ÁREA: Algebra COLEGIO BENIGNO TOMÁS ARGOTE UNIDAD # 1 ASIGNATURA: Matemática. NIVEL: Duodécimo grado ( CIENCIAS ) PROFESOR: José Alexander Echeverría Ruiz TRIMESTRE: I TÍTULO DE LA UNIDAD DIDÁCTICA: 1. Inecuaciones o desigualdades. OBJETIVO DIDÁCTICO: Encontrar y representar gráficamente el conjunto solución de desigualdades lineales y cuadráticas. CONTENIDOS: 1. Inecuaciones o desigualdad. 1.1 Definición de las relaciones de orden. 1.2 Tipos de intervalos. 1.3 Propiedades fundamentales de las desigualdades. 1.4 Tipos de desigualdades(lineal, Racional, Cuadrática, Valor Absoluto ) 1.5 Solución y representación: conjunto, intervalo y gráfica en la recta numérica. La desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra. Sus signos son > que se lee mayor que, y < que se lee menor que. Ejemplo: 5 > 3 se lee 5 es mayor que 3-4 < - 2 se lee - 4 es menor que - 2. El primer miembro de una desigualdad es la expresión que está a la izquierda y el segundo miembro está a la derecha del signo de desigualdad. En a + b > c d el primer miembro es a + b y el segundo c - d. Constante es la Cantidad que tiene un valor fijo en un determinado proceso. Ejemplo: 4, -5, ½, a, b, c. Dominio de una variable es el conjunto de todos los valores o soluciones de esa variable.
N Desigualdad Notación de Intervalos 1 a < x < b (a, b) 2 3 4 5 6 7 8 a < x b (a, b] a x < b [a, b) a x b [a, b] x > a (a, ) x a [a, ) x < b (-, b) x b (-, b] N Desigualdad Notación de Intervalos Gráfica 1 2 < x < 5 ( 2, 5 ) 2 2 < x 5 ( 2, 5 ] 3-3 x < 2 [ -3, 2 ) 4-2 x 5 [ -2, 5 ]
5 x > -6 ( -6, ) 6 x 12 [ 12, ) 7 x < -5 (-, -5) 8 x 3 (-, 3 ] I- Escriba las siguientes desigualdades en notación de intervalo a) x > -3 b) -2 < x < 4 c) 4 < x < 5 d) x < -10 e) 0 < x < 2 f) x > - 8 g) - 11 < x < 12 h) x < 8 II- Escriba las siguientes notaciones de intervalo en desigualdades. a) ( -5, 6 ] b) [ 5, 6 ] c) [ 2, + ) d) ( 10, 20 ) e) [ 8, 12 ) f) (-, -7 ) g) [ -12, 2 ] h) ( 0, 5 ]
Si a dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía. Dada la desigualdad a > b, podemos escribir: a > b entonces a + c > b + c y a - c > b c Si dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía. Dada la desigualdad a > b y siendo c una cantidad positiva, podemos escribir: a > b ac bc Si dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía. Si en la desigualdad a > b multiplicamos ambos miembros por - c, tendremos: a b a > b entonces - a c < - b c -c -c Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo. Siendo a > b se tiene que 1 a 1 b y a c b c Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. Si a > b evidente que b < a. es Cuando los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia. Si a > b es evidente que a 2 > b 2 (Desigualdad lineal con números enteros) 3 x +8 > - 5 x 8 3 x + 5 x > -8 8 8 x > -16 x > - 16 8 x > -2 ( -2, + )
(Desigualdad lineal con números fraccionarios) 5 1 7 1 x x x 3 4 4 6 5 1 7 1 12 x 12 x 12 12 x 3 4 4 6-4 ( 5 x ) - 3 ( x ) < 3 ( 7 ) 2 ( x ) - 20 x 3 x < 21 2 x -20 x 3 x + 2 x < 21-21 x < 21 21x 21 21 21 x > -1 ( -1, + ) (Desigualdades dobles lineales) - 9 < 4 x - 1 < 11-9 +1 < 4 x -1+1 < 11 +1-8 < 4 x < 12 8 4x 12 4 4 4-2 < x < 3 ( - 2, 3 )
Resolver las siguientes desigualdades y representar el conjunto solución en la recta real mediante intervalo y gráficamente. a) 2 x - 4 < 4-2 x b) 6 + 3 x 4 - x c) 4-2 t > t - 5 d) 3 ( 4 - x ) > 18 x -9 e) x + 19 3 x + 1 f) a 2 a 1 4 3 g) 3 x - 12 5 x - 6 4 h) x x x 5-3 2 6 i) - 5 7 + 4x < 15 j) - 4 < 5x + 6 21 k) 30 5 (x 32) 9 40 R: a) x < 2 R: b) x - 0.5 R: c) t < 3 R: d) x < 1 R: e) x 9 R: f) a 10 R: g) x 6 R: h) x > 5 R: i) -3 x < 2 R: j) -2 < x 3 R: k) 86 x 104 Algunos puntos que hay que seguir cuando se resuelve una desigualdad son: Factorizar en factores lineales o utilizar la formula general de la función cuadrática. Encontrar todos los valores críticos, haciendo cero los factores lineales. Utilizar la recta numérica para confeccionar la gráfica para ayudarse a determinar la solución. La solución debe ser expresada en la notación de intervalos y de conjuntos.
x 2 5 x + 4 < 0 (x 4) (x 1) < 0 Punto crítico x 4 = 0 x 1 = 0 x = 4 x = 1 Tabla Intervalo x - 4 x - 1 (x 4) (x 1) x < 1 - - + 1 < x < 4 - + - x > 4 + + + Solución: 1 < x < 4. ó ( 1, 4 ). x 2 5 x + 4 > 0 (x 4) (x 1) > 0 Punto crítico x 4 = 0 x 1 = 0 x = 4 x = 1 Tabla Intervalo x - 4 x - 1 (x 4) (x 1) x < 1 - - + 1 < x < 4 - + - x > 4 + + + Solución: x < 1 x > 4 ( -, 1 ) U ( 4, + ) Resuelva las siguientes desigualdades aplicando los puntos antes señalados para resolver desigualdades cuadráticas. a) x 2 + 5 x - 24 < 0 b) x 2 10 x + 21 0 c) x 2 + x - 42 > 0 d) 2x 2 + 3 x - 2 0 e) 3 x 2 - x - 2 > 0 Respuestas: a) - 8 < x < 3 b) x < 3 x > 7 c) x < - 7 x > 6 d) - 2 < x < ½ e) x < -1/3 x > 1
Definición: x = x si x > 0 - x si x < 0 Notación: Sí a >0, a є R 1) x < a sí y solo sí, a < x < a 2) x > a sí y solo sí, x > a ó x < - a 3) x = a sí y solo sí, x = a o x = - a 2x 16 = 4 2 x 16 = 4 2 x 16 = - 4 2 x = 4 + 16 2 x = - 4 + 16 2 x = 20 2 x = 12 x = 20/2 x = 12/2 x = 10 x = 6 3 x + 12 6 3 x + 12 6 3x + 12-6 3 x 6 12 3 x - 6 12 3 x - 6 3 x 18 x -6/3 x -18/3 x - 2 x - 6 Solución [ -2, + ) U ( -, -6 ]
2x 7 < 9-9 < 2x - 7 9-9 +7 < 4x 9 +7-2 < 4x 16 4 4 4 Solución -1/2 < x 4 ( -1/2, 4 ) a) x 5 = 4 b) 4 x + 5 = 15 c) 7 2 x = 9 d) 5 x = 6 x e) x 5 3 f) 3x + 12 4 g) 3x 5 10 h) 2x 7 < 9 i) x 5 j) 4 x + 7 > 6