Física II Guía e ejercicios 5 CAPACIDAD 5. Capacia 5.. Problema 5... Enunciao Las placas e un capacitor e placas paralelas están separaas por una istancia e, 8mm y caa una tiene un área e, cm. Caa placa tiene una carga con magnitu = 4, 5 0 8 C. Las placas están en el vacío. a Cuál es la capacia? b Cuál es la iferencia e potencial entre las placas? c Cuál es la magnitu el campo eléctrico entre las placas? 5... Respuesta a C =, 9pF b V =, kv c E = 4, 09 0 6 V m 5... Solución a C = ε0a ; se parte e la expresión e la capacia e un capacitor e placas paralelas genérico. C = 8,85 0 m,cm² F,8mm ; eben llevarse las uniaes e área a m y istancia a m. C = 8,85 0 m, 0 F 4 m,8 0 m C = 8,85 0 m, 0 F 4 m,8 0 m =, 97 0 F C =, 97 0 F =, 9pF b Partimos e la efinición e capacia: C = V V = C V = C = V = 5V =, kv 4,5 0 8 C,97 0 F c De la relación entre campo eléctrico y iferencia e potencial: E = V E = 5V,8 0 m E = 40896 V m 4, 09 06 V m 5.. Problema 5... Enunciao Un capacitor e placas paralelas e aire y capacia e 45pF tiene una carga con magnitu e 0, 48µC en caa placa. Las placas están separaas por una istancia e 0, 8mm. a Cuál es la iferencia e potencial V entre las placas? b Cuál es el área A e caa placa? c Cuál es la magnitu el campo eléctrico E entre las placas? Cuál es la ensia superficial e carga σ en caa placa? 5... Respuesta a V = 604V b A = 90, 8cm c E =, 84 0 6 V m σ =, 6 0 5 C m Universia Nacional e Moreno 5 Ing. Guillermo Gurfinkel
Física II Guía e ejercicios 5. Problema 5... Solución a C = V b C = ε0a V = C = 0,48µC 45pF = 0,48 0 6 C 45 0 F = 604V A = C ε 0 = 45 0 F0,8 0 m 8,85 0 m F A = 9, 08 0 m = 90, 8 0 4 m = 90, 8cm c E = V E = 604V 0,8 0 m = 8446 V m =, 84 06 V m σ = A = 0,48 0 6 C 90,8 0 4 m =, 6 0 5 C m 5.. Problema 5... Enunciao Un capacitor cilínrico consiste en un núcleo sólio conuctor con raio e 0, 5cm, coaxial con un tubo conuctor exterior hueco. Los conuctores están roeaos poire, y la longitu el cilinro es e cm. La capacia es e 6, 7pF. a Calcule el raio interior r b el tubo hueco exterior. b Cuano el capacitor está cargao con una iferencia e potencia e 5V, cuál es la carga por unia e longitu λ [ C m] el capacitor? Figura 5.: Capacitor cilínrico. 5... Respuesta a r b = 0, cm b λ = 8, nc m 5... Solución a Primeramente se eucirá la capacia e esta geometría, partieno el conocimiento el potencial e la misma, obtenio en el ejercicio 4.. V ab = λ πε 0 ln rb λ = L V ab = πε ln rb 0L C = V = V ab = ln r b πε 0 L C = ln πε0l r b ; e one se espeja r b. ra ra r b = 0, 5cm e r b = e πε 0 L C π8,85 0 m0,m F 6,7 0 F r b = 0, 5cm e π8,850, 6,7 r b = 0, 9998cm = 0, cm Universia Nacional e Moreno 5 Ing. Guillermo Gurfinkel
Física II Guía e ejercicios 5 CAPACIDAD b λ = L = λl C = V = λl V λ = C V L λ = C V 6, 7 0 L = F 5V 0, m λ = 89 0 C m = 8, 0 9 C m λ = 8, nc m 5.4. Problema 5.4.. Enunciao Un capacitor cilínrico tiene un conuctor interno e, 5mm e raio y un conuctor externo e, 5mm e raio. Los os conuctores están separaos por vacío, y el capacitor completo mie, 8m e largo. a Cuál es la capacia por unia e longitu C l? b El potencial el conuctor interno es 50mV mayor que el el conuctor externo. Determine la carga, en magnitu y signo, en ambos conuctores. 5.4.. Respuesta a C l = 66 pf m b = +64pC para el conuctor central y = 64pC para el cilinro exterior. 5.4.. Solución a Partieno e la capacia el un capacitor cilínrico, hallaa anteriormente, C = πε0l ln r b ra = π8,85 0 F m,8m ln,5mm,5mm = 8, 75pF C 8, 75pF = L, 8m = 66pF m b C = V = C V = 8, 75 0 F 0, 5V = 64pC La carga el conuctor interior será = +64pC y la el conuctor hueco externo = 64pC, conforme con el sentio el campo eléctrico y por ene con mayor potencial para puntos más cercanos al conuctor central. 5.5. Problema 5.5.. Enunciao Un capacitor esférico está formao por os corazas concéntricas, esféricas y conuctoras, separaas por vacío. La esfera interior tiene un raio e 5cm y la capacia es e 6pF. a Cuál es el raio e la esfera exterior r b? b Si la iferencia e potencial entre las os esferas es e V = 0V, cuál es la magnitu e la carga en caa esfera? Universia Nacional e Moreno 54 Ing. Guillermo Gurfinkel
Física II Guía e ejercicios 5.5 Problema Figura 5.: Capacitor esférico. 5.5.. Respuesta a r b = 0, 75m b = 5, 5nC la esfera interior e raio cargaa positivamente. 5.5.. Solución a Partieno el conocimiento el campo eléctrico en la zona espacial exterio una esfera cargaa, eucio en el ejercicio 4.5, poemos eucir que la aplicación e la ley e Gauss a este caso, en el cual una esfera similar, cargaa, se encuentra encerraa entro e otra esfera e mayor raio y carga opuesta, arrojará el mismo resultao, ya que la enc al aplicar la ley e Gauss en la zona entre ambas esferas será la misma, es ecir, la carga total e la esfera interior. De esta manera, poemos eucir la expresión el potencial V a partir el campo eléctrico, para < r < r b. E < r < r b = 4πε 0 r Mientras que E r < = 0 por ser la esfera interior conuctora, por lo que enc = 0 y E r > r b = 0 ao que al aplicar la ley e Gauss para esta zona enc = 0. El potencial estará ao entonces por la siguiente relación. ˆ V = E.r V ba = V ra V rb V ab = ˆr b = [ 4πε 0 r ] rb ˆr b E.r = = 4πε 0 4πε 0 r r r b Expresión a partir e la cual poemos calcular la capacia el sistema. C = C = V = V = V ba 4πε 0 C = 4πε 0 r b Para conocer el valor el raio exterior r b, sencillamente se espeja e la última expresión, obtenieno: r b = 4πε 0 r b C Universia Nacional e Moreno 55 Ing. Guillermo Gurfinkel
Física II Guía e ejercicios 5 CAPACIDAD r b = = 4πε 0 r b C r b = 0,5m 4π8,85 0 F 6 0 F 4πε0 C m r b = 0, 759m = 7, 5cm b La carga e caa esfera se euce a partir e la efinición e capacia. El valor obtenio será la carga e caa una e las esferas, la interior con carga positiva y la exterior con mismo valor e carga negativa para este caso. C = V = C V = 6pF,0V 5.6. Problema 5.6.. Enunciao = 550pC = 5, 5nC Un capacitor esférico contiene una carga e, nc cuano está conectao a una iferencia e potencial e 0V. Si sus placas están separaas por vacío y el raio interno e la coraza exterior es e 4cm, calcule: a La capacia. b El raio e la esfera interior. c El campo eléctrico inmeiatamente afuera e la superficie e la esfera interior. 5.6.. Respuesta a C = 5pF b =, 085cm c 78 V m 5.6.. Solución a C = V =,nc 0V =, 0 9 C 0V C = 5 0 F C = 5pF b Para un capacitor esférico, se eujo en el punto 5.5 la expresión e su capacia. = C = 4πε 0 r b = 4πε 0 r b C = m 0,04m + 4π8,85 0 F 5 0 F r b + 4πε0 C = 0, 0085m =, 085cm c El campo en los puntos r = puee hallarse meiante la ley e Gauss, consierano que la carga neta encerraa es toa la carga que encierra la esfera e raio, es ecir enc =. Como se observa en el punto 4.9, el campo en tal región resulta iéntico al generao por una carga puntual e igual carga, situaa en el centro e la esfera. De esta manera: E = 4πε 0 r Universia Nacional e Moreno 56 Ing. Guillermo Gurfinkel
Física II Guía e ejercicios 5.7 Problema E = 5 0 4π F 8, 85 0 F m 0, 0085m E = 78 V m 5.7. Problema 5.7.. Enunciao En la figura, C = 6µF, C = µf y C = 5µF. La re e capacitores está conectaa a un potencial aplicao V ab. Después e que las cargas en los capacitores han alcanzao sus valores finales, la carga en C es e 40µC. a Cuáles son las cargas en los capacitores C y C? b Cuál es la iferencia e potencial aplicaa V ab? Figura 5.: Asociación e capacitores. 5.7.. Respuesta a = 80µC; = 0µC b V ab = 7, V 5.7.. Solución a V ac = V C = V C = C = C V ac = C = 40µC µf V ac =, V V ac = C = V ac C =, V 6µF = 80µC Debio a que en una asociación tipo serie la carga es la misma para caa capacitor inepenientemente e su capaia, la carga en C será la misma que la carga en el capacitor resultante e la asociación en paralelo e C C, o lo que es lo mismo: = + = 80µC + 40µC b V ab = V ac + V ab = 0µC Universia Nacional e Moreno 57 Ing. Guillermo Gurfinkel
Física II Guía e ejercicios 5 CAPACIDAD V ac =, V ; eucio en el punto a. V cb = C = 0µC 5µF = 4V V ab = V ac + V ab V ab =, V + 4V 5.8. Problema 5.8.. Enunciao V ab = 7, V En la figura se ilustra un sistema e cuatro capacitores, one la iferencia e potencial V ab = 50V. a Determine la capacia equivalente el sistema entre a y b. b Cuánta carga se almacena en esta combinación e capacitores? c Cuánta carga se almacena en caa uno e los capacitores e 0µF y 9µF C y C 4? Figura 5.4: Asociación e capacitores. 5.8.. Respuesta a C T =, 47µF b T = 7, 5µC c = 4 = 7, 5µC 5.8.. Solución a C T = C + C +C + C 4 C T = 0µF + 5µF +8µF + 9µF C T =, 47µF b La carga total T = = 4 = +, ya que en un circuito e capacitores asociaos en serie, la carga es la misma en caa uno e ellos o el capacitor equivalente e una asociación intermeia, como el paralelo entre y. T = C T V ab =, 47µF 50V T = 7, 5µC c Por lo explicao anteriormente: T = = 4 = + = 4 = 7, 5µC Universia Nacional e Moreno 58 Ing. Guillermo Gurfinkel
Física II Guía e ejercicios 5.9 Problema 5.9. Problema 5.9.. Enunciao Un capacitor e placas paralelas tiene capacia C = 5pF cuano hay aire entre sus placas. La separación entre las placas es e, 5mm. a Cuál es la magnitu máxima e carga que puee colocarse en caa placa si el campo eléctrico entre ellas no ebe exceer 0 4 V m? b Se inserta un ieléctrico con K =, 7 entre las placas el capacitor, llenano por completo el volumen entre ellas. Ahora, cuál es la magnitu máxima e carga en caa placa si el campo eléctrico entre ellas no ebe exceer 0 4 V m? 5.9.. Respuesta a máx = 5pC b máx = 607, 5pC 5.9.. Solución a Si E máx = 0000 V m V máx = E máx = 0000 m V 0, 005m V máx = 45V De la efinición e capacia obtenemos el valor máximo e la carga para este caso: C = V max = C V máx max = 5pF 45V = 5pC b Al insertar un ieléctrico con ε r =, 7 el valor e la capacia se incrementa en icha proporción. Y e esta manera: C = ε r C =, 7 5pF max = C V máx =, 7 5pF 45V = 607, 5pC El capacitor, al insertarle el ieléctrico, puee almacenar ε r veces más carga, para un mismo límite e máxima iferencia e potencial entre sus placas. 5.0. Problema 5.0.. Enunciao Dos placas paralelas tienen cargas iguales e signo contrario. Cuano se evacua el espacio entre las placas, el campo eléctrico es, 0 5 V m. Cuano el espacio se llena con un ieléctrico, el campo eléctrico es, 5 0 5 V m. a Cuál es la ensia e carga σ en caa superficie el ieléctrico? b Cuál es la constante ieléctrica ε r? 5.0.. Respuesta a σ i = 0, 69 µc m b ε r =, 8 Universia Nacional e Moreno 59 Ing. Guillermo Gurfinkel
Física II Guía e ejercicios 5 CAPACIDAD 5.0.. Solución a E 0 =,,0 5 V m Campo eléctrico con aire entre las placas. E f =, 5,0 5 V m Campo eléctrico con el ieléctrico insertao entre las placas paralelas. Sabemos que el campo que generan os placas paralelas cargaas opuestamente tiene un valor ao, en forma general, por: E = σ ε Y por ello, para el caso e tener como ieléctrico entre las placas el aire: E 0 = σ ε 0 σ = E 0 ε 0 =,,0 5 V 8, 85 0 F m m σ =, 8 µc m σ es la ensia superficial e carga que posee caa placa caa una con el signo que le correspona. La ensia superficial e carga inucia σ i es la ensia superficial e carga presente en la superficie el ieléctrico que se encuentra en contacto con la placa; esta ensia e carga inucia en el ieléctrico es opuesta a la e las placas y por ene el valor neto e carga encerraa al aplicar la ley e Gauss en caa placa se reuce, lo que provoca que el campo eléctrico entre las placas sea menor para igual iferencial e potencial aplicaa entre las placas. Esta es una enorme ventaja que brina introucción e un ieléctrico. Cómo calcularla? Sabemos que el campo eléctrico entre las placas isminuye ε r veces con la introucción el ieléctrico. De esta manera: Ef = E 0 ε r ε r = E 0 E f 5 y, por otro lao, en ausencia e ieléctrico caso e tener vacío o aire entre las placas: E 0 = σ ε 0 σ = E 0 ε 0 6 Al introucir el ieléctrico poemos expresal campo eléctrico e os maneras, en función e ε r y en función e σ i : E = σ ε r ε 0 = σ σ i ε 0 σ ε r ε 0 = σ σ i ε 0 σ = σ σ i ε r σ i = σ εr 7 Dao que ε r para cualquier ieléctrico práctico, vemos que la carga inucia σ i aumenta cuanto mayor sea el valor e la permitivia relativa el ieléctrico ε r, hasta el límite teórico, en el cual σ i σ, para ε r. De esta manera, poemos calcular la ensia e carga superficial inucia, utilizano las ecuaciones 5, 6 y 7. Universia Nacional e Moreno 60 Ing. Guillermo Gurfinkel
Física II Guía e ejercicios 5. Problema σ i = σ εr b σ i = E 0 ε 0 E0 E f σ i =,,0 5 V 8, 85 0 F m m,,0 5 V m,5,0 5 V m 7 µc σ i = 0, 695,0 m ε r = E 0 E f =, 8 5.. Problema 5... Enunciao El ieléctrico que va a usarse en un capacitor e placas paralelas tiene una constante ieléctrica e ε r =, 6 y rigiez ieléctrica e, 6 0 7 V m. El capacitor ebe tener una capacia e, 5nF y ebe soportar una iferencia e potencial máxima e 5500V. Cuál es el área A mínima que eben tener las placas el capacitor? 5... Respuesta A mín = 0, 05m 5... Solución Dao que la relación entre la iferencia e potencial máxima y la rigiez ieléctrica máximo valor e campo eléctrico que puee soportar el ieléctrico antes e su ruptura es, en efinitiva, el valor e la separación entre las placas, tenemos toos los atos necesarios para obtener el área el capacitor e placas paralelas en cuestión. 5.. Problema 5... Enunciao C = ε 0ε r A A mín = = ε 0ε r A V máx E máx C V máx ε 0 ε r E máx, 5,0 9 F 5500V A mín =, 6,0 7 V m 8, 85,0 F m, 6 A mín = 0, 048m Cuano se conecta un capacitor relleno con aire, e 60nF e capacia, a una fuente e potencia, la energía almacenaa en el capacitor es e, 85 0 5 J. Mientras el capacitor se mantiene conectao a la fuente e potencia, se inserta un trozo e material ieléctrico que llena por completo el espacio entre las placas. Esto incrementa la energía almacenaa en, 0 5 J. a Cuál es la iferencia e potencial V entre las placas el capacitor? b Cuál es la constante ieléctrica ε r el trozo e material? Universia Nacional e Moreno 6 Ing. Guillermo Gurfinkel
Física II Guía e ejercicios 5 CAPACIDAD 5... Respuesta a V = 0, 4V b ε r =, 5 5... Solución a Puee calcularse la iferencia e potencial aplicaa a partir e la efinición e energía, analizánola particularmente para el caso e tener como ieléctrico el vacío. U 0 = CV V = U0 C =, 85 0 5 J 60 0 9 = 0, 4V F b Analizano la relación entre la energía almacenaa por el capacitor para ambos ieléctricos puee obtenerse el valor e la permitivia relativa ε r. U ε0 =, 85 0 5 J = CV U εr =, +, 85 0 5 J = C V = ε r CV A partir e estas igualaes, puee hallarse la siguiente relación: U εr U ε0 = ε r ε r =, +, 85 0 5 J, 85 0 5 J =, 5 5.. Problema 5... Enunciao Un capacitor e placas paralelas tiene una capacia C =, 5pF cuano el volumen entre las placas está lleno e aire. Las placas son circulares con raio e cm. El capacitor está conectao a una batería y una carga e magnitu 5pC va hacia caa placa. Con el capacitoún conectao a la batería, se inserta un bloque e ieléctrico entre las placas llenano por completo el espacio entre ellas. Después e insertar el ieléctrico, la carga en caa placa tiene una magnitu e 45pC. a Cuál es la constante ieléctrica K el ieléctrico? b Cuál es la iferencia e potencial V entre las placas antes y espués e haber insertao el ieléctrico? c Cuál es el campo eléctrico en el punto meio entre las placas antes y espués e insertar el ieléctrico? 5... Respuesta a K =, 8 b V = V c E = 000 V m Universia Nacional e Moreno 6 Ing. Guillermo Gurfinkel
Física II Guía e ejercicios 5.4 Problema 5... Solución a La constante ieléctrica puee obtenerse meiante la relación entre las capaciaes con ambos ieléctricos. C 0 = 0 V C = K C 0 = V b = K = 45pC 5pC K =, 8 C 0 = 0 V V = 0 = 5pC C 0, 5pF V = V c El campo eléctrico generao por os placas paralelas muy granes en comparación con la separación entre las mismas es e valor constante en toa la región comprenia entre las mismas; icho valor e intensia e campo eléctrico resulta: E = V 8 La istancia entre las placas, circulares para este caso en particular, puee obtenerse e la expresión e la capacia e un capacitor e placas paralelas. C 0 = ε 0A = ε 0A = ε 0 πr 8, 85 0 F m π 0, 0m = C 0 C 0, 5 0 F Reemplazano en la expresión 8: = mm 5.4. Problema 5.4.. Enunciao E = V = V 0 m E = 000 V m Para los siguientes capacitores, rellenos con igual proporción e aire y otro eterminao ieléctrico e permitivia relativa ε r = 0, etermine la expresión e la capacia para caa uno e los arreglos, en función e su geometría y e sus ieléctricos, en función el valor e la capacia para el caso el mismo capacitor pero relleno completamente e aire vacío C 0. a b A A ε 0 ε r ε r ε 0 Figura 5.5: Capacitores con iferentes configuraciones e relleno e ieléctrico. 5.4.. Respuesta a C eq =, 5C 0 b C eq =, 9C 0 Universia Nacional e Moreno 6 Ing. Guillermo Gurfinkel
Física II Guía e ejercicios 5 CAPACIDAD 5.4.. Solución Primeramente se expresará la capacia el capacitor e placas paralelas para el caso e estar completamente relleno e aire vacío. C 0 = ε 0A 9 a Esta configuración es equivalente a la asociación en paralelo e os capacitores e igual separación entre placas, pero caa uno con una superficie e placas e valor A y relleno caa uno con el ieléctrico corresponiente; e esta manera se procee a hallar la capacia equivalente. C eq = C ε0 + C εr = ε 0 A + ε A 0ε r C eq = ε 0A + ε 0 0 A = ε 0A + 0 = ε 0 A C eq = C 0 Es e notar como al rellenar verticalmente la mita el capacitor con un ieléctrico cuya constante ieléctrica es ε r = 0, la capacia total aumenta,5 veces. b Esta configuración es equivalente a la asociación en serie e os capacitores e igual área A, pero caa uno con una separación entre placas e valor y relleno caa uno con el ieléctrico corresponiente; e esta manera se procee a hallar la capacia equivalente. 5.5. Problema 5.5.. Enunciao C eq = C + = ε0 C εr ε 0A + ε 0ε ra = ε0 A C eq = + = C 0 ε r + C eq = C 0 + 0, 9C 0 ε 0 A + ε r Tomano como base los resultaos el ejercicio anterior, obtenga la expresión e la capacia el capacitor e placas cuaraas e la figura, rellenao con tres ieléctricos istintos. Tenga en cuenta que A = L L = cm. a Halle la expresión e la capacia. b Determine el valor e la capacia para: = 0, mm; L = cm; ε r = 0 ε r = 0. ε r Figura 5.6: Capacitor e placas paralelas relleno con varios ieléctricos. Universia Nacional e Moreno 64 Ing. Guillermo Gurfinkel
Física II Guía e ejercicios 5.5 Problema 5.5.. Respuesta a C eq = C 0 [ b C eq = 4, 57pF 5.5.. Solución + 4 ε + r ε r ] El capacitor e la figura puee representarse como la asociación e tres capacitores, como se muestra a continuación. C C C Figura 5.7: Circuito equivalente. Caa capacitor el moelo tiene sus características bien efinias, a saber: C : C : ; A = L L ; ε = ε 0 ; A = L L ; ε = ε rε 0 C : ; A = L L ; ε = ε rε 0 Así, poemos hallar la capacia e caa uno e ellos: C = ε 0 L L C = ε rε 0 L L C = ε rε 0 L L La capacia equivalente total resulta e la asociación en paralelo entre C y el capacitor resultante e la asociación serie entre C y C. C eq = ε 0 C eq = C + L L + C eq = ε 0 L L C eq = ε 0L C + C ε rε 0L L + + ε 0 L L ε r ε rε 0L L + ε r + ε 0L ε r + ε r C eq = ε 0L 4 + ε r + ε r Universia Nacional e Moreno 65 Ing. Guillermo Gurfinkel
Física II Guía e ejercicios 5 CAPACIDAD b Reemplazano valores: C eq = C eq = C 0 + ε0 L C eq = + 4 ε r + ε r 4 ε r + ε r [ 8, 85 0 F m 0, 0m + 0, 00m ] 4 0 + 0 C eq = 0, 445 0 F = 4, 57pF C 0 = 0, 445 0 F = 0, 445pF C eq = 4, 578 0 F = 4, 57pF Universia Nacional e Moreno 66 Ing. Guillermo Gurfinkel