LOS MÉTODOS PROBABILISTAS DE SEGURIDAD ESTRUCTURAL EN EL CÓDIGO TÉCNICO DE LA EDIFICACIÓN

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1 LOS MÉTODOS PROBABILISTAS DE SEGURIDAD ESTRUCTURAL EN EL CÓDIGO TÉCNICO DE LA EDIFICACIÓN Luis Celorrio Barragué Departamento e Ingeniería Mecánica. Universia e La Rioja PROBABILISTIC METHODS OF STRUCTURAL SAFETY IN THE SPANISH TECHNICAL CODE OF BUILDING. Abstract The Annex C of the Basic Document SE Structural Safety in the Spanish Technical Coe of Builing (CTE) is the main reference within the Spanish stanars about the explicit probabilistic methos, also name Structural Reliability methos. However, this Annex is only an informative annex an is not manatory. The CTE consiers the following applications of the Structural Reliability methos: the first is calibration of safety partial factors to use in esign equations for a type of structures. This subject is briefly escribe in this paper. The secon application is the esign of new structures where uncertain variables are consiere explicitly by means of probability istributions. The thir application is structural assessment of existing builings. The Annex D of the DB-SE in CTE is about the last application. This paper looks at coe calibration process, consiering two open problems: etermination of a target reliability inex for structures in the span of the coe an calibration of safety partial factors when the objective is to search a target reliability inex. Keywors: Structural Reliability; Spanish Builing Technical Coe; Safety Partial Factors; Coe Calibration. Resumen El Anejo C el Documento Básico e Seguria Estructural (DB-SE) el Cóigo Técnico e la Eificación (CTE) es la principal referencia normativa existente en España sobre los métoos probabilistas explícitos, más conocios como métoos e Fiabilia Estructural. Sin embargo, este Anejo tiene simplemente carácter informativo. Este Anejo C cita las siguientes tres aplicaciones e los métoos e Fiabilia Estructural. La primera es la calibración e coeficientes parciales e seguria a utilizar en las ecuaciones e iseño para un tipo e estructuras eterminao. A continuación consiera la aplicación irecta e los métoos e fiabilia estructural con el fin e consierar e forma explícita la incertiumbre e las variables meiante istribuciones e probabilia aecuaas. Finalmente, cita la valoración estructural e estructuras existentes que se trata en el Anejo D el DB-SE el CTE, también e carácter informativo. Este artículo se centra en la primera e las aplicaciones, el proceso e calibración e cóigo, estuiano os problemas clave: la eterminación el ínice e fiabilia objetivo o requeria para las estructuras a las que se aplica el cóigo y el proceso e calibración e los coeficientes parciales e seguria con el objetivo e que el ínice e fiabilia real esté próximo al ínice e fiabilia objetivo. 545

2 Palabras clave: Fiabilia Estructural; Cóigo Técnico e Eificación; Coeficientes Parciales e Seguria; Calibración e cóigo. 1. Introucción En la práctica iaria, el arquitecto o ingeniero iseña estructuras tenieno en cuenta unos requisitos funcionales y unos requisitos normativos e seguria estructural. Aemás trata e obtener iseños económicos y que sean respetuosos con el meio ambiente. Recientemente, se ha proucio una amplia renovación e la normativa española e iseño estructural. Así, en el períoo , se han publicao el Cóigo Técnico e la Eificación (CTE, 2009) y, una nueva versión e la Instrucción e Hormigón Estructural (EHE, 2008). Aemás, el borraor e la Instrucción e Acero Estructural está muy aelantao. Las bases e iseño, común a toas las estructuras realizaas con cualquier tipo e material (acero, hormigón, maera, etc) están recogias en el DB SE el CTE. Con el CTE se pretene que toas las estructuras e eificación tengan la misma seguria con inepenencia el material con el que estén construias. 2. Métoo e los estaos límite El métoo usao habitualmente para verificar la seguria e una estructura es aplicar el métoo e los estaos límites. En este métoo se trata e verificar que se cumplen eterminaas restricciones enominaas estaos límites. Estos pueen ser e os tipos: Estaos Límite Últimos: que sirven vara verificar la exigencia e seguria estructural. Son E.L.U. los estaos límites e agotamiento, e estabilia al vuelco, estabilia elástica o paneo, eformaciones inelásticas. Estaos Límite e Servicio: sirven para verificar el cumplimiento e la exigencia e actitu al servicio. Entre los E.L.S. se encuentran los que consieran eformaciones excesivas y vibraciones. La comprobación e estos estaos límites se realiza utilizano reglas e iseño. Los efectos e las acciones y las resistencias se introucen meiante valores representativos con un contenio estaístico más o menos rico (valores característicos). Aemás se introucen unos coeficientes parciales en la regla e iseño. En el caso más simple, consieramos os variables: resistencia R y efecto e las acciones E. La estructura es fiable cuano se verifica la siguiente regla e iseño: E R 0 1 one E es el valor e cálculo el efecto e las acciones y R es el valor e cálculo el efecto e la resistencia. La enominación valor e cálculo es el equivalente a la enominación esign value (valor e iseño) que aparece en la versión inglesa e los Eurocóigos y, e ahí, el subínice. Los valores e cálculo son función e los valores característicos Rk y Ek y e los coeficientes parciales e seguria y. Por tanto, la regla anterior se escribe: R E Rk EEk 0 con E EEk y k R Rk k 2 546

3 En un caso general, el efecto e las acciones E y la resistencia R son funciones e los valores e cálculo e las variables básicas. Las expresiones e E y R que aparecen en las ecuaciones e iseño prácticas en los cóigos, son el tipo: E R E R F f 1 1, F, f 2 2,..., a,..., a 1 1, a, a 2 2,...,, 1,...,, one, F son los valores e iseño e las acciones, a son los valores e iseño e las propieaes el material, son los valores e iseño e las variables que tienen en cuenta las incertiumbres el moelo y f son los valores e cálculo e las propieaes el material. Estas ecuaciones se pueen escribir en función e los valores característicos y e los coeficientes parciales e seguria y e los coeficientes e combinación. E R E E gjg Rfk m; a... R 1 kj; PP; q1qk 1; qi 0i 2 2 ki,...,... Q ; a Done Gk es valor característico el efecto proucio por las acciones permanentes, P es el valor el efecto e la acción e pretensao y Q ki son los valores característicos e los efectos e las acciones variables. Hay que notar que, aemás e los coeficientes parciales e las variables e acciones gj, P, qi, y e resistencia m, se han incorporao los coeficientes parciales E y R para tener en cuenta las incertiumbres e los moelos e efecto e las acciones y e resistencias. Los valores característicos, llevan el subínice k y corresponen a un fractil especificao a priori e las funciones e istribución e las variables básicas. En ocasiones se utilizan otros valores representativos como valores nominales o valores meios. Los valores e cálculo (e iseño) e las resistencias se obtienen como un valor e la resistencia iviio por un coeficiente parcial e seguria (típicamente 1) y los valores e cálculo (e iseño) para los efectos e las cargas se introucen como valores característicos multiplicaos por coeficientes parciales e seguria (típicamente 1). Aemás, es necesario introucir otros coeficientes que se llaman coeficientes e combinación o e simultaneia 0i (típicamente 1) para tener en cuenta que la probabilia e que, simultáneamente, se superen los valores e cálculo e os o mas cargas variables es reucia. Estos coeficientes e combinación aparecen en las ecuaciones e iseño e los cóigos multiplicano a una a más e las cargas variables. El CTE, e igual forma que otros cóigos moernos, como los Eurocóigos, utiliza este métoo e verificación e la seguria estructural y e la aptitu al servicio, que consiera coeficientes parciales e seguria en la formulación e las expresiones e los estaos límites. A este métoo e verificación se le enomina semiprobabilista o métoo e nivel 1 (ver Tabla 1). El término semiprobabilista no está universalmente aceptao en la normativa y en la literatura sobre el tema. Alternativamente, aparece la enominación e métoo e valores e iseño, que se ha traucio en España, como métoo e los valores e cálculo. El término semiprobabilista proviene el hecho e que las variables básicas no se 547

4 escriben con su istribución e probabilia completa sino meiante un único parámetro que es su valor representativo. Tabla 1.- Jerarquía e Métoos e Fiabilia Estructural. Nivel I: Métoos e los cóigos II: Métoos e momento seguno III: Métoos exactos IV: Métoos e ecisión Métoos e cálculo (Calibración e las reglas existentes en los cóigos meiante métoos e niveles 2 o 3) Algebra e los os primeros momentos Transformación Integración numérica y simulación Distribuciones e probabilia No se usan Sólo istribución normal Convertias a istribuciones normales equivalentes Cualesquiera Función e estao límite Funciones lineales (generalmente) Lineal o aproximaa una lineal Lineal o aproximaa a una lineal Cualquier tipo Cualquiera e los anteriores consierano los atos económicos Incertiumbre Coeficientes arbitrarios Se puee introucir meiante los os primeros momentos (asimilaas a istribuciones normales) Variables aleatorias con istribuciones marginales Meia obtenia como resultao Coeficientes parciales Probabilia e fallo nominal P fn Probabilia e fallo P f Coste mínimo o Máximo beneficio RBDO 3. Métoos probabilistas explícitos. El CTE, al igual que los Eurocóigos, permite usar métoos probabilistas explícitos o basaos en la teoría e fiabilia estructural para el iseño e estructuras, es ecir los métoos e nivel 2, 3 y 4 e la Tabla 1. Así, el apartao 3.5 (2) el DB-SE ice: (2) En el marco el métoo e los estaos límite, el cumplimiento e las exigencias estructurales se comprobará utilizano el formato e los coeficientes parciales (véase apartao 4). Alternativamente, las comprobaciones se porán basar en una aplicación irecta e los métoos e análisis e fiabilia (véase Anejo C). La cláusula 3.5 (5) el Eurocóigo EN 1990: 2002 Bases e iseño estructural expresa e forma similar: (5) Como alternativa, pueen emplearse proceimientos e cálculo basaos en métoos probabilísticos. Y añae os notas: NOTA 1- La autoria corresponiente puee establecer coniciones e uso específicas NOTA 2- Como base e métoo probabilísticos, véase el Anexo C e EN Por tanto, se puee tomar el Anejo C el CTE y e forma supletoria en Anexo C e EN 1990 como base para la utilización e los métoos probabilísticos. Otras fuentes aecuaas son las normas internacionales, como ISO 2394, el Cóigo Moelo Probabilista eitao por el Joint Committee on Structural Safety (JCSS, 2002) y los textos sobre fiabilia estructural (Thoft-Christensen an Baker, 1992), (Melchers, 1999), (Ditlevsen an Masen, 2007), (Lemaire, 2009). 548

5 El anejo C e CTE-BS-SE está inspirao en el Anexo C e EN-1990 y funamentalmente en la norma ISO 2394 (1998) ya que es, prácticamente, la traucción el Anexo E e esta norma. El anejo C el CTE, al igual que el Anexo E e la ISO 2394 tiene carácter informativo. Este hecho se ebe a que los métoos probabilistas son ifíciles e aplicar y tienen una aceptación muy escasa. Sin embargo, en los últimos años han aquirio mayor relevancia ebio a la aparición e orenaores más potentes y el esarrollo e algoritmos eficientes. El Anejo C menciona como aplicaciones principales e los métoos probabilistas las siguientes: Calibración e los coeficientes parciales e seguria o calibración e cóigo. Dimensionao e estructuras nuevas aplicano irectamente los métoos e fiabilia estructural. Evaluación estructural e construcciones existentes, para la cual se toma como guía el Anejo D e CTE-DB-SE. Aemás el anejo C escribe e forma breve los conceptos funamentales que se utilizan en fiabilia estructural: tipos e incertiumbres asociaas a variables básicas, istribuciones estaísticas recomenaas para moelar las variables básicas (normal, lognormal, Weibull, etc), función e estao límite, probabilia e fallo, ínice e fiabilia, ominio e fallo, ominio seguro, métoos e fiabilia estructural para el cálculo e la probabilia e fallo, etc. Centramos nuestra atención en la primera e las aplicaciones, es ecir, la calibración e cóigo y escribimos como poemos eterminar el nivel e fiabilia exigible a una estructura e un tipo eterminao y como eterminamos los coeficientes parciales e seguria para que la estructura iseñaa utilizano ichos coeficientes tenga un ínice e fiabilia estructural lo más próximo posible al ínice e fiabilia objetivo. 4. Nivel e Fiabilia Requerio Un problema que está en iscusión en la comunia científica es el el Nivel e Fiabilia o e Seguria Estructural exigio para una estructura. No hay un proceimiento simple o irecto e obtener un ínice e fiabilia correcto o veraero. Este problema lo trata el CTE en el apartao C.4 Niveles e fiabilia. Sin embargo, existen atos que nos ayuan a seleccionar el ínice e fiabilia objetivo, t, para un tipo e estructuras específico. Entre estos atos tenemos los ínices e fiabilia e las estructuras existentes. Se puee tomar como valor el ínice e fiabilia objetivo para eterminao estao límite el valor promeio el ínice e fiabilia e las estructuras existentes para icho estao límite. Este métoo posee la ventaja e mantener la nueva metoología e iseño compatible con la experiencia existente. Otra forma e seleccionar el valor e t es por comparación. Cuántas víctimas ebio a colapsos e estructuras están los habitantes e un país ispuestos a soportar caa año? La respuesta a esta cuestión es ifícil. A partir e la comparación e estaísticas para istintas activiaes con riesgo (conucir un vehículo, viajar en avión, etc) se pueen establece un valor e probabilia e fallo o unos niveles e riesgo aceptables. El CTE consiera os meias: 549

6 Nivel e riesgo aceptable para una activia aa, e que se prouzcan accientes o périas e vias humanas consierano el número total e participantes en icha activia, y que se expresa como probabilia e fallo objetivo t Pf nº e accientes o fallecimientos urante el esarrollo e una activia número e personas que esarrollan una activia 5 Nivel e riesgo aceptable para la sociea, que puee ser estimao meiante la relación entre el número e accientes respecto al tamaño total e la sociea. t Pf nº e accientes o fallecimientos urante el esarrollo e una activia número e iniviuos el país o e la sociea 6 Estas os meias para el nivel e la probabilia e fallo pueen ser bastante iferentes, especialmente para activiaes con riesgo. Otra manera e eterminar una probabilia e fallo objetivo o, equivalentemente, un ínice e fiabilia objetivo es obtener un equilibrio ese el punto e vista económico entre las consecuencias e un fallo estructural e un eificio y el coste e las meias e protección y seguria. Así, la probabilia e fallo objetivo se puee eterminar resolvieno el problema: minc Pf tot C b C m C P f f 7 C tot C b Sieno, los costes totales, los costes e la construcción inicial, es ecir, los costes e proyecto y e la ejecución, C m los costes e inspección, mantenimiento y emolición. El término C f Pf consiera toas las situaciones e riesgo inepenientes y toos los posibles mecanismos e fallos. Este término incluye los costes estructurales ebios al fallo, así como otros costes ifíciles e cuantificar como son los costes meioambientales y los costes ebios a la péria e vias humanas. La expresión anterior es una expresión muy simplificaa que proviene e una formulación coste beneficio más general, en la que se trata e maximizar la utilia que tiene una estructura para la sociea (o para el propietario e la estructura, en algunas ocasiones) urante su tiempo e via esperao. 5. Probabilia e fallo nominal El apartao C.4.3 el anejo C el DB-SE remarca que la probabilia e fallo teórica (y el ínice e fiabilia corresponiente) obtenia aplicano los métoos e fiabilia estructural es un valor nominal que no representan la frecuencia real e los fallos estructurales. La probabilia e fallo teórica es, generalmente, menor en un oren e magnitu que la tasa e fallos real. La iferencia entre una y otra se ebe a que la seguria e una estructura no está afectaa sólo e las incertiumbres e los parámetros que intervienen en el cálculo, sino que también epene e otra factores importantes como son la calia e la construcción o los errores humanos. Sin embargo, las probabiliaes e fallo teóricas sirven como una meia que permite comparar os estructuras ese el punto e vista e su seguria estructural. Así, poemos afirmar que si la probabilia e fallo teórica e una estructura es menor que la e otra, también lo es su tasa real e fallos. 550

7 La tabla C.2 el anejo C (Tabla 2) representa los valores recomenaos para el ínice e fiabilia requerio, referios a too el perioo e servicio. Generalmente se suele utilizar un valor e t 3. 8 en las verificaciones e Estaos Límites Últimos. Para los Estaos Límite e Servicio se toman valores más pequeños. Tabla 2. Valores nominales, referios a too el períoo e servicio, el ínice e fiabilia requerio Coste relativo Consecuencias e un fallo estructural proucio por un aumento e Despreciables Pequeñas Moeraas Granes fiabilia Elevao Moerao Bajo t 6. Métoo e los valores e iseño El métoo basao en los valores e cálculo, mejor llamao, métoo e los valores e iseño tiene poca aplicación práctica. Este métoo consiste en eterminar los valores e cálculo e las variables básicas X 1, X 2,..., X n, en la ecuación e estao límite gx1, X 2,..., X n 0 utilizano el Métoo e Fiabilia e Primer Oren (FORM). A estos valores e cálculo los llamamos x 1, x2,..., x n. La verificación el estao límite se realiza sustituyeno las variables básicas por sus valores e cálculo en la expresión g X 1, X 2,..., X n 0, es ecir, comprobano que g x1, x2,..., xn 0, ya que se consiera que gx1, X 2,..., X n 0 correspone a estaos seguros. La poca aplicación práctica el métoo es consecuencia el hecho e que si para aplicar el métoo es necesario realizar un análisis e fiabilia estructural completo que ya a como resultao si se verifica o no la ecuación e estao límite, no tiene sentio obtener los valores e iseño e las variables aleatorias a partir el punto e fallo más probable (o punto e iseño) el FORM para sustituirlos como valores e cálculo en la expresión g x x,..., x 0. 1, 2 n El anejo C el DB-SE a unos valores aproximaos e los coeficientes e sensibilia que permiten eterminar los valores e cálculo sin necesia e realizar un análisis FORM completo. 7. Calibración e los coeficientes parciales e seguria Como ya se ha expresao, el métoo habitual que utiliza el ingeniero para comprobar los estaos límites es el métoos basao en los coeficientes parciales. El apartao C.7.2 el Anejo C el DB-SE trata el proceimiento e calibración e estos coeficientes parciales. El punto e partia en un formato el cóigo, es ecir, una ecuación e iseño expresaa en función e valores característicos e las variables básicas y e coeficientes parciales e seguria. El objetivo e la calibración consiste en la eucción e estos coeficientes parciales e moo que la fiabilia estructural que se obtiene aplicao icho conjunto e coeficientes se esvíe lo menos posible e la fiabilia requeria u objetivo. Aemás se busca que el valor e la fiabilia obtenia utilizano el conjunto e coeficientes parciales i 551

8 calibrao tenga poca variación, es ecir, sea lo más uniforme posible para las istintas situaciones e iseño para los que se aplica el formato el cóigo. El proceso e calibración e los coeficientes parciales e seguria se esarrolla en 5 etapas: 7.1. Definición el campo e aplicación o alcance el cóigo. En esta etapa se especifica el tipo e estructuras que cubre el cóigo. Se especifican, por ejemplo, el ominio geográfico e valiez el cóigo, los tipos e materiales usaos, función eseaa e las estructuras, moos e fallo y propieaes geométricas e las estructuras. Así, es necesario efinir e manera precisa el ominio el cóigo (por ejemplo: estructuras e acero, estructuras offshore, torres e aerogeneraores, estructuras e maera, etc). En esta etapa se efine también el formato el cóigo, en este caso, el formato e coeficientes parciales f g k1 m1 fk 2,,..., f 1Fk 1, f 2Fk 2,... 0 m2 8 El formato el cóigo consta e un conjunto específico e valores característicos y e coeficientes parciales Objetivo el cóigo Hay que eterminar claramente el objetivo el cóigo. En el caso e la calibración e los coeficientes parciales e seguria el objetivo es maximizar la utilia esperaa e la estructura o conseguir que el ínice e fiabilia esté tan próximo como sea posible al ínice e fiabilia objetivo Obtener la Frecuencia e Ocurrencia e los parámetros estructurales En esta etapa se eterminan los atos estructurales más importantes para los que se ebe satisfacer el objetivo el cóigo. Por ejemplo, hay que iferenciar los casos e carga más habituales e los más raros. Selección e un conjunto e N elementos estructurales representativos que cubran aecuaamente el campo e aplicación el formato e cóigo. Estos elementos estructurales están caracterizaos por iferentes formas geométricas, iferentes imensiones, iferentes ratios e las variables aleatorias, por ejemplo, valores iferentes e la relación entre cargas variables y carga total, y iferentes moelos estaísticos para las variables aleatorias, etc. Esta etapa incluye el imensionao e los N elementos estructurales representativos, aplicano un conjunto inicial e coeficientes parciales m1, m2..., f 1, f 2,.... A caa uno e estos elementos estructurales le correspone un ínice e fiabilia j, j 1... N. Aemás, se le asigna un peso w j para tener en cuenta la frecuencia relativa e ocurrencia e icho elemento estructural en la práctica profesional Seleccionar una función e penalización. En esta etapa se efine una meia para el grao e ajuste entre los ínices e fiabilia j, j 1... N que proporciona el formato el cóigo para los N elementos estructurales representativos y el ínice e fiabilia objetivo t. El t se puee eterminar meiante los 552

9 proceimientos señalaos anteriormente o a partir e los ínices e fiabilia e las estructuras existentes, en cuyo caso lo calculamos meiante: N t w j j 1 j 9 Generalmente se utiliza una función e penalización e tipo cuarático para meir este grao e ajuste: N 2 W w j j t 10 min j 1 one w j, j 1,..., L son coeficientes poneraores que inican la frecuencia relativa e las N iferentes situaciones e iseño, con 1 wj 1. j Se suele tomar como valores iniciales e los coeficientes parciales e seguria m1, m2..., f 1, f 2,..., los valores establecios en el CTE, o por otro cóigo (Eurocóigo) e uso habitual para el campo e aplicación consierao. La función e penalización e suma e cuaraos tiene la ventaja e que muy simple y la solución e problema e optimización puee simplificarse mucho si j tiene una expresión explícita simple. A pesar e too, esta función es simétrica respecto a t, es ecir, sólo epene e la iferencia j t, y las estructuras con un ínice e fiabilia más pequeño que el objetivo no están más penalizaas que las estructuras con un ínice e fiabilia mayor. Lin usa otra función e penalización (Gayton et al, 2004): W N wj k j t exp k j t 1 11 min j 1 one k 0 es el parámetro e curvatura. Esta función penaliza los ínices e fiabilia menores que el ínice e fiabilia objetivo. Cuano el parámetro k aumenta esta función es penaliza más los que la función e mínimos cuaraos. j t 7.5. Optimización el formato el cóigo El formato e cóigo que se obtiene resolvieno el problema e optimización anterior es complejo puesto que ebe logra el mejor ajuste con el ínice e fiabilia objetivo. Sin embargo, para el ingeniero estructural es eseable que el formato e cóigo sea sencillo. En esta etapa se ajustan los coeficientes parciales e seguria llegano a un acuero e compromiso entre simplicia y grao e ajuste al objetivo. 8. Conclusiones El Cóigo Técnico e la Eificación ha introucio en la normativa española sobre seguria estructural los métoos e la Teoría e Fiabilia Estructural. Estos métoos, aunque son e ifícil aplicación, se emplean caa vez más en el iseño e estructuras sometias a acciones extremas: eificios e gran altura, torres e aerogeneraores, plataformas offshore, etc. 553

10 Este artículo se ha centrao en una e las aplicaciones más importantes e estos métoos que es la e calibración e cóigo, es ecir, la eterminación el ínice e fiabilia objetivo y la eterminación e los coeficientes parciales e seguria, acores con este ínice e fiabilia objetivo, que se utilizan en las ecuaciones e iseño que utiliza el ingeniero estructural en la práctica iaria. Es funamental que el comité reactor e un cóigo exija la misma seguria estructural, en términos e nivel e fiabilia, a las estructuras inepenientemente el tipo e material empleao. Aemás, es responsabilia e este comité el proponer valores aecuaos e los coeficientes calibraos, e forma que se obtenga un acuero e compromiso entre seguria y ahorro económico. 9. Referencias CTE.(2009) Cóigo Técnico e la Eificación. Ministerio e la Viviena. Ditlevsen, O. an Masen, H.O.(2007).Structural Reliability Methos, accessible en on-line September.pf 2008). Instrucción e Hormigón Estructural. Comisión Permanente el Hormigón. Ministerio e Fomento. EUROCÓDIGO EN-1990: 2002 Bases e Diseño Estructural. AENOR. Gayton, N. Mohame, A., Sorensen, J.D., Penola M., Lemaire M.,(2004) Calibration methos for reliability-base esign coes. Structural Safety 26, ISO 2394: General principles on reliability for structures (E). Secon Eition Internacional Organization for Stanarization. Suiza. JCSS (2002), Probabilistic Moel Coe. Joint Committee on Structural Safety (JCSS). Lemaire, M., (2009), Structural Reliability, Wiley-ISTE Melchers (1999), Structural Reliability Analysis an Preiction. Secon Eition, Robert E. Melchers. John Wiley & Sons Thoft-Christensen, P an Baker. M., Structural Reliability: Theory an Its Applications. Springer Verlag, Corresponencia (Para más información contacte con): Luis Celorrio Barragué Departamento e Ingeniería Mecánica. Universia e La Rioja Eificio Departamental, Luis e Ulloa 20, Logroño. Phone: luis.celorrio@unirioja.es; luis.celorrio@gmail.com URL: 554