Instituto Tecnológico Autónomo de México Maestría en Economía Microeconomía Aplicada II, 2015 Dominancia estocástica

Transcripción

1 Instituto Tecnológico Autónomo e México Maestría en Economía Microeconomía Aplicaa II, 215 Dominancia estocástica Ricar Torres Ínice general 1 Introucción: ominación estao a estao 1 2 Dominancia estocástica e primer oren 2 3 Dominancia estocástica e seguno oren 4 1 Introucción: ominación estao a estao El objetivo e la ominancia estocástica es la introucción e criterios e clasificación e variables aleatorias (que, recoremos, representan, por ejemplo, activos financieros). En general, la iea es poer afirmar que, para una eterminaa clase e iniviuos, una variable aleatoria es preferia a otra. Según como efinamos esas clases e iniviuos obtenremos uno u otro criterio (ominancia e primer o e seguno oren). Supongamos inicialmente que estamos consierano variables aleatorias efinias en un espacio e estaos ao Ω, con función e probabilia P. Fijemos os variables aleatorias X : Ω R e Y : Ω R. En primer lugar consieraremos una orenación que sólamente tiene en cuenta el nivel e renimiento e las variables aleatorias, y más tare introuciremos otro criterio que aemás tiene en cuenta el riesgo. De acuero al criterio exclusivamente basao en el renimiento, una forma e orenación natural consiste en exigir que X omine a Y si se cumple que, para too estao ω Ω, la primera a siempre renimientos superiores: X(ω) Y (ω), para too ω Ω. Este criterio se enomina ominación estao a estao (en inglés, statewise ominance). En principio no hay ningún problema con el mismo, salvo que, al ser tan exigente, sólamente va a permitir clasificar un número extremaamente reucio e variables aleatorias. Una vez tenemos esta efinición, nos interesa poer ientificar aquella clase e iniviuos para los que el hecho que X omine a Y estao a estao implica que X es preferia a Y. Por iniviuos entenemos preferencias sobre variables aleatorias que son representables meiante el valor esperao e una eterminaa función e utilia e Bernoulli. Por tanto, son las propieaes e la función e utilia e Bernoulli las que permiten istinguir istintos tipos e preferencias. En el caso e la ominación estao a estao, cualquier función e utilia e Bernoulli que sea ébilmente creciente con respecto a la riqueza implicará que X es preferia a Y, es ecir, que se cumple: E{u(X)} E{u(Y )}. Iealmente, esearíamos que la implicación opuesta fuera también cierta, es ecir, que si el valor esperao e cualquier función e utilia e Bernoulli que sea ébilmente creciente es mayor para X que para Y, 1

2 entonces ebe haber ominación estao a estao. Sin embargo, esto está lejos e ser cierto, y el motivo es muy simple: la utilia esperaa e una variable aleatoria epene el valor que ésta toma en istintos estaos sólamente en la meia en que eso altere la istribución inucia por icha variable aleatoria sobre niveles e riqueza. En otras palabras, os variables aleatorias que inuzcan la misma istribución sobre niveles e riqueza tienen la misma utilia esperaa, sin importar ni tan siquiera si están efinias sobre el mismo conjunto e estaos e la naturaleza. Demos un simple ejemplo para ilustrar este extremo. Supongamos que Ω = (, 1] y P la istribución uniforme. Las variables aleatorias están efinias por: 2, si ω 1/2; 1, si ω 1/2; X(ω) = Y (ω) =, si ω > 1/2., si ω > 1/2. Entonces X(ω) Y (ω) para too ω (, 1]: hay ominación estao a estao entre ambas variables. Consieremos ahora la variable aleatoria Z efinia por:, si ω 1/2; Z(ω) = 2, si ω > 1/2. Notemos que, si ω 1/2, se cumple Z(ω) < Y (ω), mientras que la esiguala opuesta es cierta para ω > 1/2. Por tanto, no hay ominación estao a estao entre ambas variables aleatorias. Sin embargo, tanto X como Z inucen la misma istribución sobre niveles e riqueza: toman los valores (, 2) con probabiliaes respectivas (1/2, 1/2). Por ello, su utilia esperaa es exactamente igual: E[u(X)] = 1 2 u(2) u() = 1 2 u() + 1 u(2) = E[u(Z)]. 2 Por este motivo, el hecho que E[u(X)] E[u(Y )] para toa u( ) creciente implica que E[u(Z)] E[u(Y )] para las mismas utiliaes, y por tanto cualquier iniviuo con una u( ) creciente prefiere también Z a Y, a pesar e no haber ominación estao a estao. Esto motiva extener la efinición e ominación estao a estao a toas aquellas variables aleatorias que tengan una utilia esperaa superior para funciones e utilia creciente. Éste es precisamente el concepto e ominancia estocástica e primer oren. 2 Dominancia estocástica e primer oren Definición 1. Decimos que X omina a Y en el sentio e ominancia estocástica e primer oren, escrito X 1 Y, si, para cualquier función e utilia e Bernoulli u : R R que sea ébilmente creciente, se cumple que la utilia esperaa e X es superior a la e Y : E[u(X)] E[u(Y )]. La ominación es estricta si hay alguna función e utilia para la que la anterior esiguala es estricta. Si quisiéramos ser formales, eberíamos especificar en la efinición anterior que la esiguala entre utiliaes esperaas se ebe cumplir siempre que ambas utiliaes esperaas estén bien efinias (ya que, en general, la esperanza es una integral que está efinia como un límite que en algunos casos puee no existir). Como la utilia esperaa epene sólamente e la istribución inucia sobre niveles e riqueza, cualesquiera os variables aleatorias que tengan la misma istribución tenrán la misma orenación (en particular, serán iniferentes entre sí). Esta efinición es ahora tan general, que parece ifícil e usar como criterio para comprobar si hay ominación. Por este motivo, resulta útil encontrar caracterizaciones equivalentes que sean más sencillas e verificar. 2

3 Supongamos que X 1 Y. Dao un número z R, sea u z ( ) la función e utilia e Bernoulli ébilmente creciente efinia por:, si x z; u z (x) = 1, si x > z. Entonces E[u z (X)] = P(X > z) = 1 F X (z). Análogamente, E[u z (Y )] = P(Y > z) = 1 F Y (z). Recoremos que la función e istribución e X es efinia como F X (z) = P(X z), y el hecho que P(X z) + P(X > z) = 1 eucimos que P(X > z) = 1 P(X z) = 1 F X (z). Por tanto, se ebe cumplir que 1 F X (z) 1 F Y (z), es ecir, F X (z) F Y (z). Repitieno el mismo ejercicio para too z R, vemos que X 1 Y implica que, para cualquier z R, se cumple F X (z) F Y (z). Supongamos ahora que X e Y son os variables aleatorias con soporte finito que satisfacen: para cualquier z R, se cumple F X (z) F Y (z). Hay un conjunto finito e números reales, S = {x 1, x 2,..., x n }, para el que se cumple P(X S) = P(Y S) = 1; suponremos, aicionalmente, que x 1 > x 2 > > x n 1 > x n. Definamos las probabiliaes que las variables aleatorias ponen en los puntos e S como: p i = P(X = x i ) y q i = P(Y = x i ), para 1 i n. La esiguala e las funciones e istribución implica las esigualaes en caena: p 1 q 1 ; p 1 + p 2 q 1 + q 2 ; p 2 + p p n q 2 + q q n p 1 + p p n 1 q 1 + q q n ; p 3 + p p n q 3 + q q n p n q n Fijemos una función e utilia ébilmente creciente u : R R. Definamos u i = u(x i ), para 1 i n. Entonces tenemos: E{u(X)} = u 1 p 1 + u 2 p u n p n = u 1 p 1 + ( u 2 p 1 + u 2 p 1 ) + u 2 p u n p n = (u 1 u 2 ) p 1 + u 2 (p 1 + p 2 ) + u 3 p u n p n = (u 1 u 2 ) p 1 + (u 2 u 3 ) (p 1 + p 2 ) + u 3 (p 1 + p 2 + p 3 ) + u 4 p u n p n = (u 1 u 2 ) p 1 + (u 2 u 3 ) (p 1 + p 2 ) + (u 3 u 4 ) (p 1 + p 2 + p 3 ) + + (u n 1 u n ) (p 1 + p p n 1 ) + u n (p 1 + p p n ) (u 1 u 2 ) q 1 + (u 2 u 3 ) (q 1 + q 2 ) + (u 3 u 4 ) (q 1 + q 2 + q 3 ) + = E{u(Y )}. + (u n 1 u n ) (q 1 + q q n 1 ) + u n (q 1 + q q n ) Done el hecho que u( ) es creciente implica que u k u k+1 para too k n 1, y por tanto las esigualaes en caena anteriores implican que hay esiguala término a término. El esarrollo anterior muestra que, para cualquier par e variables aleatorias con soporte finito, la esiguala entre las funciones e istribución implica ominancia estocástica e primer oren. Meiante un paso al límite, este argumento se extiene para cualquier par e variables aleatorias cuyas utiliaes esperaas están bien efinias, aunque su soporte no sea finito. Proposición 1. X 1 Y si, y sólo si, se cumple F X (z) F Y (z) para toa z R. En particular, poemos ver que, si se cumple X 1 Y y también Y 1 X, entonces F X (z) = F Y (z) para too x R. 3

4 Corolario 1. Se cumplen simultáneamente tanto X 1 Y como Y 1 X si, y sólo si, las os variables aleatorias inucen la misma istribución sobre niveles e riqueza. Mostramos sin pruebas otra equivalencia que puee ser también útil. Recoremos que la notación X X significa que ambas variables aleatorias inucen la misma istribución sobre niveles e riqueza. Proposición 2. X 1 Y si, y sólo si, existen variables aleatorias X X, Y Y y M, efinias sobre un mismo espacio e estaos, tales que M toma sólamente valores no positivos y se cumple Y = X + M. Daa una variable aleatoria X con función e istribución F X, recoremos que la inversa generalizaa (transformación e cuantiles) e la istribución es efinia como: Se cumple entonces que: Q X (t) = min {z R : t F X (z)}, para < t < 1. t F X (z) Q X (t) z. Esto implica inmeiatamente que, efinia en el espacio e estaos Ω = (, 1) con istribución uniforme, la variable aleatoria Q X tiene la misma istribución que X. Sabemos, pues, que aas X 1 Y, se ebe cumplir Q X 1 Q Y. Pero en realia se cumple mucho más. La esiguala e más arriba implica que, aas t (, 1) y z R, Q X (t) z implica t F X (z) F Y (z), lo que a su vez implica Q Y (t) z; como esto se cumple para toa z R, ello es equivalente al hecho que Q X (t) Q Y (t). Es ecir, entre ambas inversas no sólamente hay ominancia estocástica, sino ominación estao a estao. Proposición 3. X 1 Y si, y sólo si, sus inversas generalizaas cumplen Q X (t) Q Y (t) para too t (, 1). Corolario 2. X 1 Y si, y sólo si, existen variables aleatorias X X e Y mismo espacio e estaos Ω, que cumplen X (ω) Y (ω) para too ω Ω. Y, efinias sobre un 3 Dominancia estocástica e seguno oren La ominancia estocástica e seguno oren tiene en cuenta no sólamente el renimiento, sino también el riesgo: la clase e funciones e utilia e Bernoulli usaa es la e funciones crecientes con respecto a la riqueza y con aversión al riesgo. Definición 2. Decimos que X omina a Y en el sentio e ominancia estocástica e seguno oren, escrito X 2 Y, si, para cualquier función e utilia e Bernoulli u : R R que sea ébilmente creciente y ébilmente cóncava, se cumple que la utilia esperaa e X es superior a la e Y : E[u(X)] E[u(Y )]. La ominación es estricta si hay alguna función e utilia para la que la anterior esiguala es estricta. En este caso, hay equivalencias paralelas a las e ominancia e primer oren. Para simplificar la exposición, suponremos a partir e este momento que toas las variables aleatorias toman sólamente valores no negativos. Proposición 4 (Rothschil-Stiglitz). X 2 Y si, y sólo si, para toa z R se cumple: z F X (x) x z F Y (x) x. 4

5 Proposición 5. X 2 Y si, y sólo si, existen variables aleatorias X X, Y Y, Z y M, efinias sobre un mismo espacio e estaos, tales que M toma sólamente valores no positivos, E{Z X } =, y se cumple Y = X + Z + M. Una variable Z como la e arriba se enomina ifusión que preserva la meia (en inglés, meanpreserving sprea). El significao intuitivo es que, al sumar Z a X, hay un incremento el riesgo sin que ello venga compensao con un incremento en el renimiento, ya que éste último se mantiene exactamente igual en meia. Finalmente, recurrieno e nuevo a las transformaciones e cuantiles, poemos expresar una nueva equivalencia. La transformación e cuantiles orena la variable aleatoria e acuero al nivel e renimiento: estaos inferiores corresponen a renimientos más bajos. Vimos también que Q X (t) = z significa que la probabilia e obtener un renimiento igual o inferior a z es mayor o igual a t. Cuano hay un mean preserving sprea, los renimientos agregaos corresponientes al porcentaje t e estaos con menores renimientos pueen haber isminuio, pero nunca aumentao. Eso es lo que afirma el siguiente resultao. Proposición 6. X 2 Y si, y sólo si, sus respectivas inversas generalizaas Q X y Q Y, efinias sobre el espacio e estaos Ω = (, 1) con istribución uniforme, cumplen, para too t (, 1): t Q X (s) s t Q Y (s) s. 5