Gráfcos de flujo de señal l dagrama de bloques es útl para la representacón gráfca de sstemas de control dnámco y se utlza extensamente en el análss y dseño de sstemas de control. Otro procedmento alternatvo para representar gráfcamente la dnámca del sstema d control, es el método de los gráfcos de flujo de señal, atrbudo a S.J. Mason. Un gráfco de flujo de señal es un dagrama que representa un conjunto de ecuacones algebracas lneales smultáneas. Al aplcar el método de gráfcos de flujo de señal al análss de sstemas de control, prmero hay que transformar las ecuacones dferencales lneales en ecuacones algebracas en s. Un gráfco de flujo de señal consste en una red en la cual los nodos están conectado por ramas con dreccón y sentdo. Cada nodo representa una varable del sstema y cada rama conectada entre dos nodos, actúa como un multplcador de señal. Nótese que la señal fluye solamente en un sentdo. l sentdo del flujo de señal se ndca por una flecha ubcada en la rama y el factor de multplcacón aparece a lo largo de la rama. l gráfco de flujo de señal desplega el flujo de señales de un punto de un sstema a otro y da las relacones entre las señales. Como se ndcó anterormente, un gráfco de flujo de señal contene esencalmente la msma nformacón que un dagrama de bloques. Fórmula de gananca de Mason, se utlza para obtener las relacones entre las varables del sstema sn necesdad de efectuar la reduccón del gráfco. Defncones. Nodo. Un nodo es un punto que representa una varable o señal. Transmtanca. s la gananca entre dos nodos. Tales ganancas pueden expresarse en térmnos de la funcón de transferenca entre dos nodos. Rama. Una rama es un segmento de línea con dreccón y sentdo, que une dos nodos. La gananca de una rama es una transmtanca. Nodo de entrada o fuente. Nodo de entrada o fuente es un nodo que sólo tene ramas que salen. sto corresponde a una varable ndependente. Nodo de salda o sumdero. Un nodo de salda o sumdero es un nodo que sólo tene ramas de entrada. sto corresponde a una varable dependente. Nodo mxto. Nodo mxto es un nodo que tene tanto ramas que llegan, como ramas que salen. INGNIRÍA D CONTROL M.C. JOSÉ MANUL ROCHA NUÑZ
Camno o trayecto. Camno o trayecto es un recorrdo de ramas conectadas en el sentdo de las flechas de las ramas. S no se cruza nngún nodo más de una vez, el camno o trayecto es aberto. S el camno o trayecto fnalza en el msmo nodo del cual partó, y no cruza nngún otro más de una vez, es un camno o trayecto cerrado. Lazo. Un lazo es un camno o trayecto cerrado. Gananca de lazo. La gananca de lazo es el producto de las ganancas de ramas de un lazo. Lazos dsjuntos. Son dsjuntos los lazos que no tenen nngún nodo común. Trayecto o camno drecto. Trayecto drecto es el camno o trayecto de un nodo de entrada (fuente) a un nodo de salda (sumdero), sn cruzar nngún nodo más de una vez. Gananca de trayecto drecto. La gananca de trayecto drecto es el producto de las ganancas de rama de un camno o trayecto drecto. Un nodo suma las señales de todas las ramas de entrada y transmte esa suma a todas las ramas de salda. INGNIRÍA D CONTROL M.C. JOSÉ MANUL ROCHA NUÑZ
INGNIRÍA D CONTROL M.C. JOSÉ MANUL ROCHA NUÑZ
Fórmula de gananca de Mason para gráfcos de flujo de señal n muchos casos práctcos se desea determnar la relacón entre una varable de entrada y una varable de salda en el gráfco de flujo de señal. La gananca entre un nodo de entrada y un nodo de salda es la gananca total, entre esos dos nodos. La fórmula de gananca de Mason, que es aplcable a la gananca total, está dada por P = P k k k donde P k k = gananca de la k-ésma trayectora drecta = determnante del gráfco = -(suma de todos los lazos de ganancas ndvduales) + (suma de los productos de gananca de todas las combnacones posbles de dos lazos dsjuntos) - (suma de los productos de gananca de todas las combnacones posbles de tres lazos dsjuntos) + = L + L L L L L + a a b, c b c d, e, f d e f = cofactor del determnante de la k-ésma trayectora drecta del gráfco con los lazos que tocan la k-ésma trayectora drecta elmnados, el cofactor k se obtene a partr de, qutando los lazos que tocan la trayectora P k. jemplo Obtener la funcón de transferenca ( s) R( s) utlzando la formula de Mason. C del sguente dagrama de bloques, INGNIRÍA D CONTROL M.C. JOSÉ MANUL ROCHA NUÑZ
l gráfco de flujo de señal de este dagrama de bloques es n este sstema hay una sola trayectora drecta entre la entrada R(s) y la salda C(s). La gananca de trayectora drecta es P = G G xsten tres lazos, cuyas ganancas son L L L G = G G H = G G H = G G G Para ser lazos dsjuntos estos lazos no deben de tener n ramas n nodos en común, por lo que no exsten lazos dsjuntos. l determnante es ( L + L + L ) = GG H + GGH + GG = G l número de cofactores del determnante es el número de trayectoras drectas entre la entrada y la salda, como en este sstema solo hay una trayectora drecta, solo exste un cofactor del determnante. Se obtene el cofactor del determnante a lo largo del trayecto drecto que conecta el nodo de entrada con el nodo de salda, retrando los lazos que tocan este trayecto. Como el trayecto P toca los tres lazos, se obtene = Por tanto, la gananca total entre la entrada R(s) y la salda C(s) o funcón de transferenca de lazo cerrado, está dada por C R () s P GGG = = () s GG H + GGH + GGG INGNIRÍA D CONTROL 5 M.C. JOSÉ MANUL ROCHA NUÑZ
jemplo Hallar la funcón de transferenca de lazo cerrado C(s)/R(s) del sguente sstema, utlzando la fórmula de Mason. n este sstema hay tres trayectoras drectas entre la entrada R(s) y la salda C(s). Las ganancas de las trayectoras drectas son Hay cuatro lazos ndvduales. Las ganancas de esos lazos son l lazo L no toca al lazo L, (lazos dsjuntos). Por tanto, el determnante está dado por l cofactor se obtene de elmnando los lazos que tocan la trayectora P Por tanto, qutando L, L, L, L, y L L INGNIRÍA D CONTROL 6 M.C. JOSÉ MANUL ROCHA NUÑZ
n forma smlar, el cofactor se obtene de elmnando los lazos que tocan la trayectora P, lazos L, L, L, L, y L L l cofactor obtene de elmnando los lazos que tocan la trayectora P. Lazos L, y L L L, L, La funcón de transferenca de lazo cerrado C(s)/R(s) es INGNIRÍA D CONTROL 7 M.C. JOSÉ MANUL ROCHA NUÑZ
jemplo Hallar la funcón de transferenca de lazo cerrado ( s) ( s) 0 del sguente sstema, utlzando la fórmula de Mason. Consderar las demás señales como saldas. Hay tres lazos ndvduales. Las ganancas de esos lazos son L L L = G G = G G = G G l lazo L no toca al lazo L, (lazos dsjuntos). Por tanto, el determnante está dado por = ( L + L + L ) = + G G + G G + L L + G G + G G G G Consderando 0 = Señal de salda, = Señal de entrada n este sstema hay una trayectora drecta entre la entrada y la salda 0. La gananca de la trayectora drecta es P = G G G G l cofactor se obtene de elmnando los lazos que tocan la trayectora P. Los tres lazos tocan la trayectora P = La funcón de transferenca de lazo cerrado sería 0 () s P GGGG = = () s + GG + GG + GG GGGG + INGNIRÍA D CONTROL 8 M.C. JOSÉ MANUL ROCHA NUÑZ
Consderando I = Señal de salda, = Señal de entrada n este sstema hay una trayectora drecta entre la entrada de la trayectora drecta es P = G G G y la salda I. La gananca l cofactor se obtene de elmnando los lazos que tocan la trayectora P. Los tres lazos tocan la trayectora P = La funcón de transferenca de lazo cerrado sería I () s P GGG = = () s + GG + GG + GG GGGG + Consderando r = Señal de salda, = Señal de entrada n este sstema hay una trayectora drecta entre la entrada y la salda r. La gananca de la trayectora drecta es P = G G l cofactor se obtene de elmnando los lazos que tocan la trayectora P. Los tres lazos tocan la trayectora P = La funcón de transferenca de lazo cerrado sería r () s P GG = = () s + GG + GG + GG + GGGG Consderando c = Señal de salda, = Señal de entrada n este sstema hay una trayectora drecta entre la entrada y la salda c. La gananca de la trayectora drecta es P = G G l cofactor se obtene de elmnando los lazos que tocan la trayectora P. l lazo L no toca la trayectora P, los lazos L y L s tocan la trayectora P. = L La funcón de transferenca de lazo cerrado sería INGNIRÍA D CONTROL 9 M.C. JOSÉ MANUL ROCHA NUÑZ
c () s () s = P = + G G G G + G G ( + G G ) + G G + G G G G Consderando I = Señal de salda, = Señal de entrada n este sstema hay una trayectora drecta entre la entrada de la trayectora drecta es P = G y la salda I. La gananca l cofactor se obtene de elmnando los lazos que tocan la trayectora P. l lazo L y L no toca la trayectora P, el lazo L s toca la trayectora P. = L L La funcón de transferenca de lazo cerrado sería I ( s) () s P = ( + G G + G G ) + GG + GG + GG + = G G G G G Consderando r = Señal de salda, = Señal de entrada n este sstema hay una trayectora drecta entre la entrada y la salda. La gananca de la trayectora drecta es P = l cofactor se obtene de elmnando los lazos que tocan la trayectora P. l lazo L y L no toca la trayectora P, el lazo L s toca la trayectora P. = L L La funcón de transferenca de lazo cerrado sería r r () s () s P = = + G G ( + G G + G G ) + G G + G G + G G G G INGNIRÍA D CONTROL 0 M.C. JOSÉ MANUL ROCHA NUÑZ
jemplo Hallar la funcón de transferenca de lazo cerrado ( s) R( s) utlzando la fórmula de Mason. C del sguente sstema, G R(s) G G C(s) -G5 -G Problemas INGNIRÍA D CONTROL M.C. JOSÉ MANUL ROCHA NUÑZ
INGNIRÍA D CONTROL M.C. JOSÉ MANUL ROCHA NUÑZ