CAPÍTULO V ANUALIDADES

CAPÍTULO V ANUALIDADES 193

5.1.- ANUALIDADES Defncón: Se refere a una sere de flujos noralente de un so onto y períodos guales. Pueden ser abonos o pagos y lo ás portante, no necesaraente deben ser de perodcdad anual, sno ensual, quncenal, bestral etc. Al tepo que transcurre entre un pago (o abono) y otro, se refere al ntervalo de pago o ntervalo de abono según sea el caso que se desee calcular. Y el tepo del contrato o conveno, se refere al plazo de la anualdad, esto es, el rango de tepo que transcurre entre el prer y últo de los pagos o abonos De tal fora, podríaos entender a la Anualdad o Renta: coo el pago peródco que se realza en un lapso de tepo, consderando una tasa de nterés y una captalzacón en cuyo caso se fja al nco de la fra del conveno. Un ejeplo clásco de conveno es cuando adquros un autoóvl, aquí ya sabeos cuándo prncpa y cuándo terna el plazo que nos dan para lqudar nuestro auto. No es así? Tpos: En la lteratura se pueden encontrar dversas clasfcacones de anualdades, pero centreos el tea en la sguente clasfcacón: Ordnaras o Vencdas Antcpadas Dferdas Generales 194

5.1.1.- ORDINARIAS Son aquellas anualdades que son utlzadas con ayor frecuenca en la actvdad fnancera y coercal. Tabén son conocdas coo anualdades certas, sples e nedatas. Las característcas de éste tpo de anualdades son: Los pagos o abonos se realzan al fnal de cada ntervalo de pago Se conoce desde la fra del conveno, las fechas de nco y térno del plazo de la anualdad Las captalzacones concden con el ntervalo de pago El plazo nca con la fra del conveno 5.1.1.1.- Varables que se utlzan en este apartado: VPN: Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos) VF ó M: Valor Futuro o Monto (de la sua de unos pagos o abonos) A ó Rp: Anualdad o Renta peródca (cuota unfore o anualdad) : Captalzacón (por su tpo de captalzacón, ensual, bestral etc., la tasa se dvde entre el tpo de captalzacón. Ejeplo s teneos una tasa nonal del 12% captalzable ensualente entonces es = (12%/12) : Tasa de Interés (la tasa que ntegra el factor de acuulacón o descuento 1+) n: Tepo ACLARACION: Para no generar confusón en lo referente a la tasa, la representacón /, se refere a la tasa nonal que se dvde entre el núero de eses dependendo la captalzacón. Ejeplo s nos dan una tasa del 12% nonal (anual) captalzable ensualente, sabeos que debeos dvdr 12/12=1% POR LO ANTERIOR el lector podrá encontrar ndstntaente la tasa en su fora ó en su fora /. 195

5.1.1.2.- Procedento: Para calcular el onto de una sere de pagos, el pago peródco, la tasa y el tepo, utlzareos las sguentes fórulas: Su onto: VF = Rp / n (1+ ) -1 ó M = A / n (1+ ) -1 Cuando las tasas de nterés caban en el lapso del tepo, se buscará el VF de la anualdad de la sguente fora: Calculando VF1, VF2, VFn, esto es, cuantas veces cabe la, la fórula se odfca en los sguentes térnos. n (1+ ) -1 Para una prera tasa VF = Rp 1 /, n (1+ ) -1 n después VF = VF (1+ ) + Rp 2 1 / y así sucesvaente VF = VF (1+ La Anualdad o Renta Peródca: n n n ) + Rp / n (1+ ) -1 Rp = VF / n (1+ ) -1 ó A= M / n (1+ ) -1 Su valor presente: 1- (1+ ) VPN = Rp / -n VPN Se despeja Rp = -n 1- (1+ ) / 196

Para calcular el tepo n en valor futuro n (1+ ) -1 VF = Rp / Rp / n (1+ ) -1 = VF Pasa dvdendo Rp n (1+ ) -1 = / VF Rp La pasa ultplcando Y la undad pasa suando VF Rp n (1+ ) -1= * / n (1+ ) = * / +1 VF Rp Ahora aplcaos logartos Ahora se despeja n n= VF Rp n log((1+ ) ) = log * / +1 VF Log ( )* +1 Rp Log(1 + ).Así de sple Para calcular el tepo -n en valor presente neto De la fórula -n 1- (1+ / ) VPN = Rp / Para despejar n -n NPV* (1+ ) =1- Rp VPN* =1- (1+ ) Rp teneos que -n 197

Así obteneos NPV* Rp -n Log((1+ ) ) = Log(1- ) Despejaos -n, y ahora teneos la sguente expresón NPV* Log(1- ) Rp -n = Log(1+ ) S obteneos un resultado con decales: ejeplo 5.78 esto quere decr que son 5 pagos de una cantdad x y 1 pago por la dferenca. Para ello se trae a valor presente el porte de los pagos: -n 1- (1+ / ) VPN = Rp / Para conocer el valor del sexto pago teneos: x VPN_de_la_deuda = VPN_de_los_pagos + (1+ ) Al despejar x El VPN de la deuda pasa restando al VPN de los pagos y la dferenca se ultplca por el factor de acuulacón (1+) con exponente n+1: esto es, n (nuero de pagos) ás el últo pago (1). Para el caso que utlzaos de 5.78 pagos, entonces sería 5+1=6 (n=6) n x = (1+ 6 ) *(VPNdeuda - VPNpagos) Para calcular la tasa de nterés En Valor Futuro o Monto 198

Del onto VF = Rp / n (1+ ) -1 n (1+ ) -1 Teneos que Rp = VF / Rp pasa dvdendo al lado derecho / n (1+ ) -1 = VF Rp Y para calcular esto se hace al tanteo, equparando el factor resultante del valor futuro entre la renta o pago peródco (VF/Rp). Para ello, se sugere elaborar una tabla en Excel. En Valor Presente Neto Del valor presente de una anualdad ordnara: VPN Rp = 1- (1+ ) / -n -n 1- (1+ ) Despejaos = VPN y para calcular, nuevaente / Rp se tene que hacer al tanteo coo en el caso anteror. En abos casos se sugere tener elaborada una tabla profora, con valores de tasas que van de 1% a 9% (0.01 a 0.09) Ejeplo de una tabla en Excel: 199

n 1 (1 ) n Factor La n se anpula coo varable nput La se anpula coo varable nput 6 0.01 0.94204524 5.795476475 0.02 0.88797138 5.601430891 0.03 0.83748426 5.417191444 0.04 0.79031453 5.242136857 0.05 0.7462154 5.075692067 0.06 0.70496054 4.917324326 0.07 0.66634222 4.76653966 0.08 0.63016963 4.622879664 0.09 0.59626733 4.48591859 al tanteo 0.0499 0.74664195 5.077315679 Estos son los factores, el cual se buscara equparar al resultado de VPN/Rp 5.1.1.3.- Ejerccos Resueltos Anualdad ordnara: El Sr. Pérez ha decddo crear un fondo para su hjo, el pequeño Martín, el cual podrá dsponer íntegraente el día de su graduacón Unverstara. Para ello, coenza depostando $200.00 al fnal de cada es dando nco cuando su hjo Martn, cupló un año y hasta el día de su cupleaños núero 23. Durante los preros 10 años la cuenta le paga un nterés de 12% anual captalzable ensualente. Los sguentes 10 años pago un nterés de 15% anual captalzable ensualente y los últos 2 años pago un nterés del 18% anual captalzable ensualente. Cuál es la sua que recbrá Martncto cuando cupla 23 años? 200

*Recuerde que Martín ya tenía un año cuando se abró la cuenta, por lo tanto se cuentan solaente 22 años para llegar a su cupleaños núero 23. Utlzaos la fórula del onto de un conjunto de abonos (cuotas unfores): Durante los preros 10 años se acuula: n (1+ ) -1.12 120 (1+ ) -1 M = A M=$200.00 12 /.12 12 M=$200.00(230.0386)=$46,007.72 Durante los sguentes 10 años se acuula: VF = VF (1+ 2 1 n (1+ ) -1 n ) + Rp /.15 120 (1+ ) -1 120 VF = $46,007.72(1+.15 ) +$200.00 12 2 12.15 12 VF =$46,007.72(4.44021)+$200.00(275.2168)=$259,327.29 2 Durante los últos 2 años acuuló: VF = VF (1+ 3 2 n ) + Rp / n (1+ ) -1 24 (1+ ) -1 24 VF = $259,327.29(1+.18 ) +$200.00 12 3 3 3.18 12.18 12 VF = $259,327.29(1.42950)+$200.00(28.63352) VF = $376,435.06 201

El porte de $376,435.05 es la sua que recbrá Gabrel el día de su cupleaños núero 23. Esto enos el total de los depóstos que ascenden a es gual al nterés acuulado durante los 22 años, lo cual ascende a la cantdad de $323,635.06 Ahora desarrolleos un ejercco para conocer la tasa de nterés. Prero calculaos el onto que logra acuular una persona que realza un deternado núero de depóstos y con ello, coprobaos la operacón despejando la Supongaos que una Señora ahorra $100.00 al fnal de cada es durante 60 eses, su nversón le genera una tasa de nterés del 15% anual con captalzacón ensual (15/12=1.25%). Cuánto logra acuular en su cuenta? De la fórula del onto teneos: M = A / n (1+ ) -1 Luego M =$100.00.15 12 (2.10718)-1 M=$100.00.15 0.0125 12 60 (1+ ) -1 M $8,857.45 Ahora calculaos la coo varable desconocda Con los datos del ejeplo anteror teneos: n (1+ ) -1 M = A Se pasa dvdendo la cuota unfore / que es lo so que / n (1+ ) -1 = M A M = A / n (1+ ) -1 202

Ahora se tene n (1 ) / 1 $8,8,57.45 $100.00 n (1 ) / 1 88.5745 Aquí debeos buscar en tablas, una tasa que aproxe el factor 88.5745 que estaos requrendo equparar. n n ( 1 ) 1 0.01 81.6696699 Monto $ 8,857.45 60 0.02 114.051539 Anualdad $ 100.00 0.03 163.053437 Factor 88.5745 0.04 237.990685 0.05 353.583718 0.06 533.128181 0.07 813.520383 TASA Factor 0.08 1253.2133 1.25 88.57450776 0.09 1944.79213 Tanteo 0.0125 88.5745078 De esta fora se coprueba. Coo se puede observar el factor que arroja el onto y la anualdad es el so que el factor que arroja la tasa del 0.0125 ó 1.25% Ahora para calcular n coo varable desconocda en valor futuro Toaos el ejeplo de la Señora García que ahorró $100.00 al fnal de cada es durante n eses, habendo recbdo una tasa de nterés del 15% anual con captalzacón ensual (15/12=1.25%) y cuyo onto ascendó a la cantdad de $8,857.45. Cuál fue el plazo de esta operacón? De la fórula del onto, se despeja n, ahora teneos la sguente expresón: Log VF * / 1 Rp n Log(1 ) 203

La solucón es: (Logarto base 10) Log $8,857.45 * 0.0125 1 $100.00 n Log(1.0125) Log 88.574 *0.0125 n 1 Log(1.0125) Log1.10718125 1 Log(2.10718125) 0.32370189 n 59.9999963 60 Log(1.0125) Log(1.0125) 0.00539503 Log. Base 10 2.10718125 0.32370189 59.9999963 1.0125 0.00539503 Coo podrán ver, el resultado de 60 (abonos unfores) corresponde al tepo que estuvo ahorrando la Sra. García para poder obtener el onto de $8,857.45 del ejercco anteror Ejercco de valor presente neto Supongaos que una persona desea adqurr una pantalla de plasa edante 30 pagos guales de $30.00 vencdos. S la tasa de nflacón que peranecerá vgente durante todo el lapso de tepo es del 0.5% ensual, entonces Cuál es el preco de contado de dcha pantalla? Nota: la expresón / no aplca, ya que la tasa que se utlza, está dada en fora ensual. De la fórula del valor presente teneos que: n 30 1(1 ) 1 (10.005) 1 (1.005) VPN Rp VPN $ 30.00 VPN $ 30.00 0.005 0.005 1 (0.86102973) 0.13897027 VPN $ 30.00 VPN $ 30.00 0.005 0.005 VPN $ 30.00(27.794054) VPN $833. 82 Es tan solo un ejeplo, las pantallas de plasa cuestan ás $$$.. 30 204

Ahora coprobaos, despejando la coo varable desconocda VPN Del Valor Presente de una anualdad Rp = 1- (1+ ) -n despejaos, quedando la sguente expresón: -n 1- (1+ ) = VPN Rp 1 (1 ) n 833.82 30 1 (1 ) n 27.794 Aquí debeos buscar en tablas, una tasa que aproxe el factor 27.794 que estaos necestando. Dseñaos una tabla en Excel n 30 1 (1 ) n 0.01 0.74192292 25.80770822 0.02 0.55207089 22.39645555 0.03 0.41198676 19.60044135 0.04 0.30831867 17.2920333 0.05 0.23137745 15.37245103 0.06 0.17411013 13.76483115 0.07 0.13136712 12.40904118 0.08 0.09937733 11.25778334 0.09 0.07537114 10.27365404 al tanteo 0.005 0.86102973 27.79405397 VPN $833.82 27.79403333 R $30.00 27.79405397 TASA 0.005 De esta fora se coprueba. Coo se puede observar el factor que arroja la dvsón entre el onto y la anualdad, es el so factor que arroja la tasa del 0.005 ó 0.5% 205

Ahora coprobaos, despejando la -n coo varable desconocda De la fórula n 1 (1 /) VPN * VPN Rp teneos que n 1 (1 ) / Rp Para despejar n (1 ) n NPV * 1 Rp Aplcaos logartos y así obteneos: NPV * n Log((1 ) ) Log 1 Rp Despejaos -n, y ahora se tene la sguente expresón: NPV * 1 $833.82* 0.005 Log Log Rp 1 n $30.00 n Log(1 ) Log(1.005) Con logarto natural: Log(1 (0.13897)) Log(0.86103) n n Log(1.005) Log(1.005) 0.149625932 n 29.99993423 30_pagos_(-n) 0.004987542 Con logarto base dez: =LOG (H11, 10) En Excel LOG Base 10 0.86103-0.06498172-29.9999372 1.005 0.00216606 Con calculadora fnancera Log(0.86103) 0.06498172 n n 29.99996307 30_pagos_(-n) Log(1.005) 0.00216606 206

Otros ejerccos con dferente captalzacón: Una persona decde depostar $500.00 al fnal de cada es durante 5 años que es el tepo que se lleva estudar una carrera unverstara. El prer año le ofrecen una tasa ensual del.5%, el sguente año del 1% y los restantes 3 años le ofrecen el 1.25% ensual todo ello captalzable cada 40 días. Cuál es la sua que recbrá al fnal del plazo? De la fórula del VF para nterés ordnaro teneos para el prer año: VF = A / n/ (1+ ) -1 VF =$500.00.005 30.005 * 40 30 360/40 (1+ * 40) -1 9 (1.006666667) -1 VF =$500.00 0.006666667 (1.061625139)-1 VF =$500.00 0.006666667.061625139 VF =$500.00 0.006666667 VF =$500.00(9.243770455) M $4,621.88 Para el sguente año teneos: n/ (1+ ) -1 n/ VF = VF (1+ ) + Rp 2 1 /.01 9 (1+ *40) -1 9 VF = $4,621.88(1+.01 *40) + $500.00 30 2 30.01/ 30*40 9 9 (1.0133333333) -1 VF = $4,621.88(1.0133333333) + $500.00 2 0.0133333333 (1.126603147) -1 VF = $4,621.88(1.126603147) + $500.00 = 2 0.0133333333.126603147 VF =$5,207.02+$500.00 = 2 0.013333333 VF =$5,207.02+$500.00(9.495238399) 2 VF2 $5, 207.02 $4,747.62 VF2 $9,954.64 207

Para los restantes tres años teneos: n / VF3 VF2(1 ) Rp / n / (1 ) 1.0125 (360*3/40) VF.0125 30 3 $9,954.64(1 * 40) 500.00 30.0125 / 30*40 (360*3/40) (1 *40) 1 27 (1.016666667) 1 27 VF3 $9,954.64(1.016666667) $500.00 0.016666667 (1.562506342) 1 VF3 $9,954.64(1.562506342) $500.00 0.016666667.562506342 VF3 $15,554.18 $500.00 VF2 $15,554.18 $500.00(33.75037984) 0.016666667 VF3 $15,554.18 $16,875.19 VF3 $32,429.37 En el tea de anualdades ordnaras en valor futuro, ahora calculaos n coo varable desconocda. Adeás se pde coprobar: VF, Rp y la Un profesor que ahorra $7,500.00 al fnal de cada es logró reunr la cantdad de $250,000.00 Sabeos que la tasa de nterés que le estuveron pagando en proedo por todo el tepo en que estuvo depostando fue de 15% nonal ordnaro con captalzacones quncenales. La pregunta ahora es Cuál fue el plazo de esta operacón? De la fórula del onto, se despeja n, ahora teneos la sguente expresón: Log VF * / +1 Rp n= Log(1+ ) 208

La solucón es: Log $250, 000.00 *(.15 *15) 1 $7, 500.00 360 (33.33333333)*0.00625 n n Log 1 Log(.15 *15) Log(1.00625) 360 Logarto natural Log 0.208333333 1 Log(1.208333333) 0.1892419 n 30.37322548 Log(1.00625) Log(1.00625) 0.00623055 Logarto base 10 Cálculo en Excel LOG Base 10 1.20833333 0.08218676 30.37324264 1.00625 0.00270589 Logarto base 10 Log 0.208333333 1 Log(1.208333333) 0.08218676 n 30.37328199 Log(1.00625) Log(1.00625) 0.00270589 Coo podrán ver, el resultado de 30.373 (abonos unfores), corresponde al tepo que estuvo ahorrando el profesor para obtener el onto de $250,000.00 La coprobacón de VF es: VF n ( 1 ) 1 A / VF $7,500.00 30.37328199 (1.00625) 1.00625 (1.208333629) 1 VF $7,500.00.00625.208333629 VF $7,500.00 VF $7,500.00(33.33338068) VF $250,000.35.00625 VF n (1 ) 1 / La coprobacón de Rp es: Rp / 209

Rp $250, 000.00 30.37328199 (1.00625) 1 0.00625 Rp $250, 000.00 (1.208333629) 1 0.00625 Rp $250, 000.00.208333629 0.00625 $250, 000.00 Rp $7, 499.99 $7,500.00 Rp $7,500. 00 33.33338068 La coprobacón de es: Del valor futuro VF, se tene que: VF A / n / (1 ) 1 Despejaos la cuota peródca o abono y se pasa dvdendo coo denonador en el VF quedando: Que es lo so que VF A / n / (1 ) 1 Entonces se tene: / n / (1 ) 1 VF A Y el factor a buscar es: $250, 000.00 / $7,500.00 n / (1 ) 1 / n / (1 ) 1 33.33338064 210

Aquí debeos buscar en tablas, una tasa que aproxe el factor 33.33338064 que estaos necestando. n I n ( 1 ) / 1 30 0.01 1.3528638 35.28637509 0.02 1.8247987 41.23993358 0.03 2.4541885 48.47295071 0.04 3.2912241 57.28060264 0.05 4.4013647 68.02729449 0.06 5.8697655 81.16275841 0.07 7.8069268 97.24181086 0.08 10.3558860 116.9485752 0.09 13.7013532 141.1261463 al tanteo 0.00625 1.2083332 33.33331261 NPV $ 250,000.00 33.33338064 R $ 7,500.00 Factor TASA 0.00625 33.33331261 De esta fora se coprueba. Coo se puede observar el factor que arroja la dvsón entre el onto y la anualdad, es el so que el factor que arroja la tasa del 0.00625 ó 0.625% quncenal, que es lo so que 1.25% ensual o el 15% anual Ejerccos para resolver 1.- Un Señor ha decddo crear un fondo para su retro, el cual esta será en aproxadaente 25 años. Realzará depóstos al fnal de cada es por $550.00 durante los preros 5 años. Los posterores 7 años llevará a cabo el so procedento, solo que ahora depostará $750.00 y los restantes 13 años establecerá una cuota ensual de $1,580.00. 211

Se pde calcular el Valor Futuro de esta anualdad ordnara consderando las sguentes tasas: a.- Para los preros 5 años se pacta una tasa del 9% nonal, con captalzacones cada 24 días. b.- Los sguentes 7 años se ncreenta la tasa al 12% nonal, solo que la captalzacón se estpula cada 52 días. c.- Los restantes 13 años fjan la tasa del 5% trestral, con captalzacón cada 29 días. 2.- Una nversón que logro acuular la cantdad de $150,000.00 durante 5 años con depóstos ensuales (ordnaros) y con una tasa proedo del 6.9% anual captalzable quncenalente. a.- De cuánto debó haber sdo cada depósto? b.- Con la solucón anteror, ahora copruebe: n, y el VF 3.- Una nversón que logro acuular la cantdad de $150,000.00 durante 5 años con depóstos ensuales (ordnaros) y con una tasa proedo del 6.9% seestral captalzable cada 21 días. a.- De cuánto debó haber sdo cada depósto? b.- Con la solucón anteror, ahora copruebe: n, y el VF 4.- S usted desea adqurr un auto del año y le ofrecen 24 pagos fjos guales de $7,850.00 y fjan coo tasa de operacón el 1.5% ensual con captalzacón cada 40 días, entonces: a.- Cuál es el preco de contado de dcho vehículo? b.- Con la solucón anteror, ahora copruebe: -n,, Rp 212

5.1.2.- ANTICIPADAS Son aquellas anualdades que son utlzadas con enor frecuenca en la actvdad fnancera y coercal ya que los pagos se hacen por antcpado, salvo que el deudor (en caso de alguna copra a plazos) desee lqudar por adelantado sus pagos. Ahora ben, en el caso de una cuenta de depóstos (pudera ser un fdecoso), estos se hacen a nco del conveno y así sucesvaente hasta el fnal del conveno. Tabén son conocdas coo anualdades certas, sples e nedatas. Las característcas de este tpo de anualdades son: El plazo nca con la fra del conveno Las captalzacones concden con el ntervalo de pago Los pagos o abonos se realzan al nco de cada ntervalo de pago Se conoce desde la fra del conveno, las fechas de nco y térno del plazo de la anualdad 5.1.2.1.- Varables que se utlzan en este apartado: VPN: Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos) VF ó M: Valor Futuro o Monto (de la sua de unos pagos o abonos) A ó Rp: Anualdad o Renta peródca (cuota unfore o anualdad) : Captalzacón (por su tpo de captalzacón, ensual, bestral etc., la tasa se dvde entre el tpo de captalzacón: ejeplo de ello s teneos una tasa nonal del 12% captalzable ensualente = (12%/12), quncenal = (12%/24) etc. : Tasa de Interés (la tasa que ntegra el factor de acuulacón o descuento 1+) n: Tepo 213

5.1.2.2.- Procedento: Para calcular el onto de una sere de pagos, el pago peródco, la tasa y el tepo, utlzareos las sguentes fórulas: Su onto: n / (1 ) 1 VF Rp(1 / ) ó / M A(1 / ) / n / (1 ) 1 Al gual que en las anualdades ordnaras, cuando las tasas de nterés caban en el lapso del tepo, se buscará el VF de la anualdad de la sguente fora: Calculando VF 1, VF 2, VF n ó M 1, M 2, M n esto es, cuantas veces cabe la, la fórula se odfca en los sguentes térnos: Para una prera tasa n (1 ) 1 VF Rp(1 / ) / Una sguente tasa VF VF Rp Y así sucesvaente n / 2 1(1 ) (1 / ) VF n VF Rp n / 2(1 ) (1 / ) La Anualdad o Renta Peródca: / n / (1 ) 1 / n / (1 ) 1 VF M Rp ó A n / (1 ) 1 n / (1 ) 1 (1 / ) (1 / ) / / Nota portante: la expresón n/ se refere al núero de captalzacones que se realzan en el tepo que tendrá de vgenca la operacón (sea pago o abono). 214

Para calcular el tepo n anualdad antcpada en el valor futuro o onto de una n / (1 ) 1 De la fórula del onto M A(1 ) ó Valor futuro / n / (1 ) 1 VF Rp(1 / ) selecconaos la que utlzareos. / Para este ejercco toaos el valor futuro VF = Rp(1+ / ) / n/ (1+ ) -1 n/ (1+ ) -1 Que es lo so que Rp(1+ ) = VF / Ahora pasa dvdendo Rp quedando la expresón coo: n/ (1+ ) -1 VF (1+ / ) = / Rp Posterorente la pasa ultplcando Y la undad pasa suando Ahora aplcaos logartos VF Rp n/ (1+ / )(1+ ) -1= * / VF Rp n/ (1+ / )(1+ ) = * / +1 VF Rp Y se despeja n, quedando la sguente expresón n/ log((1+ / )(1+ ) ) = log * / +1 n= Log VF * / +1 Rp Log (1+ )(1+ ) Así de sple. 215

Para calcular el tepo -n, -n/ en valor presente neto de una anualdad antcpada De la fórula Teneos que Para despejar "-n : 1-(1+ / ) VPN = Rp(1+ ) / VPN 1 (1 / ) (1 ) Rp / n / -n/ n / 1 (1 / ) * / (1 VPN ) / RP Ahora la undad pasa restando al lado derecho y obteneos Log Ahora se tene la expresón NPV * Rp n / ((1 )(1 ) ) Log(1 ) NPV * Log(1- ) Rp -n / = Log(1+ )(1+ ) S obteneos un resultado con decales: ejeplo 5.78 esto quere decr que son 5 pagos de una cantdad x y 1 pago por la dferenca. Para ello se trae a valor presente el porte de los pagos: 1 (1 / ) (1 VPN Rp ) / Para conocer el valor del sexto pago teneos: n / x VPN _ de _ la _ deuda VPN _ de _ los _ pagos / (1 ) n Al despejar x el VPN de la deuda pasa restando al VPN de los pagos y la dferenca se ultplca por el factor de acuulacón (1+) con exponente n+1: esto es, n (nuero de pagos) ás el últo pago (1). Para el caso que utlzaos de 5.78 pagos, entonces sería 5+1=6 (n=6) 6 x (1 ) *( VPNdeuda VPNpagos ) 216

Para calcular la tasa de nterés En Valor Futuro o Monto sabeos que: De ahí que VF Rp(1 ) Rp(1 ) / n / (1 ) 1 / n / (1 ) 1 VF Rp pasa dvdendo al lado derecho n / (1 ) 1 (1 ) VF / Rp Y para calcular, se hace al tanteo, equparando el factor resultante de VF/Rp En Valor Presente Neto Del valor presente Despejaos el conjunto VPN Rp 1 (1 ) (1 ) / n / / 1 (1 n ) (1 ) VPN / Rp Y para calcular, se hace al tanteo, equparando el factor resultante de dvdr: VPN/Rp En abos casos se sugere tener elaborada una tabla profora, con valores de tasas que van de 1% a 9% (0.01 a 0.09) Ver ejeplo a contnuacón 217

La n se anpul a coo varable nput La se anpula coo varable nput n factor 1 factor 2 n 1 (1 ) (1 ) 6 0.01 1.01 0.94204524 5.79547647 5.853431 0.02 1.02 0.88797138 5.60143089 5.713459 0.03 1.03 0.83748426 5.41719144 5.579707 0.04 1.04 0.79031453 5.24213686 5.451822 0.05 1.05 0.7462154 5.07569207 5.329476 0.06 1.06 0.70496054 4.91732433 5.212363 0.07 1.07 0.66634222 4.76653966 5.100197 0.08 1.08 0.63016963 4.62287966 4.992710 0.09 1.09 0.59626733 4.48591859 4.889651 al tanteo 0.01735 1.01735 0.90194 5.651871 5.749931 5.1.2.3.- Ejerccos Cada 56 días el contador de la epresa Apolo, S.A. de C.V., deposta $15,500.00 en pagarés coo una edda de prevsón para lqudar algún coproso futuro de la epresa. La tasa nonal ordnara es del 9% Qué cantdad tendrá acuulada en el pagaré núero 17, de segur depostando noralente cada 56 días dcha cantdad? La solucón: Preraente calculaos la tasa captalzable que utlzareos en el desarrollo del ejercco. S la tasa es del 9 nonal ordnara y los depóstos se hacen cada 56 días, entonces calculaos la tasa de la sguente fora: 0.09*56 0. 014 360 Y la expresón n/ que corresponde al núero de captalzacones que se realzarían por el tepo de vgenca, en este ejercco nos dan el núero de pagarés (que son 17). 218

De la fórula del onto se sabe que: Entonces teneos: M A(1 / ) 17 (1.014) 1 / n / (1 ) 1 (1.266616773) 1 M $15,500.00(1 0.014) M $15,500.00(1.014) 0.014 0.014 (.266616773) M $15,500.00(1.014) M $15,500.00(1.014)(19.04405521) 0.014 M $15,500.00(19.31067199) M $299,315. 42 Ahora supongaos que el contador de la epresa Apolo, sgue realzando los sos depóstos con la sa frecuenca e porte, pero ahora le ejoran la tasa nonal ordnara quedando en 12%, sepre y cuando renverta la cantdad acuulada hasta el oento. Qué cantdad acuularía hasta el pagaré núero 30? (consecutvo). Preraente debeos consderar que los preros 17 pagarés se depostaron a una tasa dferente, así que a partr del pagaré 18 y hasta el 30, faltarían 13 períodos de 56 días. La fórula a utlzar es la sguente: M M A n / 2 1(1 ) (1 ) / n / (1 ) 1 La solucón: S la tasa es del 12 nonal ordnara y los depóstos se hacen cada 56 0.12*56 días, entonces calculaos la tasa de la sguente fora: 360 0.018666667 y el exponente n/ ya lo conoceos (son 13 pagarés) 13 (1.018666667) 1 13 M 2 $299, 315.42(1.018666667) $15, 500.00(1.018666667) 0.018666667 (1.271795364) 1 M 2 $299,315.42(1.271795364) $15,500.00(1.018666667) 0.018666667 M 2 $299,315.42(1.271795364) $15,500.00(1.018666667)(14.56046565) Esta es la cantdad que acuularía hasta el pagaré núero 30 M2 $80, 667.96 $229,900.05 $610,568.01 219

La Anualdad o Renta Peródca: Rp VF n / (1 ) 1 (1 ) ó A M n / (1 ) 1 (1 ) Para conocer el valor de la anualdad o renta peródca a partr de un onto, podreos utlzar la fórula del Monto o Valor Futuro, despejando la A ó Rp, según sea la notacón que utlceos: Para probar este teorea, utlzareos los datos del ejercco anteror relatvos al prer oento del onto. M= $299,315.42 = 9% nonal ordnara A=? Cada 56 días n=17 pagares de 56 días La solucón es: $299,315.42 A.09*56 0.09*56 (1 ) 360 360.09*56 360 17 (1 ) 1 $299,315.42 A (1.014) 0.014 17 (1.014) 1 $299,315.42 A (1.266616773) 1 (1.014) 0.014 $299,315.42 $299,315.42 A $15,500.00 (1.014)(19.04405524) 19.31067202 El porte de cada depósto o cuota peródca es entonces de $15,500.00 220

Su valor presente: De la fórula del Valor Presente Neto de una sere de cuotas unfores Se despeja 1 (1 ) VPN Rp(1 / ) / n / VPN Rp 1 (1 ) (1 / ) / n / Para probar este teorea, utlzareos los sguentes datos: Se tene la opcón de adqurr un auto en 12 eses con pagos guales, sólo que deben ser antcpados (solo coo ejeplo). El preco de contado de dcho vehículo es de $187,000.00 que ncluye seguro, cosón de apertura de crédto y todo lo que conlleva esta operacón. Para ello queda estpulada una tasa de nterés del 2.8% ensual. Ahora se desea conocer el porte de los pagos ensuales guales Rp=? VPN= $187,000.00, = 2.8% ensual ordnara (/ solo s la tasa es anual), n=12 (se estpulan de nco los doce pagos). La coprobacón es: VPN Rp 1 (1 ) (1 / ) / n / $187, 000.00 Rp 1 (1.028) (1.028) 0.028 12 $187, 000.00 Rp (1.028)(10.0738977) $187, 000.00 Rp $187, 000.00 1 0.71793086 Rp 0.28206914 (1.028) (1.028) 0.028 0.028 $187,000.00 Rp $18,057.22 10.3559668 El resultado son 12 pagos de $18,057.22 que dan un total de $216,686.64 el cual ya ncluye los ntereses generados. 221

Tan solo para coprobar este cálculo, correos los datos en un sulador en Excel (en abas odaldades: vencdas y antcpadas) y se obtene el sguente: ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS E INMEDIATAS. (Valor actual y tablas de aortzacón) Calculo de anualdades a partr del Valor Actual y coprobacón con tablas de aortzacón. INICIO VALOR ACTUAL=C= 187,000.00 Anualdad Vencda 18,562.82 Anualdad Antcpada 18,057.22 Tasa ensual 2.80% = 2.80% = 2.80% n= 12.00 n= 12.00 n= 12.00 Anualdad Vencda 18,562.82 VALOR ACTUAL=C= 187,000.00 VALOR ACTUAL=C= 187,000.00 Anualdad Antcpada 18,057.22 Saldo nsoluto en el pago 5 Anualdad Vencda 116,528.41 Anualdad Antcpada 113,354.49 Taba de aortzacón (anualdad vencda) Taba de aortzacón (anualdad antcpada) Abono Anualdad Interés Captal Saldo Abono Anualdad Interés Captal Saldo 0 187,000.00 0 187,000.00 1 18,562.82 5,236.00 13,326.82 173,673.18 1 18,057.22 18,057.22 168,942.78 2 18,562.82 4,862.85 13,699.98 159,973.20 2 18,057.22 4,730.40 13,326.82 155,615.95 3 18,562.82 4,479.25 14,083.58 145,889.62 3 18,057.22 4,357.25 13,699.98 141,915.98 4 18,562.82 4,084.91 14,477.92 131,411.71 4 18,057.22 3,973.65 14,083.58 127,832.40 5 18,562.82 3,679.53 14,883.30 116,528.41 Saldo nsoluto pago 5 5 18,057.22 3,579.31 14,477.92 113,354.49 Saldo nsoluto pago 5 6 18,562.82 3,262.80 15,300.03 101,228.38 6 18,057.22 3,173.93 14,883.30 98,471.19 7 18,562.82 2,834.39 15,728.43 85,499.95 7 18,057.22 2,757.19 15,300.03 83,171.16 8 18,562.82 2,394.00 16,168.83 69,331.12 8 18,057.22 2,328.79 15,728.43 67,442.73 9 18,562.82 1,941.27 16,621.55 52,709.57 9 18,057.22 1,888.40 16,168.83 51,273.90 10 18,562.82 1,475.87 17,086.96 35,622.61 10 18,057.22 1,435.67 16,621.55 34,652.35 11 18,562.82 997.43 17,565.39 18,057.22 11 18,057.22 970.27 17,086.96 17,565.39 12 18,562.82 505.60 18,057.22 0.00 Coprobacón 12 18,057.22 491.83 17,565.39 0.00 Coprobacón Ahora ben, s fuera el caso que la agenca de autos ofrecera el so auto en 12 pagos ensuales antcpados de $18,057.22, la pregunta ahora sería: Cuál es el preco áxo de contado que el clente podría pagar, consderando una nflacón ensual estada del 0.6%? Ahora se desea conocer el valor presente neto de los 12 pagos ensuales guales: VPN=? = 0.6% ensual ordnara n=12 Rp=$18,057.22 La coprobacón es: n / 1 (1 ) 12 VPN Rp(1 ) 1 (1.006) VPN $18, 057.22(1.006).006 1 (0.930731112) 0.069268888 VPN $18, 057.22(1.006) VPN $18, 057.22(1.006).006.006 VPN 18,057.22(1.006)(11.54481467) VPN 18,057.22(11.6140836) VPN $209,718.06 222

Coo podrán notar, las cantdades resultantes dferen una de otra, esto obedece a lo sguente: 1.- En el ejercco en donde se calcula el porte de los pagos (Rp), se ncluye el nterés del 2.8% ensual lo que hace que el porte del autoóvl se eleve a $216,686.64 2.- En el cálculo del valor presente neto de los pagos, partos del supuesto de que la Agenca de Autos, ofrecera dcho vehículo a 12 pagos de $18,057.22, entonces tendríaos que traer a valor presente el porte de cada uno de estos pagos, y deternar un VPN del total de los sos y con ello, conocer el preco áxo de contado que en ese esquea, debera pagar el clente. 3.- Debeos consderar que para fnes acadécos, y para poder probar ateátcaente las fórulas, es que se utlzaron los sos datos, pero coo recordarán, en los datos ncales quedó establecdo que el auto tene un preco de lsta de $187,000.00 y es con este preco, que fnalente usted podría adqurr el auto, o ejor aún, no copre nada y ejor ahorre su dnero. Resolvaos un ejercco de Anualdad antcpada: (a partr de VPN) Consdere el caso de una persona que adquere para su hogar un equpo hdroneuátco, el cual ncluye la nstalacón. El porte de contado de la operacón es de $114,500.00, pero es adqurdo en 12 pagos guales de $11,500.00 a partr de la fra del contrato. Ahora la pregunta es: Cuál fue la tasa de nterés ensual que se pagó por dcho equpo? Rp= $11,500.00 VPN= $114,500.00 =? n=12 223

La solucón es: De la fórula del valor presente, sabeos que: 1 (1 ) VPN Rp(1 / ) / n / Consderando que es desconocda, entonces toda funcón que contenga la tasa de nterés pasa coo varable desconocda 1 (1 ) (1 / ) / n / Es la varable desconocda Por lo tanto la funcón es gual al VPN (coo nuerador) que dvde a la varable despejada Rp (coo denonador), resultando: n / 1 (1 ) Rp(1 / ) VPN / n / 1 (1 ) VPN (1 / ) / Rp Entonces, con los datos Rp= $11,500.00 VPN= $114,500.00 =? n=12 Resolveos: n / 1 (1 ) $114, 500.00 (1 / ) / $11, 500.00 n / 1 (1 ) (1 / ) 9.956521739 / Con este resultado, buscaos encontrar la tasa al tanteo con una tabla profora que podeos dseñar en Excel (de la fórula del valor presente neto de una anualdad antcpada), de la sguente fora: 224

Dseño en Excel n 12 factor 1 factor 2 Notas: MENU 0.01 1.01 0.88744923 11.2550775 11.36762825 Solo utlzar las celdas aarllas 10.78684805 0.02 1.02 0.78849318 10.5753412 0.03 1.03 0.70137988 9.95400399 0.04 1.04 0.62459705 9.38507376 0.05 1.05 0.55683742 8.86325164 0.06 1.06 0.49696936 8.38384394 0.07 1.07 0.44401196 7.9426863 0.08 1.08 0.39711376 7.53607802 0.09 1.09 0.35553473 7.16072528 al tanteo 0.035923 1.035923 0.654739 9.611028 n 1 (1 ) (1 ) 10.25262411 9.760476711 9.306414218 8.886874577 8.498674337 8.138964258 7.805190552 9.956288889 n 1 (1 ) NPV R(1 ) NPV R n 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) n NPV R NPV R $ $ TASA 0.03592 114,500.00 11,500.00 9.956521739 9.956288889 Coo se puede observar, el factor resultante VPN/Rp es slar al factor que arroja la fla denonada al tanteo, con una tasa del 0.035923 o 3.5923% aprox. Con este dato, ahora pasaos a realzar algunos cálculos: El porte de contado de la operacón es de $114,500.00, pero es adqurdo en 12 pagos guales de $11,500.00 a partr de la fra del contrato. De ahí que preraente se busque el valor futuro que habrá de pagar por el equpo hdroneuátco. VF= ($ )? Rp= $11,500.00 = 0.035923 ensual n=12 225

Preraente Calculeos el Valor futuro, de las 12 cuotas peródcas que pagará por el equpo hdroneuátco n (1 ) 1 VF Rp(1 / ) / VF 12 (1 0.035923) 1 $11,500.00(1 0.035923) 0.035923 VF $11,500.00(1.035923) 14.6791424 VF $11,500.00(15.20646123) $174,874.30 VF $174,874.30 S despejaos Rp teneos: n (1 ) 1 VF Rp(1 / ) / $174,874.30 Rp 12 (1.035923) 1 (1.035923) 0.035923 $174,874.30 Rp.527318832 (1.035923) 0.035923 VF Rp n (1 ) 1 (1 / ) / $174,874.30 Rp (1.527318832) 1 (1.035923) 0.035923 $174,874.30 Rp (1.035923) 14.6791424 $174,874.30 Rp $11, 499.999 $11,500.00 15.20646123 Su valor presente es: 1 (1 ) VPN Rp(1 / ) / n / 1 (1.035923) VPN $11,500.00(1 0.035923) 0.035923 12 226

1 (1.035923) VPN $11,500.00(1.035923) 0.035923 12 VPN 1 (0.65474214) $11,500.00(1.035923) 0.035923 0.34525786 VPN $11,500.00(1.035923) 0.035923 VPN $11,500.00(1.035923)(9.611053086) VPN $11,500.00(9.956310946) VPN $114, 497.60 $114,500.00 Dferenca de $2.42 por el anejo de los dígtos Ahora resolvaos un ejercco de Anualdad antcpada: (a partr de VF) Consdere el caso de una persona que ahorró $150,000.00, habendo realzado 50 depóstos ensuales antcpados de $2,500.00 Ahora la pregunta es: Cuál fue la tasa de nterés ensual proedo que obtuvo? A= $2,500.00 VPN= $150,000.00 =? n=50 La solucón es: n / (1 ) 1 (1 ) VF / A (1 ) / n / (1 ) 1 $150,000.00 $2,500.00 n / (1 ) 1 (1 ) 60 / Al tanteo con una tabla en Excel (de la fórula del valor futuro o onto de una anualdad antcpada) 227

Dseño de una hoja de cálculo en Excel n factor 1 factor 2 n ( 1 ) 1 ( 1 ) / 50 0.01 1.01 1.64463182 64.4631822 65.10781401 0.02 1.02 2.69158803 84.5794015 86.27098948 0.03 1.03 4.38390602 112.796867 116.1807733 0.04 1.04 7.10668335 152.667084 158.773767 0.05 1.05 11.4673998 209.347996 219.8153955 0.06 1.06 18.4201543 290.335905 307.7560589 0.07 1.07 29.4570251 406.528929 434.9859545 0.08 1.08 46.9016125 573.770156 619.6717689 0.09 1.09 74.3575201 815.083556 888.4410765 al 0.0069787700 tanteo 1.006979 1.415845 59.587154 60.00299871 VF $ 150,000.00 60.0000000 A $ 2,500.00 TASA 60.00299871 0.006978770 La tasa proedo que obtuvo fue de 0.0069787700 ó 0.697877% Ahora coprobeos esta operacón: De la fórula del onto: VF = Rp(1+ ) n (1+ ) -1 se tene que VF $2, 500(1.00697877) 50 (1.00697877) 1.00697877 (1.41584504) 1 VF $2,500(1.00697877).00697877 VF $2,500(1.00697877)(59.58715367) VF $2,500(60.00299871) VF $150,007.50 La dferenca de $7.50 se debe al anejo de los dígtos 228

Ejerccos para resolver 1.- Un Señor ha decddo crear un fondo para su retro, el cual esta será en aproxadaente 21 años. Realzará depóstos al nco de cada es por $650.00 durante los preros 3 años. Los posterores 5 años llevará a cabo el so procedento, solo que ahora depostará $1,750.00 y los restantes 13 años establecerá una cuota ensual de $4,580.00. Se pde calcular el Valor Futuro de esta anualdad antcpada consderando las sguentes tasas: a.- Para los preros 3 años se pacta una tasa del 7.8% nonal, con captalzacones cada 21 días. b.- Los sguentes 5 años se ncreenta la tasa al 15% nonal, solo que la captalzacón se estpula cada 40 días. c.- Los restantes 13 años fjan la tasa del 6% seestral, con captalzacón cada 17 días. 2.- Una nversón que logro acuular la cantdad de $550,000.00 durante 3.5 años con depóstos ensuales antcpados y con una tasa proedo del 7.9% anual captalzable ensualente. a.- De cuánto debó haber sdo cada depósto? b.- Con la solucón anteror, ahora copruebe: n, y el VF 3.- Una nversón que logro acuular la cantdad de $800,000.00 durante 3 años con depóstos ensuales antcpados y con una tasa proedo del 6.9% seestral captalzable cada 21 días. a.- De cuánto debó haber sdo cada depósto? b.- Con la solucón anteror, ahora copruebe: n, y el VF 229

4.- S usted desea adqurr un paquete turístco por el Medterráneo y le ofrecen 12 pagos fjos guales antcpados de $14,140.00 y fjan coo tasa de operacón el 1.5% ensual con captalzacón cada 29 días, entonces: a.- Cuál es el preco de contado de dcho paquete turístco? b.- Con la solucón anteror, ahora copruebe: -n,, Rp 230

5.1.3.- DIFERIDAS Son poco utlzadas este tpo de anualdades, aunque cabe resaltar que en la actvdad coercal, con frecuenca son utlzadas para vacar los nventaros, esto es, cuando las epresas queren reatar su ercancía de teporada, o spleente por que cabarán de odelos, surgen las ofertas de copre ahora y pague después. Certaente resulta atractvo este plan para los clentes ya que de oento no desebolsan cantdad alguna y por otra parte, epezan a pagar eses después de haber adqurda la ercancía. Las característcas de este tpo de anualdades son: Se conoce desde la fra del conveno, las fechas de nco y térno del plazo de la anualdad Las captalzacones concden con el ntervalo de pago El plazo da coenzo en una fecha posteror al de nco del conveno 5.1.3.1.- Varables que se utlzan en este apartado: VPN: Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos) VF ó M: Valor Futuro o Monto (la sua de unos pagos o abonos) A ó Rp: Anualdad o Renta peródca (cuota unfore) : Captalzacón (por su tpo de captalzacón, ensual, bestral etc., la tasa se dvde entre el tpo de captalzacón: ejeplo s teneos una tasa nonal del 12% captalzable ensualente = (12%/12) : Tasa de Interés (la que ntegra el factor de acuulacón o descuento (1+)) n: Tepo en valor futuro -n= Tepo en valor presente k = dferento (tepo en que se dfere el pago) utlzado en valor presente NUEVAMENTE SE HACE LA ACLARACION: Para no generar confusón en lo referente a la tasa, la representacón /, se refere a la tasa nonal que se dvde entre el núero de eses dependendo la captalzacón. Ejeplo s nos dan una tasa del 12% nonal captalzable ensualente, sabeos que debeos dvdr 12/12=1% POR LO ANTERIOR El lector podrá encontrar ndstntaente la tasa en su fora ó en su fora /. 231

5.1.3.2.- Procedento: Para calcular el onto de una sere de pagos o abonos, el pago peródco, la tasa y el tepo, utlzareos las sguentes fórulas: Para la anualdad dferda, se toa de la fórula de la anualdad ordnara: Deternaos su onto: VF n / (1 ) 1 Rp ó / M A / n / (1 ) 1 De donde despejaos Rp, lo que ahora nos da la Anualdad o Renta Peródca: Rp VF / n / (1 ) 1 ó A M / n / (1 ) 1 De ahí que, para calcular su valor presente con dferento en el pago (k-1) y para el cálculo de Rp (desconocda), teneos: / 1 (1 n VPN ) VPN Rp Rp Se despeja Rp / k 1 (1 ) 1 (1 ) k (1 ) 5.1.3.3.- Ejerccos resueltos n 1 Ejeplo para cálculo del onto: Hoy que es 27 de Febrero del 2013, sendo las 11:30 hrs., un epleado de goberno se propone ahorrar a partr del sguente año, el bono que le otorgan por honestdad y buen servco (es solo un ejeplo) que le entregan en la segunda quncena de cada es, so que ascende a $580.00 La cuenta de ahorro le ofrece el 15% nonal captalzable ensualente. La pregunta ahora es: Cuánto logrará acuular este sngular personaje al 1º de enero del 2015? 232

Veaos este caso de anera uy partcular para poder entender la naturaleza de la anualdad dferda. En el ejeplo se señala que el 27 de febrero del 2013, a las 11:30 hrs., de ese día, el epleado toa la decsón de ahorrar a partr del sguente año. Lo anteror refere que epezará a depostar a partr del año 2014. Ahora ben, el bono que recbe, es en la segunda quncena de cada es, lo cual perte suponer que a fnal del es de enero del 2014 se realzará el prer depósto y así sucesvaente. Fnalente la pregunta que se busca responder sobre cuanto tendrá acuulado al 1º de enero del 2016, nos perte suponer que realzará 12 depóstos (n=12). S la redaccón del texto fuera Que en un año depostará ensualente un porte, entonces la funcón exponencal n/ sería: 360/30 =12 Vsualceos la sguente línea de tepo: 1er abono Propósto 27-02-2013 31-01-2014 31-03-2014 31-05-2014 31-07-2014 31-09-2014 31-11-2014 28-02-2014 30-04-2014 30-06-2014 31-08-2014 31-10-201414 31-12-2014 1º. Enero 2015 Cuánto ahorro? La solucón es: De la fórula del onto teneos que: M A / n / (1 ) 1 12avo. Abono 233

M $580.00.15 12 15 /12 12 (1 ) 1 M $580.00 12 (1.0125) 1 0.0125 (1.160754518) 1 M $580.00 0.0125.160754518 M $580.00 M $580.00(12.86036142) M $7,459. 00 0.0125 Con los sos datos, ahora coprobaos el valor de la anualdad: A M / n / (1 ) 1 $7, 459.00 A 1.160754518 1 0.0125 $7,459.00 A.15 12 (1 ) 1 12.15/12 $7, 459.00 A.160754518 0.0125 A $7,459.00 12 (1.0125 0.0125 $7, 459.00 A 12.86036142 1 A $ 579. 999 $ 580. 00 Para calcular el tepo n en el onto copuesto n / n / (1 ) 1 (1 ) 1 M A A M / / n / (1 ) 1 M Pasa dvdendo A / A La tasa captalzable / pasa ultplcando: n/ (1+ ) -1= * / n/ M Y la undad pasa suando M A (1+ ) = * / +1 A 234

Ahora aplcaos logartos y obteneos la sguente expresón: n/ log((1+ ) )= log * / +1 M Y se despeja la n (n/) Log M * / +1 A n= Log(1+ ) Con los sos datos, ahora coprobaos el tepo: A= $580.00 VF= $7,459.00 =15% nonal captalzable ensualente. (.15/12=0.0125) = captalzacón ensual n= 12 Realzará 12 depóstos (n=12). S la redaccón del texto fuera Que en un año depostará ensualente un porte, entonces la funcón exponencal n/ sería: 360/30 =12 La solucón es: A Log $7,459.00 * (.15 / 12) +1 $580.00 n=.15 Log(1+ ) 12 n Log 0.16075431 1 Log(1.0125) n= Log (12.86034483)* 0.0125 +1 Log(1.0125) Log1.16075431 n Log1.0125 Con Logarto natural: 0.149070061 n 11.99998559 12 0.01242252 Con Logarto base 10 Log Base 10 1.16075431 10 0.0647403 11.9999856 1.0125 10 0.00539503 235

Ejercco de valor presente de una anualdad dferda Con los sguentes datos calcule el VPN de una anualdad dferda: Se adeudan $100,000.00 los cuales deben ser lqudados en 12 pagos ensuales guales, el prero de ellos 6 eses después de la fra del conveno. Se pacta una tasa del 1.5 ensual A= $580.00 VPN= $100,000.00 =1.5% ensual. = la tasa está dada ensual n= 12 (son doce pagos, ya no aplca n/, el dato lo da drecto) k-1= (6 eses después de frado el contrato) De la fórula del valor presente en anualdad ordnara dferda: Se despeja 1 (1 ) VPN Rp (1 ) n / k1 Rp VPN 1 (1 ) (1 ) n / k 1 $100,000.00 Rp = 0.16361258 0.01615926 $100,000.00 Rp = 1-(1.015) -12 0.015(1.015) 6-1 $100,000.00 Rp = 1-(0.83638742) 0.015(1.077284) $100,000.00 Rp = = $9,876.54 10.12500449 Con los datos del ejercco anteror, coprobar el tepo ( n ) A partr de la fórula VPN Rp= -n 1-(1+ ) (1+ ) k-1 236

El VPN pasa ultplcando al factor del producto que ntegra el dferento del tepo y luego pasa dvdendo la cuota ordnara Rp, para despejar el factor 1 (1 ) n De esta fora transforaos la expresón en: VPN *( )(1 Rp ) k 1 1 (1 ) n (1 ) n De ahí despejaos y pasaos el producto derecho de la ecuacón. VPN *( )(1 ) k Rp 1 al lado Y así obteneos: -n (1+ ) = 1- VPN * ( )(1+ ) Rp k-1 Aplcaos logartos para calcular: 1 *( )(1 k VPN ) n ((1 Log ) ) Log(1 ) Rp 1 *( )(1 k VPN ) Log(1 $100, 000.00*(0.015)(1.015) Rp Log(1 n $9,876.54 n Log(1 ) Log(1.015) 61 $1, 615.93 Log(1 ) $9,876.54 n Log(1.015) n Log(1 0.163612966) Log(1.015) n Log(0.836387034) Log(1.015) Logarto natural Logarto Base 10 0.178663814 n 12.00003157 12 0.014888612 Log Base 10 0.83638703 10-0.07759271 1.015 10 0.00646604-12.0000311 237

De esta fora queda coprobado el resultado Para calcular la tasa de nterés en onto copuesto de anualdad dferda. En Valor Futuro o Monto se toa la fórula de la anualdad ordnara vencda. Del onto M A / n / (1 ) 1 Teneos que.. A / n / (1 ) 1 M Por lo que A pasa dvdendo al lado derecho / n / (1 ) 1 M A Y para calcular /, se hace al tanteo, equparando el factor resultante de M/A Toaos los datos del so ejercco de la pág. 232, 234 y 235 / n / (1 ) 1 $7,459.00$580.00 / n / (1 ) 1 12.8603448 Con estos datos, ahora coprobaos la tasa proedo ensual obtenda: Para ello realzaos al tanteo con una tabla en Excel (de la fórula del onto de una anualdad dferda) 238

n ( 1 ) n 1 / 0.01 12.682503 12 0.02 13.4120897 0.03 14.1920296 0.04 15.0258055 0.05 15.9171265 0.06 16.8699412 0.07 17.8884513 0.08 18.9771265 0.09 20.1407198 Tanteo 0.0125 12.8603614 Monto $ 7,459.00 Anualdad $ 580.00 Factor 12.8603448 TASA Factor 12.86036142 0.0125 La tasa proedo que obtuvo fue de 0.0125 ó 1.25% ensual Ahora desarrollaos el tea del valor presente de la anualdad dferda: 1 (1 n ) De la fórula: VPN Rp k1 (1 ) Se despeja Rp VPN 1 (1 (1 ) ) n k 1 239

Ahora presentaos un ejeplo de VPN La agenca Autootrz El Carrto Veloz tene en oferta un convertble que arranca el suspro de ás de una bella daa. El preco de contado de este odesto auto que tene una serpente al frente es de $850,000.00 o un atractvo plan de fnancaento del 40% de enganche y el resto en 15 odestas ensualdades guales con una tasa proedo ensual del 1.5%. Adeás ofrece que el prer pago se haga al vencento del tercer es, una vez que se haya dado el enganche y desde luego, haber recbdo este veloz auto. La pregunta es: Qué cantdad debe pagar ensualente por esta precosdad de auto? Entonces, del preco de contado de $850,000.00 el 40% de enganche son: $340,000.00, la dferenca que se adeuda es de $510,000.00 La solucón es: De la fórula: $510,000.00 Rp 15 1 (1.015) 0.015(1.015) 31 Rp 15 1 (1.015) $510, 000.00 Rp 31 Se despeja 0.015(1.015) $510,000.00 $510, 000.00 $510,000.00 1 (0.7998515) Rp Rp 1 0.7998515 0.2001485 2 0.015453375 0.015(1.015) 0.015(1.030225) $510, 000.00 Rp $39,376.87 12.9517662 Rp $39,376.87 Este es el porte de las odestas ensualdades 240

Para calcular la tasa de nterés en valor presente de una anualdad dferda. (Con los datos anterores) Teneos que: 1 (1 (1 ) ) n k1 1 (1 ) (1 ) n k1 12.9517658 VPN Rp 1 (1 n ) (1 ) k1 $510,000.00 $39,376.87 Al tanteo con una tabla en Excel (de la fórula del valor presente de una anualdad dferda) Coprobacón: n factor 1 factor 2 1 (1 ) ) (1 0.0100 0.1386505 0.01020 13.59186 15 0.0200 0.2569852 0.02081 12.35031 0.0300 0.3581380 0.03183 11.25265 0.0400 0.4447355 0.04326 10.27957 k 0.0500 0.5189829 0.05513 9.41466 3 0.0600 0.5827349 0.06742 8.64387 0.0700 0.6375539 0.08014 7.95520 0.0800 0.6847583 0.09331 7.33837 0.0900 0.7254619 0.10693 6.78452 al tanteo 0.0150 0.2001485 0.01545 12.95177 NPV $ 510,000.00 12.95176585 R $ 39,376.87 TASA 12.952 0.0150 n k 1 La tasa proedo que obtuvo fue de 0.015 ó 1.5% ensual A contnuacón una sere de ejerccos resueltos sobre este tea, sos que fueron desarrollados en clase por los alunos. La dea es que se verfquen, coo parte de una actvdad ddáctca. 241

Algunos ejerccos resueltos 1.- Se adquere un lote de ropa aprovechando la proocón de epezar a pagar a partr de los 6 eses posterores a la adquscón, con un nterés del 3% ensual, captalzable ensualente. El porte de la operacón fue de $17,460.00. Calcular Rp y coprobar -n. Consderar que la copra se lqudará en 18 eses. DATOS VPN $17,460.00 -n 18 eses 3%ensual Mensual Rp? k 6 eses Coprobacón 242

2.- Pedro se copró un autoóvl últo odelo y epezó a pagarlo 10 eses después de frar el contrato de copra-venta. Sus pagos fueron de $10,725.00 ensuales, durante 12 eses, con un nterés del 8%nonal captalzable ensualente. Cuál es el valor del autoóvl? Calcular VPN y coprobar Rp DATOS VPN? -n 12 eses 8%ensual Mensual Rp $10,725.00 k 10 eses Coprobacón 243

3.- Se realza una copra de aparatos electrodoéstcos por un porte de $150,000.00 los cuales deben ser lqudados en 12 pagos ensuales guales, el prero de ellos a los 6 eses después de realzada la operacón. La tasa de nterés es del de 3.2% nonal captalzable ensualente. Calcular Rp y coprobar -n DATOS VPN $150,000.00 -n 12 eses 3.2 % nonal Mensual Rp? k 6 eses Rp VPN 1 (1 ) (1 ) n k 1 Rp $150, 000.00 12 1 (1.0026666) 0.0026666(1.0026666) 61 $150, 000.00 Rp 1 0.9685486.0026666(1.0134042) Rp $150, 000.00 0.0314514 0.0027023 $150, 000.00 11.6387521 Rp Rp $12,887.98 COMPROBACIÓN: k1 VPN *( )(1 ) log(1 ) Rp 61 n $150,000.00*(0.0026666)(1.0026666) log(1 log(1 ) ) $12,887.97963 n log(1.0026666) $150, 000.00*0.0027023 $405.345 log(1 ) (1 ) $12,887.97963 $12,887.97963 log(1 0.0314513) n n n log(1.0026666) log(1.0026666) log1.0026666 log 0.9685487 0.0138785 n n n 12.0004 log1.0026666 0.0011565 244

4.- El preco de operacón de una casa de nterés socal es de $315,000.00 y serán pagaderos en 12 cuotas ensuales guales. La prer cuota cuatro eses después de la fra del conveno y se pacta una tasa del 2% anual. Se pde: calcular Rp y la coprobacón -n DATOS VPN $315,00.00 -n 12 eses 2%nonal Mensual Rp? k 4 eses Rp VPN 1 (1 ) (1 ) n k 1 Rp $315, 000.00 12 1 (1.0016666) 0.0016666(1.0016666) 41 $315, 000.00 Rp 1 0.9802157.0016666(1.0050081) Rp $315, 000.00 0.0197843 0.0016749 $315, 000.00 Rp $ Rp 26,667.28 11.8122276 COMPROBACIÓN: k1 VPN *( )(1 ) log(1 ) Rp n log(1 ) 41 $315, 000.00*(0.0016666)(1.0016666) log(1 ) $26, 667.28 n log(1.0016666) $315, 000.00*0.0016749 log(1 ) $26, 667.28 n log(1.0016666) $527.5935 (1 ) $26, 667.28 n log(1.0016666) n log(1 0.0197843) log1.0016666 log 0.9802157 n 0.0086783 log1.0016666 0.0007231 n n 12.0015 245

5.- En la copra de un paquete de uebles cuya cantdad ascende a los $87,250.00 la tenda departaental ofrece que se lquden en 10 pagos guales. El prer pago vencdo se coenza a lqudar el día 5 de ayo del 2011 (la fecha de operacón es el 5 de octubre del 2010), la tasa de nterés pactada en esta operacón es del 10% anual y la captalzacón ensual. La pregunta es: A cuánto ascende cada pago? (Adeás copruebe con -n ) DATOS VPN $87,250.00 -n 10 eses 10%anual Mensual Rp? 7 eses VPN Rp 1 (1 ) (1 ) n k 1 $87, 250.00 Rp.10 1 (1 ) 12.10.10 (1 ) 12 12 10 71 $87, 250.00 Rp 1.9203621.0083333(1.008333) $87, 250.00 Rp Rp = $9,595.92 9.092400357 7 1 $87, 250.00 Rp.079637834.0083333(1.0510512) Coprobacón.10.10 71 $87,250.00( )(1 ) k 1 log(1 12 12 ) VPN *( )(1 ) $9, 595.92 log(1 ) n.10 Rp log(1 ) n 12 log(1 ) $87, 250.00(0.0083333)(1.05105329) $764.2033 log(1 ) log(1 ) $9,595.92 $9,595.92 n n log1.0083333 log1.0083333 n log(1.079638357) log1.0083333 n log.920361643 log1.0083333.036041509 n.0036041099 -n=10.0001 246

Otros ejerccos para calcular Rp y su coprobacón VPN, -n Caso a.- Con los sguentes datos, calcular Rp y coprobar con VPN: VPN= $689,573 =6.3%=.063 anual (ordnaro) =15 días n=21 pagos fjos k=6 eses después de la fra del conveno Rp=? COMPROBACIÓN: 247

Caso b.- Con los sguentes datos, calcular Rp y coprobar con -n : VPN = $234,789.00 =5%=.05 anual (ordnaro) =ensual n=17 pagos fjos k= se da una prórroga de 5 eses para el prer pago Rp =? COMPROBACIÓN: 248

Caso c.- Con los sguentes datos, calcular Rp y coprobar con -n : VPN = $550,000.00 =5.5%=.055 anual (ordnaro) =15 días n=24 pagos fjos k= se da una prórroga de 2.5 eses (2.5*30/15= 5 perodos) Rp =? COMPROBACIÓN: 249

Caso d.- Con los sguentes datos, calcular Rp y coprobar con VPN: VPN= $325,000.00 =3.8 %=.038 anual (ordnaro) =20 días n=18 pagos fjos k= se da una prórroga de 3.5 eses (3.5*30/20=5) Rp=? COMPROBACIÓN: 250

Caso e.- Con los sguentes datos, calcular Rp y coprobar con -n : VPN = $100,000.00 =4.2%=.042 anual =ensualente n=18 pagos fjos k=se da una prórroga de 1.5 eses (1.5*30/30=1.5) Rp =? Rp $ 100 000, 18 1 ( 10035. ) 15. 1 0035. ( 10035. ) COMPROBACIÓN: 251

Caso f.- Con los sguentes datos, calcular Rp y coprobar -n : CON LOS SIGUIENTES DATOS CALCULAR Rp: VPN= $238,000.00 Una tasa del 16% captalzable cada 25 días Se pactan 40 pagos fjos ensuales Fnalente se da un dferento de 2 eses. UTILIZAR INTERES EXACTO. Preraente calculaos k-1 COMPROBACIÓN 252

Caso g.- Con los sguentes datos, calcular Rp y coprobar -n : CON LOS SIGUIENTES DATOS CALCULAR Rp: VPN= $55,000.00 Una tasa del 12% captalzable cada 18 días Se pactan 20 pagos fjos ensuales Fnalente se da un dferento de 4 eses. UTLIZAR INTERES ORDINARIO. COMPROBACIÓN 253

Ejerccos para resolver 1.- CON LOS SIGUIENTES DATOS CALCULAR Rp: VPN= $1 055,000.00 Una tasa del 22.5% captalzable cada 28 días Se pactan 50 pagos fjos ensuales Fnalente se da un dferento de 5 eses. UTILIZAR INTERES ORDINARIO. Coprobar con VPN,, -n 2.- CON LOS SIGUIENTES DATOS CALCULAR Rp: VPN= $127,500.00 Una tasa del 13.5% captalzable cada 16 días Se pactan 120 pagos fjos ensuales Fnalente se da un dferento de 2.5 eses. UTILIZAR INTERES EXACTO. Coprobar con VPN,, -n 3.- CON LOS SIGUIENTES DATOS CALCULAR Rp: VPN= $111,111.10 Una tasa del 5.55% captalzable cada 12 días Se pactan 70 pagos fjos ensuales Fnalente se da un dferento de 1.5 eses. UTILIZAR INTERES EXACTO. Coprobar con VPN,, -n 254

5.1.4.- GENERALES Entraos a una odaldad de anualdades que por sus característcas partculares, son utlzadas con enor frecuenca en la actvdad fnancera y coercal. Esto es, los pagos o abonos no concden con la captalzacón, de ahí que tengaos que calcular tasas equvalentes. Las característcas de este tpo de anualdades son: El plazo nca con la fra del conveno o apertura de cuenta de ahorros o nversón (en su caso) Las captalzacones no concden con el ntervalo de pago Se conoce desde la fra del conveno, las fechas de nco y térno del plazo de la anualdad Con estas consderacones, qué hacer entonces cuando la tasa que se nos otorga, no concde con la captalzacón? En el desarrollo de este tea, se dará respuesta a esta nterrogante: 5.1.4.1.- Varables que se utlzan en este apartado: VPN: Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos) VF ó M: Valor Futuro o Monto (de la sua de unos pagos o abonos) A ó Rp: Anualdad o Renta peródca (cuota unfore o anualdad) : Captalzacón (por su tpo de captalzacón, ensual, bestral etc., la tasa se dvde entre el tpo de captalzacón: ejeplo de ello s teneos una tasa nonal del 12% captalzable ensualente = (12%/12) n: Tepo : Tasa de Interés equvalente (la tasa que ntegra el factor de acuulacón o descuento (1 ) : RECUERDE: En la representacón /, se refere a la tasa nonal que se dvde entre el núero de eses dependendo la captalzacón. POR LO ANTERIOR El lector podrá encontrar ndstntaente la tasa en su fora ó en su fora /. 255

5.1.4.2.- Procedento: Para calcular el onto o valor futuro de una sere de pagos o abonos, el pago peródco, la tasa y el tepo, utlzareos las sguentes fórulas: Su onto: VF = Rp - n/ (1+ ) -1 - ó M = A - n/ (1+ ) -1 - Sguendo el so esquea que las anualdades ordnaras, recordareos que es uy probable que las tasas de nterés caben en el lapso del período, ante ello debeos realzar cálculos parcales utlzando tasas equvalentes para: VF 1, VF 2, VF n, confore caben las tasas, de acuerdo a la sguente notacón: Para una prera tasa: Para una sguente tasa: Y así sucesvaente VF = Rp 1 - -, n/ (1+ ) -1 n/ - (1+ ) -1 n/ 2 1 - VF =VF (1+ ) + Rp n/ - (1+ ) -1 n/ n 2 - VF =VF (1+ ) + Rp - - La Anualdad o Renta Peródca: Rp = VF - n/ (1+ ) -1 - M ó A= - n/ (1+ ) -1-256

Su valor presente: 1-(1+ ) VPN = Rp - - -n/ Se despeja Rp = VPN 1-(1+ ) - - -n/ Para calcular el tepo n VF = Rp Pasa dvdendo Rp - n/ (1+ ) -1 - - n/ (1+ ) -1 - - n/ (1+ ) -1 ó Rp =VF - VF = Rp - - n/ (1+ ) -1= * VF La / pasa ultplcando Y la undad pasa suando Rp / (1 n ) VF * 1 Rp Ahora aplcaos logartos / log((1 n ) ) log VF * 1 Y se despeja Rp - Log VF * +1 Rp n / = - Log(1+ ) así de sple 257

Para calcular el tepo -n en valor presente neto De la fórula 1 (1 ) VPN Rp 1 n / VPN * Rp / teneos que 1 (1 ) n Para despejar n/ / Así obteneos / NPV * n (1 ) 1 Rp * n NPV Log((1 ) ) Log(1 ) Rp Despejaos -n/, y ahora teneos la sguente expresón - NPV * Log(1- ) Rp -n / = - Log(1+ ) Para calcular la tasa de nterés equvalente En Valor Futuro o Monto Del onto n / (1 ) 1 VF Rp teneos que dvdendo al lado derecho n / (1 ) 1 VF Rp Rp n / (1 ) 1 VF Rp pasa Y para calcular, se hace al tanteo, equparando el factor resultante de: VF/Rp 258

En Valor Presente Neto Del valor presente Despejaos Rp / 1 (1 ) n VPN / 1 (1 ) n VPN Rp Y para calcular equvalente, se hace al tanteo, equparando el factor resultante de VPN/Rp En abos casos se sugere tener elaborada una tabla profora, con valores de tasas que van de 1.5% a 9.5% (0.015 a 0.095) La n se anpula coo varable nput La Î se anpula coo varable nput Estos son los factores, el cual se buscara equparar al resultado de VPN/Rp n / 1 (1 ) n Factor 6 0.015 0.91454219 5.69718716 0.025 0.86229687 5.50812536 0.035 0.81350064 5.32855302 0.045 0.76789574 5.15787248 0.055 0.72524583 4.99553030 0.065 0.68533412 4.84101355 0.075 0.64796152 4.69384642 0.085 0.61294509 4.55358717 0.095 0.58011659 4.41982537 al 0.0499 0.74664195 5.07731567 tanteo 259

5.1.4.3.- Ejerccos resueltos Resolvaos un ejercco de Anualdad general: Consderaos el caso de una persona que vende calzado por catálogo y por sus ventas se ha hecho acreedora a un ncentvo bestral de $250.00. A partr de este preo decde aperturar una cuenta de ahorro la cual le ofrece una tasa de nterés ensual del 1.5% captalzable ensualente, con la salvedad que debe ncreentar el saldo de la sa, con una cantdad slar al de apertura y con la frecuenca en que recbrá su ncentvo. Adeás no podrá retrar de su saldo vgente, cantdad alguna al enos durante el prer año. S dcha persona sgue al pe de la letra las nstruccones, ahora la pregunta es: Cuánto acuulará la vendedora de calzado al cabo de 3 años sguendo este esquea de ahorro? Utlzaos la fórula del onto de un conjunto de abonos (cuotas unfores): M (1 A ) n 1 Posteror a ello, consderar los sguentes aspectos: a.- En prer térno debeos dentfcar la tasa equvalente a la tasa captalzable que ofrece la cuenta de ahorros. S teneos una tasa ensual de 1.5% ensual con captalzacón gual, entonces debeos calcular una tasa bestral que sea equvalente. b.- Deternar el núero de depóstos que se realzarán en tres años. c.- Trazar una línea de tepo para vsualzar la frecuenca de los depóstos 260

Solucón: a.- Para deternar la tasa equvalente, toaos la expresón TE n / (1 ) 1 *100 *nota: el exponente n/, se utlza cuando teneos una tasa nonal, de ahí que sea necesaro dvdrla entre el tpo de captalzacón. Caso contraro, se hace el cálculo drecto, es decr, cuando nos dan la tasa captalzable, coo lo fue en este caso para este ejercco. Coo la tasa que se nos da, esta referencada ensualente, entonces ahora teneos que la tasa del 1.5% ensual, es equvalente a: 2 TE (1.015) 1 *100 TE 3.0225_ bestral De donde sale la tasa del 3.0225% bestral: 2 2*2 Del factor de acuulacón (1 ) n (1.015) (1.015) el _ últplo _ es _ 2 Para nuestro ejeplo tendríaos que: 250(1.015) 2 250[(1.015) 2 ] 2 250[(1.015) 2 3 ]... 250[(1.015) 2 ] n 2 Entonces: TE (1.015) 1 *100 3.0225 es la tasa bestral equvalente a la tasa del 1.5% ensual b.- S son ses bestres por año, entonces en tres años son 18 bestres (6*3), lo que es gual a 18 abonos o depóstos guales en la cuenta de nversón o ahorro. Cada depósto se ultplca por su factor de acuulacón y se eleva a la potenca según el tepo acuulado, sendo al fnal del últo depósto, el que no acuulará nterés alguno, ya que no devenga nngún nterés. 261

S veos la sguente expresón, el prer depósto no acuula nterés, hasta que se realza el sguente depósto que acuula un bestre de ntereses devengados y el segundo depósto ahora no genera nterés alguno y así sucesvaente. 2 4 250 250(1.015) 250(1.015) c.- La línea de tepo:...250(1.015) 2n 1er abono 1er Abono o depósto (Se deposta al fnal del bestre 1) 2º. Bestre 4º. 6º. 8º. 10º. Hasta el 18avo. Bestre 3er. Bestre 5º. 7º. 9º. 11º. Cuánto ahorro? Coo ya calculaos la Tasa Equvalente del 1.5% ensual a bestral (3.0225%), adeás sabeos que en tres años son 36 eses y s lo dvdos entre dos (por ser bestral) obteneos 18 bestres, que es lo so a decr, que en un año son 6 bestres y en tres serían 18. Ahora la solucón es: M = A - n/ (1+ ) -1 - (3*12)/ 2 (1.030225) -1 M = $250.00 0.030225 18 (1.030225) -1 M = $250.00 0.030225 (1.709139538)- 1 M = $250.00 0.030225.709139538 M = $250.00 0.030225 $250.00(23.46201945) M M $5,865. 50 Este es el onto que acuulará la vendedora de calzado, al cabo de 3 años sguendo el esquea de ahorro bajo el supuesto de anualdad ordnara vencda (solo para efectos de razonaento ateátco, ya que esto no es así en la vda real) 262

S fuera el so caso, pero ahora el esquea caba, los depóstos se realzan al nco de cada período. Entonces debeos asur que tene un coportaento de anualdad antcpada: La línea de tepo se representa de la sguente fora: 1er abono 1er Abono o depósto (Se deposta al nco de cada bestre. 1) 2º. Bestre 4º. 6º. 8º. 10º. Hasta el 18avo. Bestre 3er. Bestre 5º. 7º. 9º. 11º. Cuánto ahorro? La solucón es: De la fórula del onto de una anualdad antcpada general sabeos que: - M = A(1+ ) - n/ (1+ ) -1 - (1.70913954) 1 M 250.00(1.030225) 0.030225 (3*12)/ 2=18 (1.030225) -1 M = $250.00(1.030225) 0.030225.70913954 M = $250.00(1.030225) 0.030225 M = $250.00(1.030225)(23.46201945) M = $250.00(24.17115899) M $6,042. 79 Este es el onto que acuulará la vendedora de calzado, al cabo de 3 años sguendo el esquea de ahorro con depóstos antcpados. Ahora realceos algunas coprobacones, tan solo para corroborar el resultado: 263

Coprobacón: Con los datos de la Anualdad Antcpada realzar el cálculo de A, y n Para conocer A : De: A= M = A(1+ ) - (1+ ) M - - n/ (1+ ) -1 - - n/ (1+ ) -1 - despejaos A y obteneos: $6, 042.79 A= (3*12)/ 2=18 (1.030225) -1 (1.030225) 0.030225 $6, 042.79 A (1.70913954) 1 (1.030225) 0.030225 $6, 042.79 A= (1.030225)(23.46201945) $6, 042.79 A=.70913954 (1.030225) 0.030225 $6, 042.79 A= $250.00 (24.17115899) Para conocer equvalente : Del onto VF Rp(1 ) n / (1 ) 1 teneos que Rp pasa dvdendo al lado derecho n / (1 ) 1 (1 ) VF Rp n / (1 ) 1 Rp(1 ) VF (1 ) n / (1 ) 1 $6,042.79 $250.00 El factor es: 24.17116 Y para calcular, se hace al tanteo, equparando el factor resultante de: VF/Rp 264

En una tabla en Excel se calcula al tanteo y se obtene el sguente resultado: n n (1 ) 1 (1 ) MENU 18 Notas: 0.01 1.19614748 19.81089504 Solo utlzar las celdas aarllas 21.84055863 0.02 1.42824625 0.03 1.70243306 0.04 2.02581652 0.05 2.40661923 0.06 2.85433915 0.07 3.37993228 0.08 3.99601950 0.09 4.71712042 al tanteo 0.030225 1.70913954 n (1 ) 1 S R(1 ) 24.11686844 26.67122940 29.53900391 32.75999170 36.37896479 40.44626324 45.01845839 24.17115900 n (1 ) 1 (1 ) S R S $ 6,042.79 24.1712 R $ 250.00 TASA 0.0302 24.171159 La tasa equvalente Para conocer n : De la fórula TE - Log VF * +1 Rp n / = - Log(1+ ) 2 (1 0.015) 1 *100 2 TE (1 0.015) 1 *100 TE 3.0225%, obteneos: - - Log $6,042.79 *.030225 +1 $250.00 Log 24.17116*.030225 +1 n / = n / = Log(1.030225) Log(1.030225) Log 0.730573311 +1 Log1.730573311 0.548452747 n / = n / = 18.41853118 Log(1.030225) Log 1.030225 0.029777225 log Base 10 1.73057331 0.23819 1.030225 0.01293208 18.4185312 265

Cuando se tene que toar una decsón ante dferentes escenaros Ejercco: Supongaos que para cubrr el porte del seguro de su flaante Mercedes, una ejecutva de portante epresa refresquera, se encuentra ante la dsyuntva sguente: a.- Pagar por adelantado el seguro de su auto, esto es, de contado debe cubrr la cantdad de $17,430.00 b.- Toar la opcón de lqudarlo en pagos antcpados seestrales o trestrales, asuendo un gravaen fnancero del 2.5% ensual para el prer esquea y del 1.15% ensual para el otro esquea. La pregunta es: Cuándo debe pagar esta bella ejecutva, en cada uno de los escenaros planteados? La solucón es: De la fórula del onto de una anualdad antcpada general sabeos que: - M = A(1+ ) - n (1+ ) -1 Para conocer el valor de cada pago, ahora se susttuye A (abono-anualdad) por Rp (pago peródco), y se odfca el factor de - n (1+ ) -1 - - Por (1+ ) 1- - - -n expresón de nco., resultando: - 1-(1+ ) M = Rp(1+ ) - - -n esta es la 266

Para el desarrollo del ejercco, prero teneos que convertr las tasas de referenca, en sus tasas equvalentes de acuerdo al período de captalzacón: Tasa de referenca Procedento Resultado: tasa equvalente 2.5% ensual para el plan seestral 1.15% ensual para el plan trestral (1.025) 6 1 * 100 TE 15.969% (1.0115) 3 1 * 100 TE 3.4898% Escenaro b.- Pagos seestrales 1 (1.15969) $17,430.00 Rp (1.15969) 0.15969 2 1 (0.74356027) $17,430.00 Rp(1.15969) 0.15969 0.25643973 $ 17,430.00 Rp(1.15969) 0.15969 $17,430.00 Rp(1.15969)(1.605859666) $17, 430.00 Rp(1.862299396) Escenaro b.- Pagos trestrales $17, 430.00 Rp Rp $9,359. 59 1.86225954 4 1 (1.034898) 1 (0.87178584) $17,430.00 Rp (1.034898) $17, 430.00 Rp(1.034898) 0.034898 0.034898 0.12821416 $ 17,430.00 Rp(1.034898) $17,430.00 Rp(1.034898)(3.673968709) 0.034898 $17, 430.00 Rp(3.802182869) $17, 430.00 Rp Rp $4,584. 21 3.8021829 Resuen: Contado $17,430.00 Escenaro b: 2 pagos seestrales $18,719.18 antcpados de $9,359.59 Escenaro b: 4 pagos trestrales $18,336.84 antcpados de $4,584.21 S la ejecutva nverte los $17,430.00 los preros tres eses y luego a los 6 eses consderando una tasa ntereda del 1.5% ensual 267

S P( 1 ) n S $17, 430.00(1.015) 3 S $17, 430.00(1.045678) $18, 226.17 S P( 1 ) n Que le convendría a la ejecutva: 6 S $17,430.00(1.015) S $17, 430.00(1.093443) $19, 058.72 Pagar de contado?, Invertrlo los preros 3 o 6 eses? Ejeplo: El porte de lo que pagaría de contado en caso de que lo tuvera dsponble, nvertdo a 6 eses le podría generar un onto de: Escenaro b: 2 pagos seestrales $19,058.72 -$9,359.59 antcpados de $9,359.59 Le restan $9,699.13 Esa sa cantdad la nverte otros 6 eses y cubre el segundo pago y adeás le queda alguna utldad. S $9,699.13(1.015) 6 Dferenca superavtara descontando el pago que falta cubrr $10,605.45 $906.32 Así pueden segur los cálculos y toar la ejor decsón, aunque debera ejor vender ese carro no lo cree usted? 268

Ahora fnalzareos este tea, con la coprobacón de la tasa. Para ello utlzareos los sos datos De la opcón b: con el esquea de pagos seestrales el porte de cada pago es de $9,359.59 y un valor neto de $17,430.00 que representa el porte del seguro, la pregunta es ahora: Qué tasa ensual le fue cargada en su adeudo? De la fórula del Monto M Rp( 1 1 (1 ) ) n Se transfora en VPN y cabaos la fórula a: VPN Entonces ahora teneos que: Rp( 1 Rp( 1 1 (1 ) 1 (1 ) ) n ) n VPN Pasa dvdendo el pago peródco (Rp) al lado derecho ( 1 1 (1 ) n ) VPN Rp n 1 (1 ) ( 1 ) 1.86226106 n 1 (1 ) (1 ) $17, 430.00 $9,359.59 269

Ahora recurros a una tabla en Excel que prevaente habreos dseñado, para ensayar con dferentes valores: ANUALIDAD GENERAL ( Modo Antcpado) Calcular en Valor presente 1 (1 ) (1 ) / n VPN Rp MENU n 2 Notas: 0.01 0.980296 1.9900990099 Solo utlzar las celdas aarllas 1.9803921569 0.02 0.961169 0.03 0.942596 0.04 0.924556 0.05 0.907029 0.06 0.889996 0.07 0.873439 0.08 0.857339 0.09 0.841680 al tanteo 0.15969 0.743560 1.9708737864 1.9615384615 1.9523809524 1.9433962264 1.9345794393 1.9259259259 1.9174311927 1.8622994076 1 (1 ) NPV R(1 ) n NPV 1 (1 ) (1 ) R n 1 (1 ) (1 ) n NPV R NPV R $ 17,430.00 1.862261061 $ 9,359.59 TASA 0.1597 1.862299408 Tasa de referenca Procedento Resultado: tasa equvalente 2.5% ensual para el plan seestral (1.025) 6 1 * 100 TE 15.969% La coprobacón es: 1/6 1/6 Elevando abos lados a 1/6 (1 ) (1.15969) obteneos: 1.024999496 que es lo so a 2.5% 270

VF FORMULARIOS PARA EL CÁLCULO DE LAS ANUALIDADES: VF Valor Futuro VF Anualdades Ordnaras (pagos vencdos) n ( 1 ) 1 Rp / Tepo en VF Log VF * Rp n Log(1 ) Valor de la cuota Peródca en VF VF Rp (1 ) / n 1 Valor Presente VPN 1 (1 ) VPN Rp / Valor de la cuota Peródca en VPN VPN Rp 1 (1 ) / (1 ) / Tasa en VF n 1 VF Tepo en VPN 1 NPV * ) n Log(1 ( ) Rp n Log(1 ) n 1 (1 ) / Tasa en VPN n VPN Anualdades Antcpadas (pagos al nco del perodo) Valor Futuro VF n (1 ) 1 Rp(1 / ) / Tepo en VF n Log (1 / )(1 ) Valor de la cuota Peródca en VF VF Rp n (1 ) 1 (1 / ) / ( 1 Rp Log VF * / 1 Rp Tasa en VF Rp n (1 ) 1 ) VF / Rp 271

Valor Presente VPN 1 (1 ) VPN Rp(1 / ) / n n Tepo en VPN NPV * ) Log(1 ( ) Rp Log(1 )(1 ) Valor de la cuota Peródca en VPN VPN Rp 1 (1 ) (1 / ) / n ( 1 Tasa en VPN 1 (1 ) ) / n VPN Rp Nota: Para calcular el VF, en una prera tasa VF n (1 ) Rp(1 / ) / 1 Después VF 2 VF1(1 ) n n (1 ) Rp(1 / ) / 1 Y así sucesvaente VF n VF2(1 ) n n (1 ) Rp(1 / ) / 1 Contnúa 272

Anualdades Dferdas (pagos con dferento del tepo) VF = Rp Valor Futuro VF / n (1+ ) -1 n Log Tepo en VF M * / A Log(1 ) 1 Rp Valor de la cuota Peródca en VF VF n (1 ) 1 / (1 ) / Tasa en VF n 1 M A Valor Presente VPN VPN Rp Rp 1 (1 (1 Valor de la cuota Peródca en VPN ) ) VPN 1 (1 ) (1 ) n k1 n k 1 n Tepo en VPN VPN *( )(1 Log(1 Rp Log(1 ) 1 (1 (1 Tasa en VPN ) ) n k1 ) k1 VPN Rp Contnúa. 273

Anualdades Generales (se utlzan tasas equvalentes) Valor Futuro VF n (1 ) 1 VF Rp Valor de la cuota Peródca en VF VF Rp n (1 ) 1 Valor Presente VPN 1 (1 ) VPN Rp Valor de la cuota Peródca en VPN VPN Rp 1 (1 ) n n n Tepo en VF Log VF * Rp Log(1 ) Tasa en VF n (1 ) 1 Tepo en VPN 1 VF Rp NPV * ) Log( 1( ) Rp n Log( 1 ) 1 (1 Tasa en VPN ) n VPN Rp 274

5.1.5.- A anera de repaso general ANUALIDADES ORDINARIAS O VENCIDAS Problea 1: Al otro día en la escuela... 275

Susttuyendo la Fórula: Para realzar estos cálculos utlzareos la sguente fórula Vf 1 n (1 ) 1 Rp Contando con los sguentes Datos: VF1 =? RP=2,000 =9% anual (.09/12=0.0075) n=(8años)*(12 eses)=96 eses Con estos cálculos podeos conocer el Valor Futuro, sn ebargo podeos realzar todos los despejes para confrar que estaos ben en nuestras operacones realzadas. Más tarde, en casa de Rose... 276

Para calcular la Renta Peródca utlzareos esta fórula: Susttuyendo la Fórula: Rp Vf n (1 ) 1 Contando con los sguentes Datos: VF1 =$279,712.3275 RP=? =9% anual n=(8años)*(12 eses)=96 eses Dan, taben despejara "n" para conocer el núero de plazos en que pagará Juanto. Para calcular el núero de perodos de la Anualdad Futura, utlzaras la sguente fórula: Susttuyendo la Fórula: Log ( Vf / Rp)* 1 n Log(1 ) Contando con los sguentes Datos: V F1 =$279,712.3275 R P=2,000 =9% anual n=? 277

Y por últo para calcular la Tasa de Interés, Dan le explcará a Rose que exste una novedosa fora de calcularla por un étodo llaado "Al tanteo". Por últo podeos calcular la tasa de Interés al tanteo de la sguente fora: n (1 ) 1 Vf Rp Contando con los sguentes Datos: V F1 =$279,712.3275 R P=$2,000.00 Prero =? se debe calcular el Factor: n= (8años)*(12 eses)=96 eses n FACTOR 96 0.01 61.52770299 0.02 42.52943386 0.03 31.38121934 0.04 24.42091884 0.05 19.8151339 0.06 16.60465325 0.07 14.2641339 0.08 12.49226911 0.09 11.10827441 Al tanteo 0.0075 139.8561638 278

Juanto va a lqudar su deuda con pagos de $2,000.00 ensuales en un plazo de 8 años con una tasa de nterés anual del 9%. Él desea conocer el valor presente de los pagos, esto es, el valor presente de la anualdad. 1 (1 ) n VPN Rp Contando con los sguentes Datos: VPN =? RP=$2,000.00 =9% anual (.09/12=0.0075) n=(8años)*(12 eses)=96 eses 279

Para calcular la Renta Peródca utlzareos esta fórula: Rp VPN 1 (1 ) n Contando Susttureos con los Valores sguentes y Datos: calculareos el resultado VPN = RP=? =9% anual n=(8años)*(12 eses)=96 eses $2,000.00 Para calcular el Núero de Plazos, se utlzará la sguente notacón. Para calcular el núero de perodos de la Anualdad: Susttuyendo la Fórula: Contando con los sguentes Datos: VPN = RP=2,000 =9% anual n=? 280

Tasa de Interés al Tanteo FACTOR RESULTANTE: La tasa de Interés al tanteo se calcula con una tabla profora y un factor resultante. n factor 96 0.01 0.38472297 61.52770299 0.02 0.149411323 42.52943386 0.03 0.05856342 31.38121934 0.04 0.023163246 24.42091884 0.05 0.009243305 19.8151339 0.06 0.003720805 16.60465325 0.07 0.001510627 14.2641339 0.08 0.000618471 12.49226911 0.09 0.000255303 11.10827441 AL TANTEO 0.0075 0.488061711 68.25843856 281

Problea 2: Para calcular la Renta Peródca utlzareos esta fórula: Susttureos Valores y calculareos el resultado Contando con los sguentes Datos: VPN = RP=? =18% anual n=(12años)*(12 eses)=144 eses La Sra. Agular recbrá $11,044.28 cada es, durante 12 años, en lugar de $650,000 al contado. $11,044.27691 282

Problea 3: Para realzar estos cálculos utlzareos la fórula de valor presente la cual es: Es una anualdad sple, certa, vencda e nedata: Es sple, porque la produccón es anual y la tasa de nterés es anual, es certa porque se conoce su duracón o tepo de explotacón, es vencda porque se consdera que la produccón se deterna al fnal de cada año, y es nedata, porque la prera produccón se recbrá en el prer perodo de explotacón. Se cuenta con los sguentes Datos: VPN =? RP= $750,000.00 (Produccón anual o renta) =11% anual (tasa de nterés por año o perodo de explotacón) n= 7 años (Tepo de explotacón de la na) Solo es un ejeplo para razonar las fórulas adeás, debeos entender que su captalzacón es anual El valor actual de la produccón de la na en los 7 años de explotacón es de: 283

Para calcular la Rp utlzareos esta fórula: Susttuyendo los datos en la fórula: Contando con los sguentes Datos: VPN = R P=? =11% anual n= 7 años $750,000.00 284

Susttuyendo la Forula: Para calcular el núero de perodos de la Anualdad se debe utlzar la sguente fórula: Contando con los sguentes Datos: VPN == R P= $750,000.00 =11% anual n=? FACTOR RESULTANTE: La tasa de Interés se calcula al tanteo con una tabla profora y un factor resultante. Mostrado en la Tabla Anexa. 1 (1 ) n n factor 7 0.01 0.932718055 6.728194529 0.02 0.870560179 6.471991069 0.03 0.813091511 6.230282955 0.04 0.759917813 6.00205467 0.05 0.71068133 5.786373397 0.06 0.665057114 5.58238144 0.07 0.622749742 5.389289402 0.08 0.583490395 5.206370059 0.09 0.547034245 5.032952835 AL TANTEO 0.11 0.481658411 4.712196265 285

Susttuyendo los datos en la fórula: Para calcular el valor futuro de la produccón se debe ocupar la sguente fórula: Contando con los sguentes Datos: VF1 =? RP=$750,000.00 =11% anual n=7 años Susttuyendo la Fórula: Al despejar la fórula orgnal para calcular la Renta Peródca queda de la sguente fora: Contando con los sguentes Datos: VF1 = RP=? =11% anual n=7 años 286

Susttuyendo la Fórula: Para calcular el núero de perodos de la Anualdad Futura se utlzara: Contando con los sguentes Datos: V F1 == RP= $750,000.00 =11% anual n=? Para calcular la tasa de Interés al tanteo se utlza la sguente fórula: Prero se debe sacar el Factor: Contando con los sguentes Datos: VF1 =$ RP=$750,000.00 =? n=7 años 287 Mostrado en la Tabla Anexa. n 0.01 7.213535211 7 0.02 7.434283382 0.03 7.662462181 0.04 7.898294481 0.05 8.142008453 0.06 8.39383765 0.07 8.654021093 0.08 8.92280336 0.09 9.200434676 al tanteo 0.11 9.783274117 n (1 ) 1

Problea 4: En una tarde de dcebre, cercana a Navdad Alfredo entras descansaba pensaba en qué hacer con su agunaldo. A día sguente Alfredo, coenzó a hacer cálculos, él quería lqudar su Autoóvl. 288

Recaptuleos, el plazo del crédto del Autoóvl es de 18 eses, con una tasa de nterés del 4% ensual, y la ensualdad es de $10,000.00. Para realzar el cálculo debeos traer a valor presente la deuda. Esto lo hareos con la fórula de VPN de una anualdad vencda Fórula para el Valor presente de una Anualdad Ordnara o Vencda es: DATOS: VPN =? RP=$10,000.00 =4% ensual n=18 eses Susttuyendo los valores conocdos en la fórula, se obtene: 289

S hoy qusera lqudar la deuda y no esperar el plazo de los 18 eses, el pago a realzar sería de $126,592.97 Realzareos una coprobacón. Realzando 2 despejes: Anualdad o Renta Peródca Fórula orgnal Tepo n en valor futuro Fórula orgnal Al despejar: Al despejar: En donde : VPN=$126,592.97 R p=? =4% ensual n=18 eses En donde : VPN=$126,592.97 R p=$10,000.00 =4% ensual n=? 10,000.00 290

ANUALIDADES ANTICIPADAS Problea 1: Valor Futuro en Anualdades Antcpadas... Identfcando los datos y la fórula, procedereos a la susttucón y resolucón del problea. Contando con los sguentes Datos: VF=? RP=$1,000.00 =2% ensual n=6 291

Ahora realzareos los despejes correspondentes... Calculo de la Renta Peródca: Identfcareos que la fórula a utlzar será la sguente: Consderando los sguentes Datos: Rp=? =2% ensual n=6 eses 999.9999916=$1,000.00 Calculo de la "n" (Núero de plazos): Para calcular el núero de depóstos que tene que hacer utlzareos esta fórula: S susttuos los valores, nos quedarían los datos de la sguente anera: Rp=$1,000.00 =2% ensual n=? Ver págna 198 1.12868567 10 0.05257301 1.0204 10 0.00877045 5.99433441 292

Calculo de la Tasa de Interés: Y s quseras conocer cuál es la tasa ensual que paga el banco, entonces desarrollaríaos esta fórula: Para localzar el factor resultante de Vf/Rp, se calcula al tanteo con una tabla profora: 293

Problea 2: Utlzareos la sguente fórula: En donde: VPN= RP=? =11.55%anual (.1155/3=0.0385) n=20 45,445.37982 294

Problea 3: Iván acaba de coprar un autoóvl a crédto edante 48 abonos antcpados de $4,800.00. S la tasa de nterés es del 16% captalzable cada es, Cuál es el valor de contado del autoóvl? 295

El valor de contado del autoóvl es el valor presente de los abonos ensuales antcpados, por tanto: Susttuyendo los datos en la fórula quedara de la sguente anera: Se pueden dentfcar los datos: VPN=? Rp= $4,800.00 =16%=0.16 captalzable cada es (.16/12=0.0133333) n= 48 abonos Para calcular la anualdad o Renta Peródca se utlza la sguente fórula: Susttuyendo los datos en la fórula: Se pueden dentfcar los datos: VPN=$171,628.51 Rp=? =16%=0.16 captalzable cada es (.16/12=0.0133333) n= 48 abonos 296

Y ahora, cóo podeos calcular la tasa de nterés? La tasa de Interés se calcula al tanteo con una tabla profora y un factor resultante de dvdr VPN/Rp. FACTOR RESULTANTE: Mostrado en la Tabla Anexa. n factor 1 factor 2 n 1 (1 ) (1 ) 48 0.01 1.01 0.620260405 37.97395949 38.353699088 0.02 1.02 0.386537609 30.67311957 31.286581963 0.03 1.03 0.241998801 25.26670664 26.024707834 0.04 1.04 0.152194765 21.19513088 22.042936117 0.05 1.05 0.096142109 18.07715782 18.981015711 0.06 1.06 0.060998403 15.65002661 16.589028208 0.07 1.07 0.03886679 13.73047443 14.691607642 0.08 1.08 0.024869081 12.18913649 13.164267407 0.09 1.09 0.015978209 10.93357546 11.917597246 AL TANTEO 0.013333 1.013333333 0.5295271353 35.28546573 35.755938599 297

Para calcular el valor futuro del autoóvl se debe ocupar la sguente fórula: Susttuyendo los datos en la fórula: Se pueden dentfcar los datos: VF1=? Rp=$4,800.00 =16%=0.16/12=0.013333333 captalzable cada es n=48 abonos Susttuyendo la Forula: Al despejar de la fórula orgnal para calcular la Renta Peródca queda de la sguente fora: Se pueden dentfcar los datos: VF1 Rp=? =16%=0.16/12=0.013333333 captalzable cada es n=48 abonos 298

Para calcular la tasa de Interés al tanteo se utlza la sguente fórula: Prero se debe calcular el Factor: Los datos son: VF1 Rp=$4,800.00 =? n=48 abonos Tabla en Excel n factor 1 factor 2 1 1 / (1 / ) n 48 0.01 1.01 1.612226078 61.22260777 61.834833846 0.02 1.02 2.587070385 79.35351927 80.940589660 0.03 1.03 4.132251879 104.40839598 107.540647855 0.04 1.04 6.570528242 139.26320604 144.833734286 0.05 1.05 10.40126965 188.02539294 197.426662586 0.06 1.06 16.39387173 256.56452882 271.958400550 0.07 1.07 25.72890651 353.27009300 377.998999507 0.08 1.08 40.21057314 490.13216428 529.342737422 0.09 1.09 62.585237 684.28041107 745.865648072 AL TANTEO 0.013333333 1.013333333 1.888477348 66.63580274 67.524280088 299

Problea 4: Don Pedro, saló coo todas las añanas a hacer su recorrdo por la playa, y ahí se encontró a Juanto, un Joven que conoce desde pequeño. 300

Ya que encontró Don Pedro al Contador Martín, le coento sus dudas y él le explco Utlzareos la fórula de Valor Presente de una Anualdad Antcpada, para obtener el onto de la deuda al día de hoy. La Fórula es: DATOS: VPN =? R P=$8,950.00 =7% ensual n=12 eses 301

Susttuyendo los valores conocdos en la fórula, se obtene: S usted desea lqudar esta deuda, deberá pagar $76,063.1353, que es el porte del Valor Presente de la deuda sn consderar los ntereses que aún no se devengan. Coprobareos este resultado, despejando de la fórula de Valor Presente Neto, la varable Rp relatvas al pago ensual. 302

Anualdad o Renta Peródca Fórula orgnal Al despejar: En donde : VPN=$76,063.13532 R p=? =7% ensual n=12 eses 8,950.00 303

ANUALIDADES DIFERIDAS Problea 1: Identfcaos que el problea planteado es Valor Presente de Anualdad Dferda Epezareos por dentfcar los datos que teneos y la forula que utlzareos: VPN Rp= 1-(1+/) -n (1+/) k-1 304

Susttureos los datos en la fórula: Rp $8,320.00 1 (1.1176 / 12).1176 (1.1176 / 12) 12 12 Y los datos que nos arroja la stuacón planteada: n = 12 ensualdades k= 3 eses VPN = $8,320.00 = 11.76% Rp =? 31 $8,320 Rp 1 (1.0098).0098(1.0098) 12 $8,320 Rp.110439267.009993021192 $8,320 Rp 11.05163943 Rp $752.8295 2 Valor Presente Neto: Para calcular el valor presente utlzareos 1 (1 / ) VPN Rp / 1 / n k1 12 1 (1.1176 /12) VPN 752.8295.1176 /12 1.1176 /12 1 (1.0098) VPN 752.8295.0098 1.0098 12 2 31 1.889560732 VPN 752.8295.0098 1.01969604 DATOS: n = 12 ensualdades k= 3 eses VPN =? = 11.76% Rp =$752.895.110439268 VPN 752.8295.009993021192 VPN 752.8295(11.05163953) VPN $8,320.00 305

Valor de "n" (núero de perodos): Para calcular "n" e valor presente... DATOS: n =? k= 3 eses VPN = 8,320.00 = 11.76% (.1176/12=0.0098) Rp =752.8295 Coprobacón log base 10 0.88957034 10-0.0508197 1.0098 10 0.00423537-11.9988922 306

Problea 2: Para calcular "n" utlzareos la sguente fórula: El enganche es de $40,000 y el saldo a fnancar es de $360,000. DATOS: n =? VPN =$360,000.00 = 1.75% ensual Rp =$7,000.00 Logarto natural o base dez, es el so resultado log base 10 0.06822439 10-1.16606031 1.0175 10 0.00753442-154.764486 307

Problea 3: El señor Roero le ha proetdo a su hjo que dentro de 6 años que terne su carrera, el recbría $120,000.00 S la tasa de nterés es del 18% nonal y la captalzacón es anual, y el lapso de tepo es de tres años: Cuánto tendrá que depostar el día de hoy el señor Roero para lograr cuplr la proesa que le hzo a su hjo? 308

Para calcular el valor presente en una anualdad dferda se ocupa la sguente fórula: Susttuyendo los datos en la fórula: 1 (1 / ) VPN Rp / 1 / n k1 En donde: n = 3 años k= 6 años VPN =? =18 % anual captalzable anualente Rp =$120,000.00 309

Para calcular la Renta Peródca o ensualdad se ocupa la sguente fórula, la cual se despejo de la fórula orgnal: Susttuyendo los datos en la fórula: VPN Rp= 1-(1+/) -n (1+/) k-1 Los datos que nos arroja la stuacón planteada: n = 3 años k= 6 años VPN = =18 % anual Rp =? Para calcular el valor de n que es perodo o plazo se utlza la sguente fórula: Los datos que nos arroja la stuacón planteada: n =? k= 6 años VPN = =18 % anual Rp =$120,000.00 310

Para calcular la tasa de nterés se hace por edo del étodo al tanteo, la cual se realza de la sguente anera Se calcula el factor dvdendo VPN/Rp: n factor 1 factor 2 3 0.01 0.029409852 0.01051 0.02 0.057677665 0.02208 0.03 0.084858341 0.03478 K 0.04 0.111003641 0.04867 6 0.05 0.136162401 0.06381 0.06 0.160380717 0.08029 0.07 0.183702123 0.09818 0.08 0.206167759 0.11755 0.09 0.22781652 0.13848 AL TANTEO 0.18 0.391369127 0.41180 1 (1 / ) k 1 / 1 / n 2.79825 2.61202 2.43999 2.28092 2.13374 1.99743 1.87110 1.75393 1.64517 0.95039 311

La fórula que utlzaos cuando se desea calcular el valor futuro es: Susttuyendo los datos en la fórula queda: (1 / ) n M A 1 / Conocendo los sguentes datos: n = 3 años k= 6 años (aquí no aplca el dferento, por eso se utlza la fórula de la anualdad ordnara) Vf =? = 18% anual A=$120,000.00 Para calcular el valor de la tasa de nterés se utlza el étodo al tanteo, lo prero que hay que hacer es sacar el factor que se va a buscar en la tabla del étodo al tanteo, para calcular el factor se hace de la sguente anera: Calculo del factor: n n (1 / ) 1 / 3 0.01 3.0301 0.02 3.0604 0.03 3.0909 0.04 3.1216 0.05 3.1525 0.06 3.1836 0.07 3.2149 0.08 3.2464 0.09 3.2781 AL TANTEO 0.18 3.5724 312

Problea 4: En la bbloteca de la escuela, Jorge estaba buscando un lbro de anualdades.. y aquí la hstora 313

La fórula que utlzaos cuando se desea calcular el valor futuro es: M (1 / ) n A 1 / DATOS: n =2.5años = 30 ensualdades k= 3 eses (para calcular el VF en anualdad dferda, no afecta el dferento del plazo, utlzaos el forato de anualdad ordnara) Vf =? = 29% cap. ensual A=$7,800.00 Susttuyendo los valores: 30 (1.29/12) 1 M 7,800.29/12 30 (1.024166666) 1 M 7,800.024166666 1.047005911 M 7,800.024166666 M 7,800(43.32438371) M $337,930.1929 314

En donde : COMPROBACION: Anualdad o Renta Peródca Realzareos un despeje para coprobar los datos: Fórula orgnal (1 / ) n M A 1 / n = 30 ensualdades Vf = $337,930.1929 = 29% cap. ensual Rp=$7,800.00 Al despejar: 315

ANUALIDADES GENERALES Problea 1: NOTA: El perodo de pago es quncenal, en tanto que el perodo de captalzacón es ensual, por lo que se requere calcular una tasa equvalente quncenal. S la tasa orgnal es del 16% nonal captalzable ensualente, preraente se sugere calcular la tasa efectva y luego dentfcar una tasa equvalente cuyo perodo de captalzacón sea quncenal, con el fn de que concda con el perodo de pago. Prero ncareos calculando la Tasa Efectva del 16% Susttuyendo valores: Anual captalzable cada quncena. La tasa efectva del 17.227 anual entre 24 quncenas nos daría 0.007177917*100=0.717791667% Una vez obtenda la tasa equvalente el problea deja de ser una anualdad general para convertrse en una anualdad sple vencda. 316

Ahora lo desarrollareos coo una Anualdad Sple Vencda Obteneos el Valor Futuro o Monto: Colocaos los Datos: M=? A=$2,500.00 =0.007177917 quncenal n=36 eses =72 quncenas Ahora calculareos el Valor presente neto del conjunto de cuotas peródcas, a partr de esta fórula: Colocaos los Datos: VPN=? Rp=$2,500.00 = n=36 eses=72 quncenas 317

Problea 2: Prero ncareos calculando la Tasa Equvalente: Susttuyendo valores: n TE (1 ) 1 *100 0.138799 12 TE (1 ) 1 *100 12 12 TE (1.011566583) 1 *100 TE (1.147978326) 1 *100 14.79783255% La tasa quncenal sería entonces la sguente :.1479783255 e ( *15 0.006165764 0.616576356% 360 Una vez obtenda la tasa equvalente el problea deja de ser una anualdad general para convertrse en una anualdad antcpada sple. 318

De la forula para calcular el núero de depóstos que tene que realzar, en ordnara vencda teneos que: Ln VF / Rp * / 1 n Ln(1 / ) En antcpada Ln VF / Rp *( / )(1 / ) 1 n Ln(1 / ) S susttuos los valores, nos quedarían los datos de esta anera: Rp=425.00 =0.6165764% quncenal, en decal es: 0.006165764 n=? Ln VF / Rp * / 1 n Ln(1 / ) Ln $10,800.00 / $425.00 * 0.006165764 1 n Ln(1.006165764) Ln 25.41176471 * 0.006165764 1 n Ln(1.006165764) Ln 1.156682944 0.145556378 n 23.67989792 Ln (1.006165764) 0.006146833 Coprobacón n (1 / ) 1 VF Rp1 ( / ) 23.67989792 (1.006165764) 1 Vf $425.00 0.006165764.156682957 Vf $425.00 0.006165764 Vf $425.00 25.41176681 Vf $10,800.00 Anualdad Antcpada Ln VF / Rp *( / )(1 / ) 1 n Ln(1 / ) Ln $10,800.00 / $425.00 *(0.006165764)(1.006165764) 1 n Ln(1.006165764) Ln 25.41176471 *0.006203781 1 n Ln(1.006165764) Ln 1.157649023 0.146391244 n 23.81571844 Ln (1.006165764) 0.006146833 23.81572892 (1.006165764) 1 VF Rp1(1.006165764) (0.006165764) (1.15764911) 1 Vf $425.00(1.006165764) 0.006165764 Vf $425.00(1.006165764) 25.56846317 Vf $425.00 25.72611228 Vf $10,933.59 Hay un ajuste en la antcpada, ya que genera nterés a partr del prer día 319

Problea 3: Glora es una gran vendedora de cosetcos por catalogo, por lo cual su jefe a toando en consderacón su desepeño y ha decddo otorgarle a glora un ncentvo bestral de $750.00. A partr de esto Glora ha toado la decsón de abrr su propa cuenta de ahorros, en la cual le ofrecen una tasa de nterés del 3% ensual captalzable ensualente, ella esta conscente que debe ncreentar el saldo de la sa, con una cantdad slar a la que depostó ncalente, sabe que no podra retrar nada de su dnero de esa cuenta al enos durante el prer año, entoces, Cuánto acuulará Glora al cabo de 5 años sguendo este esquea de ahorro? 320

Prero lo que debeos hacer es dentfcar la tasa equvalente a la tasa captalzable que ofrece la cuenta de ahorros, esto quere decr, por ejeplo en el ejercco nos dan una tasa ensual de 3% ensual con captalzacón gual, entonces debeos calcular una tasa bestral que sea equvalente. Para ello toaos la sguente fórula: Entonces:, es la tasa bestral equvalente a la tasa del 3% ensual. 6.09 bestral Ahora para poder calcular el onto que tendrá glora dentro de 3 años se ocupa la sguente fórula: Susttuyendo los datos en la fórula: Se cuenta con estos datos: M=? A=$750.00 (depóstos bestrales) =1.0609 es la tasa equvalente n= 5 años= 12+5/2=30 eses 321

Para coprobar que el resultado sea correcto, se sugere realzar algunos despejes: Las otras varables deben concdr con los proporconados orgnalente en el ejercco. Así que, calculareos al enos Rp y n TABLA DE DESPEJES Anualdad o Renta Peródca Rp Tepo n en valor futuro En donde : M= A=? =1.0609 n=30 eses En donde : M= A=$750.00 =1.0609 n=? $749.9991745= $750.00 log base 10 5.89159772 10 0.77023309 1.0609 10 0.02567445 29.9999845 322