TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA (Oposiiones de Enseñanza Seundaria) ------------------------------------------------------------------------------- TEMA 31 CONTROVERSIA SOBRE LA NATURALEZA DE LA LUZ. DUALIDAD ONDA-CORPÚSCULO. EXPERIENCIAS QUE LA PONEN DE MANIFIESTO. INTERACCIÓN RADIACIÓN-MATERIA. RELACIONES DE INCERTIDUMBRE. Esquema 1. Controversia sobre la naturaleza de la luz. 1.1. Teoría orpusular. Newton. 1.. Teoría ondulatoria. Huygens. 1.3. Controversia ondulatorio-orpusular. 1.4. Fenómenos luminosos de aráter orpusular. 1.5. Teoría uántia de Plank. El fotón.. Hipótesis de De Broglie..1. Onda asoiada a la partíula... La ipótesis de De Broglie y el modelo de Bor. 3. Experienias que orroboran la dualidad onda-orpúsulo. 3.1. Difraión de eletrones. 3.1.1. Experimento de Davisson y Germer. 3.1.. Experimento de Tompson. 3.. Ondas asoiadas a átomos y moléulas. 3..1. Difraión de moléulas de Helio e Hidrógeno. 3.3. Difraión de neutrones. 3.3.1. Experimentos de Laue. 4. Interaión radiaión-materia. 4.1. Veloidad de las ondas de De Broglie. 4.. Veloidad de fase y de grupo. 4.3. Veloidad de grupo y veloidad de la partíula. 5. Prinipio de inertidumbre de Heisenberg 5.1. Enuniado e interpretaión del prinipio de inertidumbre. 5.. Experimento idealizado de Bor. 5.3. Conepto de probabilidad. 1/0
TEMA 31 CONTROVERSIA SOBRE LA NATURALEZA DE LA LUZ. DUALIDAD ONDA-CORPÚSCULO. EXPERIENCIAS QUE LA PONEN DE MANIFIESTO. INTERACCIÓN RADIACIÓN-MATERIA. RELACIONES DE INCERTIDUMBRE. 1. CONTROVERSIA SOBRE LA NATURALEZA DE LA LUZ Desde los tiempos remotos, el ombre a espeulado sobre la naturaleza de la luz tratando de estableer teorías y modelos que expliquen razonadamente los fenómenos que produe. El pensamiento sobre la naturaleza de la luz y la radiaión a evoluionado a lo largo del tiempo dando lugar a una de las ontroversias ientífias más apasionantes e instrutivas de la istoria de la Físia. Desde los tiempos de Newton y Huygens, finales del S.XVII, existían dos teorías fundamentalmente distintas que rivalizaban en expliar los fenómenos luminosos y óptios onoidos entones. Eran "la teoría ondulatoria" y "la teoría orpusular". Newton proponía la teoría orpusular de la luz, sin preisar la naturaleza de los orpúsulos mientras que Huygens defendía una teoría ondulatoria para expliar los fenómenos onoidos de la luz, que Newton expliaba on sus orpúsulos. En algunos asos las expliaiones eran satisfatorias por oinidentes pero en otros daban resultados divergentes. Ambas teorías se desarrollaron paralelamente desde su adopión asta prinipios del presente siglo. 1.1. Teoría orpusular. Newton. Hasta prinipios del siglo XIX la luz abía sido onsiderada omo una orriente de partíulas (orpúsulos) emitidos por una fuente luminosa, la ual estimulaba la retina del ojo. El prinipal defensor de esta teoría orpusular de la luz fue Isaa Newton y on ella fue apaz de dar una expliaión senilla de algunos eos experimentales, omo la reflexión y la refraión. La reflexión se explia onsiderando a la luz omo un flujo de partíulas que realiza olisiones perfetamente elástias on una superfiie refletante sin friión, de modo semejante a ómo rebota una pelota elástia al aer ontra un suelo duro. La refraión la expliaba Newton suponiendo que las partíulas de luz que llegan al medio transparente, eran atraídas por este medio a medida que se aproximaban a la superfiie de separaión, adquiriendo así un inremento de la omponente de la veloidad normal a la superfiie, on el resultado de que la veloidad de la luz en el medio denso tenía que ser superior a la veloidad en el medio ligero, lo que va en ontra de las observaiones experimentales. 1.. Teoría ondulatoria. Huygens. La mayoría de los ientífios aeptaron la teoría orpusular de Newton, en parte debido al enorme prestigio que poseía debido a su ontribuión a la ienia por las leyes de la meánia y la gravitaión. Sin embargo, durante la vida de Newton se propuso otra teoría que argumentaba que la luz podía ser alguna espeie de movimiento ondulatorio. En 1678, el físio Cristian Huygens, demostró que una teoría ondulatoria de la luz po- /0
día expliar la reflexión y la refraión, aunque su propuesta no reibió una aeptaión inmediata por diversas razones. Todas las ondas que se onoían entones (ondas sonoras, del agua, sísmias, et.), viajaban por alguna lase de medio material que servía de veíulo para su propagaión. La luz viajaba en el vaío del espaio, desde Sol y las estrellas a la Tierra. Los defensores de la teoría orpusular argumentaban, ontra la teoría ondulatoria, que si la luz fuera una onda debería de doblar los obstáulos opaos que enontrara en su trayetoria y por onsiguiente no existirían las sombras. La inflexión de las ondas luminosas en los bordes de los obstáulos, fenómeno llamado difraión, fue observada por Grimaldi en 1665, pero no se le dio importania en aquel tiempo. Hoy sabemos que la longitud de onda de las radiaiones luminosas es tan pequeña que los fenómenos de difraión no resultan fáilmente observables on la luz visible. 1.3. Controversia ondulatorio-orpusular. La mayoría de los ientífios reazaron la teoría ondulatoria y se adirieron la teoría orpusular durante más de un siglo. Ello se debía, en parte al prestigio de Newton y en parte también a los débiles argumentos tanto teórios omo experimentales que presentaba Huygens y sus partidarios. Fue neesario el paso del tiempo y el trabajo onienzudo de gran número de experimentadores que estudiaron todos los fenómenos onoidos de la luz y otros que se fueron desubriendo, para que la ontroversia se fuera deantando por una de las teorías. La primera demostraión lara de la naturaleza ondulatoria de la luz fue dada en 1801 por Tomas Young, que demostró experimentalmente bajo ondiiones apropiadas y ontroladas que la luz exibía un omportamiento de interferenia. Años más tarde, Augustín Fresnel realizó minuiosos experimentos relaionados on los fenómenos de interferenia y difraión y explió dios fenómenos tomando omo base el aráter ondulatorio de la luz y apliando el prinipio de Huygens. Años más tarde el propio Fresnel onsiguió interpretar los fenómenos de polarizaión de la luz graias a la ipótesis del aráter transversal de las ondas luminosas. En 1850, Jean Fouault proporionó amplia evidenia de la imperfeión de la teoría orpusular para poder demostrar que la veloidad de la luz en los líquidos es menor que en el aire, ya que esta teoría postulaba que la luz tenía mayor veloidad en los ristales y líquidos que en el aire. Todos estos aonteimientos y otros, ourridos posteriormente ondujeron a la aeptaión general de la teoría ondulatoria de la luz. La teoría orpusular quedaba desartada definitivamente. El sueso más importante relaionado on la teoría de la luz y que supuso el último gran avane de la teoría ondulatoria, fue el trabajo realizado por James Clerk Maxwell, quien en 1873, demostró que la luz es una forma de onda eletromagnétia de freuenia elevada. La teoría eletromagnétia de Maxwell predie que estas ondas deberían tener una veloidad de 3.10 8 m/s, que dentro de los márgenes de error experimental, onuerda on la veloidad de la luz determinada experimentalmente por Fizeau, Roemer y otros. En 1887, Heinri Hertz ofreió la onfirmaión experimental de la teoría de Maxwell al produir, emitir y detetar las ondas eletromagnétias. Posteriormente se de- 3/0
mostraron que estas ondas eletromagnétias se podían reflejar, refratar, polarizar, difratar y produir interferenias. En otras palabras, las ondas eletromagnétias exibían todos los efetos araterístios de la luz omo ondas y los trabajos teórios de Maxwell y los experimentales de Hertz, representaron el espaldarazo definitivo de la teoría ondulatoria de la luz. 1.4. Fenómenos luminosos de aráter orpusular. A prinipios del siglo XX era reenia general que nuestros onoimientos aera de la teoría eletromagnétia de la luz o de la radiaión onstituían uno de los apítulos mejor aabados de la Físia y que en el futuro ya nada más se podría añadir. Pero uando la vieja ontroversia ondulatorio-orpusular pareía liquidada, nuevos eos y desubrimientos vienen a remover los sólidos imientos de la teoría eletromagnétia y a revalorizar la vieja y deseada teoría orpusular de luz. Aunque la teoría lásia del eletromagnetismo de Maxwell fue apaz de expliar los fenómenos luminosos onoidos entones, nuevos desubrimientos demostraron sus defiienias. El sueso experimental más ontundente, que no onuerda on la teoría eletromagnétia es el Efeto Fotoelétrio, desubierto por Hertz. Este fenómeno onsiste en la expulsión de eletrones de un metal expuesto a la luz. Su investigaión demostró que la energía inétia de los fotoeletrones es independiente de la intensidad de la luz. La expliaión de este fenómeno fue propuesta por Albert Einstein, en 1905, utilizando el onepto de uantizaión desarrollado por Max Plank en 1900. Otra sorprendente onfirmaión de que la luz está formada por partíulas de luz es el Efeto Compton que onsiste en el oque y dispersión de los rayos X (ondas eletromagnétias) por eletrones en un blano de arbono. Compton observó que los rayos X dispersados por los eletrones tenían una longitud de onda algo mayor que la de los rayos X inidentes, lo que signifia una menor freuenia y por onsiguiente menor energía. Este eo no se puede expliar por la teoría eletromagnétia lásia, que determinan para el presente aso la misma longitud de onda para los rayos X dispersados. Compton interpretó el fenómeno onsiderando el proeso de dispersión omo una olisión elástia de un eletrón on una partíula de luz o fotón, de manera semejante al oque de dos bolas de billar. 1.5. Teoría uántia de Plank. El fotón. Tanto el efeto fotoelétrio omo el efeto Compton pareen exigir una vuelta a la teoría orpusular de la luz. Por ello, Einstein explió el efeto fotoelétrio tomando omo base la ipótesis uántia de Plank. Max Plank, en 1900, desubrió una fórmula empíria que determinaba la intens i- dad de energía de radiaión emitida por un uerpo emisor ideal alentado a una ierta temperatura (uerpo negro) uyos datos y representaiones gráfias se abían obtenido experimentalmente. Esta euaión es: π I(, T) = kt ( e 1) donde es una onstante que puede ajustarse para satisfaer los datos experimentales. El valor aeptado de, onstante de Plank, es: = 6 66.10-34 Julios.seg 4/0
Para estableer esta fórmula, Plank izo dos suposiiones atrevidas y disutibles, desde el punto de vista de la meánia lásia, relativas a la naturaleza de los átomos osilantes en las paredes del uerpo negro. Estas ipótesis son las siguientes: 1. El osilador (átomo osilante) sólo podría tener energías disretas E que an de ser múltiplos de una energía mínima E=ν llamada uanto de energía, donde es la onstante de Plank y ν es la freuenia de la osilaión. Se die que las energías del osilador están uantizadas, y los estados de energía permitidos se denominan estados uántios.. El osilador emite o absorbe energía en unidades disretas de energía luminosa, denominados uantos (o fotones). Los fotones realizan la emisión o absorión saltando de un estado uántio a otro. En onseuenia la energía de un uanto de luz que orresponde a la diferenia de dos estados uántios adyaentes, se obtiene de: E = ν (1) y el osilador no emitirá ni absorberá energía si permanee en uno de sus estados uántios permitidos. El onepto fundamental de esta teoría es la suposiión original de los estados energétios uantizados y maró el naimiento de la teoría uántia. En su tiempo, la mayoría de los ientífios, inluyendo Plank, no onsideraban el onepto uántio omo realista y ontinuaron investigando tratando de enontrar una expliaión más raional de la radiaión del uerpo negro. El desubrimiento del efeto fotoelétrio, del efeto Compton y otros fenómenos atómios, demostraron que tenían que utilizar una teoría basada en el onepto uántio de la energía. El punto de vista atual de los físios, frente a experienias aparentemente ontraditorias, es aeptar el eo de que la luz paree tener una doble naturaleza. Cuando se propaga se omporta o interaiona onsigo misma se omporta omo onda eletromagnétia pero uando interaiona on la materia tiene omportamiento orpusular. La amplitud de la onda en ada punto determina la densidad probable de los fotones en el mismo, de forma que donde aquella sea nula, lo será también la probabilidad de enontrar un fotón, mientras que en los puntos en que dia amplitud sea máxima ourrirá otro tanto para la probabilidad. La onda luminosa se onvierte en una onda de probabilidad de presenia de un fotón.. HIPÓTESIS DE DE BROGLIE La síntesis de las dos viejas teorías, aparentemente irreoniliables fue la obra genial de un físio franés, Louis de Broglie (194), que al fundir en un onepto mixto ondas y orpúsulos, unifió la Meánia, la Eletriidad y la Optia, reando una disiplina que desde entones se denomina Meánia Ondulatoria. A pesar de que la radiaión presenta laramente este aráter dual, nuna presenta ambos aspetos simultáneamente en una misma experienia o fenómeno. En un fenómeno dado se omporta omo onda o bien se omporta omo orpúsulo. Además, este aráter dual de onda y orpúsulo no queda onfirmado úniamente a la radiaión (luz) sino que también debe manifestarse en todas las entidades físias fundamentales, (partíulas atómias). Según esta ipótesis, los eletrones, protones, neutrones, átomos y moléulas, tendrían ierto omportamiento ondulatorio asoiado a ellas. 5/0
.1. Onda asoiada a la partíula. De Broglie enunió esta ipótesis fundado en onsideraiones basadas en la Teoría de la Relatividad restringida y en la Teoría Cuántia. Si llamamos a la longitud de onda, enontramos que la energía de un fotón, que lleva asoiada una onda, puede esribirse: E = ν = () Si m es la masa de un fotón, de auerdo on la teoría de relatividad, tendremos: E ν m = = = (3) El momento lineal p del fotón es: ν ν p = m = = = (4) Evidentemente el fotón lleva siempre implíito un momento lineal p pues el fotón en reposo no existe, su masa sería nula. En espetrosopía se utiliza a menudo la magnitud llamada número de onda: κ = 1 por lo que p se puede esribir: p = κ (5) De Broglie introdujo estas onsideraiones en la dinámia de una partíula y, de auerdo on su ipótesis, a ada partíula en movimiento se le asoia una longitud de onda relaionada on el momento lineal p por la euaión anterior. Si m es la masa total de la partíula y v su veloidad: p=m.v de forma que: = = (6) p mv Esta euaión establee una relaión entre la propiedad orpusular de la partíula (su masa) on la propiedad ondulatoria (su longitud de onda). Si ν es la freuenia de las ondas de De Broglie asoiada a la partíula y u su veloidad de propagaión (veloidad de fase), podemos expresar: = u ν y sustituyendo en (7): u = ν mv o bien ν = mvu y omo el uanto de energía es: E = ν = m (7) igualando ambas expresiones resulta: m = mvu v. u (8) Al ser v (veloidad de la partíula) menor que la veloidad de la luz, se a de verifiar que u> lo que paree ir en ontra de la teoría de la relatividad que onsidera omo máxima la veloidad de la luz. Pero no se viola la ley de relatividad: v es la veloidad de propagaión de una energía equivalente a la partíula en movimiento (veloidad de grupo) y u es la veloidad de fase y no es portadora de energía y el que sea mayor que la de la partíula no signifia que la onda de De Broglie vaya delante de ella. El modelo nos presenta a la partíula, propagándose on veloidad v (de grupo), situada en un pa- 6/0
quete de ondas, dentro del ual las ondas individuales se propagan on veloidad u (veloidad de fase). En la interaión radiaión-materia, que trataremos más adelante, vo l- veremos sobre este asunto... La ipótesis de De Broglie y el modelo de Bor. La ipótesis de De Broglie sobre el aráter dual del omportamiento de los eletrones fue justifiada porque permitía deduir razonadamente los postulados de Bor para su modelo atómio. Como los eletrones se mueven en órbitas irulares, De Broglie indió que la onda asoiada al eletrón debe interferir onstrutivamente errándose en fase onsigo misma dando lugar a una onda estaionaria, fig.1(a), es deir, que en la longitud de la irunferenia orbital aben exatamente un número entero de longitudes de onda. Mientras que en las órbitas proibidas esto no ourriría, fig.1(b), la onda interferiría onsigo misma destrutivamente y se extinguiría (a) FIG. 1 (b) rápidamente. Cuando se verifia la ondiión propuesta, se tiene: πr = n que junto on: = = ondue a π r = n p mv mv o sea: mvr = n = nη (8) π que es la expresión del segundo postulado de Bor, que enuniaba que el momento angular del eletrón está uantizado y es siempre un múltiplo entero del uanto de momento angular ( π = η ). La teoría de De Broglie ondue pues a la uantifiaión de la energía a través del aráter ondulatorio del eletrón, sin embargo, la imagen reflejada en la fig.1, de una onda irular aomodándose a la órbita eletrónia es inorreta. La idea de trayetoria eletrónia aree de sentido uando un eletrón está onfinado en un átomo. 3. EXPERIENCIAS QUE CORROBORAN LA DUALIDAD ONDA-COR- PÚSCULO 3.1. Difraión de eletrones. La ipótesis de la dualidad de De Broglie de que las partíulas materiales presentan el aráter de onda y orpúsulo en sus interaiones ondujo a muas onseue n- ias interesantes y de gran trasendenia. La longitud de onda asoiada a una partíula es =/mv. Si la partíula es un eletrón que a adquirido la veloidad v bajo la aión de una diferenia de potenial V, y la veloidad v es pequeña en omparaión on la veloidad de la luz,, su energía inétia será: 1 mv = ev y la longitud de onda de la onda asoiada a él, puede expresarse: = (9) mev 7/0
y para una diferenia de potenial de 150 V, por ejemplo, es: 10 = 1'0014.10 m 1'00 Å Esta longitud de onda es del orden de magnitud de las distanias intermoleulares en los ristales, lo que sugiere inmediatamente la posibilidad de demostrar la existenia de estas ondas asoiadas utilizando ristales omo redes de difraión de los eletrones, de forma análoga a omo se ae on los rayos X. La primera serie de experimentos de este tipo fue realizada por Davisson y Germer en 197. 3.1.1. Experimento de Davisson y Germer. El dispositivo representado en la fig. fue utilizado por Clinton Davisson y Lester Germer para experimentos de difraión de eletrones utilizado omo red de difraión los planos interstiiales de un ristal. Los eletrones proedentes de un filamento de wolframio inandesente son aelerados por una diferenia de potenial apliada entre el filamento y la plaa. Algunos de estos eletrones salen a través de una pequeña abertura en la plaa e iniden normalmente sobre la superfiie de un ristal de níquel. Los átomos del ristal dispersan a los eletrones en todas las direiones, y la intensidad del az eletrónio dispersado en una determinada direión se determina aiendo que los eletrones entren en una ámara oletora en posiión adeuada y midiendo la desviaión produida mediante un galvanómetro onetado a la misma. Haiendo girar la ámara a lo largo de una trayetoria irular, se puede medir FIG. la intensidad del az dispersado en funión del ángulo de dispersión y representar los datos obtenidos en un gráfio donde se destaará el ángulo para el ual es máxima la dispersión de eletrones.. De los resultados de esta serie de medidas, se obtiene que para la diferenia de potenial de 54 V. se produe una reflexión seletiva para un ángulo de 50º, que se interpreta omo una interferenia onstrutiva, o sea, un refuerzo de las ondas eletrónias proedentes de los átomos regularmente espaiados del ristal de níquel. Consideremos en la fig.3, una disposiión regular de átomos donde a través de ella se pueden trazar varias series de planos paralelos donde se agrupan gran antidad de átomos. Las retas paralelas dibujadas representan una serie de planos de átomos superpuestos. Un az de eletrones inidente sobre el ristal formará un ierto ángulo θ on la normal a estos planos atómios. Si la longitud de onda de las ondas de De Broglie asoiadas a estos eletrones es tal que satisfae la ley de FIG. 3 Bragg: n = d osθ las ondas dispersadas por estos planos estarán en fase orreta para reforzarse mutuamente y produirán un intenso az reflejado, que saldrá formando un ángulo igual θ on la normal. Combinando esta euaión on la (9), resultará: 8/0
1 me 1 n = V = (10) d osθ Cuando la longitud de onda es tal que satisfae la ley de Bragg, abrá un máximo de intensidad on un ángulo de reflexión igual al de inidenia. Puesto que θ se mantiene onstante, también lo es d.osθ y, en onseuenia, abrá un máximo de intensidad para ada nuevo valor de n (orden de difraión) al aer variar V. Los resultados de estos experimentos son perfetamente expliados por la teoría basada en la onda asoiada a la partíula, preonizada por De Broglie en su ipótesis de la dualidad onda-orpúsulo. 3.1.. Experimento de Tompson. En 198, G.P.Tompson pudo onseguir figuras de difraión de eletrones aiendo pasar un estreo az de rayos atódios a través de pelíulas materiales muy delgadas. Los rayos atódios, produidos en un tubo de desarga de gas on poteniales entre 10000-60000 V. atravesaban la delgada pelíula F (fig.4), e inidían sobre una plaa fotográfia P. La figura reproduida sobre la plaa fotográfia onsistía en una serie de anillos onéntrios bien definidos alrededor de una mana entral, figura que se asemeja a las figuras de difraión de rayos X obtenidas por ristales pulverizados. Si una onda de longitud de onda inide sobre una delgada pelíula de sustania miroristalina se obtiene una figura de difraión irular bien definida y si se onoe la onstante de la red d, de los miroristales, se puede al u- lar la longitud de onda. En los experimentos de Tompson, en vez de un az de rayos X, se utilizó un az de eletrones que se FIG. 4 propagan on veloidad v y se obtuvo una figura de difraión irular. Con ayuda de la fórmula de Bragg se alula la longitud de onda asoiada al eletrón, utilizan do el valor de d, determinado en los experimentos on rayos X. En realidad, Tompson determinó la longitud de onda de los eletrones a partir de la fórmula de De Broglie: = mv y después aluló la distania d entre los planos atómios, omparando estos valores on los proedentes de las determinaiones on rayos X. Los resultados de estos experimentos onfirman la ipótesis de De Broglie, según la ual, existe un movimiento ondulatorio asoiado a ada eletrón en movimiento. 3.. Ondas asoiadas a átomos y moléulas. Puesto que la fórmula de De Broglie se aplia a ualquier partíula material que se mueva on veloidad v, a de ser posible obtener efetos de difraión e interferenia on átomos y moléulas, lo mismo que on eletrones. 9/0
3..1. Difraión de moléulas de Helio e Hidrógeno. La difraión de átomos y moléulas mediante ristales fue puesta laramente de manifiesto por Stern y olaboradores. En sus experimentos investigaron la difraión de moléulas de idrógeno y elio utilizando ristales de fluoruro de litio y loruro de sodio. Una orriente de moléulas proedentes de un orno a temperatura onoida T, fue dirigida ontra la superfiie de un ristal bajo un ierto ángulo θ. La superfiie del ristal se omportó en este aso de forma muy pareida a omo se omporta la red de difraión interpuesta en los experimentos óptios, esto es, los entros difratores son los vérties de los uadrados de la red. El az inidente fue dispersado en todas las direiones y la máxima intensidad para ualquier longitud de onda se presentó sólo en aquellos puntos donde las ondas proedentes de los diferentes entros difratores estaban en fase. En el aso de un az moleular dispersado por el ristal, los puntos de máxima intensidad orresponden a las regiones de máxima presión del gas, de aí que Stern usara un manómetro de alta preisión para loalizar la figura de difraión. Este manómetro podía girar alrededor de un eje normal al ristal medía la intensidad del az dispersado en distintos puntos. La fig.5 representa una urva típia que muestra el espetro de difraión obtenido para el elio reflejado en un ristal de FLi. La intensidad máxima, a 0º orresponde al az reflejado regularmente en el que el ángulo de reflexión es igual al de inidenia. La presión ae a un mínimo a unos 5 y se eleva a ada lado a unos 1º. Estos dos máximos orresponden a los espetros de difraión de primer orden obtenidos en una red. FIG. 5 La longitud de onda asoiada on los átomos de elio puede alularse a partir del espaiamiento de los átomos en los ristales de FLi, que es onoida, y de las posiiones de las figuras de difraión de primer orden. Las longitudes de onda aluladas de esta forma están de auerdo on las predias por la fórmula de De Broglie: = mv donde m es la masa del átomo de elio y v la veloidad media de estos átomos alulada a partir de la temperatura del elio en el orno. Se realizaron experimentos análogos on moléulas de Hidrógeno, H y las longitudes de onda obtenidas están en onordania on la ipótesis de De Broglie. T.H.Jonson realizó un experimento análogo, utilizando un az de átomos de idrógeno que se reflejaba en un ristal de fluoruro de litio y luego se aía oar ontra una plaa ubierta on óxido de molibdeno. Donde el idrógeno golpeaba la plaa de óxido de molibdeno el óxido quedaba reduido a molibdeno metálio, fotografiando después la figura así formada. Las figuras de difraión onseguidas onordaban on las prediiones basadas en la ipótesis de De Broglie y on los resultados obtenidos por Stern. 10/0
3.3. Difraión de neutrones. El eo de aber estableido definitivamente la existenia de las ondas de De Broglie asoiadas a las partíulas en movimiento, proporiona una erramienta poderosa para estudiar las interaiones entre los diferentes tipos de partíulas. El neutrón es la únia partíula que no tiene arga, por onsiguiente no estará influida por los ampos eletrostátios de los eletrones y de los núleos y podrá penetrar on gran failidad en la mayor parte de las sustanias. En la mayoría de los asos, la interaión de los neutrones on la materia se produe en forma de oques elástios on los núleos. El neutrón pierde una parte de su energía en ada oque y, si la sustania oupa un volumen sufiiente, el neutrón alanza finalmente una veloidad de equilibrio que depende de la temperatura de la sustania. En otro tipo de interaión entre neutrones y núleos, el neutrón es apturado por el núleo y resulta un núlido inestable, que se desintegra de ordinario on emisión de alguna partíula tal omo una partíula β, un protón o una partíula α. La deteión de la partíula emitida onstituye uno de los métodos más senillos para demostrar la aptura del neutrón. Cuando los neutrones están en equilibrio on una masa de material a una temperatura absoluta T, su distribuión de veloidades es la orrespondiente a dia temperatura. Su veloidad más probable es aquella para la ual le energía inétia E C viene dada por E C =kt siendo k la onstante de Boltzmann. Así, si se establee un equilibrio de neutrones en un bloque de grafito o parafina a temperatura ambiente que supondremos de unos 300 K tiene una energía de 1/40 ev. Estos neutrones de energía tan baja se llaman neutrones lentos o térmios. Se puede alular fáilmente la longitud de onda de De Broglie de estos neutrones térmios, que resulta ser: =1'8 Å más o menos del mismo orden de magnitud que en los rayos X. De aquí que las ténias experimentales desarrolladas para rayos X puedan apliarse, on sólo ligeras modifiaiones, al estudio de las interaiones de los neutrones lentos on la materia. 3.3.1. Experimentos de Laue. Atualmente se dispone de fuentes de neutrones lentos a partir de los reatores nuleares. Con ellos se an estudiado las estruturas de las sustanias ristalinas utilizando la ténia de difraión de Laue. Se omienza por monoromatizar un estreo az de neutrones proedente de un reator de grafito, aiéndolo reflejar sobre un ristal de NaCl on un ángulo de 6'5. El az monoromátio de neutrones fue dispersado por los ristales pulverizados a investigar. La intensidad del az dispersado según un ángulo dado penetraba en un ontador lleno de gas BF 3 enriqueido on el isótopo 10 B. Para produir figuras de difraión de Laue (lauegramas), se lanza un estreo az de neutrones, on una distribuión ontinua de longitudes de onda omprendidas entre 0'5 y 3'0 Å, a través de un ristal de loruro de sodio de 0'35 m de espesor. El az inidente era paralelo a uno de los ejes del ubo. La pelíula fotográfia fue situada a 6'4 m del ristal y omo los neutrones no impresionan la pelíula fotográfia, ésta se reubrió on una apa de indio de 0'5 mm de espesor. Los neutrones eran fáilmente apturados por los núleos de Indio, y los núleos inestables que se formaban se desintegra- 11/0
ban on la emisión de partíulas β que sí impresionaban la plaa fotográfia. En el entro de la plaa se pratió un orifiio en la apa de indio on objeto de reduir el ennegreimiento debido al az de neutrones no desviado. De esta forma, utilizando las ondas de De Broglie asoiadas on los neutrones, se an obtenido figuras de Laue para varios ristales. 4. INTERACCIÓN RADIACIÓN-MATERIA 4.1. Veloidad de las ondas de De Broglie. La veloidad de las ondas de De Broglie asoiadas al movimiento de una partíula no es neesariamente la misma que la veloidad de la propia partíula en su desplazamiento. Si es la longitud de la onda de la onda de De Broglie y ν es su freuenia, la veloidad w de la onda viene dada por la euaión ordinaria: w =ν. (11) El momento lineal p de la partíula está relaionada on la longitud de onda por la euaión fundamental: p = (1) Supongamos que la relaión entre la energía total, E, de la partíula y la freuenia, ν, de la onda asoiada viene dada por la euaión usual de la teoría uántia: E = ν (13) y que la energía total, E, y la masa total, m, inluyendo la masa en reposo, viene dadas por la euaión de Einstein: E = m (14) Considerando que el momento lineal p de la partíula viene dado por: p = m. v (15) donde v es la veloidad de la partíula en su desplazamiento. De todo ello se dedue: w = E o E m w = = = (16) p mv v Puesto que la veloidad, v, de una partíula es siempre menor que la veloidad de la luz,, la veloidad de la onda de De Broglie asoiada on ella, w, es siempre mayor que. No existe ontradiión entre este eo y el postulado de la teoría de la relatividad, según el ual ninguna señal, es deir, ninguna energía, puede transmitirse on veloidad superior a. Ya emos enontrado veloidades de onda mayores que, omo por ejemplo, la veloidad de los rayos X en un medio material. El eo de que la veloidad de la onda sea mayor que la de la partíula no signifia que la onda de De Broglie preeda a la partíula. Cabe imaginar la partíula situada dentro de un paquete de ondas o grupo de ondas, y que el grupo entero o paquete se propaga on la veloidad v de la partíula, mientras que las ondas individuales que omponen el grupo se propagan on la veloidad de la onda w. 1/0
La veloidad de las ondas de De Broglie difiere de la veloidad de la luz en un aspeto importante: aun en el vaío, la veloidad de la onda es una funión de su longitud de onda. Para demostrar esto, esribamos la expresión del momento lineal p=mv así omo la orrespondiente a la energía total E=m de forma que: E p = v Con la expresión relativista de la masa, el momento lineal de la partíula, será: m0v p = v 1 donde m 0 es la masa en reposo de la partíula. de donde: Eliminando v entre las dos últimas euaiones, resulta: E p m0 = (17) 4 Como: E = ν y p = podemos esribir: ν 1 m 0 = (18) Para las ondas de De Broglie es w = ν por onsiguiente: = w 1 m 0 (19) m w + 0 = 1 (0) Esta expresión nos india que para una partíula de masa en reposo m 0 >O, la veloidad de onda w es siempre mayor que, y, además, que la veloidad de las ondas de De Broglie es una funión de su longitud de onda, aún en el espaio libre. Como aso partiular de ondas de De Broglie, onsideremos aquellas ondas que se propagan on una veloidad de onda w=. Este aso orresponde a la propagaión de las ondas eletromagnétias. La veloidad de la partíula asoiada, el fotón, es, por onsiguiente, igual a. Si se ae v= en la euaión (19) enontramos que la masa en reposo de un fotón es m 0 =0; esto es, no existe el fotón en reposo. Los fotones se mueven siempre on la veloidad. 4.. Veloidad de fase y de grupo. Deimos que un medio donde se propagan las ondas, es dispersivo uando la veloidad w de una onda depende de su propia longitud de onda. Las ondas de diferentes longitudes de onda se propagan a través del medio dispersivo on veloidades diferentes pero omo un grupo que tiene una veloidad u, diferente de w. Para deduir la relaión entre estas dos veloidades, veloidad de grupo y veloidad de fase, onsideremos que dos ondas de longitudes de onda ligeramente diferentes se propagan a la vez a través de un medio dispersivo. En la fig.6, la onda superior ABC tiene longitud de onda y veloidad w, mientras que la onda A'B'C', dibujada justamente debajo, tiene longitud de onda +d y se mueve on veloidad w+dw en el mismo sentido que la onda superior. 13/0
Las dos ondas, aunque dibujadas por separado, se propagan juntas a través del mismo espaio. Elijamos un instante en que las dos restas B y B' oinidan y tomemos este instante omo origen de tiempos, t=0. En esta posiión, la amplitud de la onda ombinada será un máximo. Tras un ierto tiempo t B se abrá adelantado a B FIG. 6 en la antidad d, de forma que aora A' oinide on A. Durante este tiempo, la posiión de la amplitud máxima se abrá desplazado y se presentará donde A y A' oiniden. Llamemos s a esta distania y definamos la veloidad de grupo, u, por la euaión: s u = t De la figura se dedue: s = w. t de forma que: u = w (1) t En la figura también se apreia que la distania d, en que B' se a adelantado a B en el mismo tiempo t, es: d d = ( w + dw) t w. t = t. dw de donde: t = dw y sustituyendo este valor de t en la euaión (1) se dedue: dw u = w () d Esta euaión nos da la relaión entre la veloidad, u, de un grupo de ondas y la veloidad, w, de las ondas individuales del mismo. Si no existe dispersión, omo por ejemplo, la luz propagándose en el vaío, entones dw/d=0 y u=w, esto es, la veloidad de grupo y la veloidad de fase oiniden. 4.3. Veloidad de grupo y veloidad de la partíula. Vamos a demostrar aora que la veloidad de grupo de las ondas de De Broglie es la misma que la veloidad de las partíulas. Se a demostrado que la veloidad de las ondas de De Broglie viene dada por (0): m0 w = 1+ y derivando la expresión on respeto a la variable, resulta: dw m0 = d m 0 1+ Sustituyendo el valor de dw/d en la euaión () y utilizando el valor de w dado por la expresión (0) se obtiene: 14/0
m0 m0 u = w y siendo w = 1+ m 0 1+ m0 m0 m0 1 + u = 1+ = m 0 m0 1+ 1+ 0 m m0 1+ =... m0 m0 +... = m0 1+ = m0 1+ = w resultando finalmente: u = w omo ya se a demostrado en la euaión (16), que: w = v resulta u = w (3) es deir, la veloidad de grupo de las ondas de De Broglie es la misma que la veloidad de la partíula, o, dio on otras palabras, las ondas de De Broglie se propagan on la partíula. 5. EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG Werner Heisenberg dio una interesante interpretaión de la dualidad onda-orpúsulo, tanto para la materia omo para la energía radiante. Los oneptos de orpúsulo y de onda se edifiaron sobre la base de experimentos realizados a esala relativamente grande (esala marosópia). Cuando se aplian a experimentos donde intervienen antidades de orden de magnitud de las dimensiones atómias (esala mirosópia) tales oneptos sólo pueden tener validez de analogías. El onepto de eletrón omo partíula, por ejemplo, fue deduido omo onseuenia de experimentos sobre el movimiento del eletrón a través de ampos elétrios y magnétios. Si se onoe la posiión y veloidad iniiales, la dinámia de la partíula predie la posiión y veloidad de la partíula en un tiempo t. Pero los experimentos sobre la difraión de los eletrones demuestra que esto no es siempre posible. Los eletrones que parten de las mismas ondiiones iniiales no son dispersados el mismo ángulo por los ristales. El resultado es una figura de difraión, que presenta una distribuión definida de estos eletrones respeto a su posiión y momento lineal. Pero un espetro de difraión es la mejor prueba de que estamos tratando un fenómeno ondulatorio. Al apliar el onepto de onda a un eletrón aislado, éste puede representarse omo un pequeño paquete de ondas que oupa determinada región del espaio, s. La asoiaión de un paquete de ondas on un eletrón signifia que la posiión de un eletrón en ierto instante, t, no puede espeifiarse on el grado de preisión que se desee. 15/0
Todo uanto abe deir del eletrón es que está dentro de un grupo de ondas que se extiende sobre una pequeña región del espaio s. 5.1. Enuniado e interpretaión del prinipio de Heisenberg. El Prinipio de Inertidumbre de Heisenberg se refiere a la determinaión simultánea de la posiión y del momento lineal de la partíula, y afirma que la inertidumbre x en la medida de la oordenada de la partíula y la inertidumbre p en la medida simultánea de su momento lineal están relaionadas por la expresión: x. p x (4) donde es la onstante de Plank. Se umplirá expresiones análogas para las otras dimensiones. El produto de las inertidumbres o indeterminaiones en las medidas simultáneas de la posiión y del momento lineal de una partíula es siempre mayor o igual que la onstante universal de Plank. Este prinipio no implia que no se puedan realizar medidas exatas de una de las dos magnitudes, posiión y momento lineal, sino que uanta más preisión se obtenga en una de ellas, más indeterminada queda la otra. El prinipio de inertidumbre, básio en la meánia uántia, no se debe a un defeto de la teoría, que podría ser subsanado perfeionándola, ni a problemas on el grado de preisión de los instrumentos de medida. Se deriva de la naturaleza ondulatoria de las partíulas. El examen de algunos experimentos idealizados servirá para demostrar ómo el onepto de onda atúa omo una limitaión sobre el onepto de partíula, onduiendo al prinipio de inertidumbre. 5.. Experimento idealizado de Bor. En un experimento ideal propuesto por Bor, se intenta determinar la posiión de un eletrón utilizando algún instrumento tal omo un mirosopio de alto poder de resoluión, fig.7, apaz de detetar estas partíulas El poder de resoluión de un mirosopio viene dado por la expresión: x = senα donde x representa la distania entre dos puntos que quedan justamente resueltos por el mirosopio, es la longitud de onda utilizada y α el semiángulo en el vértie del ono de luz proedente del objeto iluminado. El error en la determinaión de la oordenada x de la posiión del eletrón está representada por x. Para aer x tan pequeño omo sea posible, la luz empleada debe ser de longitud de onda muy orta: Rayos X o γ. FIG. 7 La mínima antidad de luz que puede utilizarse es un simple uanto v. Cuando el eletrón dispersa a este uanto de luz dentro del mirosopio, omo muestra la fig.7, 16/0
reibirá algún momento lineal proedente del uanto, por efeto Compton. Puesto que el uanto dispersado puede entrar en el mirosopio en ualquier direión dentro del semiángulo α, su ontribuión a la omponente X del momento lineal del eletrón tiene una inertidumbre: p x = p.sen α = senα donde / es el momento lineal del uanto. El produto de las inertidumbres en la determinaión de los valores simultáneos de la posiión y del momento lineal del eletrón será, por onsiguiente: x. px = senα = senα Otra demostraión del prinipio de inertidumbre se obtiene onsiderando el experimento ideal en el que se ae pasar un az de eletrones a través de una rendija muy estrea, aiéndolo inidir después sobre una plaa fotográfia situada aierta distania (fig.8). Cada eletrón registrado sobre la plaa fotográfia tiene que aber pasado a través de la rendija y, si su anura es y, la oordenada y del eletrón está indeterminada en la antidad y. Disminuyendo esta anura se inrementa la preisión de la oordenada y del eletrón en el instante en que atraviesa la rendija, y on una rendija muy estrea se observa una figura de difraión muy definida sobre la plaa fotográfia, la que se interpreta onsiderando que el eletrón reibe un momento lineal adiional paralelo a la rendija, en el instante que atraviesa ésta. El eletrón puede enontrarse en ualquier punto FIG. 8 dentro de la figura de difraión, de forma que si α es la anura angular de la figura, la inertidumbre en el onoimiento de la omponente y del momento lineal del eletrón es: p y = p.senα La anura angular de la figura de difraión está determinada por la anura de la rendija, y, y viene dada por la euaión: y. senα = Por onsiguiente, el produto de las inertidumbres en la determinaión simultánea de la oordenada y y de la omponente según el eje Y del momento lineal del eletrón que atraviesa la rendija, es: y. p y = p.senα = p senα y según la ipótesis de De Broglie: p=/ resultara finalmente: y. p = y Para expresar el prinipio de inertidumbre de Heisenberg se puede utilizar otro onjunto de variables. Si E es la energía del sistema en un instante t, se demuestra que: E. t donde E es la inertidumbre on que onoemos el valor de la energía y t la inertidumbre on que onoemos el tiempo. 17/0
5.3. Conepto de probabilidad. El paralelismo onda-orpúsulo debe ampliarse para inluir una interpretaión de la intensidad de la luz y también de la intensidad del az de eletrones. De auerdo on la teoría ondulatoria de la luz la intensidad está determinada por el uadrado de la amplitud del vetor elétrio en el punto en uestión, y según la teoría orpusular, la intensidad del az luminoso a de fijarse por el número de fotones por segundo que pasan a través de una unidad de área normal a su direión de propagaión; por tanto: N A 0 donde A 0 es la amplitud de la onda que determina el vetor ampo elétrio, y N el número de fotones por unidad de volumen del az. La relaión de proporionalidad ant e- rior resulta adeuada para aes intensos, pero no es satisfatoria para aes débiles, para los que N es un número muy pequeño (N<<1). En este aso se ae difíil determinar la loalizaión exata de ada partíula en la onda ontinua; esto es, la expresión N A 0 lleva aparejada una indeterminaión respeto a la posiión de estos fotones en el espaio. Se onsigue otra aproximaión al problema interpretándolo de un modo estadístio. El uadrado de la amplitud, A 0, puede imaginarse proporional a la probabilidad por unidad de tiempo, de que un fotón rue una unidad de área perpendiular a la direión del movimiento, situada en el punto que estamos estudiando. Si un az luminoso atraviesa una estrea rendija e inide sobre una plaa fotográfia, se obtendrá una figura de difraión definida, que presentará regiones de gran intensidad alternando on regiones de intensidad muy baja. Según la interpretaión estadístia, la probabilidad de que un fotón inida sobre la plaa fotográfia es elevada donde la intensidad es grande, y es insignifiante donde la intensidad es pequeña. En el aso de un az de luz muy débil, es deir, en el aso de que pase un solo fotón por minuto a través de una rendija muy pequeña, es imposible predeir a qué punto de la plaa fotográfia irá a parar este fotón. Todo uanto se puede deir es que la posibilidad de que el fotón inida en ierta porión de la plaa es grande preisamente donde la teoría ondulatoria predie que abrá una gran intensidad y la probabilidad es pequeña en aquellos lugares donde la teoría ondulatoria predie que la intens i- dad luminosa es débil. Si sólo unos poos fotones golpean la plaa fotográfia, su disposiión será sin duda, aleatoria, pero si se permite que la luz pase a través de la rendija durante un tiempo sufiiente, de forma que el número de fotones sea grande, el resultado obtenido sobre la plaa será la figura de difraión predia por la teoría ondulatoria. Esta desripión puede apliarse a la difraión de un az de eletrones por una rendija estrea. La onda que se onsidera asoiada al eletrón es la onda de De Broglie. Existe ierta probabilidad de que un eletrón, después de pasar a través de la rendija, inida en un punto dado de la plaa fotográfia. Esta probabilidad es proporional al uadrado de la amplitud de la onda de De Broglie asoiada. Es imposible predeir exatamente el lugar de la plaa en que inidirá el eletrón. Sin embargo, después de un intervalo de tiempo sufiientemente grande omo para permitir que el número de eletrones que inide sobre la plaa sea grande, se podrá observar una figura de difraión definida y las intensidades en los distintos puntos orresponderán a las amplitudes de las ondas difratadas en ellos. 18/0
De esto se dedue que, mientras existe una indeterminaión en la desripión de los fenómenos desde el punto de vista orpusular, tal indeterminaión desaparee desde el punto de vista ondulatorio. Las funiones de onda neesarias para desribir estos fenómenos son funiones ontinuas de las oordenadas y del tiempo, y estas funiones se obtienen omo soluiones de las adeuadas euaiones de onda. En general, éstas son euaiones en derivadas pariales de segundo orden en las que intervienen las oordenadas y el tiempo. Para el aso de la luz, estas funiones de onda se obtienen a partir de las euaiones difereniales que onstituyen el punto de partida de la teoría eletromagnétia de la luz. Para el aso de las partíulas materiales, se dedue a partir de las soluiones de una euaión de onda formulada por primera vez por Edwin Srödinger y que onstituye la base de una nueva rama de la físia llamada meánia ondulatoria. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA Henry SEMAT. Físia Atómia y Nulear. Editorial Aguilar. 1966. MADRID Gerald HOLTON y Duane H.ROLLER. Fundamentos de Físia Moderna. Editorial Reverté. 1963. BARCELONA. Raymond A.SERWAY. Físia. Nueva Edit. Interameriana, S.A. 1985. MEJICO. Franis W.SEARS. Fundamentos de Físia III. Óptia. Editorial Aguilar. 1967. MADRID. Santiago BURBANO DE ERCILLA, Enrique BURBANO GARCÍA y Carlos GRACIA MUÑOZ. Físia General. XXXI Ediión. Mira Editores. ZARAGOZA. Robert W:CHRISTY y Agnar PYTTE. Estrutura de la materia: una introduión a la Físia Moderna. Editirial Reverté. 1971. BARCELONA. 19/0
Tratamiento Didátio ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- OBJETIVOS Exposiión istória de la ontroversia ientífia más importante de la istoria y por ella exponer al alumno el esfuerzo umano de expliar uno de los fenómenos más familiares al ombre que es la luz. Exponer los fundamentos de la teoría ondulatoria y de la teoría orpusular de la luz, para expliar los variados fenómenos de la luz. Poner de manifiesto el distinto omportamiento de la luz en su interaión on la materia y la neesidad del onepto de dualidad. UBICACIÓN Se ubiará en el urso de baillerato dentro de la asignatura de Físia, en el bloque temátio de "Elementos de Físia Cuánt ia". TEMPORALIZACION El tema puede exponerse en un periodo de 4 oras, para la expliaión ompleta y detallada y un periodo de 1 ora para la resoluión de problemas numérios relaionados on el tema. METODOLOGIA El tema posee un elevado ontenido teório y oneptual muy omplejo y presenta una gran difiultad su expliaión omprensiva. Debe expliarse teóriamente on todo detalle los oneptos fundamentales del tema y sus interpretaiones físias. Deben busarse imágenes y modelos sobre el onepto de dualidad que failiten la omprensión del tema, saar onlusiones y demostrar su veraidad mediante los ensayos experimentales. La expliaión debe ser ativa y partiipativa por parte del alumnado. CONTENIDOS MINIMOS Teoría ondulatoria de la luz. Desarrollo istório. Prinipales seguidores. Teoría orpusular de la luz. Desarrollo istório. Prinipales seguidores. Fenómenos preursores de la dualidad. Teoría de De Broglie. Dualidad onda-orpúsulo. Difraión de partíulas. Veloidad de las ondas de De Broglie. Prinipio de inertidumbre. Conseuenias. MATERIALES y RECURSOS DIDACTICOS Apuntes de lase. Libros de onsulta que los omplementen. Transparenias para retroproyetor sobre experimentos del tema: difraión de ne u- trones, eletrones, superposiión de ondas, et. Coleión de problemas uidadosamente reopilados relaionados on los distintos apartados del tema. EVALUACION Ejeriio esrito sobre uestiones fundamentales de la dualidad onda-orpúsulo, fenómenos relaionados on ella y las onseuenias que se derivan. Prueba esrita de opión múltiple, on preguntas de varias respuestas, en las que el alumno razone ante diferentes situaiones planteadas. 0/0