (omo esta veloidad es menor que la rítia el réimen es subrítio). d l número de Froude es menor que los valores de son positivos, pero menores que. d 4
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha (m),00 irantes alternos,50 (,46) 0,7 (Número de Froude) 0,8,00 0, RIO q m /s/m m 0,69 0,50 0,467 0,6,00,6,94 CRISIS (0,0) 45º,57 ORRN 0 0,50,00,50,00,50 0,7009 (m),48 Fiura 7.6 Gráfio para el ejemplo 7. b) Un torrente, on un tirante de 0,0 m una veloidad de 5 m/s (omo esta veloidad es maor que la rítia el réimen se denomina superrítio). l número de Froude es maor que los valores de d son neativos. d Como los tirantes,46 m 0,0 m orresponden a la misma enería espeífia (,48 m) se die que son tirantes alternos. Obsérvese que satisfaen la expresión propuesta en el ejemplo 7.4. n los ríos al disminuir el tirante disminue la enería espeífia. n ambio en los torrentes al disminuir el tirante aumenta la enería espeífia. Así por ejemplo, al pasar de un tirante 0,0 m a otro 0,0 la enería espeífia aumenta de 0,87 m a,48 m. n ambio en un río al disminuir el tirante de,46 m a,00 m la enería espeífia disminue de,48 a,05 m. 44
Capítulo II nería espeífia momenta ABLA 7. JMPLO 7. ( m /s/m) 45
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha Para ilustrar la diferenia entre ríos torrentes se ha alulado para ada tirante, la eleridad de una pequeña onda superfiial. n la abla 7. se muestra para el rano de valores soliitado, la variaión de la enería espeífia de otros parámetros desriptivos de la orriente en funión del tirante. jemplo 7.4 Demostrar que en un anal retanular se umple entre los tirantes alternos e el tirante rítio la siuiente relaión + Soluión. Por ser e tirantes alternos orresponden a flujos que tienen la misma enería espeífia + + Introduiendo el asto espeífio q (asto por unidad de anho) se obtiene Pero en un anal retanular q + + q q Lueo, + + fetuando las operaiones indiadas se llea fáilmente a + n el ejemplo 7. ha tirantes alternos, 0,0 m,46 m (pues ambos orresponden a la misma enería espeífia). A modo de omprobaión ( 0,0 ) (,46 ),66 que es prátiamente iual al ubo del tirante rítio. 0,07 46
Capítulo II nería espeífia momenta 7.4 Seión parabólia A n ualquier seión transversal en ondiiones rítias debe umplirse la euaión 7- (o la 7- que es su equivalente) A Por propiedades eométrias de la parábola se sabe que el área transversal es iual a los / del área del retánulo irunsrito A reemplazando esta euaión del área en la expresión eneral de la veloidad rítia (7-) se obtiene o bien, (7-6) que es la euaión de la veloidad rítia en un anal parabólio. De aá se obtiene (7-7) 47
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha sta euaión puede ompararse on la euaión 7-4. Combinando la euaión 7-7 on la definiión de enería espeífia en ondiiones rítias se obtiene 4 (7-8) 4 (7-9) 4 4 Fiura 7.7 Distribuión de la nería speífia en un anal parabólio n la Fiura 7.7 se ve la distribuión de la enería espeífia en un anal parabólio, en ondiiones rítias. l asto máximo que puede esurrir on una enería dada es el que orresponde a las ondiiones rítias. Su expresión para un anal parabólio es Q A Q (7-40) Si denominamos asto espeífio q al asto por unidad de anho superfiial se tiene Q q 48
Capítulo II nería espeífia momenta De donde, en el sistema métrio q (7-4) 0,70q (7-4) l asto máximo on enería espeífia onstante es el que orresponde a las ondiiones rítias q, 067 q,709 4 (7-4) jemplo 7.5 Demostrar que el tirante rítio en una seión parabólia es 4 7 64 p 4 Q 4 (7-44) Considerar que la euaión de la parábola es x p Soluión. (, ) La expresión eneral para las ondiiones rítias viene dada por la euaión 7- Q A Por ser una parábola el área es x p A Por ondiión de parábola x p ( ) 8 x 49
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha De donde, 8p A 8 p Reemplazando en la euaión eneral de risis se obtiene (e. 7-44) 4 7 64 p 4 Q 4 que es la expresión propuesta. 7.5 Seión trianular. z A n ualquier seión transversal en ondiiones rítias debe umplirse la euaión 7- (o la 7- que es su equivalente). A n el triánulo el área es A Reemplazando esta euaión del área en la expresión eneral de la veloidad rítia (7-) se obtiene 50
Capítulo II nería espeífia momenta (7-45) o bien, que es la euaión de la veloidad rítia en un anal trianular. De aá se obtiene (7-46) 4 euaión que puede ompararse on la 7-4 la 7-7. Combinando la euaión 7-46 on la definiión de enería espeífia en ondiiones rítias se obtiene 4 5 (7-47) 5 (7-48) euaiones que muestran la proporión en la que se distribue la enería espeífia en ondiiones rítias en un anal trianular tal omo se ve en la Fiura 7.8. 5 4 5 Fiura 7.8 Distribuión de la nería speífia en un anal trianular 5
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha l asto en ondiiones rítias es el asto máximo. Q A Q (7-49) Si denominamos asto espeífio q al asto por unidad de anho superfiial q Q de donde, en el sistema métrio q q 0,790 (7-50) o bien, 0,946q (7-5) Se demuestra fáilmente que en un anal trianular en ondiiones rítias el tirante es 0, Q z 0,4 (7-5) siendo z el talud. Como ilustraión podríamos señalar que en un anal trianular de 90º ( z ) el tirante rítio en el sistema métrio es 0,777Q 0,4 eamos, sólo a título ilustrativo, otro método para obtener las ondiiones rítias en un anal trianular. La enería espeífia es De donde, + 5
Capítulo II nería espeífia momenta ( ) Desinemos por z el talud de la seión trianular. Su área es A z Lueo, Q A z ( ) Para las ondiiones rítias el asto es máximo. Lueo De aá se obtiene inmediatamente dq d 4 5 0 verifiando así la euaión obtenida anteriormente omprobando una vez más que las ondiiones rítias implian enería mínima para asto onstante asto máximo para enería onstante. Nota. n alunas de las euaiones en las que aparee la aeleraión de la ravedad se ha reemplazado ésta por su valor 9,8 m/s, restriniendo así su uso al sistema métrio. Sin embaro, omo las fórmulas enérias están dadas, es posible utilizarlas en ualquier sistema de unidades. Debe, sin embaro, observarse en que asos se ha reemplazado previamente el itado valor de la ravedad. 7.6 Seión trapeial z A b 5
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha n ualquier seión transversal en réimen rítio debe umplirse que (e. 7-) A n una seión trapeial se tiene, por onsideraiones eométrias, las siuientes expresiones A ( b + z) b + z que al reemplazarse en la euaión de la veloidad rítia dan ( b+ z ) (7-5) b + z o bien, b + z b + z Como el primer radial siempre es menor que se tiene que en un anal trapeial la veloidad rítia es menor que la que tendría un anal retanular del mismo tirante. sta es la expresión eneral de la veloidad rítia en un anal trapeial. Obsérvese que si b 0 se obtiene la veloidad rítia en una seión trianular si z 0 se obtiene la veloidad rítia en una seión retanular. Si hubiéramos partido de la euaión 7- Q A se tendría que las ondiiones rítias en un anal trapeial están dadas por ( b + z ) b + z Q (7-54) Las euaiones 7-5 7-54 son equivalentes. Para resolver ualquiera de ellas se debe 54
Capítulo II nería espeífia momenta reurrir a tanteos. Si el anho en la base b el talud z son datos, entones se debe suponer valores para el tirante hasta enontrar uno que satisfaa la euaión 7-5 (ó la 7-54). Se puede también obtener otra expresión para las ondiiones rítias si expresamos el área del trapeio de la siuiente manera b + A valor que reemplazado en la euaión 7- da b + (7-55) De donde, b + 5 + b 4 5 + b (7-56) (7-57) Obsérvese que siempre se umple 4 4 < < 5 + b 5 : (Retánulo) (rapeio) (riánulo) b + 5 + b 4 5 + b sta fiura muestra la proporión en la que se distribue la enería en un anal trapeial en ondiiones rítias. (Se observa que es funión del talud). 55
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha eamos a título ilustrativo una expresión para el tirante rítio en un anal trapeial obtenida a partir de la onsideraión de que en ondiiones rítias el asto es máximo. La enería espeífia es + La veloidad es l asto es ( ) ( b + z ) ( ) Q (7-58) La ondiión rítia orresponde a asto máximo (siendo onstante la enería) dq d 0 Lueo de derivar la euaión 7-58 e iualar a ero operar se obtiene ( b 4z) 0 5z + b (7-59) que es una expresión eneral para las ondiiones rítias en un anal trapeial. Si en esta expresión haemos b 0 se obtiene las ondiiones rítias para un anal trianular si haemos z 0 se obtienen las ondiiones rítias para un anal retanular.. Si z no es ero se puede resolver la euaión 7-59 lleando a 4z b + 6z + 6zb+ 9b 0 z (7-60) Abao de en e Chow en e Chow en su libro Open-hannel Hdraulis presenta un ráfio (Fiura 7.9) que permite el álulo rápido del tirante rítio. La preisión es la que orresponde a un método ráfio. Si se desea un álulo más preiso puede usarse para obtener un valor aproximado lueo proseuir on la euaión 7-5 ó 7-54. Para el álulo, en e Chow introdue una variable auxiliar Z que es 56
Capítulo II nería espeífia momenta Q Z (7-6) Se entra al ráfio on el valor de z, (Fiura 7.9). Z,5 b se obtiene el valor de para ada valor del talud b Z,5 b b z b jemplo 7.6 Hallar el tirante rítio para un audal de 0 m /s en un anal trapeial uo anho en la base es de 0,50 m. l talud es. Soluión. Si partimos de la expresión eneral A Q se tiene, lueo de reemplazar el asto, que A 0, Lueo, ( b + z ) ( 0,5+ ) A 0,5+ 6 ( 0,5 + ) 0,( 0,5 + 6 ) Para resolver esta euaión proedemos por tanteos (o ualquier otro método numério) obteniéndo el valor del tirante rítio,098,0 m. Lueo se puede alular, a modo de omprobaión análisis, otros valores: 57
58 A 4,8 m 0,00 0,0 0, z b Z,5 b (Seiones trapeiales) irular 0 z 0,5 z 0 (retanular) z,0 z,5 z,0 z,5 z,0 z 4,0 00 0 8 6 4,0 0,8 0,6 0,4 0, b ó Hidráulia de tuberías anales 0, D D 0, 0,08 0,06 0,04 0,0 0,0 0,000 4 567 9 4 5 6 7 9 4 5 6 7 9 4 5 6 7 9 0,00 0,0 0, 4 5 6 7 0,0 9 0 Z,5 D (Seiones irulares) Fiura 7.9 Cálulo del tirante rítio (en e Chow) Arturo Roha
Capítulo II nería espeífia momenta A 4,8 m,9 m/s, 0,9 m +,9 m Obsérvese que también se umple que d Se apreia que A d 0,59 m 9,8 0, 59,40 m/s 0, 79 valor intermedio entre el retánulo (/) el triánulo (0,8) asi iual a este último, pues la fiura es asi trianular. ambién hubiéramos podido haer el álulo a partir del ráfio de en e Chow. ntones, Q Z,9 Z 8,5 b De donde, (Fiura 7.9), b,,0 m A modo de omprobaión se puede verifiar que los valores obtenidos satisfaen las euaiones 7-47, 7-48 7-60. Línea de enería 0,9 m %,0 m 79 %,9 m 0,50 m 59
60 ABLA 7. SCCIONS CRIICAS ( (Sistema métrio) + ) RCANGULO PARABOLA RIANGULO RAPCIO 4 4 5 4 5 + b Hidráulia de tuberías anales IRAN CRIICO 0,467q,70 0 q 0,95q 0,467 q b + 4 5 Q 0,456 Q p 0,78 z 4z b + 6z 0z + 6zb + 9b NRGIA D LOCIDAD 4 5 + b 5 + b LOCIDAD CRIICA + b 0,86 0,707 GASO MAXIMO q max,704,07 0,79 b + 8,854 5 b + q Q x p z b z Arturo Roha
Capítulo II nería espeífia momenta 7.7 Seión irular otras seiones D Como en ualquier seión transversal las ondiiones rítias vienen dadas por la e. 7- ó 7-. Consideremos la primera de ellas Q A θ n una seión irular el área es (e. 6-7) A r ( θ senθ) eniendo en uenta las euaiones 6-4 7-9 se obtiene ( osθ) da r (7-6) d θ sen sta última expresión es equivalente a la que aparee en la abla 6.. Reemplazando en la euaión 7- se obtiene Q 6 r 8 ( θ senθ) r( osθ) 5 θ r sen 8 ( θ senθ) θ sen ( osθ) Haiendo r D Q D 5 8 ( θ senθ) ( osθ) θ sen (7-6) sta euaión puede ompararse on la e. 7-a eniendo en uenta onsideraiones trionométrias se puede sustituir 6
Hidráulia de tuberías anales Lueo, osθ θ sen θ sen Arturo Roha (7-64) Q 4 5 ( senθ) θ (7-65) θ sen D n el sistema métrio 5 ( θ senθ) Q 0,8 D θ sen (7-66) sta última expresión, en el sistema métrio, es la que da las ondiiones rítias en una tubería irular parialmente llena, la que hidráuliamente es un anal. Dada una tubería de diámetro D se puede alular para ada valor del asto el orrespondiente ánulo θ que da ondiiones rítias. l tirante rítio es D θ os (7-67) La euaión 7-65 expresa que para las ondiiones rítias existe una funión Q D 5 φ( θ) (7-68) l ráfio de la Fiura 7.0 permite resolver rápidamente la euaión 7-65. ste ráfio da también las ondiiones rítias para otros ondutos abovedados. ambién puede emplearse el ráfio de en e Chow (Fiura 7.9). 6
Capítulo II nería espeífia momenta D,50,5,00 4 D/ D D D/ D Q 0,75 0,50 0,5 D D/ 4 5 6 4 0,0 4 0,0 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0 4 5 6 5/ Fiura 7.0 Gráfio para el álulo de seiones rítias D jemplo 7.7 n un onduto irular el asto es de m /s, el diámetro es m. Calular 6
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha a) tirante rítio b) veloidad rítia ) enería mínima d) ánulo en el entro Soluión. amos a usar la Fiura 7.0 Q D 5 o o o 0,8 m A partir de la euaión 7-67 enontramos el ánulo en el entro orrespondiente D θ os 0,8 θ os 0,5 θ 56º 8 l área es θ 4,479 rad r A θ 0,5 ( θ sen ) ( 4,479 + 0,979 ) A 0,685 m Podría haberse obtenido el mismo resultado a partir de la abla 6.7 La veloidad rítia es A 0,8, 0,685 o o o A 0,685 m D D Q,9 m/s o o o A 0,685 0,44 m La enería mínima es 0,8 + 0,44,5 m Ha también la posibilidad de usar el ráfio de en e Chow Q Z 0,64 ; Z 5 0,64 o o o 0,80 m D Podría también resolverse este problema sin ninuno de los dos ráfios menionados. Siempre es apliable el método de tanteos (o ualquier otro método numério) en seiones para las que no exista ráfios espeialmente preparados. 7.8 Flujo rítio normal. Pendiente rítia 64
Capítulo II nería espeífia momenta Mientras la veloidad de la orriente sea baja lo más probable es que estemos lejos de las ondiiones rítias. Pero, uando la pendiente es rande o uando haa revestimientos mu lisos se puede onseuir veloidades altas aerarse o iualar las ondiiones rítias. n prinipio no ha inonveniente, desde el punto de vista puramente hidráulio, en tener un réimen superrítio. Las difiultades se oriinan en la neesidad de mantener el revestimiento, por ejemplo, dar serviio a lo laro del anal. Lo que si debe evitarse es el réimen rítio. n ondiiones rítias el tirante normal es iual al tirante rítio. La pendiente orrespondiente se llama pendiente rítia. Cuando la pendiente es rítia la superfiie libre es ondulada e inestable. Pequeñas variaiones de la enería espeífia dan luar a perturbaiones e inestabilidades en el esurrimiento. Se produe oleaje pequeños saltos imperfetos. stas osilaiones de la superfiie libre no son reomendables, pues oblian a un borde libre maor. ste problema ha sido estudiado, entre otros, por José Gandolfo, quien reomienda que una ondiión de diseño sea +,05 A + (7-69) Cambiando la notaión se podría esribir,05 d + (7-70) La pendiente rítia se alula iualando la veloidad rítia (e. 7-) on una euaión de la veloidad normal. (Mannin, Chez, et). A R S n Iualando ambas expresiones se obtiene 65
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha R S n A de donde, A n S (7-7) 4 R que es la euaión de la pendiente rítia, si se usa la fórmula de Mannin. Si hubiéramos empleado, por ejemplo, la euaión de Chez, entones la pendiente rítia sería C S P (7-7) n un anal mu anho se puede onsiderar sin maor error que el perímetro es iual al anho superfiial, P. entones la e. 7-7 queda reduida a S C pero, 8 f C, de donde, C 8, siendo f el oefiiente de friión de Dar. Lueo, f f S (7-7) 8 jemplo 7.8 n un anal retanular de,80 m de anho flue un asto de 5 m /s. La ruosidad es de 0,08 (Kutter). Cuál debe ser la pendiente para que se estableza un flujo rítio normal? Soluión. Como las ondiiones deben ser rítias la veloidad es (e. 7-9) Como el flujo debe ser normal, su veloidad se puede alular por la fórmula de Mannin, la que debe ser iual a la rítia para umplir la ondiión del problema de tener a la vez un tirante que sea rítio sea normal. 66
Capítulo II nería espeífia momenta R S n De donde, l tirante rítio es seún la e. 7-7 q 0,9 m l radio hidráulio orrespondiente es 0,46 m. Reemplazando valores se obtiene 0,9 ( 0,08 ) 4 ( 0,46) n 9,8 S 4 0,008 R S 0,008 sta pendiente se denomina pendiente rítia. s la que separa los ríos de los torrentes. Lo que sinifia que en este anal se establee, on una pendiente de 0,008, un movimiento uniforme, uo tirante es iual al tirante rítio. Si este anal tuviera una pendiente maor que 0,008 se estableería un flujo torrenial (superrítio). jemplo 7.9 n un anal de onreto frotahado el asto es de,86 m /s. La seión transversal es la mostrada en la fiura. Calular: a) el tirante rítio la enería espeífia orrespondiente, b) la pendiente para que se estableza un flujo rítio normal. A 45º Soluión. A Q a) La ondiión eneral de risis es, 504 De donde, A A 6 8 8 5 67
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha 5,504 o o o 8,648,65 m A Q,86,58,84 m/s 0,4 0,4 m,65 + 0,4,06 m Podría emplearse la euaión 7-5, siendo, 0, Q z 0,4 0,,86 0,5 0,4,648,65 m z z + z 0 + 0,5 b) S es S uando la veloidad orrespondiente es la rítia R n S P +,985 m A,6 R 0,47 m P,985,84 S 0,05 ( 0,47 ) Obteniéndose finalmente, S 0,0076 68
Capítulo II nería espeífia momenta 7.9 Pendiente rítia mínima (Pendiente límite, S ) L n un anal de eometría dada se puede estableer para ada asto la pendiente rítia orrespondiente. De todas las pendientes rítias posibles ha, para determinada seión, una que es la mínima. Se le llama pendiente límite ( S ). Si bien es ierto que el onepto de pendiente rítia mínima no paree tener maor interés prátio se presenta aá para favoreer el eslareimiento teório. xaminemos en primer luar un anal retanular. n eneral la pendiente rítia es (e. 7-7) L Para un anal retanular es A S n R 4 S n b 4 ( b+ ) 4 (7-74) ds d La pendiente rítia mínima se obtiene a partir de 0 Al derivar la euaión 7-74 on respeto a, iualar a ero resolver se obtiene de donde, b 6 (7-75) P 8 (7-76) R b 8 4 (7-77) que son las euaiones para el álulo de la seión transversal orrespondiente a la pendiente límite S L. Introduiendo la euaión 7-75 en la 7-74 se llea a S L 8 n b (7-78) 69
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha Si hubiéramos usado la euaión de Chez, entones 4 S L C si ahora introduimos el oefiiente de Dar (e. -), l asto que orresponde a la pendiente límite es 8 f se llea a C (7-79) f S L (7-80) 6 5 6 Q (7-8) xaminemos ahora una seión trapeial. La expresión eneral de la pendiente rítia es (e. 7-7) 4 P S n A La pendiente límite se obtiene a partir de 0, teniendo en uenta que ds d P b+ + z ( b z ) A + b + z Reemplazando, derivando e iualando a ero, se obtiene después de alunas simplifiaiones A 4 P dp d d d (7-8) que es la expresión eneral del área en un anal trapeial on pendiente rítia mínima. Si en esta última expresión se hae z 0 se obtiene retanular. A que es lo orreto para un anal 6 70
Capítulo II nería espeífia momenta jemplo 7.0 Para un anal retanular de,4 m de anho, uo oefiiente de ruosidad de Kutter es 0,04, alular la pendiente límite así omo las araterístias del esurrimiento para estas ondiiones. Soluión. La pendiente límite S L, es deir la menor pendiente rítia posible es (e. 7-78) n S L,67 0,008 b Lueo, q b 0,40 m 6 o o o q 0,79 m /s/m (e. 7-8) Q,9 m /s,98 m/s Como verifiaión alulamos la veloidad media (ondiiones normales) R S,98 m/s n 6 R C 58,4 m / /s n 8 f 0,09 C 0,09 S L 0,008 6 7.0 ransiiones Como una apliaión del onepto de enería espeífia vamos a estudiar el perfil de la superfiie libre en un anal en el que ha un ambio en la seión transversal. ste ambio puede oriinarse en una pequeña rada de fondo, positiva o neativa, seún que el fondo asienda o desienda. Las transiiones se oriinan también por un ambio en el anho del anal se llaman ontraiones si el anho disminue expansiones si aumenta. Para el estudio del perfil de la superfiie libre en una transiión suponemos que la pérdida de ara es 7
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha despreiable. n onseuenia, ualquiera que sea la transiión se tendrá que entre dos seiones la euaión de la enería es + + + a (7-8) siendo a la altura de una rada (positiva o neativa). Si no existiera una rada de fondo, entones a 0. La rada positiva sinifia una disminuión de la enería espeífia la rada neativa un aumento. n ambas seiones debe umplirse la euaión de ontinuidad. A A Q Si el anho es onstante el ambio de la superfiie libre se oriina en una rada se observa en las Fiuras 7., 7., 7. 7.4 los perfiles, esquemátios, de la superfiie libre en varios asos. La onlusión eneral es que, a asto onstante, una disminuión de la enería espeífia sinifia una disminuión del tirante en los ríos un aumento del tirante en los torrentes. Por el ontrario, un aumento de la enería espeífia sinifia un aumento del tirante en los ríos una disminuión en los torrentes. l valor máximo que puede tener una rada positiva, sin alterar la línea de enería, es el que orresponde a un flujo rítio sobre ella. (Fiura 7.5) Curva para diferentes audales Obsérvese en la Fiura 7.6 omo es que para diferentes valores del asto se obtiene una familia de urvas. s evidente que para un anal retanular la reta que une el orien on los vérties de las urvas tiene una pendiente iual a / (ada vértie orresponde a la ondiión rítia del respetivo audal). 7
Capítulo II nería espeífia momenta Línea de enería q a 45º a Río (subrítio, < ) > (nería espeífia antes de la rada) + n un río una disminuión de la uaión de la enería (-) Lueo, Del ráfio de la enería espeífia + a < < enería espeífia, a asto onstante, implia una disminuión del tirante. Fiura 7. Grada positiva en un río Línea de enería q a 45º a Río (subrítio, < ) > (nería espeífia antes de la rada) + n un río un aumento de la uaión de la enería (-) Lueo, - a > enería espeífia, a asto onstante, implia un aumento del tirante. + Del ráfio de la enería espeífia > Fiura 7. Grada neativa en un río 7
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha Línea de enería q a 45º a orrente (superrítio, > ) < (nería espeífia antes de la rada) + n un torrente una disminuión de la uaión de la enería (-) Lueo, Del ráfio de la enería espeífia + a < > enería espeífia, a asto onstante, implia un aumento del tirante. Fiura 7. Grada positiva en un torrente Línea de enería q a 45º a orrente (superrítio, > ) < (nería espeífia antes de la rada) + n un torrente un aumento de la uaión de la enería (-) Lueo, - a > enería espeífia, a asto onstante, implia una disminuión del tirante. Del ráfio de la enería espeífia < Fiura 7.4 Grada neativa en un torrente 74
Capítulo II nería espeífia momenta Línea de enería RIO ORRN min a max q 45º min a max RIO ORRN Si a es máximo, la enería espeífia + a C min max sobre la rada debe ser mínima + min l máximo valor de la rada, sin alterar las ondiiones auas arriba, orresponde a ondiiones rítias (enería mínima). Fiura 7.5 alor máximo de la rada positiva q < q < q () min () min pendiente / (anal retanular) () min 45º q q q + Fiura 7.6 Curva nería speífia - irante para diferentes audales 75
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha jemplo 7. n un anal retanular el anho se redue de 4 a m el fondo se levanta 0,5 m (rada positiva). Auas arriba la profundidad de la orriente es,80 m. n la zona ontraída la superfiie libre desiende 0,0 m. Calular el audal, dibujar el perfil de la superfiie libre el ráfio de la enería espeífia. Calular también ual es el máximo valor que podría tener la rada para que irule el mismo asto sin alterar la línea de enería. Cuál sería en este aso la depresión de la superfiie libre? Soluión. 4,0 m q,4 m /s/m,0 m q 4,55 m /s/m Línea de enería 0,08 m 0,0 m,88 m,80 m,06 m Q,64 m /s,45 m,8 m,6 m,80 m,06 m,06 m 0,5 m 45º 0,5 m,59 m,88 m Apliamos la euaión de la enería entre las seiones que orresponden a los anhos de 4 m, respetivamente Por ontinuidad,,80 +,45 + + 0,5 Q Q Q A, 4 Q Q 7,5 Reemplazando en la euaión de la enería se obtiene Q,64 m /s fetuando las operaiones indiadas se tiene que, m/s;,86 m/s; 0,08 m; 0,8 m 76
Capítulo II nería espeífia momenta De donde, +,88 m,6 m + Como referenia se puede alular los números de Froude los tirantes rítios F 0, ; F 0,8 ;,06 m ; Obsérvese que el asto espeífio q ambia al pasar a la zona ontraída.,8 m l máximo valor a de la rada orresponde a ondiiones rítias sobre ella. Como el tirante rítio es,8 m la seión es retanular la enería espeífia es, o sea,,9 m. La euaión de la enería es La depresión de la superfiie libre es 0,56 m + a min max,88,9 + a max a 0,96 m max 7. Interpretaión de la aída libre desde el punto de vista de la enería espeífia Si al extremo de un anal se produe una aída omo la mostrada en la Fiura 7.7, ha un ambio de réimen: se pasa de un movimiento uniforme a un movimiento radualmente variado, por último, sobre el plano de la rada ha un movimiento rápidamente variado. n una seión ualquiera ubiada auas arriba la enería es. Al desplazarnos haia la aída la enería espeífia va disminuendo hasta llear a min, (lo que ourre teóriamente sobre el plano de la rada orresponde a ondiiones rítias). Sobre la rada el tirante no puede ser menor que el rítio pues esto impliaría un aumento de enería. Sobre la rada la enería es mínima, pero el tirante que ha sobre ella no es el tirante rítio que se obtendría al apliar las euaiones hasta ahora estableidas. llo se debe a que sobre el plano de la rada el movimiento es rápidamente variado por lo tanto no es aeptable la suposiión de una distribuión hidrostátia de presiones. 77
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha Rouse, determinó que para anales de pequeña pendiente la profundidad rítia es,4 vees el tirante sobre la rada. l tirante rítio, alulado on las fórmulas usuales, se ubia a una distania de a 4, aproximadamente, auas arriba de la rada. NRGIA MINIMA min,5 Fiura 7.7 Interpretaión de la aída libre desde el punto de vista de la nería speífia 7. Fuerza speífia (Momenta) La seunda Le del movimiento de Newton die que el ambio de la antidad de movimiento por unidad de tiempo es iual a la resultante de las fuerzas exteriores. Consideremos un anal on un flujo permanente ualquiera un volumen de ontrol limitado por dos seiones transversales, la superfiie libre el fondo del anal, tal omo se ve en la Fiura 7.8. Q Fiura 7.8 Wsenθ P P L F f Gráfio para la deduión de la euaión de la Fuerza speífia. Apliando el teorema de la antidad de movimiento (seunda le del movimiento de Newton) entre las seiones se obtiene ( β β ) P P + Wsenθ Ff ρq (7-84) 78
Capítulo II nería espeífia momenta expresión en la que: ρ densidad del fluido; Q asto; β oefiiente de Boussinesq; veloidad media; P fuerza hidrostátia; W peso; F fuerza debida a la friión; θ ánulo f que orresponde a la pendiente del anal; L lonitud; W senθ omponente del peso en la direión del esurrimiento; es el tirante. n la euaión 7-84 se ha onsiderado una distribuión hidrostátia de presiones lo que es válido para el movimiento uniforme aproximadamente válido en el movimiento radualmente variado. n onseuenia, las seiones deben esoerse de tal manera que en ada una de ellas sea apliable la le hidrostátia. Obsérvese que la euaión 7-84 es diferente a la euaión de la enería. n la euaión de la antidad de movimiento están involuradas las fuerzas exteriores, en tanto que en la euaión de la enería se expresa la disipaión de enería interna. Analiemos la euaión de la antidad de movimiento para un anal horizontal en el que el volumen de ontrol tena peso friión despreiables en el que β β. ntones la euaión 7-84 se redue a La fuerza hidrostátia P es ( ) P P ρ Q (7-85) γ A, siendo la profundidad del entro de ravedad. Introduiendo este valor de la fuerza hidrostátia en la euaión 7-85 haiendo alunos reemplazos se llea a Q A Q + A A + A (7-86) Como los dos miembros son análoos se puede esribir Q + A A onstante Fuerza speífia Momenta (7-87) que es la euaión de la Fuerza speífia o Momenta. Cada uno de los dos términos de la euaión de la Fuerza speífia es dimensionalmente una fuerza por unidad de peso de aua. 79
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha Q A es la antidad de movimiento del fluido que pasa por la seión, por unidad de tiempo por unidad de peso. A es la fuerza hidrostátia por unidad de peso. A la suma de ambos términos se le llama Fuerza speífia o Momenta l ráfio de la Fuerza speífia es irante F.. mínima e. 7-87 RIO ORRN M F.. Fuerza espeífia (Momenta) Fiura 7.9 Fuerza speífia Se observa que para una Fuerza speífia dada ha dos tirantes posibles e. Los tirantes que orresponden a la misma Fuerza speífia se denominan onjuados. n el mismo ráfio se apreia que la Fuerza speífia tiene un mínimo d ( F.. ) Q da d ( A) d A + d d 0 De donde, lueo de un desarrollo matemátio, se obtiene que 80
Capítulo II nería espeífia momenta d que se puede omparar on la euaión 7-4. Obteniéndose así la importante onlusión que la Fuerza speífia mínima orresponde a ondiiones rítias. Como una apliaión de la euaión de la Fuerza speífia a un aso partiular se puede examinar un anal retanular en el que Q bq ; A b ; A b ; siendo b el anho del anal. fetuando estos reemplazos en la euaión 7-86 operando se llea lueo de alunas simplifiaiones a q ( + ) (7-88) Pero, en un anal retanular el tirante rítio es q valor que sustituido en 7-88 nos da ( ) + (7-89) Siendo e tirantes onjuados (es deir que tienen la misma Fuerza speífia). 8
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha 7. Salto hidráulio l salto hidráulio es el paso violento de un réimen superrítio a uno subrítio on ran disipaión de enería. ambién se le llama resalto. squemátiamente se ve en la Fiura 7.0. Línea de enería h f ( ) - RIO ORRN SALO + h f F.. F.. ( ) ( ) Fiura 7.0 Salto hidráulio La Fuerza speífia es la misma antes del salto después del salto. Por lo tanto e son tirantes onjuados. La enería espeífia disminue de a. Salto hidráulio en un anal retanular Partimos de la euaión 7-88 q ( + ) Se divide ambos miembros por, lueo de alunas sustituiones se llea a + De donde, F + 8
Capítulo II nería espeífia momenta De aá se obtiene una euaión en + F 0 Resolviendo esta euaión se obtiene ( + 8 ) F (7-90) Que es la euaión de un salto hidráulio en un anal retanular. La relaión entre los tirantes onjuados es funión exlusiva del número de Froude inidente ( ) ϕ F ste resultado es sumamente importante para los estudios en modelo hidráulio. Basta on tener el mismo número de Froude en el modelo en el prototipo para que, si es que ha sufiiente turbulenia en el modelo, haa similitud. l salto hidráulio es un movimiento rápidamente variado, on fuerte urvatura de las líneas de orriente. Se arateriza por la ran disipaión de enería. Se puede desribir omo el paso violento de un réimen superrítio a uno subrítio. l salto hidráulio es un fenómeno tridimensional que presenta randes flutuaiones de la veloidad de la presión en ada punto; es deir que tiene un alto rado de turbulenia, lo que se tradue en una alta apaidad de mezla. n un salto hidráulio se produe también la inorporaión de aire a la masa líquida. l salto produe oleaje, que se propaa haia auas abajo. Para la elaboraión de un modelo matemátio del salto hidráulio es neesario haer muhas simpliaiones. Así por ejemplo, la euaión 7-90 es sólo una aproximaión, una representaión esquemátia, del modo omo ourren los fenómenos. Sin embaro, uando se estudia estruturas mu randes, no se puede despreiar los efetos de las flutuaiones instantáneas de la presión. Las presiones onsideradas omo un promedio temporal son en este aso de poa utilidad. 8
Hidráulia de tuberías anales Arturo Roha n un salto hidráulio es posible que las flutuaiones instantáneas de presión tenan valores tan altos, que de no tomarse en uenta en los álulos podrían onduir a la falla total de la estrutura. Lopardo, investiador arentino, ita lo ourrido on las presas: Blustone, Calton, Alamoordo, Glendo, Bonneville, señalando que estos ejemplos son más que sufiientes para llamar la atenión de los proetistas aera de la neesidad de onoer on maor aproximaión las soliitaiones variables. Las flutuaiones son esenialmente aleatorias. Se pueden desribir por medio de su freuenia amplitud. ipos de salto n funión del número de Froude seún el U. S. Bureau of Relamation se distinue los siuientes tipos de salto F Flujo rítio, no ha salto < F <,7 salto ondular (la superfiie libre presenta ondulaiones),7 < F <,5 salto débil. La disipaión de enería es pequeña,5 < F < 4,5 salto osilante. Se produe el efeto de horro. Ha ondas superfiiales 4,5 < F < 9 salto permanente o fijo. Buena disipaión de enería (45-70 %) F > 9 salto fuerte. Gran disipaión de enería (85 %) Pérdida de enería en el salto La perdida de enería en el salto hidráulio se define así h f + + (7-9) expresión que apliada a un anal retanular da luar lueo de alunas pequeñas transformaiones a ( ) hf (7-9) 4 84