TEMA 8: TEOREMA DE PITÁGORAS. SEMEJANZA TEOREMA DE PITÁGORAS Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto. A los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos y al lado mayor, hipotenusa. El teorema de Pitágoras solo se aplica a triángulos rectángulos y relaciona los catetos con la hipotenusa. C 1 2 +C 2 2 = h 2 Si conocemos los lados de un triángulo podemos saber si es o no rectángulo. Si a y b son los lados pequeño y mediano y c el lado mayor entonces: Si a 2 + b 2 = c 2 es un triángulo rectángulo. Si a 2 + b 2 c 2 es un triángulo acutángulo. Si a 2 + b 2 c 2 es un triángulo obtusángulo. Ejercicios. 1. Clasifica los siguientes triángulos según el valor de sus lados. a) 26 cm, 24 cm y 10 cm. b) 30 m, 30 m y 40 m c) 20 km, 17 km y 19 km d) 15 cm, 17 cm y 8 cm 2. Encuentra los lados desconocidos de los siguientes triángulos rectángulos.
3. Queremos hacer una tirolina entre dos árboles separados 24 m. El cable estará enganchado a 9 m de altura en un árbol y a 2 m de altura en el otro. Cuál es la longitud del cable? 4. Una escalera de 65 dm de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 25 dm de la pared. a) A qué altura se apoya la parte superior de la escalera en la pared? b) A qué distancia de la pared habrá que colocar el pie de esta misma escalera para que la parte superior se apoye en la pared a una altura de 52 dm? 5. Calcula la altura de un triángulo equilátero de 14 cm de lado. 6. Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32 mm y 24 mm. 7. Las bases de un trapecio rectángulo miden 25 cm y 38 cm, y la altura, 19 cm. calcula el perímetro.
8. Calcula el área y el perímetro de un pentágono regular cuya apotema mide 16,2 cm, y el radio, 20 cm. 9. Calcula el perímetro y el área de una circunferencia en la cual se ha trazado una cuerda de 6,6 cm a 5,6 cm del centro. FIGURAS SEMEJANTES Dos figuras son semejantes si solo se diferencian en el tamaño, es decir, sus medidas son proporcionales y sus ángulos iguales. Por ejemplo las siguientes figuras son semejantes. Para obtener las medidas de una de ellas basta multiplicar las de la otra por un número fijo que se llama razón de semejanza que designaremos por k. Ejercicios. 10. Las figuras siguientes son semejantes. Halla la razón de semejanza. 11. Observa estas tres fotografías e indica si son semejantes entre sí y por qué:
Relación entre las áreas de dos figuras semejantes. La razón de las áreas de dos figuras semejantes es k 2. Por ejemplo, si el radio de un círculo es 3,5 veces el de otro, el área del círculo grande será 3,5 2 =12,25 veces el área del círculo pequeño. Relación entre los volúmenes de dos figuras semejantes. La razón de los volúmenes de figuras semejantes es k 3. Por ejemplo, si el radio de una esfera es 3,5 veces el de otra, entonces el volumen de la esfera grande es 3,5 3 =42,875 veces el de la pequeña. Ejercicios. 12. Hemos fabricado dos figuras semejantes de cartón. c La razón de semejanza entre ellas es 1,5. Para fabricar la pequeña hemos necesitado 7,2 dm 2 de cartón y su volumen es de 6,4 l. Calcula la cantidad de cartón que hemos usado en la otra figura y su volumen. 13. Dos piscinas son semejantes. La primera mide 15 m de largo, y la otra, 30 m. a) Cuál es la razón de semejanza? b) Si la primera tiene 1,40 m de profundidad, cuál es la l profundidad de la otra? c) Impermeabilizar el interior de la pequeña ha costado 1 650. Cuánto costará impermeabilizar la grande? d) Llenar de agua la primera cuesta 235. Cuánto costará llenar la segunda? PLANOS MAPAS Y MAQUETAS Los planos y los mapas son semejantes a la realidad que representan y todos llevan una escala. La escala es la relación entre las medidas del plano y las de la realidad. Por ejemplo, si la escala de un mapa es 1 : 300 000, significa que cada unidad del mapa representan 300 000 unidades n la realidad. Ejercicios. 14. En el siguiente mapa de Andalucía: Calcula la distancia que hay en línea recta entre: a) Sevilla y Almería.
b) Jaén y Huelva. 14. En un mapa escala 1:300 000 la distancia que separa dos ciudades es de 5 cm. A qué distancia real se encuentran ambas ciudades? 15. La distancia entre Mahón y Ciudadela es de 49 km. Calcula la escala e de un mapa en el que esta distancia es de 7 cm. TEOREMA DE TALES Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. Ejercicios. 16. Traza dos rectas cualesquiera, r y s. Señala en r cuatro puntos A, B, C y D, de manera que AB=1 cm, BC=2 cm y CD= 3 cm.. Ahora traza rectas paralelas que pasen por esos puntos y marca los cortes co la recta s como A, B, C y D. Comprueba que B C = 2. A B y que C D =3..A B 17. Las rectas a, b y c son paralelas. Calcula el valor de x.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Los triángulos ABC y A B C son semejantes si: Sus ángulos homólogos son iguales Sus lados homólogos son proporcionales Para comprobar que dos triángulos son semejantes basta comprobar que cumple una de las dos condiciones. Triángulos en posición de Tales. Si dos triángulos están en posición de Tales entonces son semejantes Ejercicios. 18. Estos dos s triángulos son semejantes. Calcula la longitud de los lados que le faltan a cada uno de ellos: 19. Los lados de un triángulo miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente. Se quiere construir otro semejante a él pero cuyo lado menor mida 15 cm. a) Cuál será la razón de semejanza? b) Halla los otros dos lados del segundo triángulo. c) El primer triángulo es rectángulo. Podemos asegurar que el segundo también lo será? Por qué? 20. BC y DE son dos postes clavados verticalmente en el suelo. ABD es una cuerda tensa. ACE es el nivel del suelo. Teniendo en cuenta las medidas que aparecen en e el dibujo, calcula la altura del poste más alto.
21. Calcula la altura de un edificio sabiendo que proyecta una sombra de 49 m en el momento en que la sombra de una estaca de 2 m mide 1 25 m. 22. Halla la altura del árbol más alto. 23. El gato de Leticia se ha subido a un poste. Leticia puede ver a su gato reflejado en un charco. Toma las medidas que se indican en el dibujo y mide la altura de sus ojos: 144 cm. A qué altura se encuentra el gato? 24. Para medir la altura de la casa, Álvaro, de 165 cm de altura, se situó a 1,5 m de la verja y tomó las medidas indicadas. Cuánto mide la casa?
EJERCICIOS 1. Di si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo u obtusángulo. a) a = 15 cm, b = 10 cm, c = 11 cm b)a = 35 m, b = 12 m, c = 37 m c) a = 23 dm, b = 30 dm, c = 21 dm d)a = 15 km, b = 20 km, c = 25 km e) a = 11 millas, b = 10 milas, c = 7 millas f ) a = 21 mm, b = 42 mm, c = 21 mm g) a = 18 cm, b = 80 cm, c = 82 cm Sol: a) Obtusángulo. b) Rectángulo. c) Actuángulo. d)rectángulo. e) Acutángulo. f ) Obtusángulo. g) Rectángulo. 2. Calcula el lado desconocido en cada triángulo: Sol: LadoA = 25 m LadoB = 63 mm 3. Calcula el lado desconocido en cada triángulo aproximando hasta las décimas: Sol: a) 17 cm b) 5,7 m c) 15,5 mm 4. Se cae un poste de 14,5 m de alto sobre un edificio que se encuentra a 10 m de él. Cuál es la altura a la que le golpea? Sol: Golpea el edificio a una altura de 10,5 m. 5. En las fiestas de un pueblo, cuelgan una estrella de 1 m de diámetro en medio de una cuerda de 34 m que está atada a los extremos de dos postes de 12 m separados 30 m entre sí. A qué altura del suelo queda la estrella? Sol: La estrella está a 3 m del suelo. 6. Calcula el perímetro de un rectángulo cuya diagonal mide 5,8 cm, y uno de los lados, 4 cm. Sol: El perímetro es de 16,4 cm. 7. Halla la diagonal de un cuadrado cuyo perímetro mide 28 dam. Sol: 9,9 dam
8. Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 13 dm y 19 dm, y el lado oblicuo mide 10 dm. Calcula la longitud de la altura. Sol: La longitud de la altura es de 8 dm. 9. Sabiendo que las bases de un trapecio isósceles miden 2,4 cm y 5,6 cm, y que la altura es de 3 cm, calcula la longitud del lado oblicuo. Sol: La longitud del lado oblicuo es de 3,4 cm 10. Calcula la medida de los lados de un rombo cuyas diagonales miden 1 dm y 2,4 dm. 11. Halla el área y el perímetro. Sol: Los lados miden 1,3 dm Sol: a) P = 43 m A = 39,9 m 2 b) P = 85,4 mm A = 312,5 mm 2 12. Halla el área y el perímetro. 13. Halla el área y el perímetro. Sol: P = 89 dm A = 462 dm 2 Sol: P = 58,4 cm A = 211,2 cm 2 14. Halla el área y el perímetro. Sol: P = 12 km A = 10,4 km 2
15. Halla el área y el perímetro. Sol: P = 42,4 cm A = 100,8 cm 2 16. Halla el área y el perímetro. 17. Halla el área y el perímetro de la parte coloreada. Sol: P = 86 cm A = 318 cm 2 Sol: P = 59,7 cm A = 28,5 cm 2 18. Halla el área y el perímetro de la parte coloreada. Sol: P = 68,3 m A = 50 m 2 19. Halla el área y el perímetro de la parte coloreada. Sol: P = 9,7 mm A = 4 mm 2 20. Halla el área y el perímetro de la parte coloreada Sol: P = 56 m A = 132 m 2 21. Halla el área y el perímetro de la parte coloreada Sol: P = 24 m A = 21,3 m 2
22. Calcula el perímetro y el área de cada una de las siguientes secciones de un cubo: a) Sol: P = 26,8 cm A = 45 cm 2 b) P = 26,1 cm A = 44,8 cm 2 23. Calcula el perímetro y el área de esta figura teniendo en cuenta que los cuatro ángulos señalados miden 45 : 24. Halla el área y el perímetro de la figura. Sol: P = 42,8 cm A = 111,28 cm 2 Sol: P = 37,2 dm A = 66 dm 2 25. Calcula el perímetro y el área. Sol: P = 34 m A = 49 m 2 26. Una pareja, que va a comprar una casa, consulta un callejero a escala 1:30 000, mide la distancia de esta al metro y resulta ser de 2 cm. Cuál es la distancia real? Por otro lado, saben que la distancia de esa casa a la guardería es de 1,5 km. A qué distancia se encontrarán en el callejero? Sol: La casa estará a 5 cm de la guardería en el callejero. 27. En la orilla del río Sena (París) hay una réplica a escala 1:4 de la Estatua de la Libertad que mide 11,5 m. Halla la altura de la estatua de Nueva York. En Cenicero, un pueblo riojano, hay una Estatua de la Libertad de 1,2 m. Cuál sería la escala de esta con respecto a la de Nueva York? Sol: La escala es 3:115 28. Las medidas de un coche teledirigido de Fórmula 1, a escala 1:40, son: 11,75 cm de largo, 5 cm de ancho y 3 cm de alto. Cuáles son las dimensiones reales del coche? Sol: Las dimensiones son: 4,7 m de largo., 2 m de ancho y 1,20 m de alto.
29. Averigua cuáles son las dimensiones reales del siguiente campo de fútbol. Calcula la superficie de cada área de penalti (área grande) y del círculo central. Sol: Área de penalti = 682,1 m 2 Área del círculo central = 301,6 m 2 30. Sabemos que los siguientes triángulos son semejantes. Halla los lados y los ángulos que faltan. Sol: B^ = 96 B^' = 96 9 b' = 36,5 m C^' = 51 c' = 25,5 m 31. Los lados de un triángulo miden 7,5 cm, 18 cm y 19,5 cm. Se construye otro semejante a él cuyo lado menor mide 5 cm. a) Cuál es la razón de semejanza? b) Cuánto medirán los otros dos lados del segundo triángulo? c) Sabiendo que el primer triángulo es rectángulo, podemos asegurar que el segundo también lo será? Compruébalo aplicando el teorema de Pitágoras a los dos triángulos. Sol: a) 1,5 b) 12 cm y 13 cm. c) Sí, 5 2 + 12 2 = 13 2. 32. Explica por qué son semejantes dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual. Entre los siguientes triángulos rectángulos, hay algunos semejantes entre sí. Averigua cuáles son calculando previamente el ángulo que le falta a cada uno de ellos. 33. Explica por qué estos dos triángulos isósceles son semejantes:
34. La altura de la puerta de la casa mide 3 m. Cuál es la altura de la casa? Y la de la palmera más alta? Sol: 7,8 m mide la casa y 7,5 m mide la palmera más alta. 35. Un rectángulo tiene unas dimensiones de 10 cm por 15 cm. El lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 12 cm. Halla: a) La razón de semejanza para pasar del primer al segundo rectángulo. b) El lado mayor del segundo. c) Las áreas de ambos rectángulos. Sol: a) 1,2 b) 18 cm c) El área del primero es 150 cm 2, y la del segundo, 216 cm 2. 36. Cuál es la distancia entre el chico y la base de la torre (el chico ve la torre reflejada en el agua)? Sol: La distancia entre el chico y la base de la torre es de 33,3 m. 37. Para determinar que la altura de un eucalipto es de 11 m, Carlos ha medido la sombra de este (9,6 m) y la suya propia (1,44 m), ambas proyectadas por el Sol a la misma hora. Cuánto mide Carlos? Sol: Carlos mide 1,65 m 38. A qué altura del mar se encuentra el foco del faro? Sol: El faro está a 19 m sobre el nivel del mar. 39. Cuánto miden los ángulos de los triángulos rectángulos isósceles? Tenlo en cuenta para calcular la altura a la que se encuentra el equilibrista. Sol: Los ángulos miden 45, 45 y 90. El equilibrista está a 15 m de altura. 40. Cuál es la altura del siguiente circo?: Sol: La altura del circo es de 15,9 m.
41. Cuánto mide el alto de la estatua del dibujo? Sol: La estatua mide 3,06 m de alto. 42. Halla la altura del edificio sabiendo que: La mesa tiene 1 m de altura. AB = 80 cm BC = 52 cm Sol: El edificio mide 32,2 m de altura. AUTOEVALUACIÓN 1. Un modelo de coche tiene una longitud de 4,20 m. Una maqueta suya mide 16,8 cm. A qué escala está hecha? Sol: 1 : 25 2. Los lados de un triángulo miden 6 cm, 8 cm y 13 cm. Otro triángulo semejante a él tiene un lado mediano de 12 cm. Halla las longitudes de sus otros lados. Sol: 9 cm y 19,5 cm. 3. Un avión quiere viajar, en línea recta, entre Las Palmas de Gran Canaria y Palma de Mallorca. En un plano a escala 1 : 9 000 000, esta distancia es de 26 cm. Cuántos kilómetros recorrerá el avión? Sol: 2 340 km. 4. Observa estas tres ilustraciones e indica si son semejantes y por qué 5. a) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y uno de los catetos mide 5 cm. Cuánto mide el otro cateto? b) Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos valen 12 cm y 7 cm 6. a) En un plano cuya escala es E= 1 : 30 000 la distancia entre dos puntos es de 15 cm, cuál será la distancia real? b) La distancia que separa dos puntos en la realidad es de 2 km. En un plano están separados por 5 cm. Cuál es la escala del plano? 7. Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 4 metros en el momento en que una estaca de 2 m proyecta una sombra de 0,5 metros. 8. Razona por qué son semejantes los siguientes triángulos rectángulos: 9. Estos dos triángulos son semejantes. Calcula la longitud de los lados que le faltan.
10. Calcula la apotema de un hexágono regular de 4 cm de lado (aproxima hasta las décimas). 11. Calcula el área y el perímetro de esta figura: 12. Las dos diagonales de un rombo miden 124 mm y 93 mm. Calcula su perímetro. 13. Observa la figura y calcula la longitud del lado l: 14. Los dos lados menores de un triángulo miden 8 cm y 15 cm. Cuánto debe medir el tercero para que ese triángulo sea un triángulo rectángulo? 15. Calcula el radio de la circunferencia en la que está inscrito un pentágono regular de 8 cm de lado y 5,5 cm de apotema (aproxima hasta las décimas).