UNIDAD 6: PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES 1. EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN - Epresión mediante una tabla de valores La tabla de valores de una unción está ormada por dos ilas o columnas. En la primera ila o columna iguran los valores que toma la variable y en la segunda ila o columna están los valores correspondientes que toma la variable dependiente Ejemplo: Tabla de valores de la unción que nos da los precios de la taria doméstica de la luz en los años que se indican: Años (variable 1997 1998 1999 000 001 00 003 004 005 independiente) Precio luz 118, 107,7 10,4 99,7 96,7 96,7 97,1 97,1 98,1 ( /MWH) - Epresión mediante una gráica Las gráicas nos dan una visión cualitativa de las unciones sobre unos ejes coordenados Ejemplo: Función que nos da las entradas de cine por persona compradas a lo largo de un año. - Epresión mediante una órmula matemática o epresión algebraica La epresión algebraica o órmula matemática permite calcular los valores de la variable dependiente para todos los valores que demos a la variable independiente. Se dice que la unción viene dada por un criterio o órmula. Ejemplo: El área de un cuadrado de lado l viene dado por la unción Área( l) l - Epresión mediante la descripción verbal La descripción verbal nos proporciona una visión descriptiva y cualitativa de la relación uncional Ejemplo: La unción que liga el precio que hemos de pagar al rutero en unción de la cantidad de manzanas que compremos, sabiendo que el kilogramo cuesta 0,80 Esta unción la podemos ácilmente transormar en una epresión como sigue: ( ) 0,80 donde nº de kilogramos de manzanas 1
. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. DOMINIO Y RECORRIDO La relación eistente entre dos magnitudes que pueden epresarse en las ormas vistas en el apartado anterior recibe el nombre de unción. Una unción real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los nº reales (. ) en otro subconjunto de Se representa de la siguiente orma: tener varias que vayan a ella. : D D y ( ) Una tiene una sola imagen, pero una y puede Al conjunto D se le llama dominio de deinición (o simplemente dominio) de la unción y (), y suele ser el mayor subconjunto de donde la unción tiene sentido. Se representa por Dom( ) A se le llama variable independiente, y representa a los valores a los que se aplica A y se le llama variable dependiente, y representa a los valores que se obtienen de aplicar Al conjunto de todos los valores que se obtienen aplicando a todos los valores del dominio se le llama conjunto imagen o recorrido. Se representa por Im( ) o por Recorr( ) Se denomina gráica o grao de una unción () Dom( ) Ejemplos de unciones: con y al conjunto de puntos del plano de la orma, ( ) ( ) 1 y e 1 ( ) g ( ) 1 ( ) 3 si si 1 1 Ejemplo 1: Sea la unción polinómica cuadrática siguiente: : D R R D y ( ) 4 4 De orma reducida nos darán de manera habitual la unción sólo mediante su criterio o órmula. En este caso como: ( ) 4 4 ó y 4 4 Todas las unciones polinómicas tiene por dominio todos los nº reales, salvo que eplícitamente nos hagan una restricción, que no es el caso. Así, Dom( ) = El conjunto imagen o recorrido es más diícil de calcular, pues nos hace alta dibujar la unción, obteniendo su gráica, que
en este caso es una parábola (ya veremos cómo se dibuja su gráica en la unidad siguiente). Os saldrá un dibujo como el de la izquierda. La imagen la miramos en el eje de ordenadas o eje OY (como si comprimiésemos el dibujo de la unción sobre el eje OY) y obtenemos: Im( ) = [0, + ) Clasiicación de las unciones según su criterio o órmula Funciones Algebraicas Constantes Ej : ( ) 6 Aines y lineales Ej : ( ) 4 Polinómicas Cuadráticas Ej : ( ) 3 5 3 Racionales De grado superior a Ej : ( ) Fraccionarias :Su criterioo órmula es una racción con en eldenominador Ej : ( ) 5 Irracionales : Son aquellas unciones donde la variable independiente,, aparece dentro de un signo radical Ej : ( ) 3 Trigonométricas : Aparece alguna unción trigonométrica Ej : ( ) sen( ) cos( ) 6 Eponenciales : La variable "" está en eleponente 3 Trascendentes Ej : ( ) 5 Logarítmicas :Aparece la "" como argumento de algún logaritmo Ej : ( ) 4 ln( ) CÁLCULO DE DOMINIOS MEDIANTE LA FÓRMULA O CRITERIO Dependiendo del criterio o órmula de la unción actuaremos de una orma u otra para calcular el dominio, atendiendo a las siguientes instrucciones, basadas en que no se puede dividir por 0, no se pueden obtener raíces de índice par de radicandos negativos, no eisten logaritmos de números negativos: - Funciones polinómicas: Su dominio es todo R, pues al ser el criterio un polinomio nunca habrá problemas. Ejemplos: 4 ( ) Dom( ) = y 1 Dom( ) = y 1 Dom( y ) = - Funciones raccionarias: Son de la orma P( ) y donde P () y Q() son polinomios. Q( ) 3
Su dominio son todos aquellos nº reales que no anulan el denominador. Matemáticamente lo epresamos de la siguiente manera: Dom( y) / Q() 0 polinomio denominador Q () no vale 0 Ejemplos: (esto se lee así, todos los nº reales tales que el a) b) 1 y, que es una hipérbola equilátera. Tenemos que Dom( y ) = \ {0} 5 ( ) Vamos a calcular su dominio, Dom( ) { \ 3 0} 3 0 Vemos dónde se anula el denominador: 3 0 3 Por tanto, Dom ( ) \ {0, 3} - Funciones irracionales: Son del tipo Ejemplos: a) Calcular el dominio de ( ) n g( ) Si el índice del radical es impar (n es impar), entonces el dominio de la unción coincide con el dominio de la unción g Si el índice del radical es par (n es par), entonces el dominio será el conjunto de los nº reales tales que g ( ) 0 y 3 1. Como se trata de una unción irracional de índice impar (3), nos ijamos en el radicando, y como se trata de una polinómica de primer grado (aín) su dominio será Dom( y) b) Calcular el dominio de ( ) 5 Por ser de índice impar (5), nos ijamos en el radicando, que es 9 una racción algebraica. Debemos descartar para el dominio los valores que anulan el denominador 3 9 0 Dom ( ) \ {3,-3} 3 1 c) Calcular el dominio de ( ) 4 Por ser de índice par, vamos a hacer una tabla de signos para 9 conocer donde el radicando es 0. Veamos primero donde el numerador y el denominador del radicando se anulan. 1 1 0 3 Con estos tres valores dividimos la recta real en 4 intervalos abiertos y construimos la 9 0 3 tabla de signos: 4
(, 3) (-3,1) (1,3) (3, ) -1 - - + + -9 + - - + De donde deducimos que Dom ( ) 3,1 (3, ) - + - +. Fijaos que el 1 es cerrado pues anula el numerador del radicando y tiene sentido (tendríamos una raíz cuarta de 0, que es 0), mientras que 3 y 3 van abiertos pues anulan el denominador y no tienen sentido (dividiríamos por 0) - Funciones trigonométricas: Las de tipo y = sen(g()) ó y = cos(g()) tienen por dominio el dominio de g() Las de tipo y = tg(g()) tienen por dominio: Dom( tg( g( )) { g( ) k con k } Ejemplo: Calcular el dominio de Dom (, 3 ), ( ) sen Os dejo la solución y practicad vosotros 3 - Funciones eponenciales: g ( ) Las eponenciales ( ) a tienen por dominio el mismo que el de la unción eponente Ejemplos: 3 1 ( ) { } 1 a) y Dom y b) ( ) e + Dom ( ) 0, - Funciones logarítmicas: El dominio de estas unciones, ( ) log ( g( )) son los nº reales tales que hacen g ( ) 0 Ejemplo: ( ) ln(1 ) a Matemáticamente tenemos que calcular Dom( ) 1 0 1 Resolvemos 1 0 1 y ahora hacemos la tabla de signos (, 1) (-1,1) ( 1, ) 1 - + - Por tanto, Dom ( ) ( 1,1 ). Observad que 1 y 1 son abiertos pues ln 0 no tiene sentido 5
CÁLCULO DE DOMINIOS MEDIANTE LA GRÁFICA El dominio de la unción viene dado por el conjunto de valores del eje de abscisas o eje OX para los cuales la unción eiste. Veamos unos ejemplos: Ejemplo: Calcular el dominio de las siguientes unciones dadas por sus gráicas: a) El dominio de esta unción es la parte del eje OX que tienen correspondientes valores de la gráica (eiste ()). Por tanto, Dom ( ), b) En este caso tenemos que: 1, (3,6] Dom ( ) c) En este caso tenemos que: Dom( ) CÁLCULO DE LA IMAGEN O RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN MEDIANTE LA GRÁFICA Sólo calcularemos imágenes o recorridos de unciones mediante gráicas. El recorrido de una unción viene dado por el conjunto de valores del eje de ordenadas o eje OY que son alcanzados por la unción. Ejemplo: Calcular el recorrido de las siguientes unciones dadas por sus gráicas: 6
a) El recorrido de esta unción es la parte del eje OY que tienen correspondientes valores de la gráica (eiste ()). Por tanto, Re corr ( ) 0,3 b) En este caso tenemos que: Im( ) (,4] c) En este caso tenemos que: Im( ) [ 3, 1) [0,4) 3. MONOTONÍA Deinición: Una unción () y es estrictamente creciente en un intervalo b a, si para cualquier par de valores del intervalo, 1 y, con 1, se tiene que ( 1 ) ( ). Matemáticamente lo podemos escribir así: y () es estrictamente creciente en un intervalo b Gráicamente lo vemos así: tal que 1 ) ( ) a, a, b 1, ( 1 7
Deinición: Una unción () y es estrictamente decreciente en un intervalo b a, si para cualquier par de valores del intervalo, 1 y, con 1, se tiene que ( 1 ) ( ). Matemáticamente lo podemos escribir así: y () es estrictamente decreciente en un intervalo b ( 1 ) ( ) Gráicamente lo vemos así: 1, tal que 1 a, a, b 4. EXTREMOS RELATIVOS Deinición: Una unción y () tiene un máimo relativo en un punto de abscisa 0, si hay un intervalo abierto que contiene a 0, donde ) es el mayor valor que alcanza la unción. ( 0 8
Deinición: Una unción y () tiene un mínimo relativo en un punto de abscisa 0, si hay un intervalo abierto que contiene a 0, donde ( 0 ) es el menor valor que alcanza la unción. MÁXIMO RELATIVO MÍNIMO RELATIVO Ejemplo: Supongamos que tenemos una unción cuya gráica es como sigue: Viendo el dibujo podemos decir que: - En,0, la unción es estrictamente decreciente (se puede decir decreciente) - En 0,, la unción es estrictamente creciente(se puede decir creciente) - En 0 (ó mejor dicho en el punto (0,1)), la unción presenta un mínimo relativo 0 - No tiene máimos relativos - Su dominio es todo IR 1,3 - Su imagen es 9
Ejemplo: Lo mismo para es creciente en, 1 1, es decreciente en 1,1 tiene un má. relativo en 1. También se puede decir que tiene un máimo relativo en (-1,) 0 tiene un mín. relativo en 0 1. También se puede decir que tiene un mínimo relativo en (1,-) Su dominio es todo Su imagen es todo 5. FUNCIONES ACOTADAS. EXTREMOS ABSOLUTOS Deinición.- Una unción y () está acotada superiormente por un nº real K si todos los valores que toma la unción son menores o iguales que K, es decir, A K se le llama cota superior. ( ) K Dom( ) (NOTA: = para todo) Deinición.- Una unción y () está acotada ineriormente por un nº real P si todos los valores que toma la unción son mayores o iguales que K, es decir, A P se le llama cota inerior ( ) P Dom( ) Deinición.- Una unción y () está acotada si lo está superior e ineriormente, es decir, P ( ) K Dom( ) Ejemplo: La unción ineriormente ( ) 4 está acotada superiormente por 4 (ó 5 ó 6 ó...) pero no está acotada 10
Ejemplo: La unción de la gráica está acotada. Por ejemplo, tiene como cota superior 1 (o cualquier otro nº mayor que 1) y como una cota inerior 0 (o cualquier otro nº menor que 0) Deinición.- Se llama etremo superior o supremo a la menor de las cotas superiores de una unción acotada superiormente Deinición.- Se llama máimo absoluto de una unción acotada superiormente al etremo superior o supremo cuando es alcanzado por la unción Deinición.- Se llama etremo inerior o ínimo a la mayor de las cotas ineriores de una unción acotada ineriormente Deinición.- Se llama mínimo absoluto de una unción acotada ineriormente al etremo inerior o ínimo cuando es alcanzado por la unción Ejemplo: Dada la siguiente gráica Podemos observar que es una unción acotada. La menor de las cotas superiores es 3 (3 es el etremo superior o supremo) pero la unción no lo alcanza, luego no tiene máimo absoluto La mayor de las cotas ineriores es 1 (1 es el etremo inerior o ínimo) y además lo alcanza es el mínimo absoluto. Del mínimo absoluto podemos decir que es el punto (0,1), que lo alcanza en = 0 o bien que es 1. Nosotros habitualmente usaremos las dos primeras epresiones. 6. FUNCIONES SIMÉTRICAS Deinición.- Una unción y = () se dice simétrica respecto del eje de ordenadas o eje OY o que tiene simetría par si (-) = () para cualquier del Dom() Ejemplo 7: La unción ( ) 4 es par como vemos por su representación gráica. 11
Matemáticamente demostramos que es par haciendo lo siguiente: ( ) ( ) 4 4 ( ) Deinición: Una unción y = () es simétrica respecto del origen de coordenadas o que tiene simetría impar si (-) = - () Ejemplo 8.- La unción ( ) 3 es impar como vemos por su representación gráica Matemáticamente demostramos que es impar haciendo lo siguiente: ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( 3 ) ( ) Ejemplo: La unción ( ) no tiene simetría, no es par ni impar 1
Matemáticamente lo demostramos pues: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Propiedad: Para que una unción pueda ser simétrica (par o impar) su dominio ha de ser simétrico respecto al origen de coordenadas Ejemplo: La unción dada por la gráica siguiente no es simétrica pues su dominio es Dom ( ), 1, 7. FUNCIONES PERIÓDICAS Son unciones que se van repitiendo a lo largo del eje OX Deinición: Una unción y () es periódica de periodo T (T positivo), si cumple que ( kt) ( ) para cualquier valor de Dom( ) Ejemplo 10: La unción parte decimal Dec() = E() es periódica de periodo 1 Ejemplo 11: La unción ( ) sen es periódica de periodo 13
8. ASÍNTOTAS. RAMAS INFINITAS TENDENCIA DE UNA FUNCIÓN HACIA UN VALOR CONSTANTE CUANDO TIENDE A Una unción tiende hacia un valor constante k cuando al aumentar o disminuir los valores de la variable independiente, los correspondientes valores de la variable dependiente se van aproimando al valor constante k. Este comportamiento se epresa de las siguientes ormas: - Cuando tiende a más ininito, y () tiende a k. Matemáticamente lo epresamos así: ( ) k Gráicamente sería de esta manera: Diremos que la recta y k es una asíntota horizontal en de la unción y () - Cuando tiende a menos ininito, y () tiende a k. Matemáticamente lo epresamos así: ( ) k Gráicamente sería de esta manera: Diremos que la recta y k es una asíntota horizontal en de la unción y () 14
TENDENCIA DE UNA FUNCIÓN HACIA CUANDO TIENDE A UN VALOR CONSTANTE En la tendencia de una unción a más o menos ininito cuando tiende a un valor constante a pueden darse los siguientes casos: - Si tiende a a por la izquierda y entonces () tiende a más ininito. Matemáticamente lo epresamos así: a () Gráicamente sería de esta manera: Diremos que la recta a es una asíntota vertical por la izquierda de la unción y () hacia - Si tiende a a por la derecha y entonces () tiende a más ininito. Matemáticamente lo epresamos así: a () Gráicamente sería de esta manera: Diremos que la recta a es una asíntota vertical por la derecha de la unción y () hacia 15
- Si tiende a a por la izquierda y entonces () tiende a menos ininito. Matemáticamente lo epresamos así: a () Gráicamente sería de esta manera: Diremos que la recta a es una asíntota vertical por la izquierda de la unción y () hacia - Si tiende a a por la derecha y entonces () tiende a menos ininito. Matemáticamente lo epresamos así: a () Gráicamente sería de esta manera: Diremos que la recta a es una asíntota vertical por la derecha de la unción y () hacia 16
CUANDO TIENDE A TENDENCIA DE UNA FUNCIÓN HACIA Una unción tiende a más o menos ininito cuando tiende a más o menos ininito cuando a al hacerse la variable independiente muy grande, en valor absoluto, también se hace muy grande la variable dependiente y, en valor absoluto. En estos casos, se dice que la unción no tiene un comporta miento asintótico. Tenemos cuatro caso que los representamos matemáticamente como sigue: - () - () - () - () Gráicamente sería asi: Ejemplo: Determinar el comportamiento tendencial o asintótico de la unción y () cuya gráica es la dada: Vamos a ir recorriendo la gráica de izquierda ( ) a derecha ( ) 17
- En, la unción se va a, y no tiene asíntota, es decir, () - Si 1 ( ), por tanto, la unción tiene una asíntota vertical por la izquierda hacia que es la recta 1 - Si 1 ( ), por tanto, la unción tiene una asíntota vertical por la derecha hacia que es la recta 1 - Si 1 ( ), por tanto, la unción tiene una asíntota vertical por la izquierda hacia que es la recta 1 - Si 1 ( ), por tanto, la unción tiene una asíntota vertical por la derecha hacia que es la recta 1 - En, la unción se aproima a, es decir, ( ). Por tanto, la unción tiene una asíntota horizontal en, que es la recta y 9. OPERACIONES CON FUNCIONES. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Operaciones con unciones Análogamente a las operaciones con números reales se pueden deinir la suma, resta, producto y cociente de unciones. Consideremos dos unciones () y g (), se deinen las siguientes operaciones: - Suma o resta de unciones: ( g)( ) ( ) g( ) - Producto de unciones: ( g)( ) ( ) g( ) - Cociente de unciones: g ( ) ( ) g( ) Composición de unciones Deinición: Dadas dos unciones () y g (), tales que Im( ) Dom( g), se llama unción compuesta de la unción con g (o compuesta con g) a: g ( ) g ( ) Es decir, aplicamos g al resultado de aplicar a la variable independiente No es conmutativo, es decir, normalmente g g Ejemplo: Sean ( ) y g ( ) g ( ) g g ( ), entonces 1 1 1 g( ) g( ) 1 1 18
Ejemplo: Sean ( ) y g ( ) 1, entonces 1 g ( ) g ( ) g 1 1 1 1 3 1 1 1 g( ) g( ) 1 1 1 ( 1) 1 10. FUNCIÓN INVERSA Dada una unción y (), la unción inversa de es aquella que devuelve cada valor imagen a su original y se nota por 1 ( ) Se tiene que cumplir que ( 1 )( ) ( 1 )( ) Además las gráicas de y esta bisectriz tiene por ecuación 1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante (recuerdo que y ) ( ) ln( y Ejemplo: Las unciones ) g ( ) e son inversas pues se tiene que ( g)( ) ( )( g( )) ( e ) ln( e ). Las gráicas de estas unciones son las siguientes y vemos su simetría: Ejemplo: Calcular la inversa de la unción ( ) 5 19
Partimos de y 5 permutamos la y la y, nos queda y 5 despejamos y 5 y y 5 1 y 5 Y ya tenemos que 1 ( ) 1 5 1 Comprobación: Vamos a calcular ( )( ) para ver que nos da la unción identidad ( 1 )( ) 1 1 5 1 5 ( ) ( ) 5 5 5 Lo mismo se puede hacer con 1 Ejemplo: Calcular la inversa de 3 ( ) 1 Partimos de 3 y permutamos la y la y, nos queda 1 3y despejamos y ( y 1) 3y y 1 y 3y y 3y sacamos actor común y y ( 3) y 3 Y ya tenemos que 1 ( ) 3 1 Comprobación: Vamos a calcular ( )( ) para ver que nos da la unción identidad ( 1 )( ) 3 1 3 1 3 ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Lo mismo se puede hacer con 1 0