CUESTIONARIO TEÓRICO / 2007-2008 Conjunto de números. Métodos de demostración 1. a) Qué quiere decir que un número natural sea divisible por otro?. Escribe simbólicamente dicha definición. b) Enuncia y demuestra la regla de divisibilidad del 3. Idem para el 2, para el 5 y para el 11. 2. Define los conceptos: número primo, número compuesto, números primos entre sí. Da ejemplos de algún número que no sea ni primo ni compuesto y de dos números que no siendo primos, sí sean primos entre sí. 3. Cómo se clasifican los números decimales? Qué se entiende por fracción generatriz de un número decimal? Conoces alguna forma para calcular la fracción generatriz de un número decimal periódico? Y de uno que admita un número finito de decimales? Todos los números decimales son racionales? 4. Qué se entiende por máximo común divisor de dos números? Qué se entiende por mínimo común múltiplo de dos números? Cómo se calculan en la práctica? Enuncia algunas propiedades de los mismos y justifícalas con un ejemplo. 5. Define la relación de divisibilidad en el conjunto de los números enteros. Define los conceptos de número primo y de número compuesto en el conjunto de los números enteros. 6. Representa 10 y demuestra que es un número irracional. Idem para 2, 3, 5, 7 7. Demuestra o refuta la afirmación: Si un número es divisible por 2 y por 6, entonces también es divisible por 12. Qué reglas de divisibilidad se aplican para averiguar si un número es divisible por otro que sea compuesto? Los números reales. Expresiones algebraicas 8. Define los intervalos de extremos finitos en el conjunto R de los números reales. Conoces alguna situación el la que alguno de dichos intervalos sea vacía? Y en la que se trate de un conjunto unitario? Idem si uno de los extremos es infinito. 9. En qué consiste la operación de racionalización? Ilustra con un ejemplo las tres situaciones más comunes que se presentan en la racionalización? 10. Cómo se definen las potencias de exponente natural? Justifica el por qué aceptamos que a 0 = 1, a 2 = 1 a 2. 11. Cómo se definen las potencias de exponente fraccionario? Da una justificación de dicha definición. 1
2 12. a) Qué se entiende por expresión algebraica? Qué es un monomio? Qué nombre reciben los elementos de un monomio? Descríbelos. b) Qué es un polinomio? Son todas las expresiones algebraicas monomios? Justifica la respuesta. c) Define lo que es el valor numérico de una expresión algebraica. 13. Define los términos identidad y ecuación. Pon un ejemplo de cada una. Describe los elementos de una ecuacíón. Combinatoria 14. Qué es la combinatoria? 15. Define el concepto de variación. 16. Define el concepto de combinación. 17. Define el concepto de permutación. 18. a) Qué se entiende por factorial de un número? Para qué números se define el factorial? b) Qué es un número combinatorio? Enuncia las propiedades que conozcas y demuestra alguna de ellas. 19. A qué se le da el nombre de triángulo de Tartaglia o de Pascal? Explica su utilidad en las matemáticas. Ecuaciones e inecuaciones de primer grado 20. a) Qué es una ecuación? Define los conceptos: incógnita, miembros de una ecuación, raíz de una ecuación. b) Cómo se clasifican las ecuaciones atendiendo al número de incógnitas, atendiendo al grado de las incógnitas, atendiendo a la presentación de las variables y atendiendo a los coeficientes. 21. Cuál es la interpretación gráfica de la solución de una ecuación de primer grado con una incógnita. 22. Qué es un sistema de ecuaciones? Describe la clasificación más usual de los mismos. Qué métodos conoces para resolverlos? 23. Cuál es la interpretación geométrica de las soluciones de un sistema de de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas? 24. Qué se entiende por desigualdad? Define lo que es una inecuación. Da una interpretación geométrica de la solución de una inecuación de primer grado con una incógnita.
25. Qué se entiende por desigualdad? Define lo que es una inecuación. Da una interpretación geométrica de la solución de una inecuación de primer grado con dos incógnitas. 26. Qué es un sistema de inecuaciones? Explica la interpretación gráfica de las soluciones de un sistema de dos inecuaciones de primer grado con una incógnita. 27. Qué es un sistema de inecuaciones? Explica la interpretación gráfica de las soluciones de un sistema de dos inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. 28. Qué es una inecuación racional? En general, a qué equivale una inecuación racional (reduce la explicación al caso en el que las expresiones algebraicas que aparezcan sean binomios de primer grado) Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado 29. Qué es una ecuación de segundo grado? Cómo se clasifican las ecuaciones de segundo grado según sus coeficientes? Indica en cada caso como se resuelven, dando una interpretación gráfica de sus soluciones. 30. Qué se entiende por ríz de una ecuación de segundo grado? Qué relación existe entre los coeficientes de una ecuación de segundo grado y la suma y el producto de sus raíces? (justifícalas). 31. Qué es el discriminante de una ecuación de segundo grado? Cómo se clasifican las ecuaciones de segundo grado según su discriminante? Da una interpretación gráfica de tu respuesta. 32. Qué es una inecuación de segundo grado? Qué se entiende por solución de una inecuación de segundo grado? Explica la interpretación gráfica de las soluciones de una inecuación de segundo grado. 33. Qué es una inecuación racional? En general, a qué equivale una inecuación racional? Funciones afines 34. a) Qué es una función? Qué se entiende por función lineal? Qué se entiende por función afín? Describe las características generales de ambas. b) Define la inversa de una función. Cómo es la inversa de una función lineal? Y la de una afín? Existe alguna relación entre las gráficas de cada una de dichas funciones y las de sus respectivas inversas? Funciones cuadráticas 35. a) Qué es una función cuadrática? Describe sus características generales y su posición relativa respecto del eje de abscisas. 3
4 b) Define la inversa de una función. Qué relación existe entre las gráficas de una función y la de su inversa? Representa a una función la inversa de una fución cuadrática? Funciones racionales simples 36. Describe la interpretación geométrica de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en la que una de ellas corresponde a una función afín y la otra a una función cuadrática? 37. Describe las características generales de la función de proporcionalidad inversa, si la constante de proporcionalidad es positiva. 38. Describe las características generales de la función de proporcionalidad inversa, si la constante de proporcionalidad es negativa. Función valor absoluto 39. Define la función valor absoluto, describe las características de su gráfica. Cómo es la gráfica de su inversa? Se trata de una función? Funciones potenciales 40. Describe las características generales de una función potencial de exponente entero par, distinguiendo los casos: -a) exponente positivo y -b) exponente negativo. En cada caso explica la relación que existe entre la gráfica de dichas funciones y las inversas de las mismas. 41.. Describe las características generales de una función potencial de exponente entero impar, distinguiendo los casos: -a) exponente positivo y -b) exponente negativo. En cada caso explica la relación que existe entre la gráfica de dichas funciones y las inversas de las mismas. Función exponencial 42. Describe las características generales de la función exponencial de base mayor que 1. Qué función se obtiene en caso de tomar la base igual a 1? 43. a) Describe las características generales de la función exponencial cuya base es un número comprendido entre 0 y 1. Qué función se obtiene en caso de tomar la base igual a 1? b) Si la base fuera 0, estaría definida dicha función para todos los valores de la variable? Función logarímica 44. Da la definición de logaritmo, enuncia sus propiedades y demuestra al menos tres de ellas. Tiene sentido el considerar el cero o el uno como base de un logaritmo?
45. Describe las características generales de la función logaritmo (distingue los casos de base mayor que uno y de base comprendida entre cero y uno). Sucesiones 46. a) Qué es una sucesión? Qué se conoce con el nombre de término general de una sucesión? b) A qué se llama sucesión recurrente? Son recurrentes las progresiones aritméticas o geométricas? 47. Da una idea intuitiva de la definición de límite de una sucesión. Explica el significado de las siguientes expresiones, ilustrándolas en cada caso con un ejemplo: sucesión convergente, sucesión divergente, sucesión oscilante, sucesión alternada, infiniésimo. 48. Puede ser convergente una sucesión alternada? Y divergente? Ilustra tu respuesta con un ejemplo. 49. Explica los conceptos: monotonía y acotación para sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas 50. a) Qué es una progresión aritmética? Explica cómo obtendrías la fórmula para obtener un término cualquiera de una progresión aritmética. b) Cuál es la fórmula para obtener la suma de un número finito de términos consecutivos de una progresión aritmética? Demuéstrala c) Qué es una progresión geométrica? Conoces algún ejemplo de progresión que sea simultáneamente aritmética y geométrica. Explica cómo obtendrías la fórmula para obtener un término cualquiera de una progresión geométrica. d) Cuál es la fórmula para obtener la suma de un número finito de términos consecutivos de una progresión geométrica? Demuéstrala e) Qué es una serie? Cómo se clasifican? f) A qué tipo corresponde una serie aritmética? g) A qué tipo corresponde una serie geométrica? Haz una discusión completa teniendo en cuenta los posibles valores de la razón? Límite de funciones 51. Da una idea intuitiva de lo que se entiende por límite de una función en el caso en que la variable independiente tienda a un número real, distinguiendo los casos en el que el límite sea finito o infinito. 52. Da una idea intuitiva de lo que se entiende por límite finito de una función en el caso en que la variable independiente tienda a infinito. 53. Qué se entiende por límites laterales? Justifica las expresiones que sueles usar para el cálculo de los límites laterales. 5
6 54. Da una idea intuitiva de lo que se entiende por continuidad de una función. Describe los tipos de discontinuidad. 55. Da una idea intuitiva de lo que se entiende por asíntota. Clasifícalas y justifica las expresiones que normalmente se usan para su cálculo. Derivabilidad 56. Define el concepto de derivada de una función. Da su interpretación geométrica. 57. Define las derivadas laterales de una función. Qué quiere decir que una función sea derivable? 58. Explica los conceptos: crecimiento y decrecimiento de una función. Explica razonadamente la relación que existe entre dichos conceptos y la derivada. 59. Explica razonadamente la relación existente entre los conceptos de concavidad y convexidad y la segunda derivada. 60. Enuncia la regla de L Hopital y justifícala razonadamente. Trigonometría 61. Qué es un ángulo? Describe las unidades que conozcas para la medida de ángulos. Explica razonadamente la relación existente entre las unidad de medida de ángulos en el sistema sexagesimal con la unidad de medida en el sistema internacional. 62. Define las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Enuncia los teoremas usados generalmente para resolver un triángulo rectángulo y demuestra alguno de ellos. (aquí se refiere al teorema de Pitágoras, o el de Euclides -de la altura y del cateto) 63. Obtén razonadamente las razones trigonométricas de los ángulos notables 30 o, 45 o y 60 o. 64. Define el seno, coseno y tangente de un ángulo cualquiera. Aplica dichas definiciones para obtener las razones de cualquiera de los ángulos 0 o, 90 o, 180 o ó 270 o 65. Cuál es la identidad fundamental de la trigonometría? Justifícala. Obtén a partir de dicha identidad otras, también consideradas como fundamentales en las que intervengan la tangente o la cotangente de un ángulo. 66. Describe las características fundamentales de la función coseno y construye su inversa, de esta última di si se trata de una función. 67. Describe las características fundamentales de la función seno y construye su inversa, de esta última di si se trata de una función.
68. Describe las características fundamentales de la función tangente y construye su inversa, de esta última di si se trata de una función. 69. Enuncia los teoremas del seno y del coseno y demuestralos. Planimetría 70. Qué es un ángulo plano? Qué es un ángulo recto? Describe los distintos sistemas de unidades más conocidos. Explica detalladamente la justificación de la relación existente entre la unidad de medida de un ángulo en el sistema internacional y la unidad de medida en el sistema sexagesimal. 71. Qué es un ángulo? Cómo se clasifican los ángulos según su amplitud? Y según su posición relativa respecto de otro ángulo? 72. Qué es una poligonal? Qué es un polígono? Clasifícalos según sus ángulos internos, según el número de lados y según la longitud de sus lados. Qué elementos se distinguen en un polígono regular? 73. Clasifica los ángulos según su posición relativa respecto de una circunferencia y enuncia la relación existente entre dichos ángulos y los árcos que limitan en la circunferencia. Qué características tiene un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia? 74. Cuánto mide la suma de los ángulos internos de un polígono convexo de n lados? Cuánto mide cada uno de los ángulos de un polígono convexo regular de n lados? Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de n lados? 75. Qué relación existe entre los ángulos internos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia? Cuánto mide la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero cualquiera? Qué relación existe entre los ángulos internos de un trapecio? Estereometría 76. Qué es la estereometría? Cuáles son los elementos fundamentales en la estereometría? Describe la posición relativa de cada uno de ellos respecto de los otros. 77. Describe lo que se entiende por una superficie poliédrica e indica algunos de los elementos que distinguimos en ellas. Enuncia el teorema de Euler para superficies poliédricas. Probabilidad 78. Qué se entiende por experimento determinista? Qué es un experimento aleatorio? Define los conceptos: espacio muestral, suceso aleatorio, suceso elemental, suceso compuesto, suceso seguro, suceso imposible, suceso contrario de uno dado, sucesos compatibles y sucesos incompatibles. 7
8 79. a) Cómo se define el suceso contrario de uno dado? Enuncia algunas propiedades relacionadas con este concepto e ilústralas mediante diagramas de Venn. b) Son incompatibles dos sucesos contrarios? Por qué? c) Son incompatibles dos sucesos independientes? Por qué? 80. Qué quiere decir que dos sucesos sean independientes? Qué quiere decir que dos sucesos sean condicionados? Cómo se expresan estos conceptos en términos de probabilidad? 81. Cuál es la definición de probabilidad debida a Laplace? Enuncia las propiedades de la probabilidad ilustrándolas, cuando se pueda, con un diagrama de Venn. Vectores en el plano 82. a) Qué es un vector fijo en el plano? Cuáles son los elementos de un vector fijo? Qué es un vector libre? b) Qué recibe el nombre de componentes de un vector libre? Explica razonadamente cómo se calculan las componentes de un vector libre a partir de uno de sus representantes. 83. a) Qué quiere decir que una familia de dos vectores en el plano sea linealmente dependiente? Explica el significado de la frase: El vector w es combinación lineal de los vectores u y v. b) Qué importancia tienen los vectores de la llamada base canónica? 84. a) Define el producto escalar de vectores en el plano y enuncia, razonando, las propiedades más importantes. b) Explica cómo calcularías la proyección de un vector sobre otro vector. Explica algunas aplicaciones del producto escalar que conozcas. La recta en el plano 85. Explica razonadamente los distintos tipos de ecuaciones que conoces para describir una recta en el plano. 86. a) Cuál es la posición relativa, en el plano, de un punto respecto de una recta y de dos rectas entre sí? b) En cada caso explica razonadamente cómo calcularías la distancia entre los elementos que estés considerando. Vectores en el espacio 87. a) Qué es un vector fijo en el espacio? Cuáles son los elementos de un vector fijo? Qué es un vector libre? b) Qué recibe el nombre de componentes de un vector libre? Explica razonadamente cómo se calculan las componentes de un vector libre a partir de uno de sus representantes.
88. a) Qué quiere decir que una familia de tres vectores en el espacio sea linealmente dependiente? Explica el significado de la frase: El vector w es combinación lineal de los vectores u y v. b) Qué importancia tienen los vectores de la llamada base canónica? 89. a) Define el producto escalar de vectores en el espacio y enuncia, razonando, las propiedades más importantes. b) Explica cómo calcularías la proyección de un vector sobre otro vector. Explica algunas aplicaciones del producto escalar que conozcas. 90. a) Define el producto vectorial de dos vectores. Enuncia algunas de las propiedades más importantes. b) Define el producto mixto de tres vectores. Qué relación existe entre el producto mixto de tres vectores y la dependencia o independencia lineal de los mismos? (razona la respuesta). c) Explica otras aplicaciones que conozcas del producto vectorial y del mixto. La recta y el plano en el espacio 91. Explica razonadamente los distintos tipos de ecuaciones que conoces para describir una recta en el espacio. 92. Cuál es la posición relativa de un punto respecto de una recta y de dos rectas entre sí? En cada caso explica razonadamente cómo calcularías la distancia entre los elementos que estés considerando. 93. Explica razonadamente los distintos tipos de ecuaciones que conoces para describir un plano en el espacio. 94. Cuál es la posición relativa de un punto, de una recta y de un plano respecto de otro plano? En cada caso explica razonadamente cómo calcularías la distancia entre los elementos que estés considerando. La circunferencia y la elipse 95. Define las cónicas circunferencia y elipse. Describe los elementos notables de cada una de las cónicas anteriores. 96. Explica cúal puede ser la posición relativa de un punto o de una recta respecto de una circunferencia o de una elipse, indicando en cada caso cómo resolverías algebráicamente la cuestión. La hipérbola y la parábola 97. Define las cónicas hipérbola y parábola. Describe los elementos notables de las cónicas anteriores. 9
10 98. Explica cúal puede ser la posición relativa de un punto o de una recta respecto de una hipérbola o de una parábola, indicando en cada caso cómo resolverías algebráicamente la cuestión. Integración 99. Concepto de integral definida. Propiedades de la integral definida. Función integral. Teorema fundamental del cálculo integral.