Aálii de Serie de Tiempo Noe que dada la erucura de difereciar la fució de veroimiliud e mu complicado por ao difícil de opimizar. eo cao e aplica méodo umérico co eimadore iiciale dado e la eimació prelimiar. odemo raformar la diribució coua uado la iovacioe repeciva variaza calculada recurivamee por el algorimo de Iovacioe. u Recordemo que por el algorimo de iovacioe e iee la igualdad: C or ora pare abemo que la iovacioe o o correlacioada por lo ao la mariz de covariaza de la iovacioe e la mariz diagoal D iguiee: D diag{... } or la igualdad aerior la mariz D e iee que: C D C Uado la igualdade aeriore podemo ver que la forma cuadráica dada por: D / eá Recordemo ambié que C e ua mariz riagular co elemeo e la diagoal igual a uo por lo ao u deermiae e uo. De dode: C D C C D D... Suiuedo la fució de diribució coua iicial e reduce a: L... ep{ / } Si puede er epreada e érmio de u úmero fiio de parámero decoocido como e el cao de u proceo ARMApq eoce lo eimadore de Máima Veroimiliud de lo parámero o lo valore que maimiza la fució L para el couo de dao dado. La veroimiliud para lo dao de u proceo ARMApq puede er calculada recurivamee por el algorimo de iovacioe. 96
Aálii de Serie de Tiempo Aí el predicor de + como u error cuadrado medio eá dado por:... p p r m m dode θ r o deermiado por el algorimo de iovacioe m=mapq. De ea forma la fució de veroimiliud para el proceo ARMApq e: L r r... r ep{ r } Derivado parcialmee el logarimo de L co repeco a la variaza del ruido blaco eiedo que r o idepediee de ecoramo lo eimadore de máima veroimiliud. S dode l S o lo l S / r valore que miimiza l crierio de elecció del orde del modelo e la miimizació del AICC. e crierio coie e ecoger p q p q que miimice la caidad: l r AICC l S / p q / p q p q p q Ua de la opcioe del programa ITSM e u auoaue del modelo. o e lleva a cabo eleccioado Model>imaio>Auofi. La elecció de ea opció o permie epecificar u rago de lo valore de p de q el rago máimo e de a 7 para ambo p q. l modelo elegido e el que ega míimo AICC ua vez que el modelo a ido deermiado debe er eimado por máima veroimiliud. Má adelae e eemplificará la eoría. S-LUS la fució de eimació por máima Veroimiliud e: arima.mle model.cod=<< >> reg=null... 97
Aálii de Serie de Tiempo ara acer iferecia obre lo parámero e ua reulado aióico e decir e upoe muera grade. ee cao coideremo el vecor de parámero eoce para ua muera grade: N V dode V e la mariz Heiaa defiida por: V l i p q i Si e quiere probar la ipóei H : parámero= la prueba e lleva a cabo calculado el cociee: parámero.96 * parámero La regla de deciió e recazar H i el cociee aerior e ecuera fuera del iervalo [-]. emplo V... Coideremo lo dao del ivel del Lago Huró ver eemplo V.. auemo u modelo por máima veroimiliud. Solució. Recordemo que e la eimació prelimiar e ecoró que el meor modelo auado míimo AICC a lo dao corregido por la media fue el modelo ARMA: = - 9.4 Meod: Iovaio ARMA Model: -.734 - = +.3596 - N Variace =.47568 AICC =.894+3 l iguiee pao e auar el modelo por máima veroimiliud uado como eimació prelimiar el modelo ARMA. Uado la fució arima.mle de S-LUS obeemo: Coefficie: AR :.75544 MA : -.37 Variace-Covariace Mari: ar ma ar.594963.437368 ma.437368.5578 98
Aálii de Serie de Tiempo Opimizer a coverged Covergece Tpe: relaive fucio covergece AIC: 7.85 Lo reulado aeriore e obiee ecribiedo la iruccioe: Lake.corr<-Lake-meaLake mod<-liar=-.734ma=.3596 arima.mlelake.corr model=mod dode Lake e el ombre del Daae co la erie del Lago Huró. lo reulado ambié e obiee la variaza de lo parámero co lo cual podemo eablecer lo iguiee iervalo de cofiaza al 95% como igue: :.7554 :.37.96*.96*.59.55.64.966.568.876 [Hamilo 994] dearrolla la eimació de Máima Veroimiliud uado diribucioe codicioale. o e pare de: f f f f... / 3 / f /... iee: or eemplo para el proceo AR dado por dado 3 e f / ep [ / / ] a que / V /. Ademá f / ep [ ] f 3 / ep [ 3 ] or lo ao la diribució coua eá dada por: f 3 L 3 f / / 99
Aálii de Serie de Tiempo Como puede obervare e lo argumeo de la fució epoecial el umerador correpode a la Iovacioe. a e la imiliud ere el procedimieo de Hamilo el que e preea e ee rabao. l procedimieo de Hamilo e puede eeder para cualquier modelo ARMApq. V.3. RUAS D ONDAD D AJUST l pao fial e el proceo de aue de modelo de erie de iempo e verificar qué a bueo e el modelo. o e coigue mediae la prueba de bodad de aue. Tale prueba coie e verificar que lo upueo de lo reiduale e cumpla e decir que forma u proceo de Ruido laco. eguida e mecioará algua de la prueba que e uiliza para probar lo upueo iiciale de lo reiduale. Cabe mecioar que o o la úica algua ora e puede coular e [rockwell Davi pp. 35-38]. V.3.. La fució de auocorrelació de reiduale Si { } forma u proceo de Ruido laco eoce la auocorrelacioe de la iovacioe errore debe er eadíicamee iguale co cero. decir co el 95% de cofiaza e debe cumplir:.96 /.96 / 3... Si calculamo la correlacioe muerale para má de 4 obervacioe ecoramo que má de do valore cae fuera del iervalo de cofiaza eoce recazaremo la ipóei de que lo errore o idepediee. La bada.96 / o graficada auomáicamee cuado e grafica la fució de auocorrelació e el programa ITSM. la iguiee gráfica e muera la fucioe de auocorrelació auocorrelació parcial de lo reiduale depué de aber auado u modelo ARMA a lo dao del Lago Huró. odemo ver que igú valor cae fuera de la bada de cofiaza por lo que podemo cocluir que lo reiduale e efeco o idepediee. La gráfica e logra de la iguiee forma: el Daae Lake eguimo Daa> Traform e el cuadro preio ecribimo Lake-meaLake. o creará ua ueva columa de dao corregido por la media. eguida auamo el modelo ARMA iguiedo Saiic> Time Serie> ARIMA Model epecificamo e Auorregreive p e Movig Avg. q. ialmee e la peaña Diagoic marcamo Auocorrelaio of Reidual lo Diagoic.
AC -. -.... AC -. -.5..5. Aálii de Serie de Tiempo ráfica4. AC AC de lo reiduale depué de auar u modelo ARMA a la erie ivel del lago Huró. ARIMA Model Diagoic: Lake$V AC lo of Reidual 5 5 AC lo of Reidual 5 5 ARIMA Model wi Mea V.3.. rueba de puo cambiae urig poi a prueba coie e deermiar i lo reiduale forma u paró aleaorio. Supogamo que eemo ua muera aleaoria obervació e u puo cambiae i:.... Se dice que la i-éima i i i i o i i i i Si defiimo a T como el úmero de puo cambiae e ua uceió de variable aleaoria iid de amaño eoce dado que la probabilidad de que aa u puo cambiae e el iempo i e /3 el valor eperado de T e: T T /3 Tambié la variaza de T e: T Var T 6 9 / 9 or oro lado para ua muera iid grade puede morare que: T p T T T N Co eo podemo llevar a cabo la prueba de ipóei de que lo reiduale o aleaorio uado el crierio de deciió:
/ Aálii de Serie de Tiempo Recazar H : La muera e aleaoria al ivel de igificacia α i T p / dode e el cuail - α/ de la diribució Normal eádar. V.3.3. rueba de igo differece-ig ea prueba e cuea el úmero de obervacioe i ale que i i i.... Defiimo a S como el oal de ale obervacioe. oce bao el upueo de muera aleaoria e iee que: S S S Var S / / De la mima forma que para T para u valor grade de e iee que: S p S S S N U valor grade e valor aboluo de S S idicaría la preecia de u icremeo o decremeo e la edecia de lo dao. De aquí que recazaremo la ipóei de edecia e lo dao al ivel α de igificacia i S p / dode / e el cuail - α/ de la diribució Normal eádar. La re prueba mecioada ere ora o calculada por el programa ITSM uado la opció Saiic>Reidual Aali>Te of Radome. S-LUS ólo ofrece la eadíica de Lug-o que e diribue como Ji-Cuadrada. ara obeerla e el cuadro de diálogo que aparece depué de Saiic> Time Serie> ARIMA Model e la peaña Diagoic marcamo la opció ormaeau Saiic. claro que i o e a auado algú modelo a lo dao lo reiduale o lo mimo que la obervacioe. o igifica que podemo llevar a cabo la prueba para la obervacioe cuado o e a auado algú modelo como para lo reiduale. emplo V.3.. Coideremo lo dao del arcivo SINAL.TT. Veremo la opcioe que ofrece ambo programa ITSM- S-LUS para llevara cabo la prueba de bodad de aue.
AC...4.6.8. igal Aálii de Serie de Tiempo ráfica5. Valore imulado de la erie =co +N =.. dode N e N.5. 3 - - -3 3 8 3 8 primer lugar veremo la gráfica de la fució de auocorrelació. ráfica6. AC de la erie =co + N =.. dode N e N.5. Serie : igal$igal 5 5 Lag La gráfica 5 6 o reulado de la iruccioe: guilolotpe=" Serie Lie" Colum= DaaSe="igal" acf = igal$igal pe = "correlaio" dode igal e el Daae co lo dao de la erie imulada. Noe que algua obervacioe má de do ale de la bada de cofiaza por ao recazaremo la ipóei de que la erie e idepediee. La eimació prelimiar de ule-alker ugiere auar u modelo AR7 a lo dao corregido por la media. Auado ee modelo podemo verificar i lo reiduale cumple co la prueba de bodad de aue. ITSM e obiee mediae Saiic>Reidual Aali> Te of Radome. Lo reulado o: ============================================ ITSM::Te of radome o reidual ============================================ Lug - o aiic = 6.78 Ci-Square p-value =.6679 3
p-value...4.6 Aálii de Serie de Tiempo McLeod - Li aiic = 5.745 Ci-Square 7 p-value =.5378 # Turig poi =.36+3~AN.3+3d = 5.9358 p-value =.539 # Diff ig poi =.3+3~AN99.5d = 4.97 p-value =.3945 Rak e aiic =.83+5~AN.995+4d =.4735+3 p-value =.77864 Jarque-era e aiic for ormali = 3.875 Ci-Square p-value =.486 Order of Mi AICC Model for Reidual = l programa ITSM o da el p-value. La regla e recazar la ipóei ula al ivel de igificacia α i α > p-value. Si eablecemo u ivel de igificacia del 5% podemo ver que uilizado cualquier eadíica o e recaza la ipóei ula de que lo reiduale forma ua erie iid. S-LUS eleccioamo la opció Saiic> Time Serie> ARIMA Model epecificamo 7 e Auorregreive p marcamo la opció ormaeau Saiic lo Diagoic e la peaña Diagoic. Obeiedo: ARIMA Model Diagoic: igal$v -value of Lug-o Ci-Squared Saiic 8. 8.5 9. 9.5. Lag ARIMA7 Model wi Mea cocluió el modelo propueo para lo dao corregido por la media AR7 reula bueo pue lo reiduale cumple aifacoriamee co la prueba de bodad de aue. 4
Aálii de Serie de Tiempo CAITULO VI. MODLOS NO-STACIONARIOS la maoría de lo cao la obervacioe o o geerada por erie de iempo eceariamee eacioaria por lo que e ee capíulo ee ipo de couo de dao erá uero obeivo de eudio. l ipo de modelo que aalizaremo e la iguiee ecció erá lo modelo ARIMA Auorregreivo Iegrado de romedio Móvil. VI.. MODLOS ARIMA ARA SRIS NO-STACIONARIAS Cuado auamo u modelo ARMA a ua erie difereciada e realidad eamo auado u modelo ARIMA a lo dao origiale. decir u modelo ARIMA e u proceo que e reduce a u proceo ARMA cuado difereciamo u úmero fiio de vece. Defiició VI... [Modelo ARIMApdq].- Si d e u eero o-egaivo eoce d { } e u proceo ARIMApdq i e u proceo ARMApq caual. o igifica que: * d Noe que el proceo { } e eacioario i olo i d=. Si e el cao eoce el proceo e reduce a u ARMApq. emplo VI... Supogamo que { } e u proceo ARIMA. odemo ecribir el modelo como: o igifica que para predecir al proceo { } primero podemo predecir el proceo { } agregar la obervació iicial. o e 5
Aálii de Serie de Tiempo 6 o Aumiedo que el proceo } { aiface d. odemo reecribirlo como: d d De aquí que el procedimieo de predicció e puede geeralizar de modo que para u proceo ARIMApdq e iee: d d dode } { e u proceo ARMApq caual. Co repeco al rror Cuadrado Medio. Teemo que para cualquier : d d d d ara = la epreió e reduce a: d d d d or lo ao CM CM Hemo llegado a ua epreió que o dice que para = el CM de la predicció de la obervació o eacioaria e igual al CM de la eacioaria. or ora pare abemo que bao el upueo de caualidad e } {
Aálii de Serie de Tiempo d d * Noe que egú la epreió aerior podemo eprear la erie o eacioaria como u proceo lieal e érmio de lo coeficiee lieale de la erie eacioaria. emplo VI... Coideremo lo dao del Ídice de Uilidad Dow Joe del 8 de Agoo al 8 de Diciembre de 97. l arcivo e DOJ.TT. Recordemo que para ea erie de dao e uvo que difereciar ua vez a diacia uo para eer ua erie eacioaria. Aí mimo e auó u modelo AR para lo dao corregido por la media ver eemplo V.. eiedo como reulado aplicado Máima Veroimiliud: > media [].336364 $var.pred: [] [].5849 Coefficie: AR :.4483 Variace-Covariace Mari: ar ar.5349 La iruccioe o: dif.dj<-diffdoj media<-meadif.dj dif.djcorr<-dif.dj-media mod<-liar=.48786 media arima.mledif.djcorr model=mod dode DOJ e el Daae co la erie del Ídice de uilidad Dow Joe. Noe que el aue aerior e para la erie D D. 336. coecuecia el modelo para { D } e: 7
Aálii de Serie de Tiempo.4483 D.336 N.58 Noe que de acuerdo a la defiició VI.. {D } e u proceo ARIMA. Sabemo que para u proceo AR el meor predicor lieal eá dado por. Aí la predicció para D + quedaría como:.4483 D D.336.4483 D D.336 D.737.4483D.4483D l CM e obiee de la mima maera que ae para u modelo AR. ee eemplo e moró la eraegia de predicció para u modelo ecillo ARIMA; Si embargo el procedimieo e imilar para modelo má geerale ARIMApdq. VI.. Ideificació eimació de modelo Cuado eemo ua erie { } co media cero o corregida por la media o efreamo al problema de ecorar u modelo ARMApq que repreee uera erie. Si lo valore de p q o coocido eemo ua gra veaa. Si embargo o iempre e el cao por lo que eceiamo de écica que o de ua aproimació de p q. Como emo comeado ooro baamo el crierio de elecció de p q e bae al míimo AICC defiido por: AICC l S / p q / p q p q p q dicuido e el capíulo V. La eimació e ideificació de modelo e reume e lo iguiee pao:. Depué de raformar uera erie i e eceario para eer ua erie eacioaria eamie la gráfica de la fucioe AC AC para eer ua idea de lo valore de p q. Depué de eo podemo obeer la eimació prelimiar por alguo de lo méodo decrio e el capíulo V.. Cuado iroduzcamo la fució e S-LUS de eimació prelimiar a ea por el algorimo de ule-alker o urg debemo agregar la codició aic=t. o o garaizará modelo co p q ale que el AICC ea míimo. or eemplo debemo ecribir: ar.burg aic=t. 3. amiar lo valore de lo coeficiee calculado lo errore eádar. o o audará a cocluir que alguo coeficiee o eadíicamee igual co cero. Si e 8
Aálii de Serie de Tiempo aí podemo auar u uevo modelo a la erie mediae la opció Model> imaio>ma Likeliood dar clic e la opció Corai Opimizaio epecificar cuale valore o iguale co cero e ITSM epecificado lo valore diferee de cero e la opció model de la fució arima.mle model de S-LUS. 4. a emo dicuido que o eie uicidad e el aue de u modelo a ua erie de iempo por lo que ua vez que eemo vario cadidao eemo que ver cuále de ello cumple co la prueba de bodad de aue capíulo V. VI.. MODLOS SARIMA a emo vio que para elimiar el compoee eacioal de periodo de ua erie e eceario difereciar uamee a diacia. Si auamo u modelo ARMApq a la erie difereciada a diacia eoce el modelo auado a la erie origial e u cao de u proceo ARIMA eacioal o ambié llamado SARIMA. ara eer ua idea de qué e lo que eudiaremo e ea ecció upogamo que eemo medicioe meuale de algú feómeo. decir eemo ua colecció de erie por año a la cuale le podemo auar u modelo ARMApq. Defiició VI... [Modelo SARIMApdq DQ ].- Si d D o eero o-egaivo eoce } e u proceo SARIMApdq DQ co periodo i la erie difereciada { d D e u proceo caual ARMA defiido por: * * Supogamo que: Suiuedo e la defiició eemo: * * odemo ver que la diferecia fudameal ere u modelo cualquiera eacioal u modelo SARIMA e la rericció que eie e lo parámero del modelo ademá para vario valore de lo parámero iee u valor igual co cero. Lo pao para ideificar u modelo SARIMA para u poible couo de dao o lo iguiee: 9
muere muere Aálii de Serie de Tiempo. corar valore poible de d D que aga que la erie difereciada ea eacioaria: d D. amiar la fucioe de auocorrelació auocorrelació parcial AC AC muerale de { } a diacia que ea múliplo de para obeer ua aproimació de Q. decir k k= debe er compaible co u modelo ARMAQ. 3. Lo valore de p q e obiee obervado lo valore de... lo cuale debe er compaible co lo de u modelo ARMApq. A coiuació veremo u eemplo co el cual e preede eplicar lo re pao aeriore. emplo VI... Coideremo el arcivo DATHS.TT. Lo dao preea la iguiee gráfica: 978. ráfica7. Serie Muere meuale cauada por accidee e USA de 973-9 8 7 3 4 5 6 7 odemo ver que la erie preea eacioalidad a diacia =. or lo que difereciamo ua vez a ea diacia. Ua vez elimiado el compoee de eacioalidad e iee: ráfica8. Serie accidee. dode e la erie de muere cauada por 5-5 - -5 3 4 5 6
AC -.4 -....4.6.8. arial AC -.3 -. -.... muere ráfica9. Serie accidee. Aálii de Serie de Tiempo dode e la erie de muere cauada por 5-5 - 3 4 5 6 La iruccioe para acer la gráfica de ee eemplo o: guilolotpe=" Serie Lie"DaaSe="dea" dea.difd<-diffdea guilolotpe=" Serie Lie"DaaSe="dea.dif" dea.difdd<-diffdea.difd guilolotpe=" Serie Lie"DaaSe="dea.difDd" D=. La úlima gráfica preea pue la erie:. Noe que = d= La gráfica de AC AC muerale de la erie { } e obiee adicioado a la iruccioe de arriba la líea: acf = dea.difdd4 pe = "correlaio" acf = dea.difdd4 pe = "parial" ráfica3. AC AC de la Serie muere. Serie : dea.difdd dode e la erie Serie : dea.difdd 5 5 Lag 5 5 Lag Auocorrelaio mari: lag dea.difdd lag dea.difdd. 3 -.333 -.3558 4 3.9 3 -.987 5 4.63 4 3.955 6 5 -.46 5 4 -.5 7 6 -.633 6 5.45 8 7.833
Aálii de Serie de Tiempo 7 6.4 9 8 -.99 8 7 -.4 9.4 9 8 -.7.496 9. -. -.84 3.4.95 4 3.63 5 4 -.989 Lo valore.333 4.989 36. 6 ugiere u modelo MA para lo dao auale pue depué de lo valore de k para k=3 o eadíicamee igual co cero. decir = Q=. or ora pare e el úico érmio de correlació de lo primero igificaivamee diferee de cero. or lo que ecogemo u modelo MA para lo dao meuale. decir p= q=. De acuerdo a lo aerior eemo que: * 3 * 3 Hemo vio pue que el modelo adecuado para la erie { } corregida por la media e u proceo SARIMA. l aue e llevó a cabo co el paquee R. Ua vez que eemo uero dao e u vecor uamo la fució arima. decir > dea [] 97 86 898 937 7 86 37 744 973 9938 96 897 [3] 775 698 838 84 874 95 983 8743 99 87 868 [5] 86 736 84 787 9387 9556 93 96 885 8433 86 834 [37] 777 746 7776 795 8634 8945 78 979 837 8488 7874 8647 [49] 779 6957 776 86 889 999 65 93 834 885 865 8796 [6] 7836 689 779 89 95 9434 484 987 9 97 8633 94 > dead<-diffdea > deadd<-diffdead > fi<-arimadeaorder=ceaoal=liorder=cperiod=meod="ml" > meadeadd [] 8.835 > fi Call: arima = dea order = c eaoal = liorder = c period = meod = "ML" Coefficie: ma ma -.477 -.5546.e..9.75 igma^ eimaed a 99797: log likeliood = -45.54 aic = 857.8
AC -.5..5. arial AC -.4 -.3 -. -.... Via Aálii de Serie de Tiempo or lo que el modelo auado para { } la erie origial e u proceo SARIMA dado por: 8.835.477.5546 N 99797 emplo VI... Coideremo el arcivo VIAJROS.T. a erie la vimo e el capíulo recordemo que fue eceario difereciar a diacia a diacia uo e decir = D= d=. Co lo que obuvimo: ráfica3. Serie dode e la erie de viaero. 5-5 5 5 5 3 l pao iguiee e aalizar la gráfica de AC AC para obeer lo valore de Q p q. La gráfica o: ráfica3. AC AC de Serie : via.difdd dode e la erie de viaero. Serie : via.difdd 5 5 Lag 5 5 Lag La gráfica aeriore la obeemo e S-LUS mediae: guilolotpe=" Serie Lie"DaaSe="viaero" via.difd<-diffviaero guilolotpe=" Serie Lie"DaaSe="via.difD" via.difdd<-diffvia.difd guilolotpe=" Serie Lie"DaaSe="via.difDd" acf = via.difdd4 pe = "correlaio" acf = via.difdd4 pe = "parial" 3
Aálii de Serie de Tiempo De acuerdo a la AC podemo ver que depué de = la AC e eadíicamee igual co cero por lo que Q=. ara = la AC oma vario valore diio de cero i embargo uaremo olo el primero e decir q=. De la gráfica de la AC como lo icimo co la AC podemo obeer = p=. Aí el modelo que auaremo a la erie de viaero erá u modelo SARIMA. l aue lo icimo e co el paquee R epecíficamee co la fució arima. fi<-arimaviaorder=ceaoal=liorder=cperiod=meod="ml" > media<-meavia Obeiedo: Coefficie: ar ma ar ma.474 -.956.5 -.8349.e..55.583.69.4 igma^ eimaed a 3377: log likeliood = -969.67 aic = 3949.33 > media [] 785.864 or lo que el modelo auado para la erie origial e u proceo SARIMA dado por: 785.8.47..96.835 N 3377 VI.. redicció co Modelo SARIMA l proceo de predicció e lo proceo SARIMA e aálogo al preeado e lo proceo ARIMA. l proceo coie e dearrollar lo biomio uado para volver d D eacioaria la erie. decir dearrollar el érmio el cual eá dado por: d D d k D d k D k d k... VI. D... VI. l produco de ea do epreioe reula u poliomio de orde D+d que e puede eprear como u olo poliomio. or lo que podemo ecribir: 4
Aálii de Serie de Tiempo 5 d D D d a dode el érmio a eprea el produco de igo combiaoria de lo érmio dado e VI. VI.. ara =+ depeado + obeemo: d D a dado que el predicor e u operador lieal la predicció de + queda como: d D a Noe que el primer érmio de la dereca e la predicció de u proceo ARMA el cual a emo eudiado e capíulo aeriore. l egudo érmio e calcula recurivamee pariedo del reulado. para Co repeco al CM eemo que ecorar ua epreió aáloga a la que ecoramo para el proceo ARIMA. o e ua epreió de la forma *. ara eo al como lo icimo para el proceo ARIMA parimo de la igualdad: D d D d * De ea forma para u úmero de obervacioe grade podemo uar la aproimació: * CM
Aálii de Serie de Tiempo dode z z z z z z d z z D z emplo VI... Coideremo uevamee el arcivo DATHS.TT. Ua vez auado el modelo como e el eemplo V.. podemo predecir lo iguiee valore de la erie. ee eemplo vamo a eimar lo iguiee ei valore de la obervació 73 a la 78. ara eo uevamee uado el paquee R uamo la fució predic. Aí adicioamo la líea iguiee a la líea co la que auamo el proceo del eemplo V..: > foreca<-predicfi.aead=6e.fi=tru > foreca $pred Time Serie: Sar = 73 d = 78 requec = [] 8336.999 7533.83 837.35 8589.337 949.938 986.644 $e Time Serie: Sar = 73 d = 78 requec = [] 35.8686 363.896 46.77 444.646 479.9473 5.889 la primera líea e egria de lo reulado e iee la eimacioe e la eguda u correpodiee raíz del CM. Al fial del capíulo aparece ua abla eraída de [o Jeki Reiel 994] e la que e reume alguo modelo eacioale uo co u fució de auocovariaza algua propiedade imporae. VI.3. RRSIÓN CON RRORS ARMApq Como area imporae e la geeralizació de la écica de regreió radicioal e preea el cao dode lo errore del modelo de regreió igue u proceo ARMApq e vez de upoer que o idepediee e idéicamee diribuido iid. a geeralizació e mu úil a que e muco cao prácico la upoició de idepedecia o e cumple. eguida daremo u breve reume de la écica de eimació del Aálii de Regreió. 6
Aálii de Serie de Tiempo VI.3. Míimo Cuadrado Ordiario MCO Coideremo el modelo de regreió imple e forma maricial: e méodo coie e ecoger el valor de que miimice la uma de cuadrado de la deviacioe de la obervacioe repeco a u valor eperado e decir el valor que miimiza: N i [ i ] dode N e el úmero de obervacioe. i l eimador reulae e el iguiee: MCO MCO VI.3. Míimo Cuadrado eeralizado MC Cuado aumimo que coocemo la mariz de variaza-covariaza del vecor de errore e decir upoemo Cov V podemo miimizar repeco a la caidad: V l eimador reulae e el iguiee: MC MC V V Noe que i V Liear Model 997]. I eemo el cao de MCO. ara má dealle reviar [Searle S.R. el Aálii de Regreió adíico geeralmee e upoe que lo errore o idepediee e idéicamee diribuido iid. Si embargo e la prácica ee upueo o e cumple. o e puede corroborar eamiado lo reiduale del modelo auado u auocorrelació mueral. or lo aerior ua aplicació del aálii de Serie de Tiempo e el Aálii de Regreió e coiderar que lo errore { } igue u proceo caual ARMApq co media cero dado por co N. Coideremo el modelo de regreió imple: 7
Aálii de Serie de Tiempo dode ARMA p q co [ ] = Dico de ora forma { } aiface: co N l modelo lo podemo eprear e forma maricial como: dode... e la mariz dieño cua i-éima ilera eá dada por lo valore que oma la variable eplicaoria e el iempo... k e el úmero de k k... variable eplicaoria e decir e de orde k+ e el vecor de errore. Tambié defiimo lo vecore de parámero aociado al proceo { }... p... q. l problema que abordaremo erá cómo eimar ee modelo? decir ideificar el proceo que igue { } eimar el vecor de regreió. ara eo debemo recurrir a eraegia que o permia eer valore iiciale de lo parámero e cueió. Tomemo como eimador iicial de al eimador de regreió por MCO Ua vez que coocemo la primera eimació de podemo coocer u mariz de variaza-covariaza. Sea [ ] dica mariz. Aí e puede obeer la mariz de covariaza de la cual eá dada por: COV Aora eiedo podemo ideificar qué proceo igue. decir podemo auar u modelo de la forma co N. l iguiee pao e refiar la eimació del vecor por el méodo de MC coiderado que coocemo la mariz de covariaza de lo errore [ ]. Aí 8
Aálii de Serie de Tiempo Aora el uevo vecor de parámero iee mariz de Covariaza: COV. Cabe mecioar que para efecuar ea eimació e eceario coocer lo vecore Se puede morar que VAR c VAR c Uado e vuelve a eimar lo reiduale a lo cuale e le aua u uevo modelo ARMApq co el fi de refiar lo vecore. l proceo e ieraivo ermia cuado lo parámero coverge. l proceo de eimació o coducirá a la covergecia MC i i Cabe deacar que el proceo ARMApq auado e cada ieració i > acualiza lo valore de del proceo iicial. Lo aerior e reume e el iguiee diagrama: 9
Aálii de Serie de Tiempo igura4. roceo de aue de u modelo de regreió co errore iguiedo u proceo ARMApq. : Modelo Iicial. : Se eima co MCO. : Se geera el proceo { } de reiduale como. Auar u proceo ARMA a i i i implica i i i emplo VI.3.. Coideremo la erie de 57 medicioe de la caidad de gaolia e u aque eacioario. l arcivo e OSHORTS.TT. l modelo propueo para el ock de gaolia e el aque e: Dode β e ierpreado como la merma diaria e el aque de gaolia { } u proceo MA. o e { } cumple: N
Aálii de Serie de Tiempo ara auar el modelo e ITSM eleccioamo la opció Regreio>Specif marcamo la opció Iclude Iercep erm luego eleccioamo la opció Regreio>imaio>Lea Square. l iguiee pao e auar u modelo ARMA a la erie { }. ara ello eguimo lo pao Model>imaio>Auofi eleccioará el modelo ARMA co míimo AICC: Meod: Maimum Likeliood = M + aed o Tred ucio: M = - 4.35877 ARMA Model: = -.877 - N Variace =.48+4 Co eo podemo obeer ua ueva eimació para el modelo de regreió por el méodo de MC. ara ello eleccioamo la ecuecia e ITSM Regreio> imaio> eeralized LS lo reulado aparecerá e la veaa Regreio imae. Meod: eeralized Lea Square = M + Tred ucio: M = - 4.744946 ARMA Model: = -.877 - N Variace =.48+4 Como vimo e el dearrollo de la eoría el proceo e ieraivo por lo que eemo que auar uevamee el modelo para lo errore. o e logra e ITSM preioado el boó azul uperior ML: Meod: eeralized Lea Square Tred ucio: M = - 4.77993 ARMA Model: = -.8475 - N Variace =.99+4 Depué de 4 ieracioe el proceo coverge como e puede ver e el iguiee cuadro reume: Cuadro3. Reume del eemplo regreió co errore ARMA. Ieració i i i - 4.35877 -.877-4.744946 3 -.8475-4.7799996 4 -.8475-4.7799996 S-LUS e ua ieraivamee la iruccioe:
Aálii de Serie de Tiempo media<-meaoor$ock mco<-lmoor$ock ~ oor$ock reid<-oor$ock-media aue.re<-arima.mlereidlima= mcg<-lmoor$ock ~ oor$ock + reid mco aue.re mcg Obeiedo como primera ieració: Coefficie: Iercep -4.3588 Meod: Maimum Likeliood Model : Coefficie: MA :.8763 Variace-Covariace Mari: ma ma.585465 Coefficie: Iercep reid -4.3588 VI.4. RAICS UNITARIAS N SRIS D TIMO l problema de la raíce uiaria urge cuado lo poliomio Auorregreivo o de romedio Móvil de u proceo ARMA iee ua raíz igual co. La coecuecia de ee problema eriba e la difereciacioe. Si ecoramo que el poliomio Auorregreivo iee ua raíz uiaria eoce igifica que la erie o e eacioaria e coecuecia requiere er difereciada; miera que i ecoramo ua raíz uiaria e el poliomio de romedio Móvil igifica que la erie eá obredifereciada. VI.4. Raíce Uiaria e el poliomio Auorregreivo l grado de difereciació e ua erie { } como vimo eá deermiado por la aplicació del operador de diferecia repeidamee aa que la gráfica de la fució de auocorrelació mueral de la erie difereciada AC decae rápidamee. De aquí que el modelo ARIMApdq iee u poliomio auorregreivo co d raíce e el círculo uiario. ea ecció dicuiremo la prueba báica de raíce uiaria para decidir i eemo o o que difereciar la erie. Supogamo que { } igue u proceo AR co media μ e decir: N
Aálii de Serie de Tiempo or ora pare abemo que para u úmero de obervacioe grade el eimador de máima veroimiliud de iee la propiedad: / N. La prueba de ipóei de raíz uiaria e ee modelo coie e eablecer: H : v. : H ara coruir la eadíica de prueba ecribimo el modelo AR como igue: dode * * * * Noe que ea repreeació e aáloga al modelo de aálii de regreió epueo e la ecció VI.3. ee cao la variable depediee e la idepediee e -. * Si e el eimador de MCO de mueral eá dado por: * eoce u correpodiee rror ádar dode S * * S * / / 3 Dicke uller 979 bao el upueo de raíz uiaria derivaro la diribució aióica grade para la prueba de ipóei propuea. Dica eadíica de prueba e la razó dada por: * * Lo valore críico para re diferee ivele de igificacia e muera e la abla iguiee: 3
Aálii de Serie de Tiempo La regla de deciió e: Cuadro4. Valore críico de Dick-uller. α D/ α -ude. -3.43 -.33.5 -.86 -.96. -.57 -.65 D / D / Recazar H No Recazar H Noe que e meo probable recazar la ipóei de raíz uiaria uado la diribució límie de Dicke-uller que uado la aproimació a la diribució -Sude. l procedimieo de prueba aerior e puede eeder al cao de u proceo ARp co media μ dado por: p p N Siguiedo la mima idea que e el AR el modelo ARp lo podemo ecribir como: * * * * p p dode : * * * p i p i i i p... p * La prueba de raíz uiaria como e el AR e equivalee a probar. La eadíica de prueba la regla de deciió o la mima que e el cao del proceo AR. emplo VI.4.. Coideremo la erie de dao del Lago Huró. l arcivo e LAK.TT. La gráfica de ea erie e ecuera e la gráfica la gráfica de la fucioe de auocorrelació auocorrelació parcial e la gráfica3. La AC mueral ugiere auar u modelo AR. Si embargo para eemplificar la eoría decria propodremo u modelo AR. 4
Aálii de Serie de Tiempo ara llevar a cabo el aue del modelo de regreió de obre - e S-LUS eguimo: el Daae Lake eleccioamo Daa> Traform e el cuadro de diálogo que aparece ecribimo la preio: difflake eo creará ua ueva columa llamada V co la difereciacioe a diacia. eguida eleccioamo Saiic> Regreio> Liear e la opció Variable Depede eleccioamo V e Idepede elegimo lake. Obeiedo: Cuadro5. arámero eimado de la regreió de Coefficie: Value Sd. rror value Iercep.467.56.8986 lake -.636.557 -.938 obre -. r>.47.4 decir: Noe que la columa value muera la eadíica de prueba de Dicke-uller..6359.5568.94 De acuerdo a la regla de deciió de Dicke uller a u ivel de igificacia del % o e recaza la ipóei de raíz uiaria pue D / -.94-3.43. o permie. cocluir que eie raíz uiaria e el poliomio auorregreivo eo a u vez implica que la erie o eá uficieemee difereciada como lo mecioamo aeriormee e bae a la gráfica de la AC mueral. Nóee ambié que i uamo la aproimació a la diribució -Sude la ipóei ula e recazaría al ivel de igificacia del % pue e maor al p- value=.4%. Veamo aora que paa i propoemo u modelo AR. o implica llevar a cabo la regreió de obre - para =3 98. l procedimieo e imilar al aerior co la ovedad de que aora e agrega ua ueva variable idepediee a aber. Cuadro6. arámero eimado de la regreió de obre -. Coefficie: Value Sd. rror value r> Iercep.996.53 3.87. lake -.58.554-3.8977. V.376.97.4457.63 dode: V:= ; lake:= - =3 98. De lo reulado podemo ver que:.584.5538 3.9 5
Aálii de Serie de Tiempo De acuerdo a la regla de deciió de Dicke uller a u ivel de igificacia del % e recaza la ipóei de raíz uiaria pue D / -3.9-3.43. Co eo cocluimo que auado u AR o eie raíz uiaria.. VI.4. Raíce Uiaria e el poliomio de romedio Móvil La ierpreació de la eiecia de raíce uiaria e el poliomio de promedio móvil depede de la aplicació del modelo. Ua de ella e como a e mecioó que la erie eá obredifereciada. Supogamo que { } igue u proceo ARMApq iverible por lo que aiface: N oce la erie difereciada e u proceo ARMApq+ o iverible co poliomio de promedio móvil dado por: z z. De aquí que probar la eiecia de raíz uiaria e equivalee a probar que la erie eá obredifereciada. la preee o limiaremo al cao de raíce uiaria e proceo MA. Supogamo que { } forma u proceo MA: IID Supogamo ambié la eiecia de raíz uiaria z= por lo que el poliomio de promedio móvil z implica que. a úlima igualdad e de eco la ipóei por probar. ao ea ipóei [Davi Dumuir 995] moraro que + dode e el eimador de Máima Veroimiliud de θ iee la propiedad de coverger e diribució. Lo aerior e reume e probar el uego de ipóei: H : v. : H La regla de deciió e: Si C C / / Recazar H No Recazar H dode C e el -α cuail de la diribució límie de +. Lo valore críico de ea diribució e muera e el iguiee cuadro para re ivele de igificacia lo cuale fuero eraído de la abla 3. de [Davi Ce Dumuir 995]: Cuadro7. Valore críico de la eadíica C α. α C α..93.5 6.8. 4.9 6
Aálii de Serie de Tiempo Noe que la deigualdad de la regla de deciió e reulado de la deigualdad C. Cabe mecioar que eie ora eadíica de prueba para probar el mimo uego de ipóei de raíz uiaria que coie e la prueba de Razó de Veroimiliud. ara má dealle coular [rockwell Davi pp. 97]. emplo VI.4.. Coideremo la erie de dao del eemplo VI.3. 57 obervacioe de caidad de gaolia e u aque eacioario. Recordemo que el modelo auado para lo dao corregido por la media fue: ARMA Model: = -.877 - N Variace =.48+4 De acuerdo a la regla de deciió decria arriba al 5% de igificacia eemo que:.877 C.5 / 6.8/ 57.88 C.5 / Recazar la ipóei de raíz uiaria e el poliomio de promedio móvil. Nóee que e ee eemplo coideramo que la media e coocida. la prácica la prueba debe er auada por el eco de que la media ambié debe er eimada. 7
Aálii de Serie de Tiempo 8 Cuadro8. Auocovariaza de alguo modelo eacioale. Modelo Auocovariaza de /σ Algua caraceríica 3 o cero demá La b a 3 o cero... 4 ara 3 b a
Aálii de Serie de Tiempo 9 Modelo Auocovariaza de /σ Algua caraceríica 5 d c b a cero a reo o igual l
Aálii de Serie de Tiempo 3 Modelo Auocovariaza de /σ Algua caraceríica 3 geeral a 3 o cero... 4 ara 3 b a
Aálii de Serie de Tiempo CAITULO VII. SRIS D TIMO MULTIVARIADAS l aálii de erie de iempo mulivariada coie eecialmee e aalizar varia erie de iempo a la vez. e aálii e uificable pueo que e la prácica e difícil que ua variable acúe por i mima. decir muca vece a ua ierdepedecia ere varia variable. Supogamo do erie { } { }. Cada ua de ella la podemo aalizar por eparado como erie uivariada i embargo puede que eia algú ipo de depedecia ere amba variable al depedecia puede er de gra imporacia cuado e ega ieré e prediccioe fuura de la variable. Si perdida de geeralidad e dará el cao de dimeió a que u eeió a dimeió k e mu ecilla. Coideremo la erie bivariada. Defiimo la fució vecorial promedio como igue: la fució maricial de covariaza como: Cov cov cov cov cov Cuado la fució vecorial promedio la fució maricial de covariaza de la erie bivariada o depede de e dice que e eacioaria e eido débil e cuo cao uamo la oació: Cov Noe que lo elemeo de la diagoal de la mariz de covariaza o la fucioe de auocovariaza uivariada de cada erie. Miera que lo elemeo fuera de la diagoal o la covariaza cruzada. decir: ii i. Má adelae eumeraremo algua de la propiedade de para la erie mulivariada. emplo VII.. Coideremo el arcivo LS.TT. Lo dao de la erie uo correpode a vea { = 5}; la eguda erie muera u idicador de direcció de vea { 3
ve.dif id.dif vea idicador Aálii de Serie de Tiempo = 5}. ara graficar la erie eleccioamo la columa vea del daae LS eleccioamo la opció de gráfica Serie Lie. Lo mimo para la columa idicador. ráfica33. Serie bivariada: vea e idicador de vea. 4 6 3 4 5 3 55 8 5 3 55 5 3 55 8 5 3 55 > um.dao 5 > media.vea.84673 > media.idicador 9.978 > dev.e.vea.5853 > dev.e.idic.47969 La gráfica de la erie muera que amba erie o o eacioaria por lo que e eceario difereciarla a diacia uo. La gráfica reulae de la erie difereciada {D } {D } e: ráfica34. Serie vea. dode e la erie bivariada: vea e idicador de.5 4. -.5 - -. 5 3 55 8 5 3 55-4 5 3 55 8 5 3 55 La iruccioe para acer la gráfica de la erie difereciada o: ve.dif<-diffls$vea id.dif<-diffls$idicador guilolotpe=" Serie Lie"DaaSe="ve.dif" guilolotpe=" Serie Lie"DaaSe="id.dif" La gráfica de auocorrelació mueral auocorrelació cruzada e obiee mediae la iruccioe: 3
AC -.4 -....4.6 -....4.6.8. AC -.4...4.6.8. -. -... Aálii de Serie de Tiempo ve.dif<-diffls$vea id.dif<-diffls$idicador l.dif<-cbidve.difid.dif acfl.diflag.ma=4 pe="correlaio"plo=t ráfica35. AC AC de la erie vea e idicador de vea. ve.dif Mulivariae Serie : l.dif dode e la erie bivariada: ve.dif ad id.dif 3 4 3 4 id.dif ad ve.dif id.dif -4-3 - - Lag 3 4 Lag i eá graficada e la ilera i columa. Cabe mecioar que la ierpreació de la gráfica de auocorrelació cruzada e debe acer co cuidado a que e fácil comeer errore e dica ierpreació. VII.. ROIDADS D LA UNCIÓN D AUTOCOVARIANAS Coideremo u vecor de dimeió m dado por... m. decir iee obervacioe de m erie de iempo eacioaria e el iempo. La mariz de Auocovariaza iee la iguiee propiedade:. /. i... m i ii 3. ii e ua fució de auocovariaza i= m. 4. k a Demoració. k a k para odo... 33 a... a R m. ara probar la primera propiedad baa co aplicar la defiició dada al iicio de ee capíulo. ara eemplificar al propiedad upogamo = =- ambié upogamo que la erie e bivariada. De aquí
Aálii de Serie de Tiempo cov cov cov cov cov cov cov cov De la igualdade aeriore cocluimo la primera propiedad. ara probar la eguda igualdad uamo la defiició de correlació el eco de que ea o puede er maor a e valor aboluo. decir: i ii i / i ii / La ercera propiedad o e má que ua obervació de la diagoal de la mariz de auocovariaza. o e podemo ver que ii e la fució de auocovariaza de la erie eacioaria { i i= m}. ara probar la propiedad 4 coideremo la variable: a a a Cua variaza eá dada por: Var k a cov cov k a k k a k a k La úlima epreió e la que o ierea e maor o igual a cero a que abemo que iedo ua variaza o puede er u valor egaivo. De ea forma queda probada la cuaro propiedade de la mariz de Covariaza. /// Defiició VII... [Ruido laco Mulivariado].- l proceo { } de dimeió m e llamado Ruido laco Mulivariado co vecor de media cero mariz de covariaza Σ i } e eacioario co vecor promedio iee mariz de covariaza defiida por: { m i de oro modo 34
Aálii de Serie de Tiempo Se ua la oació: N de dimeió m m. ; e el vecor cero de dimeió m; m e la mariz cero Nóee que la defiició o idica idepedecia ere la compoee de { } io ere la obervacioe de { }. Recordemo que e la erie de iempo uivariada defiimo u proceo lieal a parir de la defiició de proceo de Ruido laco. ara el cao mulivariado ambié eie ee cocepo. La diferecia e alla e que aora lo coeficiee del proceo { } o marice. A coiuació damo la defiició de proceo lieal mulivariado. Defiició VII... [roceo Lieal Mulivariado].- La erie m-variada { } e u proceo lieal i iee la repreeació: C co N dode {C } e ua eceió de marice m m cuo compoee o aboluamee umable. a defiició la uaremo má adelae para iroducir el cocepo de caualidad e erie mulivariada. Tambié a parir de ella e iee el reulado iguiee el cual o auda a deermiar la fució de auocovariaza para }. RSULTADO VII..- Si { } e u proceo lieal de dimeió m eoce e puede ecribir como: Demoració. C C { Dado que { } e u proceo lieal iee la propiedad: N. ariedo de eo la defiició de covariaza eemo: C co COV COV COV C C C C C C Como { } e u proceo de Ruido laco COV para = m de oro modo. Aí 35
Aálii de Serie de Tiempo 36 C C Γ C COV C C COV C C COV C C COV C C COV C C COV C C COV C COV Co lo queda demorado el reulado. /// emplo VII... Coideremo el modelo eacioario bivariado iguiee: co N. plíciamee eemo: coremo ua epreió de } { como proceo lieal. o e logra ierado el modelo como igue: 3 3 3 Aplicado el proceo repeidamee llegamo a la epreió: De ea forma uado el reulado VII. podemo ecorar ua epreió de la fució de Covariaza del proceo: VII.. STIMACIÓN DL VCTOR ROMDIO LA UNCIÓN D COVARIANAS ea ecció iroduciremo lo eimadore de lo compoee i i de ua erie eacioaria m-variada } {. Tambié eamiaremo la propiedade de lo eimadore cuado e iee muera grade.
Aálii de Serie de Tiempo VII... imació del vecor promedio Como mecioamo aeriormee el eimador aural del vecor de media baado e obervacioe... e el vecor de media muerale: l eimador reulae de la media de la -éima erie de iempo e eoce la uivariada media mueral /. eguida daremo u reulado que ivolucra la variaza del vecor de media aálogo al reulado IV. para erie uivariada. RSULTADO VII..- Si { } e ua erie de iempo eacioaria m-variada co vecor promedio fució de covariaza eoce coforme : i i m m i ii ii i ii ao upueo má rericivo e puede morar que el proceo { } e diribuido aproimadamee Normal cuado el úmero de obervacioe e uficieemee grade. e eco o permie acer iferecia obre la media de la erie de iempo. VII... imació de la fució de Covariaza l eimador aural de la fució de auocovariaza para u proceo eacioario { } e: para para - - coecuecia el eimador de la correlacioe cruzada e: i i i...m / ii 37
Aálii de Serie de Tiempo ara el cao i= la epreió aerior e reduce a la fució de auocorrelació mueral de la i-éima erie. erie. eguida damo u reulado mu úil al momeo de probar idepedecia ere do RSULTADO VII.3.- Sea { } ua erie bivariada cuo compoee eá defiido como: k k k { } IID k k k { } IID dode la ecuecia } } o idepediee. oce para odo eero k co { { k la variable aleaoria k e diribue couamee aproimadamee como Normal ivariada co parámero: k N k k ara llevar a cabo iferecia obre la media la correlacioe debemo coocer u propiedade diribucioale. Recordemo que e el cao uivariado para llevar a cabo iferecia obre la auocorrelacioe uamo la órmula de arle coiderado u úmero de obervacioe grade. el cao mulivariado eie ua verió bivariada de ea fórmula que euciamo eeguida. RSULTADO VII.4.- ÓRMULA D ARTTLT IVARIADA. Si { } e ua erie de iempo bivariada auiaa co covariaza ale que i i. oce: lim COV k [ - - k k k k k k ] 38
Aálii de Serie de Tiempo Noe que al igual que el Reulado VII. la fórmula o aume idepedecia ere la erie { } { }. l iguiee reulado e u corolario de la fórmula de arle. l upueo adicioal e que ua de la erie igue u proceo de Ruido laco. RSULTADO VII.5.- Si { } aiface la codicioe de la fórmula de arle i { } o { } e u proceo de Ruido laco i eoce: lim Var Co lo aerior podemo eablecer la ipóei: H :. Tal ipóei eablece que la erie eá o correlacioada. La prueba de ipóei e puede llevar a cabo co u iervalo de cofiaza uado aproimació Normal. Tal prueba coie e verificar i el valor cero e ecuera e el iervalo:.96 Var i e aí o e recaza H co u ivel de igificacia del 5%. VII.3. ROCSOS ARMA MULTIVARIADOS Como e el cao uivariado defiiremo u ipo de proceo eacioario mulivariado que o mu uuale lo proceo ARMA mulivariado. Como veremo la defiició eá baada e la defiició de Ruido laco mulivariado. Defiició VII.3.. [roceo ARMApq Mulivariado].- { } e u proceo ARMApq mulivariado i { } e eacioario i para cada e cumple: p p q q dode N dode i...p...q o marice m m. i Muca vece uaremo la oació implificada iguiee del modelo ARMA uado el operador : dode p p q q 39
Aálii de Serie de Tiempo Noe que e la defiició e aume. Cuado e diferee de cero eoce { } e u proceo ARMApq mulivariado co media i { } e u proceo ARMApq mulivariado. emplo VII.3.. Suiuedo p= q= e la defiició VII.3. obeemo el proceo AR mulivariado: co N. Como vimo e el eemplo VII.. podemo ecribir al proceo como proceo lieal: Tal repreeació ólo eie bao la codició: I z z C al que z. l plaeamieo aerior o e má que el cocepo de caualidad. eguida epoemo formalmee al cocepo. ara modelo uivariado defiimo ee cocepo e la ecció III.6. Defiició VII.3.. [Caualidad].- U proceo ARMApq mulivariado { } e caual o ua fució caual de { } i eie marice { } co compoee aboluamee umable ale que: para odo. La Caualidad e equivalee a la codició: I z z C al que z. RSULTADO VII.6.- La marice { } de la defiició de caualidad e ecuera recurivamee de: co I; m m m k para para para k q p k... 4
Aálii de Serie de Tiempo emplo VII.3.. Coideremo el modelo AR mulivariado del eemplo VII.3.. Aplicado el reulado aerior podemo verificar que eie la marice { } ecearia para eprear a { } como proceo lieal por lo ao el proceo e caual. l modelo e. Noe que m para odo m para >. I Noe que ee reulado a lo abíamo ecorado e el eemplo VII.. por ora vía. NOTA: Coideremo el modelo AR bivariado co: odemo verificar que m para > por el reulado del eemplo VII.3. e igue que m para >. Suiuedo { } e la epreió de proceo lieal llegamo a que: I Oberve que ea epreió correpode a u modelo MA. Hemo parido de u modelo AR llegamo a que iee ua repreeació aleraiva como MA. e eemplo muera que o iempre e poible diiguir modelo ARMA mulivariado de diferee orde. e feómeo de o-diició ere modelo e cooce como Dualidad. Muco auore evia ee problema efocádoe olo e modelo Auoregreivo. el preee rabao adoparemo ee efoque. VII.3.. ució de Covariaza de u proceo ARMA caual Si upoemo caualidad e u modelo ARMApq m-variado abemo por la defiició VII.3. que: para odo. dode la marice { } o calculada de 4
Aálii de Serie de Tiempo acuerdo al reulado VII.6. oce por el reulado VII. la fució de Covariaza podemo calcularla como: Cabe mecioar que ea epreió e fácil de aplicar cuado e ecillo ecorar la marice { }; i embargo eo o iempre ocurre por lo que e debe eer eraegia aleraiva para calcular la fució de Covariaza. Ua écica aleraiva para calcular la fució de Covariaza coie como e el cao uivariado e reolver la ecuacioe mulivariada de ule-alker. l méodo coie e po-muliplicar ambo lado de la igualdad de la defiició de proceo ARMA mulivariado dado e la defiició VII.3. por omar valor eperado. l reulado e reume e la epreió iguiee ecuacioe mulivariada: p r r r r r q r... ara el cao de u proceo ARp e dode uo de la propiedad de la fució e iee el iema: I m para > aciedo p p p p p p p p p p p p m m m m Reolviedo la primera p+ ecuacioe edremo la olució de... p. l reo de ecuacioe o permiirá obeer p p... de forma recuriva. VII.4. L MJOR RDICTOR LINAL Sea... ua erie de iempo m-variada co vecor promedio m fució de covariaza dada por la marice de orde m m: i i i 4
Aálii de Serie de Tiempo l problema de ecorar el meor predicor lieal coie e ecorar ua proecció de e fució de.... decir e ecorar la marice A ale que: A A A La marice iee que cumplir la codició de orogoalidad iguiee: i i... U cao epecial de lo aerior urge cuado o efreamo a ua erie que iee como vecor promedio al vecor cero. al cao el meor predicor lieal de e fució de... eá dado por: dode lo coeficiee = o ale que i codició de orogoalidad. decir e iee el iema de ecuacioe: i i= i i i... el cao que... m e eacioario co i i el iema de ecuacioe de predicció aerior e reduce a: i i i... Lo coeficiee { } e obiee recurivamee del iema aerior. Tal procedimieo e ua verió mulivariada del Algorimo de Durbi-Levio dado por ile 963. La ecuacioe recuriva de ile ambié permie obeer el rror Cuadrado Medio de la predicció Marice de covariaza. Ver [rockwell Davi 99]. emplo VII.4.. ara que quede claro qué coeficiee debemo calcular e el predicor upogamo u proceo bivariado eacioario co media cero =. amo iereado e predecir la iguiee obervació 3. ee cao el meor predicor lieal earía dado por: 3 3 3 A a a A a a a a a a 43
Aálii de Serie de Tiempo or lo que debemo calcular la marice A A. NOTA: Al igual que el Algorimo de Durbi-Levio el Algorimo de Iovacioe ambié iee ua verió mulivariada que puede er uada e predicció. Tal algorimo e prácicamee igual al uivarido decrio e capíulo aeriore olo que aora e lugar de rabaar co ecalare e rabaa co marice. Ver [rockwell Davi 99]. NOTA3: Auque uero efoque e meramee para modelo ARp eie oda ua eoría para modelo geerale ARMApq mulivariado. ara llevar a cabo la predicció e eo modelo e ua el Algorimo de Iovacioe mulivariado. Ver [Lükepol 993] [rockwell Davi 99] o [Reiel 997]. VII.5. MODLACIÓN RONÓSTICO CON MODLOS AR MULTIVARIADOS La modelació de erie de iempo mulivariada como lo icimo e erie uivariada e lleva a cabo mediae méodo de eimació ao prelimiar algorimo de ile o urg mulivariado como opimizada máima veroimiliud. VII.5.. imació relimiar de ile ule-alker mulivariado Si { } e u proceo ARp mulivariado caual defiido por: p p dode N O bie p p dode N oce podemo aplicar el méodo de ule-alker mulivariado al proceo para obeer ua eimació prelimiar. decir po-muliplicamo por para = p omar el valor eperado. Obeiedo la ecuacioe: p i p i i...p l procedimieo coie e reemplazar la por la eimada e la úlima p ecuacioe reolverla imuláeamee para aí ecorar lo eimadore.... Luego uiuirlo e la primera ecuació ecoramo la mariz de covariaza p del ruido eimada. 44
VII.5.. Máima Veroimiliud Aálii de Serie de Tiempo Supogamo ua erie { } co vecor promedio igual a cero. De lo reulado de la ecció VII.4 del eco de que la iovacioe eima u proceo de Ruido laco eemo: para k k k Si ademá upoemo que { } e u proceo auiao Normal eoce la correlació cero de la iovacioe U = implica idepedecia. Tambié abemo que la iovacioe iee como marice de covariaza V V - repecivamee. coecuecia la diribució coua de la U o e má que el produco de la diribucioe idividuale: m f u... u f u m/ V / ep u V u Si upoemo que { } igue u proceo ARp mulivariado vecor promedio cero co coeficiee la marice {... p } Σ la mariz del Ruido laco eoce podemo eprear la veroimiliud de la obervacioe... como: L m/ V / ep U V U dode U =. e calculado co el Algorimo de ile de la ecció VII.4 decrio ae. La maimizació de la veroimiliud mulivariada reula má complicada que el cao uivariado porque iclue u gra úmero de parámero. ara el cao que eamo eudiado proceo ARp el Algorimo de ile o de urg mulivariado dearrollado por Joe 978 da buea eimacioe prelimiare. La opcioe de eo algorimo e el ofware S-LUS la ecoramo e la mima fucioe que uilizamo para el cao uivariado. decir co la fucioe ar.burg aic=t order.ma= o ar.w aic=t order.ma=. La elecció del orde de u modelo Auorregreivo mulivariado valor de p e baa e la miimizació del valor AICC aálogo al cao uivariado: pm m AICC l L... p m pm 45
d oro Aálii de Serie de Tiempo NOTA4: Dado que o eie la uicidad de u proceo auable a ua colecció de dao o e de orpredere que al uar lo algorimo de ile o Joe para ua mima colecció de dao e obega modelo diferee. emplo VII.5.. Coideremo la erie de dao del arcivo DJAOC. {...5}. e refiere al ídice de uilidad Dow Joe de la bola de Nueva ork a u ídice aleraivo. La gráfica34 e obiee de la mima maera e que e obuvo la gráfica3. ráfica36. Serie bivariada: Ídice Dow Joe oro aleraivo. - - - - -3-3 5 5 5 5 5 5 Noe que o e eceario difereciar la erie. La modelació la aremo uilizado la fució ar.w aic=t order.ma=<< >> de S-LUS. La opció aic=t aegura eleccioar el modelo co míimo valor de AICC. La iruccioe para auar el modelo AR mulivariado o: daopc<-rdjaoc media.d<-meadaopc$d media.oro<-meadaopc$oro w.daopc<-ar.wdaopc aic=t media.d media.oro w.daopc lo reulado: > media.d [].95966 > media.oro [].388796 > w.daopc $order: [] $ar: [] [] [] -.483796.6588984 [] [] [].35739.997667 46