MEDICIÓN DEL GAP DE ENERGÍA EN MATERIALES SEMICONDUCTORES DE SILICIO Y GERMANIO

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1 MEDICIÓN DEL GAP DE ENERGÍA EN MATERIALES SEMICONDUCTORES DE SILICIO Y GERMANIO C. SCANNAPIECO - M. A. KURODA Laboratorio IV Profesor S. Gil. Departamento e Ciencias Físicas - Faculta e Ciencias Exactas y Naturales (FCEN) Universia e Buenos Aires Argentina CECILIA@LABS.DF.UBA.AR KURODA@PHILIPS.EDU.AR El objetivo e esta experiencia es eterminar el gap e energía e los semiconuctores e silicio y germanio y el valor e la constante e/k (cociente entre la carga el electrón y la constante e Boltzmann), a partir e la curva característica e transistores, usaos como ioos, a iferentes temperaturas entre 17K y 9K, utilizano un ispositivo sencillo. Aemás se realizó el mismo proceimiento con un ioo e silicio, observano que el opaje con impurezas introuce un cambio el comportamiento ieal. Los resultaos obtenios concueran con los valores aceptaos. I. INTRODUCCIÓN Un ioo es esencialmente una juntura e material semiconuctor, el cual posee impurezas, las cuales generan una concentración e cargas no uniforme. En un ioo, el comportamiento ieal e la curva característica (corriente en función e la iferencia e potencial sobre el mismo), esarrollao por Shockley, puee escribirse como: ev I = I exp 1 (1) kt one I es la corriente el ioo, I la corriente inversa el ioo, e la carga el electrón, V la tensión aplicaa sobre la juntura, k la constante e Boltzmann y T la temperatura absoluta (Ver apénice Nº1). La corriente inversa I a su vez epene e la temperatura según la expresión: I 3+ = C T γ Eg exp kt ( T) () one E g (T) es el gap e energía e la juntura epeniente e la temperatura y γ una constante que epene el material. En la aproximación lineal e la epenencia el gap e energía con la temperatura (la cual resulta buena para temperaturas superiores a los K), se obtiene que: γ 3+ E g + αt I = C T exp (3) kt Tomano logaritmo a ambos laos e la expresión: α E g γ ln I = ln D ln k kt ( T) (4) Se ebe hacer una istinción entre os magnitues que suelen confunirse. El valor E g es el valor que resulta e la extrapolación lineal el gap e energía como función e la temperatura, el cual no es el mismo que el gap e energía a temperatura para un semiconuctor enominao normalmente E g. Una forma más precisa que la expresión (1) para escribir el comportamiento e un ioo está aa por: ev I = I exp 1 ηkt (5) one η es un factor constante que generalmente oscila entre 1 y. En esta expresión se tiene en 1

2 cuenta la recombinación e cargas en la superficie e la juntura. Análogamente se llega a una expresión para la corriente inversa en función e la temperatura e la forma: ( T) γ 3+ E I = C T g exp (6) ηkt Mientras que los ioos verifican la expresión (5), el comportamiento escripto por Shockley para los ioos (1) es mejor reproucio por los transistores conectaos como ioos., one el colector y la base se encuentran al mismo potencial. A esta conexión también se la conoce como transioo. Esta experiencia se basa en la eterminación e la curva característica e los transioos a iferentes temperaturas entre 17K y 9K. A partir e las mismas se pueen obtener os magnitues: la corriente inversa I y el valor e e/kt como función e la temperatura. Luego, conocieno la temperatura a la cual fue realizaa caa meición, se puee obtener el valor e la constante e/k. Aemás, partieno e la expresión () se puee obtener el valor el gap e energía el semiconuctor E g ajustano los valores obtenios e la corriente inversa I (T). Aemás, se estuió el comportamiento e un ioo e silicio preicho por la ecuación (5). Se eterminó el valor e η y el el gap e energía el silicio. II. LA EXPERIENCIA Se armó un ispositivo tenieno en cuenta que ebía mantener constante la temperatura el ioo o el transistor - empleao como ioo- para eterminar su curva característica a iferentes temperaturas. Estos intervalos requerían tiempos e alreeor el minuto. Para ello se iseñó un ispositivo formao por un tubo e cobre cuyo iámetro externo era e aproximaamente 1 y su iámetro interno e aproximaamente ¾. En el extremo inferior se colocó otro cilinro e acero, el cual se ponía en contacto con un baño térmico que permitía variar la temperatura el cilinro. En el interior el tubo e cobre se encontraba una base e bronce a la cual se fijó el transistor y una resistencia e platino (Pt1) que fue empleaa para meir la temperatura e la juntura. El ispositivo fue armao en su mayor parte e cobre o bronce ebio a la buena conuctivia térmica e los mismos, que facilitan la homogeneia e la temperatura. Para asegurar un buen contacto térmico entre el ispositivo, el ioo y la resistencia se agregó grasa siliconaa, la cual es buena conuctora térmica y buena aislante eléctrica. Para evitar périas e calor se envolvió el tubo e cobre con un revestimiento aislante, como muestra la figura 1. Figura 1.Esquema el ispositivo. Too el ispositivo se encontraba entro e un recipiente térmico que contenía el baño térmico, sujetao por un soporte que permitía variar su altura y e esta forma controlar el contacto con la fuente térmica. El sistema e meición consistía en un transistor cuyo emisor estaba conectao a una fuente e tensión variable, la base a tierra y el colector a un microamperímetro Keithley 485, también conectao a tierra (Ver figura ). Se emplearon os transistores, uno e silicio (TIP31C) y otro e germanio (SB475C). La tensión sobre la juntura se eterminó con un voltímetro igital. La resistencia Pt1 fue meia meiante un multímetro HP3441. En primer lugar se sumergía el eo e acero en aire líquio urante pequeños intervalos

3 e tiempo, para enfriar too el ispositivo. Entonces, al bajar la temperatura el eo, se lo separaba el líquio, se lo ejaba entro el recipiente térmico y se esperaba a que la temperatura el ispositivo se mantuviera prácticamente constante, para lo cual se observaban las variaciones e la resistencia en función el tiempo. Una vez alcanzaa una temperatura uniforme, se variaba la tensión e la fuente y se eterminaba la corriente que circulaba en función e la tensión sobre el transioo. Luego volvía a repetirse el métoo bajano caa vez más la temperatura. Figura 3.Esquema el circuito con el ioo. III. LOS RESULTADOS a. Transistores empleaos como ioos En primer lugar se eterminó el valor el logaritmo e la corriente inversa en función e la temperatura absoluta. Partieno e la ecuación (1), para tensiones superiores a.8v, icha expresión puee aproximarse por: Figura.Esquema el circuito con transistores empleaos como ioos. Finalmente se realizó un proceimiento parecio con un ioo e silicio (...). El circuito utilizao se muestra en la figura 3. A iferencia e las meiciones anteriores, en este caso se empleó una placa e aquisición conectaa a una PC, la cual meía iferencias e potencial. Este proceimiento permitía tomar meiciones en tiempos más cortos. Para ello se empleó la salia analógica el microamperímetro, la cual transforma la señal e corriente en una señal e tensión proporcional a la corriente meia, mientras que la tensión sobre el ioo fue meia irectamente por la placa e aquisición. El objetivo e esta parte e la práctica era meir el gap e energía el silicio e acuero al moelo e la ecuación (5). El tiempo requerio para la eterminación e la curva característica a una cierta temperatura era e aproximaamente min. ev I I exp (7) kt Tomano logaritmo en ambos miembros e la ecuación se llega a la expresión: e ln I = ln I + V (8) kt Para eterminar la temperatura corresponiente a caa meición se recurrió a la tabla e calibración el Pt1 (Ver Apénice Nº), tománose como error 1K. Se ajustó con una recta el logaritmo e la corriente en función e la tensión sobre la juntura para caa temperatura. Las figuras 4 y 5 muestran los resultaos obtenios en las meiciones para los transistores e silicio y germanio, respectivamente. A partir el ajuste e los valores obtenios anteriormente se eterminó el valor e la corriente inversa en función e la temperatura(ver figuras 7 y 8). Tenieno en cuenta la expresión (4) se ajustó la curva obtenia. Aemás, se graficó la peniente e caa una e las rectas en función e la inversa e la temperatura (Ver figura 6), obteniénose el valor el cociente entre las constantes e y k. Los resultaos obtenios se muestran en la tabla Nº 1. 3

4 ln(i Temperatura 76K 65K 55K 44K 36K 7K 19K 9K 196K 181K 17K 161K K 139K -16,,4,6,8 1, V [V] e/kt [V -1 ] ,3,35,4,45,5,55,6,65 T -1 [K -1 ] Figura 4: Logaritmo e la corriente en función e la tensión para el transistor e silicio a istintas temperaturas. Figura 6: Gráfico e e/kt en función e la inversa e la temperatura para el transistor e silicio. Experimental ln ( I Temperatura 7K 6K 56K 46K 39K 31K 4K 15K 6K 199K 177K 166K 157K 144K ln( I Teórica,35,4,45,5,55,6,65 T -1 [K -1 ],,1,,3,4,5,6 V Figura 5: Logaritmo e la corriente en función e la tensión para el transistor e germanio a istintas temperaturas. [V] Figura 7: Logaritmo e la corriente inversa en función e la inversa e la temperatura para el transistor e silicio. Tabla Nº1: Valores obtenios en los ajustes para el caso e los transioos e silicio y germanio. Experimental Teórica Parámetro Transistor Si TIP31C Transistor Ge SB475C ln( I -1 - E g (1.3±.1) ev (.78±.1) ev e/k (117±) K/V (11±6)K/V -3 γ.84±.8 8.1±. R ,3,4,5,6,7,8 T -1 [K -1 ] Figura 8: Logaritmo e la corriente inversa en función e la inversa e la temperatura para el transistor e germanio. 4

5 b. Dioo e Silicio En este caso se empleó la placa e aquisición e atos conectaa a la PC. Se utilizó la salia analógica el microamperímetro, que entrega una tensión proporcional a la corriente que circula por él. Debio a que se apreciaban iferencias significativas entre los valores inicaos por el microamperímetro y los registraos por la placa e aquisición, se realizó una serie e meiciones para calibrarlo (Ver apénice Nº3). Esta iferencia poía provenir tanto e la calibración e la placa como e la salia analógica el microamperímetro. Se proceió luego al ajuste e las curvas obtenias e la misma forma que para el caso e los transioos, es ecir, trabajano con tensiones tales que la exponencial e la expresión (5) era mucho mayor que la unia. El ajuste e las curvas se realizó graficano el logaritmo e la corriente en función e la tensión como muestra la figura 9. A partir e este ajuste se puee obtener el valor el cociente e/ηkt y el valor e la corriente inversa en función e la temperatura. ln (I -6, -6,5-7, -7,5-8, -8,5-9, -9,5-1, -1,5 Temperatura 3K 83K 7K 57K 44K 3K 1K 1K 199K 19K 181K 17K 158K 147K Tabla Nº: Valores obtenios en los ajustes para el caso el ioo e silicio. Magnitu e ηk Valor obtenio (69±) K/V η 1.68 ±.4 E g ηk E g (8±) K (1.18 ±.4) ev Finalmente se ajustó el valor e la corriente inversa en función e la inversa e la temperatura. Tomano logaritmo en ambos miembros e la ecuación (6) se obtiene: γ ( I ) C = ln ln ( T ) ln ( T ) Eg ηkt Aproximano linealmente el gap e energía y espreciano la ligera curvatura que introuce el término con epenencia logarítmica con la temperatura, se obtuvo la extrapolación el gap e energía E g mostraa en la Tabla Nº. - -3,5,6,7,8,9 V [V] ln(i /A) -4 Figura 9: Logaritmo e la corriente en función e la tensión para el ioo e silicio a istintas temperaturas. Luego, graficano e/ηkt en función e la inversa e la temperatura se puee eterminar el valor e e/ηk, y a partir el valor teórico e e/k se puee eterminar η. Los resultaos obtenios se muestran en la tabla Nº. -5-6,3,4,5,6,7,8 T -1 [K -1 ] Figura 1: Logaritmo e la corriente inversa en función e la inversa e la temperatura para el ioo e silicio. 5

6 IV. ANÁLISIS DE RESULTADOS Como se puee ver en la tabla Nº 3, los valores obtenios el gap e energía para los casos el transioo e germanio y el ioo e silicio no muestran iferencias significativas con respecto al valor aceptao, mientras que en el caso el transioo e silicio se aprecia una pequeña esiguala respecto el valor aceptao. Esto puee eberse a que el comportamiento lineal vale para temperaturas cercanas a la temperatura ambiente, puieno ser esta aproximación no vália para el rango e temperaturas trabajao. Tabla Nº 3: Comparación entre el valor experimental y valor aceptao el gap e energía E g. Gap e Energía E g Material Valor aceptao Valor obtenio Germanio.78 ev (.78±.1)eV Silicio Silicio (ioo) (1.3±.1)eV 1.5 ev (1.18 ±.4)eV El valor obtenio e e/k no muestra iferencias significativas respecto el valor aceptao para ambos casos, como se muestra en la tabla Nº 4. Tabla Nº 4: Comparación entre el valor experimental y valor aceptao e la constante e/k. Magnitu e/k Valor teórico Valor obtenio en silicio Valor obtenio en germanio K/V (117 ± )K/V (11 ± 5)K/V El valor obtenio e η está contenio entro el rango esperao. Generalmente, 1 η. V. CONCLUSIONES Los resultaos obtenios concueran con los valores aceptaos, eterminano ichos valores con una precisión el oren e %. Se puee consierar este métoo como una forma sencilla e eterminar el gap e energía para los semiconuctores. El inconveniente que presenta esta práctica es que por la cantia e parámetros a eterminar según estos moelos piere sentio el ajuste cuano el número e atos es escaso. Para poer hacerlo en forma más exacta, es ecir tenieno en cuenta el término logarítmico en el ajuste el gap e energía, serían necesarias más meiciones, las cuales emanan tiempo por la ificulta para alcanzar el equilibrio e la temperatura. Otro problema importante que se presenta en la realización e esta práctica es la ificulta para mantener constante la temperatura el ioo y aemás el poer asegurar que efectivamente la temperatura el ioo es la misma que registra la resistencia. Sería conveniente implementar un sistema que permita mantener constante la temperatura por tiempos más largos. El métoo empleao para la eterminación e la curva característica el ioo meiante el empleo e la placa e aquisición presenta la gran ventaja e que al urar menos tiempo la toma e atos se estará cometieno un menor error ebio a la variación e la temperatura. Aemás, a iguala e tiempo, la cantia e atos aquirios con la placa e aquisición es mucho mayor que al realizarlo manualmente. En el gráfico corresponiente al logaritmo e la corriente en función e la iferencia e potencial para el transioo e germanio(figura 5), se observa que las curvas obtenias se apartan el comportamiento lineal para las tensiones más bajas. Esto se ebe a que la aproximación realizaa en la ecuación (7) eja e ser vália porque el término exponencial se hace comparable a la unia. Durante la experiencia fueron realizaas algunas meiciones a temperaturas aun menores a 17K pero fueron escartaas ebio a que su comportamiento se apartaba el esperao. Bluau 6

7 sugirió un esarrollo el gap e energía para bajas temperaturas e la forma: E g ( T ) E + α T + βt = (9) g A causa el escaso número e meiciones, intentar ajustar la curva con este esarrollo carecía e sentio puesto que eran emasiaos los parámetros libres. Cabe istinguir que resulta interesante la precisión con que se pueen eterminar el cociente entre las constantes e/k y el hecho e estuiar istribuciones e Boltzmann las cuales son poco frecuentes en los laboratorios básicos e Física. APÉNDICE Nº1: Introucción teórica En primer lugar poemos hacer una istinción entre aislantes y conuctores. En los primeros toos los niveles e energía se encuentran absolutamente completos o vacíos (impiieno la conucción) mientras que en los últimos al menos uno e los niveles se encuentra parcialmente completo. Es posible caracterizar un aislante e acuero al gap e energía E g entre el nivel más alto completo y el más bajo vacío. Cuano la temperatura no es K existe una probabilia no nula e que algunos electrones abanonen las banas ocupaas más altas, llamaas banas e valencia, y pasen a ocupar las banas no ocupaas más bajas, enominaas banas e conucción. Los sólios que a T=K se comportan como aislantes pero cuyos gaps permiten que la excitación térmica prouzca una corriente observable a temperaturas menores que el punto e fusión se enominan semiconuctores. Los electrones excitaos proucen una corriente y también se inuce una corriente e huecos generaa en las banas que algunos electrones han abanonao. El número e electrones excitaos térmicamente varía exponencialmente con la inversa e la temperatura, por lo que la conuctivia cambia rápiamente según la temperatura. La nomenclatura para semiconuctores se realiza e acuero a la valencia e los elementos que componen el cristal. Por ejemplo un trivalente con un pentavalente se enomina III-V (antimoniuro e inio y arseniuro e galio); un bivalente con un hexavalente se enomina II-VI (sulfuro e zinc y sulfuro e camio) y os tretravalentes se enominan IV-IV (Carburo e silicio). Silicio y germanio son llamaos semiconuctores tipo iamante ebio a que poseen la misma estructura cristalina que el iamante. La propiea más importante e los semiconuctores es el número e electrones por unia e volumen en la bana e conucción n c y el número e huecos por unia e volumen en la bana e valencia p v. Esta nomenclatura se ebe a que n inica negativo y p, positivo. Estos valores epenen críticamente e la presencia e impurezas. Cuano el semiconuctor es puro los electrones en la bana e conucción provienen e la bana e valencia. En el caso el semiconuctor no egenerao: pv ( T ) = nc ( T ) ni ( T ) (1) one n i se puee escribir como: E ( ) = 3 / g n i T B T exp (11) kbt En muchos casos se agregan impurezas, las cuales contribuyen con una ensia e electrones en la bana e conucción o e huecos en la bana e valencia. En este caso hablamos e semiconuctor extrínseco, one: pv ( T ) nc ( T ) (1) Las impurezas que aportan a la ensia e portaores el semiconuctor se enominan aores si proveen electrones a la bana e conucción y aceptores si proveen huecos a la bana e valencia. Los aores son átomos que poseen una valencia química mayor que los átomos que conforman el semiconuctor puro; mientras que los aceptores son aquellos que poseen una valencia menor. Supongamos que a un cristal puro e germanio (corresponiente al grupo IV) le reemplazamos uno e sus átomos por otro e arsénico (vecino en la tabla perióica e elementos). El primer átomo contribuía con 4 electrones e valencia mientras que el seguno lo hacía con 5. A primera aproximación, olviano la iferencia entre la estructura el germanio y el arsénico, poemos suponer que no ha cambiao el átomo e germanio pero se ha agregao una carga fija e en icho lugar junto con otro electrón. Un argumento similar puee ser empleao cuano la impureza es aceptora, sólo que la valencia es una menor que la el semiconuctor puro (galio en el caso el germanio). Dicha impureza puee ser reemplazaa por la superposición en la re e una 7

8 carga fija -e junto con la eliminación e uno e los electrones. Este proceso prouce un hecho importante ebio a que los nuevos niveles permitios e energía se encuentran muy próximos a los límites e la región e energía prohibia el semiconuctor, pero reucen el valor el gap (Ver figura 11). Por lo tanto será más fácil excitar térmicamente un electrón en la bana e conucción ese un nivel e aor, o un hueco a la bana e valencia ese un nivel e aceptor que excitar un electrón a lo largo el gap entero e energía ese la bana e valencia a la bana e conucción. Figura 11. Nivel e ensia según la energía para un semiconuctor contenieno impurezas aceptoras y aoras. El nivel e energía e aores ε están generalmente muy cerca el mínimo e la bana e conucciónε c respecto al valor el gap e energía E g, y los niveles e aceptores ε a están muy próximos a extremo e la bana e valencia ε v. Una juntura pn es un cristal semiconuctor cuyo nivel e impurezas varía en una e las irecciones y sólo en una pequeña región, contenieno e un lao sólo aores y el otro sólo aceptores. A la región con impurezas aceptoras se la enomina tipo p mientras que a la e impurezas aoras se la enomina n. A esto se lo esigna opaje. La zona one la ensia e portaores es no uniforme tiene un espesor cuyo valor oscila entre 1 y 1 4 Å. Para simplificar consieraremos una juntura "abrupta" one la concentración e impurezas puee ser representaa como: N ( x) N = x < x > Na x > Na ( x) = x < sieno N y N a la concentración e aores y aceptores respectivamente. A través e un moelo semiclásico, se etermina el potencial electrostático: 4πρ( x) φ = (13) ε one la ensia e cargas ρ(x) es: ρ ( x) = e[ N ( x) Na ( x) nc ( x) + pv ( x) ] (14) suponieno que la variación e potencial se prouce en una zona - p x n. Cuano entre los extremos e la juntura se aplica una iferencia e potencial, aparece como resultao una corriente, la cual tiene os contribuciones: la e los electrones y la e los huecos. A su vez caa una e las mismas poemos suponerla conformaa por os corrientes, una generaa por la excitación térmica a la que llamaremos I gen y otra opuesta, enominaa corriente e recombinación I rec, ebia al fuerte campo eléctrico formao en la región one cambia el tipo e impurezas, que permite que los electrones atraviesen la barrera e potencial. Ésta corriente varía según la iferencia e potencial aplicaa e acuero a: rec rec ev I = I exp (15) kbt Cuano la iferencia e potencial es nula tenremos que no ebe haber una corriente neta puesto que e lo contrario se estarían almacenano cargas en los extremos el semiconuctor. Entonces: gen rec I = I (16) Entonces la corriente total será la proucia por los huecos y los electrones. rec ev gen rec ev gen I = Ih Ih I e I e kbt + kbt exp exp ev I = I exp 1 kbt gen gen one = ( I h + I ) I e (17) Veamos ahora la epenencia e I según la temperatura. Si V no es muy grane, I epene 8

9 sólo e la concentración e equilibrio e portaores minoritarios (n p para los electrones en la región p y p n para los huecos en la región n) y e su ifusivia. Un moelo simple e la ifusivia es la siguiente expresión: np Dn pn D p I = + A e (18) n p one A es el área e la juntura, D n y n son el coeficiente e ifusión y la longitu e ifusión para los electrones y D p y p son el coeficiente e ifusión y la longitu e ifusión para los huecos. Reemplazano en la ecuación que: n p p = pnn ni para la concentración cerca el equilibrio, bajo las coniciones que n N en la región n y p Na en la región p, se obtiene: D D p n I = A e + ni (19) nn a p N c La epenencia e la temperatura e los términos e ifusión puee expresarse como: D D p n γ / + = c T () n N a p N c one γ es una constante epene e los coeficientes e movilia y ifusión el material empleao. Sustituyeno las ecuaciones (11) y () en (19) se obtiene que la epenencia e I con la temperatura resulta: I 3+ = C T γ Eg exp kt ( T ) APÉNDICE Nº: Calibración e Pt1 (1) La ecuación e calibración e la resistencia e platino Pt1 es: Temperaturas entre ºC y 85ºC: ( + α t + ) R( t) = R 1 β t Temperaturas entre -ºC y ºC: one: 3 [ 1+ α t + β t + ( t 1 C ) ] R( t) = R γ t º R = 1Ω α= 3.98E-3ºC -1 β= E-6ºC - γ= E-1ºC -4 t: temperatura en ºC En el caso en que se empleó el ioo e silicio se miió la resistencia el Pt1 a ºC, R. R = 1.1 Ω APÉNDICE Nº3: Calibración el microamperímetro y el voltímetro. Para corregir las iferencias que se apreciaban entre los valores inicaos por el microamperímetro y el voltímetro con respecto a los inicaos por la PC, se realizó una serie e meiciones y se calibraron los instrumentos. En el caso el microamperímetro la curva e calibración obtenia fue: VA =.961 VP +. 4V one V A inica la tensión inicaa por el microamperímetro y V P la tensión inicaa por la placa e aquisición e atos. En el caso el voltímetro, los resultaos fueron: VV =.9943 VP. 13V Referencias 1 A. Sconza, G. Torzo, G. Viola "Experiment on the PN junction" A. J. of Physics 6 (1) 66-7, N. W. Ashcroft, N. D. Mermin Soli State Physics Sauners College Publishing. 3 C. Kittel Int. To Soli State Physics John Wiley & Sons, Inc. 4 P. Collings "Simple measurement of the ban gap in silicon an germanium" A. J. of Physics 48 (3) , C. Fischer "Elementrary technique to measure the energy ban gap an iffusion potencial of pn junctions" A. J. of Physics 5 (1) , L. Kirkup, F. Placio "Unergrauate experiment: Determination of the ban gap in germanium an silicon" A. J. of Physics 54 (1) 918-9,