Departamento: Físca Aplcada III Mecánca Raconal (Ingenería Industral) Curso 007-08 Coordenadas Curvlíneas 1. Introduccón a. Obetvo: Generalar los tpos de coordenadas conocdos. Cartesanas. Clíndrcas, Esfércas, etc. b. Utldad: Adaptar la descrpcón matemátca a la geometría. c. Eemplos de descrpcón de movmentos Sobre superfce esférca: C. esfércas Sobre superfce cónca: C. esfércas Sobre superfce clíndrca: C. clíndrcas. Concepto de C. curvlínea a. C. cartesanas: Interseccón de tres planos coordenados b. Generalacón: Interseccón de tres famlas de superfces c. q = q (x 1,x,x 3 ), = 1,, 3 c. Correspondenca bunívoca: P(x 1,x,x 3 ) P(q 1,q,q 3 ) Eemplo (planas): Y q 1 Dstanca a un punto q Dstanca a una recta P d. Condcones:. Exsten x = x (q 1,q,q 3 ), q = q (x 1,x,x 3 ) (=1,,3). Son funcones contnuas con dervadas contnuas. J 0, J 0 J q q q x 1 1 1 1 3 = = q q1 q q3 q q q 3 3 3 1 3 q 0, J ' = 0 x O q 1 q X 3. Elementos coordenados a. Superfces ( coordenadas ndependentes). Cartesanas: x = cte.. Curvlíneas: q = cte.. Eemplos: Famla de superfces esfércas q = x + y + 1 Famla de planos 1 q Ax By C = + + b. Lneas (1 coordenada ndependente) q 1 (q = cte) (q 3 = cte), q (q 1 = cte) (q 3 = cte), q 3 (q 1 = cte) (q = cte) q =cte e 1 línea q1 e 3 e 1 e e e 3 q 3=cte q 1=cte línea q Elementos coordenados Pag 1/1
Departamento Físca Aplcada III Coordenadas curvlíneas c. Eercco propuesto: Un sstema de coordenadas vene dado por q 1 : dstanca al ee OZ, q : dstanca al ee OY, q 3 : dstanca al plano =0. Determnar el domno de defncón y los elementos coordenados (superfces y líneas) a) Dbuar en un espaco trdmensonal cartesano las coordenadas ndcadas. b) Determnar las superfces coordenadas q = q( x1, x, x3), x = x( q1, q, q3). c) Determnar las líneas coordenadas. d) Calcular el acobano y determnar el domno de defncón 4. Bases vectorales contravarantes: { } e r a. Defncón: e = q b. Propedades. Locales: Dependen del punto. Tangentes en P a las líneas coordenadas. Forman base vectoral local ( ) x1 x x q q q 3 1 1 1 x x x = = 0 1 3 e1 e e3 J q q q x1 x x3 q3 q3 q3 v. En general no son ortogonales v. En general no son untaros e = hu e1 = h1 Factor de escala contravarante { u } untaros: Base físca contravarante c. Consecuencas. Expresón de un vector edq 3 3 ds 1 3 A= Ae1+ A e + A e3 edq 1 1 A= Ae (conveno de Ensten). Elemento de arco dr = ds = dqe. Elemento de volumen dν ol = dq e ( dq e dq e ) = dq dq dq e ( e e ) = dq dq dq J 5. Base vectoral covarante: { e } 1 1 3 3 1 3 1 3 1 3 q q q a. Defncón: e = q = 1+ + 3 x1 x x3 b. Propedades. Locales: Dependen del punto. Normales en P a las superfces coordenadas. Forman base vectoral local edq Pag. /1
Departamento Físca Aplcada III Coordenadas curvlíneas q q q 1 1 1 1 3 q q q ( ) = = ' 0 1 3 e e e J 1 3 q3 q3 q3 x1 x x3 v. En general no son ortogonales v. En general no son untaros e = hu e = h : Factor de escala covarante { u } untaros: Base físca covarante c. Expresón de un vector: 1 3 A= Ae 1 + Ae + Ae 3 A= Ae (conveno de Ensten) 6. Recprocdad de las bases. r e = q e = q dq r r r dr = dq + dq + dq = e dq = e dq, 1 3 q1 q q3, = 1 + + x1 x x3 = e e dq, dr = e dq q q q e 3, q q q e dr = dx1 + + 3 1 Como {q } son ndependentes, habrá de ser e e = δ, δ =, δ: delta de Kronecker { 0, 1, = 7. Componentes de un vector 1 3 a. Contravarantes: = + + A Ae Ae Ae A = Ae 1 3 1 3 b. Covarantes: A = Ae + Ae + Ae 1 3 ( 1 3) A e + A e + A e e = A 1 3, 1 3 ( A1e + Ae + Ae 3 ) e A = Ae 8. Cambos de base a. De covarante a contravarante e = g, e - e combnacón lneal de e 1 - e = g e + g e + g e,1,,3 - G ( g, ) = : Matr de Gram covarante., b. De contravarante a covarante: e = g e - e combnacón lneal de e,1,,3 - e = g e + g e + g e, - G' ( g ) 1 3 = : Matr de Gram contravarante 3 dq (índces: mudo, fo) c. Propedades de la matr de Gram. Elementos: Productos escalares de los vectores de las bases k e = g e e g = e e, (, ) k,, = e dr, Pag. 3/1
Departamento Físca Aplcada III Coordenadas curvlíneas k, ( k ) e g e e = g, = e e. Smetría: e e = e e g, g = g, e e = e e g = g,, k,. Recprocdad: δ = g, kg e = g e e δ = e e = g e e = g g ( k,, ) k k k, k, k 9. Producto escalar de dos vectores: A B = Ae B e = AB A B = AB 10. Coordenadas ortogonales a. Concepto: e e ( ) b. Superfces y líneas coordenadas ortogonales e e, e e u u, u u,, c. Matrces de Gram dagonal:. Superfces coordenadas, ortogonales,, g = e e = hu h u = hh δ g = hh δ, (s = g = ( h ), s 0. Líneas coordenadas ortogonales g = e e = hu h u = hh δ,, g = hh δ,, g = ) d. Bases físcas déntcas. e = g e = h e, e e u = u ( ). Factores de escala recíprocos 1 e e = hu hu = hh = 1 h = h e. Elemento de arco: General: dr = ds = dqe ds = dq dq e e = dq dq g ( ), C. Ortogonales: ( ds) = ( h ) ( dq ) edq ( no sumatoro) 1 1 edq 3 3 ds edq f. Elemento de volumen: dvol= J dq1dqdq3 J = e1 ( e e3) = hu 1 1 ( hu hu 3 3) = h1hh3u1 ( u u3 ) u u u = J = h h h ( ) 1 3 1, 1 3 ol= h h h dq dq dq dv 1 3 1 3 Pag. 4/1
Departamento Físca Aplcada III Coordenadas curvlíneas 11. Componentes de la velocdad v a. Contravarantes, q : r dr e = dr = dqe v = = qe ; v = qe q dt b. Covarantes, : q v= qe, v= qg e, V = qg,, Energía cnétca específca: τ=½v 1 v = qe q e = qq g,, τ = qq g, Sea α un valor del índce (1, ó 3) 1 1 = qg α, + qg, α q α Como los índces y son mudos y además G es smétrca, podemos denomnarlo y escrbr = qg, α, es decr Vα = q α qα v = e q 1. Componentes covarantes de la aceleracón a a. En base natural covarante: A = a e = Ae e = Aδ A = a e, dv A = e dt Tenendo en cuenta que d( v e ) dv de e = + v resulta dt dt dt d( v e ) de AJ = v dt dt d( v e ) Cálculo de dt d ( v e ) d v e = e e = = q q dt dt q de Cálculo de v dt de d r = Para coordenadas del tpo geométrco dt dt q x =x (q 1,q,q 3 ), que no dependen explíctamente de las velocdades generaladas n del tempo. puede permutarse el orden de dervacón: Pag. 5/1
Departamento Físca Aplcada III Coordenadas curvlíneas de d r dr v = = = dt dt q q dt q de v v = v = dt q q En conclusón d A = dt q q, b. En base físca a = Ae = Ahu, a = au a = Ah d a = h dt q q en coordenadas ortgonales 1 d a = h dt q q Semplano = cte. línea Z k Plano =cte. uθ 13. Aplcacón a coordenadas clíndrcas a. Trasformacones. De clíndrcas a cartesanas x = cos, y = sen, =. De cartesanas a clíndrcas y = x + y, = arctan g, = x b. Domnos de defncón: x. J = 0 q = cos = sen = 0 = 0 = 0 = 1 línea Clndro = cte. y y y J = = sen = cos = 0 = J 0 Transformacón defnda excepto en =0 (Ee OZ) c. Superfces coordenadas. Superfce =cte.: Clndro de rado y ee de smetría OZ. Superfce = cte.: X P línea Elementos coordenados en c. clíndrcas Semplano que contene al ee OZ y forma un ángulo con el y=0. Superfce = cte.: Plano paralelo al OXY a dstanca Y u Pag. 6/1
Departamento Físca Aplcada III Coordenadas curvlíneas d. Líneas coordenadas = cte = cte. Líneas ( ) ( ) Solo camba Línea radal que pasa por (0,0,) y P(x,y,). = cte = cte. Líneas ( ) ( ) Solo camba Crcunferenca de centro (0,0,), que pasa por P = cte = cte. Líneas ( ) ( ) e. Base contravarante Solo camba Recta paralela a OZ que pasa por P r e =, e = cos 1+ sen h = e = 1; u = e r e =, e = sen1+ cos h = e = ; u = sen1+ cos e = k h = e = 1, u = e = k f. Base covarante, x y e = e = + 1 x + y x + y Susttuyendo x,y se obtene e = cos1+ sen h = e = 1, u = e = e 1 e =, e = ( sen1+ cos) 1 h e, = = u = sen 1 + c os u = u Pag. 7/1
Departamento Físca Aplcada III Coordenadas curvlíneas e = k h = e = 1, u = e = k; g. Matr de Gram ( h1 ) 0 0 1 0 0 G = 0 ( h ) 0 = 0 0 0 0 ( h3 ) 0 0 1 1 ( h ) 0 0 1 0 0 1 G' = 0 ( h ) 0 0 0 = 3 0 0 ( h ) 0 0 1 h. Arco elemental ds = dqe, e = hu ds = h dq u + h dq u + h dq u ds = d u + d u + d k. Volumen elemental dvol= hhhdqdqdq. Velocdad en base contravarante v = qe v = e + e + e 1 3 1 3 d vol = d d d k. Velocdad en base físca v = qe = qhu e = u, e = u, e = k v = u + u + k ( ) 1 1 1 3 3 3 1 1 τ = v = + + Obsérvese que estas componentes pueden obtenerse por nspeccón del dbuo del elemento de arco en estas coordenadas: v = u : v cuando solo camba (Líneas ) v = u : v cuando solo camba (Movmento crcular en la línea ) v = k : v cuando solo camba Obsérvese que en este caso los factores de escala h son los que acompañan a qu Pag. 8/1
Departamento Físca Aplcada III Coordenadas curvlíneas l. Velocdad en base covarante Puede obtenerse medante la energía cnétca específca v = e q Tambén puede obtenerse cambando la base en la expresón de la velocdad en base físca u e = hu = u = he, u = e, u = e, k = e h v = e + e + e m. Aceleracón en base covarante d A = ; A = dt d A = ; A = ( + ) dt d A = ; A = dt n. Aceleracón en base físca A A a =, a = A, a =, a = h a = u + + u +k ( ) ( ) A X Z θ Coordenadas esfércas P uθ u U Y 14. Aplcacón a coordenadas esfércas a. Transformacones. De cartesanas a esfércas y x + y = x + y +, = arc t g, θ = arc tg x. De esfércas a cartesanas x = senθ cos, y = senθ sen, = cosθ b. Domno de defncón x J = q = senθ cos = cosθ cos = senθ sen θ y y y = = θ = θ = θ = θ J sen sen cos sen sen cos sen = cosθ = senθ = 0 θ θ Pag. 9/1
Departamento Físca Aplcada III Coordenadas curvlíneas J=0 =0, ó θ=0; La trasformacón queda defnda excepto en el ee OZ c. Superfces coordenadas. =cte. Superfce esférca de centro (0,0,0) y rado. θ=cte. Superfce cónca de vértce (0,0,0) y semángulo θ. =cte. Semplano que contene al ee OZ y forma un ángulo con el y=0 d. Líneas coordenadas. Líneas Cono θ= cte Línea ( θ = cte) ( = cte) Línea Línea θ Solo camba θ Líneas radales que pasan por (0,0,0) y P(x,y,) Esfera =cte. Líneas Semplano =cte. θ ( = cte) ( = cte) Solo camba θ Elementos coordenados en c. Esfércas Merdanos ó crcunferencas que pasan por los polos y P.. Líneas ( = cte) ( θ = cte) Solo camba Paralelos ó crcunferencas en el plano paralelo a OXY que pasan por P e. Bases. Contravarante r e =, e = senθ cos1+ senθ sen + cosθ 3 h = e = 1, u = e r e, e (cos θ cos 1 cos θ θ θ sen sen θ = = + θ eθ hθ = eθ =, uθ = r e =, e = ( senθ sen1+ senθ cos ) e h = e = senθ, u = = sen1+ cos senθ. Base natural covarante ( calculada a partr de la anteror) 3 ) Pag. 10/1
Departamento Físca Aplcada III Coordenadas curvlíneas 1 u e e = hu, u = u, h = e = = h ( ) h h e = e θ eθ θ cosθ cos1+ cosθ sen senθ e =, e = 3 ( hθ ) e 1 cos e, e sen + = = h senθ f. Matr de Gram (, θ, ): g, =h h δ, G 1 0 0 0 0 senθ = 0 0 g. Arco elemental ds = dqe ds = d e + dθ eθ + de ds = d u + dθu + senθ d u θ h. Volumen elemental: dvol= hhhdqdqdq 1 3 1 3 dvol= senθ d dθ d. Velocdad en base contravarante v = qe v = e + θe + e θ. Velocdad en base físca Puede obtenerse expresando la ecuacón anteror en la base físca medante los factores de escala h e = hu h = 1, hθ =, h = senθ Tambén se puede proceder al contraro obtenendo la velocdad en la base físca medante la expresón del elemento de arco. En este caso los factores de escala son los que acompañan a qu en la expresón de la velocdad v = u + θu θ + senθ u 1 τ = ( + θ + sen θ ) k. Velocdad en base covarante Puede obtenerse medante la expresón de la energía cnétca específca Pag. 11/1
Departamento Físca Aplcada III Coordenadas curvlíneas v = e q Tambén puede obtenerse cambando la base en la expresón de la velocdad en base físca u e = hu = u = he (índce no es sumatoro) h u e, u e θ, u sen e = θ = = θ v = e + θ e θ + sen θ e l. Aceleracón en base covarante d A = ; A = θ sen θ dt d Aθ = ; Aθ = θ + ϑ senθ cosθ dt θ θ d A = ; A = sen θ+ senθ cosθ θ+ sen θ dt m. Aceleracón en base físca A A A θ a =, a = A, aθ =, a = h senθ θ sen θ a = θ+ ϑ senθ cosθ senθ + cosθ θ + senθ u, uθ, u 15. Algortmo para el cálculo de vya en bases físcas ortogonales a. Obtener el elemento de arco ó la velocdad en forma vectoral, medante la nspeccón gráfca de las líneas y del tredro coordenado ds = dqhu v = q hu b. A partr de los datos anterores deducr. Factores de escala h. Energía cnétca específca τ= ½ v c. Obtener las expresones de las componentes de la aceleracón en la base físca: 1 d a = h dt q q 16. Algortmo para el cálculo de vya en bases covarantes ó contravarantes ortogonales. a. Obtener v, a y factores de escala en la base físca b. Efectuar el cambo de base aplcando: e u =, u = he ( no sumatoro) h Bblografía: Cuadernos de Mecánca: Cnemátca y tensores. Pablo Hervás Burgos, Marcelo Rodrígue Danta, José Martíne García Pag. 1/1