Sucesiones de Variables Aleatorias

Transcripción

1 Capítulo 5 Sucesiones e Variables Aleatorias 5.1. Introucción La introucción e los conceptos e meia e integral nos va a permitir consierar nuevos moos e convergencia para sucesiones e funciones. Vamos a comenzar por recorar os conceptos clásicos e convergencia. Definición 5.1 Sea, n 1 una sucesión e funciones meibles a valores reales efinias sobre el espacio e meia (Ω, F, ) y X una función real y meible, efinia sobre el mismo espacio. Decimos que la sucesión ( ) converge (puntualmente) a X si para too ω Ω se tiene que lím (ω) = X(ω), es ecir, aos ω Ω y ε > 0 existe N = N(ω, ε) N tal que Usamos la notación para enotar la convergencia puntual. n N (ω) X(ω) < ε X Definición 5.2 Sean, n 1 y X como en la efinición anterior. Decimos que la sucesión ( ) converge uniformemente a X si ao ε > 0 existe N = N(ε) N tal que, para cualquier punto ω en Ω se tiene que n N (ω) X(ω) < ε Usamos la notación para enotar la convergencia uniforme. U X Observación 5.1 La iferencia entre las os efiniciones raica en que en el primer caso N epene el punto ω en el cual estamos vieno la convergencia, mientras que en el seguno caso el mismo N sirve para toos los puntos el espacio. La seguna efinición ice que si consieramos una bana e ancho 2ε alreeor e la función X, existe un N que epene únicamente e ε tal que, si n N la función está entro e esta bana. Es claro que convergencia uniforme implica convergencia puntual pero el recíproco es falso.

2 84 CAPÍTULO 5. SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS 5.2. Convergencia Casi Segura Definición 5.3 Sean, n 1 y X como en la efinición 5.1. Decimos que la sucesión ( ) converge casi seguramente a X si existe un conjunto nulo N F tal que, para cualquier punto ω / N se tiene que Usamos las notaciones (ω) X(ω). X o X, para enotar la convergencia casi segura. Si (Ω, F, ) es un espacio e probabilia este tipo e convergencia se conoce como convergencia con probabilia 1 y se enota c.p.1 X o X, c.p.1 Es obvio que convergencia puntual implica convergencia y el siguiente ejemplo muestra que el recíproco no es cierto. Ejemplo 5.1 Sea (Ω, F, ) el espacio e Lebesgue ([0, 1], B, λ) y (ω) = ω n, X(ω) = 0 para ω [0, 1]. Entonces (ω) 0 para ω [0, 1), es ecir, la sucesión converge a X salvo en el punto 1, e moo que el conjunto one no hay convergencia es un conjunto nulo. Proposición 5.1 Si (Ω, F, ) es un espacio completo, entonces X también es meible. X y las funciones son meibles, Demostración. Sabemos que existe un conjunto nulo (y por lo tanto meible) N tal que converge a X fuera e N, es ecir, si ω / N Para c R los conjuntos lím inf (ω) = lím (ω) = X(ω). A 1 = {ω : X(ω) > c}, A 2 = {ω : lím inf (ω) > c} no necesariamente coincien, pero cualquier punto que esté en uno y no esté en otro ebe estar en N. Aemás, sabemos que A 2 es meible porque lím inf es meible. Sea B 1 = A 1 A 2, B 2 = A 2 A 1. Ambos conjuntos son subconjuntos e N y como el espacio es completo, son conjuntos meible. Finalmente observamos que A 1 = (A 2 B 1 ) B c 2 e moo que F 1 es meible. Definición 5.4 Sea, n 1 como en la efinición 5.1. Decimos que la sucesión ( ) es e Cauchy casi seguramente si existe un conjunto nulo N F tal que, para cualquier punto ω / N la sucesión (ω) es e Cauchy. Proposición 5.2 Una sucesión e funciones meibles ( ) converge si y sólo si es e Cauchy La emostración quea como ejercicio.

3 5.3. CONVERGENCIA EN MEDIDA Convergencia en Meia Definición 5.5 Sean, n 1 y X como en la efinición 5.1. Decimos que la sucesión ( ) converge en meia a X si para cualquier ε > 0 se tiene que Usamos las notaciones lím ({ω Ω : (ω) X(ω) > ε}) = 0. X o X, en meia para enotar la convergencia en meia. Si (Ω, F, ) es un espacio e probabilia este tipo e convergencia se conoce como convergencia en probabilia y se enota P X o Xn X, en probabilia. Ese tipo e convergencia es más ébil que la convergencia casi segura, como lo muestran la siguiente la proposición y el ejemplo que le sigue. Proposición 5.3 Sean, n 1 y X como en la efinición 5.1 y supongamos que (Ω) <. Si converge a X entonces también converge en meia. Demostración. Si X entonces para cualquier ε > 0 0 = ({ X > ε} para infinitos n) = (lím sup{ X > ε}) = lím ( k n{ X k X > ε}) lím ({ X > ε}). Para ver que el recíproco no es cierto tenemos el siguiente ejemplo. Ejemplo 5.2 Sea (Ω, F, ) = ([0, 1], B, λ) el espacio e Lebesgue y efinimos la siguiente sucesión e variables aleatorias: X 1 (ω) = 1 [0,1] (ω), X 2 (ω) = 1 [0,1/2) (ω), X 3 (ω) = 1 [1/2,1] (ω) X 4 (ω) = 1 [0,1/3 (ω), X 5 (ω) = 1 [1/3,2/3) (ω), X 6 (ω) = 1 [2/3,1] (ω),.. Observamos que como las variables son funciones inicaoras e intervalos, sólo son istintas e 0 en esos intervalos, cuya longitu tiene a 0 cuano n. Esto muestra que 0 en probabilia. En cambio, para cualquier ω [0, 1] tenemos que (ω) = 1 para infinitos valores e n, y (ω) = 0 para el resto, que también son infinitos. Por lo tanto la sucesión no converge puntualmente en ningún punto. Ejemplo 5.3 Para ver que (Ω) < es una conición necesaria en el teorema anterior consieramos el siguiente ejemplo: Sea = 1 ( n,n) c, X = 0, entonces observamos que (ω) X(ω) para too ω pero para cualquier n N y cualquier ε > 0, y por lo tanto no hay convergencia en meia. ({ω : (ω) X(ω) > ε}) =

4 86 CAPÍTULO 5. SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS Aplicaciones Estaísticas Supongamos que tenemos una familia e moelos (Ω, F, P θ ), θ Θ, y observamos una muestra aleatoria simple X 1,...,. Con base en estas observaciones queremos estimar el valor el parámetro θ, es ecir, eseamos seleccionar el moelo correcto. En esta situación lo usual es usar un estaístico ˆθ = ˆθ(X 1,..., ) para estimar el valor e θ. Este estaístico es una variable aleatoria efinia sobre el mismo espacio e probabilia. Decimos que el estimaor es ébilmente consistente si para too θ Θ, P θ ( ˆθ n θ > ε) 0, n, es ecir, si ˆθ n converge en probabilia al veraero valor e θ. El estimaor es (fuertemente) consistente si esta convergencia se a con probabilia Consecuencias e la Convergencia en Meia Aún cuano hemos visto que convergencia en meia es más ébil que convergencia, el siguiente teorema, ebio a Riesz, muestra que si tenemos convergencia en meia, siempre hay una subsucesión que converge al mismo límite. Teorema 5.1 (Riesz) Si la sucesión converge en meia a X en Ω, existe una subsucesión (k ) que converge a X. Demostración. Como la sucesión e funciones converge poemos hallar n 1 N tal que Para caa k > 1 hallamos n k > n k 1 tal que ({ω Ω : 1 (ω) X(ω) 2 1 }) < 2 1. ({ω Ω : k (ω) X(ω) 2 k }) < 2 k. Veamos que la subsucesión (k ) converge a X. Sea S k = i k{ω Ω : i (ω) X(ω) 2 i }. Observamos que S i es una sucesión ecreciente e conjuntos. Sea S = k 1 S k. Por sub-aitivia tenemos que la meia e S k está acotaa por y en consecuencia la meia e S es (S k ) 2 k + 2 k k 2 + = 2 1 k (S) = lím k (S k) = 0. Veamos que si ω Ω S entonces k (ω) X(ω). Sea ε > 0, escogemos K e moo que 2 K < ε y ω / S K. Entonces para too k K, ω / S k y en consecuencia k (ω) X(ω) < 2 k < ε.

5 5.3. CONVERGENCIA EN MEDIDA 87 Corolario 5.1 converge en meia a X si y sólo si caa subsucesión (k ) contiene una subsucesión (ki ) que converge a X Demostración. Si X y (k ) es una subsucesión, entonces k X y por el teorema anterior existe una subsucesión (ki ) que converge a X Recíprocamente, supongamos que toa subsucesión tiene una subsucesión que converge a X y supongamos que no converge a X en probabilia para obtener una contraicción. Si no converge en probabilia a X, existen una subsucesión (k ), δ > 0 y ε > 0 tales que ( k X > ε) δ. (5.1) Pero esta subsucesión (k ) ebería tener una subsucesión que converge a X y por lo tanto en probabilia. Esto contraice a (5.1). Corolario 5.2 a) Si X y g : R R es continua entonces g( ) g(x) b) Si X y g : R R es continua entonces g(xn ) g(x). Demostración. (a) Existe un conjunto nulo N B tal que si ω / N entonces (ω) X(ω) en R. Por continuia e g, si ω / N, g( (ω)) g(x(ω)), es ecir, (g( )) converge a g(x). (b) Sea (g(k )) una subsucesión e (g( )). Basta hallar una subsucesión (g(ki )) que sea convergente. Sabemos que (k ) tiene una subsucesión convergente (ki ) que converge a X. Por lo tanto g(ki ) g(x) X y existe una función me- Corolario 5.3 (e Convergencia Dominaa e Lebesgue) Si ible Y L 1 tal que Y, entonces X. Demostración. Basta emostrar que toa subsucesión convergente e converge a X. Supongamos que k converge. Por hipótesis tenemos convergencia en probabilia y en consecuencia (k ) tiene una subsucesión (ki ) que converge a X. Por el TCD tenemos que ki X En consecuencia k X. Proposición 5.4 (Propieaes) Si X y Yn Y 1. + Y n X + Y. 2. Y n XY.

6 88 CAPÍTULO 5. SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS Demostración. (1) Observamos que { ( + Y n ) (X + Y ) > ε} { X > ε 2 } { Y n Y > ε 2 }. Tomano meias, usano subaitivia y hacieno n se obtiene el resultao. (2) Observamos que basta emostrar que para toa subsucesión (n k ) existe una subsucesión n ki tal que ki Y nki XY. Como k X, existe una subsucesión (n k ) tal que k X. Como Y n Y, aa la subsucesión (n k ), existe una subsucesión (n k i ) tal que ki X, Y n ki Y, y en consecuencia tenemos ki Y n ki XY. Por lo tanto, toa subsucesión e ( Y n ) tiene una subsucesión que converge Proposición 5.5 (Ley Débil e Granes Números) Si (, n 1) son i.i.. con E( ) = y Var( ) = σ 2, entonces 1 n P X i n i=1 Demostración. Basta usar la esiguala e Chebyshef Convergencia en L p En esta sección estuiamos un nuevo tipo e convergencia que tiene gran importancia en el análisis funcional. Recoremos que una función meible X pertenece al espacio L p si X p <. Para p 1 y X, Y L p efinimos una istancia en este espacio por p (X, Y ) = ( X Y p ) 1/p. Para ver que p es una istancia emostraremos más aelante la esiguala triangular, que se conoce como la esiguala e Minkowski. Por otro lao, es claro que p (X, Y ) = p (Y, X). Aemás si X = Y tenemos que p (X, Y ) = 0 pero el recíproco no es cierto: Si p (X, Y ) = 0 sólo poemos concluir que X = Y. Por lo tanto p sólo será una pseuo-istancia. Para tener una istancia poemos tomar la relación e equivalencia X = Y sobre el espacio L p y en lugar e consierar las funciones meibles X consieramos las clases e equivalencia X. El espacio cociente, formao por las clases e equivalencia, lo enotamos L p y p si será una istancia sobre este espacio. En lo que sigue vamos a obviar este proceimiento y hablaremos e p como una istancia sobre el espacio L p. Hay una norma que inuce esta istancia: X p = ( ( X p )) 1/p.

7 5.4. CONVERGENCIA EN L P 89 Definición 5.6 Decimos que la sucesión (, n 1) converge a X en L p si toas las variables están en L p y X p 0 cuano n. Usamos la notación L p X. Proposición 5.6 Convergencia en L p implica convergencia en meia. Demostración. Tenemos ( X ε) = = 1 { Xn X >ε} 1 { Xn X p >ε p } Xn X p ε p 1 { Xn X p >ε p } 1 ε p X p 0 cuano n. El siguiente ejemplo muestra que el recíproco no es cierto. Ejemplo 5.4 De nuevo, el espacio e meia es el espacio e probabilia e Lebesgue ([0, 1], B, λ) y efinimos Entonces pero = 2 n 1 (0, 1 n ). P ( > ε) = λ((0, 1 n )) = 1 n 0 E( p ) = 2 np 1 n. Convergencia en L p no implica convergencia, como lo muestra el ejemplo 5.2. Para cualquier p > 0, como la variable sólo toma valores 0 ó 1, el valor esperao E( p ) es igual a la longitu el intervalo corresponiente a, y esta longitu tiene a 0. Convergencia casi segura tampoco implica convergencia en L p, como lo muestra el ejemplo 5.3. Aún cuano la meia el espacio sea finita, es posible ar ejemplo e sucesiones que convergen pero no convergen en L p. Desigualaes Teorema 5.2 (Desiguala e Höler) Sea p, q números reales tales que p, q > 1 y 1 p + 1 = 1. (5.2) q Sean X L p, Y L q, entonces el proucto XY es integrable y XY ( X p ) 1/p ( Y q ) 1/q. (5.3)

8 90 CAPÍTULO 5. SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS En términos e las normas la esiguala ice que XY 1 X p Y q. Si p y q satisfacen (5.2) ecimos que son conjugaos. Demostración. Observamos inicialmente que si X p = 0 entonces X = 0 y en consecuencia XY = 0, e moo que la esiguala es cierta. Algo similar ocurre si Y q = 0, así que poemos suponer que el lao erecho e (5.3) es estrictamente positivo. Daos a > 0, b > 0, existen s, t R tales que a = exp{s/p}, b = exp{t/q}. Como la función exponencial es convexa y p 1 + q 1 = 1 tenemos que y usano la efinición e s, t, exp{p 1 s + q 1 t} p 1 exp{s} + q 1 exp{t}, ab p 1 a p + q 1 b q. Ahora reemplazamos a por X / X p y b por Y / Y q y obtenemos Finalmente, tomano integrales, XY p 1( X ) ( p + q 1 Y ) q X p Y q X p Y q 1 X p Y q XY p 1 + q 1 = 1 Teorema 5.3 (Desiguala e Minkowski) Supongamos que X, Y L p para 1 p <. Entonces X + Y L p y X + Y p X p + Y p. Demostración. La esiguala X + Y p 2( X p Y p ) 2( X p + Y p ) L p muestra que los espacios L p, p 1 son cerraos aitivamente. So p = 1 la esiguala e Minkowski sigue e la esiguala triangular usual. Sea 1 < p < y escojamos q conjugao e p e moo que p 1 + q 1 = 1, es ecir, p 1 = p/q. Usano la esiguala e Höler, X + Y p p = X + Y p = X + Y X + Y p/q X X + Y p/q + Y X + Y p/q X p X + Y p/q q + Y p X + Y p/q q =( X p + Y p ) X + Y p/q q =( X p + Y p )( X + Y p =( X p + Y p ) X + Y p/q p =( X p + Y p ) X + Y p 1 p Si el último factor es istinto e 0, poemos iviir por él para obtener el resultao. Si es igual a 0, ambos laos e la esiguala valen 0. La esiguala anterior es la esiguala triangular para p. ) 1/q

9 5.4. CONVERGENCIA EN L P 91 Teorema 5.4 (Desiguala e Jensen) Sea (Ω, F, P ) un espacio e probabilia, g : R R una función convexa y X una variable aleatoria integrable tal que g(x) también es integrable. Entonces E(g(X)) g(e(x)). Demostración. Sea g una función convexa, sabemos que ao cualquier punto e la gráfica e g poemos hallar (al menos) una recta que es tangente a la curva en ese punto y tal que la recta siempre está por ebajo e la curva que representa a g. Esta recta (que en general no es única) se conoce como la recta e soporte e g. Sea r(x) = ax + b la recta e soporte e g en el punto (E(X), g(e(x))) sobre la gráfica e función g. Entonces ax(ω) + b g(x(ω)). Tomano esperanza obtenemos a E(X) + b E(g(X)). Pero como la recta r(x) es tangente a la función g en (E(X), g(e(x))), a E(X) + b = E(g(X)). Ejemplo 5.5 Sea (Ω, F, P ) un espacio e probabilia, X una variable aleatoria y 0 < α < β. Definimos r = β α > 1, s = β β α. Entonces Ahora ponemos Z = X α, 1 r + 1 s = α β + β α = 1. β Y = 1 usamos la esiguala e Höler: es ecir e moo que y E( ZY ) (E Z r ) 1/r (E( Y s ) 1/s, E( X α ) (E X rα ) 1/r 1 = (E X β ) α/β (E( X α )) 1/α (E X β ) 1/β X α X β. Concluimos que X L β X L α si α < β. Más aún, X α = (E( X α )) 1/α es no-ecreciente en α. L Como consecuencia tenemos que si X p L n X y r < p, X r n X. Teorema 5.5 Para p 1 el espacio L p es completo, es ecir, si ( ) es una sucesión e Cauchy en L p, existe X L p L tal que X p n X. Demostración. Dao ε > 0 sea N = N(ε) N tal que si n, m N, X m p < ε p+1. (5.4) Llamemos N k = N(ε2 k ) y supongamos que N k+1 > N k para too k. Definimos los conjuntos A(ε, m, n) = {ω : X m (ω) (ω) ε}

10 92 CAPÍTULO 5. SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS entonces X m p A(ε,m,n) X m p ε p (A(ε, m, n)) (5.5) y combinano (5.4) y (5.5) obtenemos (A(ε, m, n)) < ε si m, n N(ε). Sea ahora A k = A(ε2 k, N k+1, N k ), B k = i k A i, tenemos (A k ) < 2 k ε, (B k ) < 2 1 k ε y si ω / B k X Ni+1 (ω) X Ni (ω) < ε2 i para i k. Por lo tanto la serie i (X N i+1 X Ni ) converge fuera e B = k 1 B k y (B) = 0. En consecuencia existe X tal que X Ni X Para un entero fijo r ponemos Y i = X Ni X r p, Y = X X r p y obtenemos una sucesión Y i e funciones meibles no-negativas con lím inf Y i = lím Y i = Y Por el lema e Fatou tenemos Y lím inf X Ni X r p < ε i si r > N(ε). En consecuencia Y es integrable, es ecir (X X r ) L p, lo cual implica que X L p. Aemás probamos que X X r p < ε si r > N(ε) e moo que X r L p X. Observación 5.2 Es importante resaltar que el resultao anterior es falso para la integral e Riemann sobre intervalos finitos. No es ifícil construir ejemplos e sucesiones e funciones cuyas potencias e oren p son integrables según Riemann, que son e Cauchy en L p pero cuyo límite es iscontinuo en un conjunto e meia positiva y por lo tanto no pueen ser integrables según Riemann. Como consecuencia el teorema anterior observamos que los espacios L p son espacios normaos que son completos respecto a la métrica inucia por la norma. Un espacio con estas propieaes se conoce como un espacio e Banach. Si p > 1 y q > 1 son conjugaos ecimos que los espacios L p y L q son conjugaos. Por la esiguala e Höler sabemos que si X L p y Y L q entones el proucto XY es integrable. Observamos que el conjugao e p = 2 es q = 2, es ecir que L 2 es su propio espacio conjugao, y aemás es el único caso en el que esto ocurre. Esto quiere ecir que si tomamos os funciones e L 2, su proucto es integrable, y por lo tanto poemos efinir un proucto interno en L 2 : Para X, Y L 2, X, Y = XY. Es fácil ver que esta efinición satisface las coniciones e un proucto interno (pasano al espacio cociente L 2 si es necesario). Aemás, la norma asociaa a este proucto interno es la norma 2, que efinimos anteriormente, ya que X, X = X 2 = X 2 2. Por lo tanto L 2 es un espacio e Banach que tiene un proucto interno que inuce la norma el espacio. Un espacio con estas propieaes se conoce como un espacio e Hilbert Convergencia en Distribución Definición 5.7 Si F es una f.. efinimos el conjunto e puntos e continuia o conjunto e continuia e F por C(F ) = {x R : F es continua en x} Un intervalo finito I con extremos a < b es un intervalo e continuia para F si a, b C(F ).

11 5.5. CONVERGENCIA EN DISTRIBUCIÓN 93 Definición 5.8 Sea (, n 1) una sucesión e v.a. con f.. F Xn, n 1. converge en istribución a la v.a. X cuano n si Notación: X o Xn w X cuano n. F Xn (x) F X (x) cuano n, x C(F X ). Observación 5.3 Como en esta efinición sólo intervienen las funciones e istribuciones, las variables no necesariamente están efinias en un mismo espacio e probabilia. Abusano la notación, escribiremos w N (0, 1) en lugar e Xn w X cuano n one X N (0, 1). Ejemplo 5.6 Sea δ 1/n, es ecir, la elta e Dirac concentraa en el punto 1/n. Si la efinición 5.8 tiene sentio eberíamos tener δ0 cuano n. Tenemos { { 0, si x < 1/n, 0, si x 0, F Xn (x) = 1, si x 1/n, 1, si x > 1/n. Por lo tanto F Xn F δ0 (x) cuano n para too x C(F δ0 ) pero no para too x. Si en cambio tuviéramos Y n δ 1/n entonces F Yn (x) = { 0, si x < 1/n, 1, si x 1/n, y en este caso si tenemos convergencia para too x. { 0, si x < 0, 1, si x 1/n. Teorema 5.6 Sean X y, n 1 v.a. Si P X entonces Xn X. Demostración. Sea ε > 0, entonces F Xn (x) = P ( x) = P ( x, X ε) + P ( x, X > ε) y por la convergencia en probabilia P (X x + ε, X ε) + P ( X > ε) P (X x + ε) + P ( X > ε), limsup F Xn (x) F X (x + ε). De manera similar, cambiano por X, x por x ε, X por y x + ε por x, sigue que liminf F (x) F X (x ε). Estas os relaciones valen para too x y too ε > 0. Suponieno ahora que x C(F X ) y hacieno ε 0 obtenemos que F X (x) = F X (x ) liminf F (x) limsup F Xn (x) F X (x).

12 94 CAPÍTULO 5. SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS Observación 5.4 Si F X tiene un salto en x, sólo poemos concluir que F X (x ) liminf F X n (x) limsup F Xn (x) F X (x). Como F X (x) F X (x ) es el tamaño el salto no es posible obtener convergencia en un salto. Ejemplo 5.7 Sea N N (0, 1), e moo que la istribución es simétrica. Definimos = ( 1) n N para n 1, entonces = N e moo que Xn N, pero (Xn no converge ni ni en probabilia. Ejemplo 5.8 Para α > 0 sea, n 1 una sucesión e v.a.i. tales que Los siguientes resultaos son ciertos: P ( = 0) = 1 1 n α y P ( = n) = 1 n α P 0 (n ) aún sin inepenencia 0 (n ) sii α > 1 L p 0 (n ) sii α > p La convergencia en probabilia es consecuencia e: P ( > ε) = P ( = n) = 1 0 cuano n. nα La convergencia con probabilia 1 sigue el Lema e Borel-Cantelli ya que { < cuano α > 1, P ( > ε) = cuano α 1, n=1 En cuanto a la convergencia en L p E p = 0 p (1 1 n α ) + np 1 0, para p < α, n α = np α = 1, para p = α, cuano n,, para p > α. Observamos que E X p ni converge a 0 ni iverge a infinito cuano p = α, sino que es igual a 1. Teorema 5.7 Sea (, n 1) una sucesión e v.a.i. y c una constante, entonces δc (n ) P c (n ). Demostración. Supongamos que δc cuano n y sea ε > 0. Entonces P ( c > ε) = 1 P (c ε c + ε) = 1 F Xn (c + ε) + F Xn (c ε) P ( = c ε) 1 F Xn (c + ε) + F Xn (c ε) 0 cuano n, ya que F Xn (c + ε) F X (c + ε) = 1, F Xn (c ε) F X (c ε) = 0, y c ε, c + ε C(F X ).

13 5.5. CONVERGENCIA EN DISTRIBUCIÓN Caracterización e la Convergencia en Distribución Teorema 5.8 Sea {, n 1} una sucesión e v.a. y supongamos que X cuano n. Si h es una función continua a valores reales o complejos efinia en el intervalo acotao [a, b], one a, b C(F X ), entonces E h( ) E h(x) cuano n. (5.6) Demostración. El caso complejo sigue el caso real. Usaremos el lema e aproximación. Sea A C(F X ) R un subconjunto enso numerable. Si h(x) = 1 (c,] para c, A, a c < b, (5.6) se reuce a emostrar que P (c < ) P (c < X ), lo cual es cierto por hipótesis. Por linealia la conclusión vale para funciones escalera cuyos escalones tengan extremos en A. Sea ahora h [a, b], y sea g una función simple aproximante, entonces E h( ) E(h(X) E h( ) E g( ) + E g( ) E g(x) + E g(x) E h(x) E h( ) g( ) + E g( ) E g(x) + E g(x) h(x) ε + E g( ) E g(x) + ε. Como ya hemos visto que para funciones simples el término central tiene a cero cuano n obtenemos limsup E h( ) E h(x) < 2ε, lo cual emuestra el teorema. Teorema 5.9 Sea {, n 1} una sucesión e v.a. y supongamos que X cuano n. Si h es una función a valores reales o complejos, continua y acotaa, entonces E h( ) E h(x) cuano n. (5.7) Demostración. De nuevo, el caso complejo sigue el caso real. Supongamos que h M, entonces E h( ) E h(x) E h( )1 { Xn K} E h(x)1 { X K} + E h( )1 { Xn >K} + E h(x)1 { X >K} E h( )1 { Xn K} E h(x)1 { X K} + E h( ) 1 { Xn >K} + E h(x) 1 { X >K} E h( )1 { Xn K} E h(x)1 { X K} + MP > K) + MP ( X > K) Sea ε > 0 y escojamos K C(F X ) suficientemente grane como para que 2MP ( X > K) < ε. Usano el teorema 5.8 para el primer término y la convergencia en istribución para los otros os, obtenemos que limsup E h( ) E h(x) < 2MP ( X > K) < ε. Teorema 5.10 Sea {, n 1} una sucesión e v.a. Entonces X cuano n si y sólo si para toa función real continua y acotaa. E h( ) E h(x) cuano n. (5.8) Demostración. Por el teorema 5.9 basta emostrar la suficiencia. Sean a, b C(F ), < a < b <. Ponemos 0 para x < a δ k, x (a δ k ) δ k para x [a δ k, a], g k (x) = 1 para x [a, b], b+δ k x δ k para x [b, b + δ k ], 0 para x > b + δ k

14 96 CAPÍTULO 5. SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS con δ k 0 cuano k y observamos que 1 (a,b] (x) g k (x). Supongamos que (5.8) vale. Por la monotonía e la función e istribución y el teorema 5.9 obtenemos Hacieno n F n (a, b] = b a F n (x) E g k ( ) E g k (X) cuano n. limsup F n (a, b] E g k (X) F ([a δ k, b + δ k ]). Hacieno ahora k tenemos δ k 0 y g k (x) 1 [a,b], y como a y b son puntos e continuia concluimos que limsup F n (a, b] F (a, b]. (5.9) Si, en cambio, 0 para x < a, x a δ k para x [a, a + δ k ], h k (x) = 1 para x [a + δ k, b δ k ], b x δ k para x [b δ k, b], 0 para x > b los mismos argumentos nos an y como ahora h k (x) 1 (a,b), tenemos finalmente liminf F n(a, b] F ([a + δ k, b δ k ]), liminf F n(a, b] F (a, b]. (5.10) Las ecuaciones (5.9) y (5.10) emuestran que X cuano n. Como corolario obtenemos los siguientes resultaos: Corolario 5.4 Sea {F n, n 0} una familia e funciones e istribución. Las siguientes afirmaciones son equivalentes (1) F n F0. (2) Para toa función real f acotaa y uniformemente continua, f F n f F 0, cuano n. Demostración. Basta observar que las funciones g k y h k que usamos en la emostración el teorema anterior son continuas con soporte compacto y por lo tanto son uniformemente continuas. Teorema 5.11 Sean X e Y v.a. para toa función h continua y acotaa. X = Y E h(x) = E h(y ) Teorema 5.12 Sean X y {, n 1} v.a. y supongamos que X cuano n. Entonces E X liminf E.

15 5.5. CONVERGENCIA EN DISTRIBUCIÓN 97 Demostración. Sea K C(F X ) un número positivo. Por el teorema 5.8 tenemos liminf E liminf E 1 { Xn K} = E X 1 { X K}. La conclusión sigue hacieno K tener a infinito a través e una sucesión e puntos e continuia e F X.