Mtrices Mtrices de números reles Definiciones Def Consideremos el cuerpo cuerpo es un conjunto de números donde se puede sumr, restr, multiplicr dividir) de los números reles R Un mtri de números reles de orden mn se lee m por n ) es un tbl de mn números ordendos en m fils en n columns de l siguiente form A n n fil m m mn Column Donde los ij son números reles, el subíndice i el º) indic l fil donde está colocdo el número ij, el subíndice j el º) indic l column donde está colocdo el elemento ij Es como si jugármos l juego de los brquitos, fil i, column j ** L mtri A es un mtri de orden Vemos lgunos elementos elemento que está en l fil l column ) ;, etc Def Mtri fil es l que tiene un sol fil ** ) est es de orden Def Mtri column es l que tiene un sol column ** est es de orden Def Un mtri esclond por fils es un mtri tl que en cd fil el número de ceros que precede l primer elemento no nulo es mor que en l fil nterior 7 9 ** A es un mtri esclond de orden Def Un mtri cudrd es l que tiene igul número de fils que de columns ** es un mtri cudrd de orden Se suele decir que es de orden ** ) es un mtri cudrd de orden Def Dos mtrices A ij ) mn Bb ij ) mn son igules sii tienen el mismo orden son igules los elementos colocdos en el mismo sitio, es decir ij b ij Def L mtri opuest l mtri A ij ) es quell que se obtiene cmbindo de signo todos los elementos de l mtri A ij ), se escribe A es A ij ) ** A ; A Def Dd un mtri A ij ) mn se define su mtri trspuest que se escribe A t como l mtri A t ji ) nm, es decir l mtri que se obtiene cmbindo sus fils por sus columns Not Si A es de orden mn su trspuest A t es de orden nm Mtrices Sistems de Ecuciones Págin
** A ; A t Def L mtri nul O mn es l que tiene todos sus elementos nulos, es decir O mn mn n n Def Dd l mtri cudrd de orden n A, se llm digonl principl n n nn los elementos de l form ii unir etremo superior iquierd con etremo inferior derech) Se llm digonl secundri los elementos de l form ij con ijn unir etremo superior derech con etremo inferior iquierd) Def Un mtri cudrd de orden n decimos que es tringulr superior sii todos los elementos que están por debjo de l digonl principl son ceros ** es tringulr superior de orden Def Un mtri cudrd de orden n decimos que es tringulr inferior sii todos los elementos que están por encim de l digonl principl son ceros ** es tringulr inferior de orden Def Un mtri cudrd de orden n decimos que es digonl sii todos los elementos que no están en l digonl principl son ceros ** es mtri digonl de orden Def Un mtri cudrd de orden n en l que todos los elementos de l digonl principl son unos es l mtri identidd ó unidd de orden n, se escribe I n ** I n mtri identidd de orden n, ) mtri identidd de orden, n mtri identidd de orden, mtri identidd de orden Def Un mtri cudrd de orden n decimos que es simétric sii coincide con su trspuest, es decir AA t ** 7 es mtri simétric de orden 7 Def Un mtri cudrd de orden n decimos que es ntisimétric ó hemisimétric sii coincide con l opuest de su trspuest, es decir A A t ** A es ntisimétric porque A t A t, es decir A A t Mtrices Sistems de Ecuciones Págin
Mtrices Sistems de Ecuciones Págin Operciones con mtrices Sum Def Dds dos mtrices del mismo orden mn A ij ) Bb ij ), se define su sum, que se indic AB como l mtri de orden mn que se obtiene l sumr los elementos de A de B que se encuentrn en el mismo lugr, es decir AB ij b ij ) ** Propieddes de l sum Si A, B, C, O son mtrices de orden mn siendo O l mtri nul tenemos: ) Asocitiv ABC)AB)C ) Conmuttiv ABBA ) Elemento neutro AOOAA, siendo O l mtri nul ) Elemento opuesto Dd l mtri A, eiste su opuest A, tl que AA)A)AO Not Tmbién se verific l siguiente propiedd AB) t A t B t ** Clcul Producto de un número rel por un mtri Def Dd l mtri de orden mn A ij ) el número rel λ, se define el producto del número λ por l mtri A como un nuev mtri de orden mn que se obtiene multiplicndo todos los elementos de l mtri A por el número λ, es decir λ Aλ ij ) ** ) 9 Propieddes del producto de un número por un mtri Si A B son mtrices de orden mn λ, µ, son números reles entonces se verificn ls propieddes: ) Distributiv respecto l sum de mtrices λab) λaλb ) Distributiv respecto l sum de números esclres) λµ)aλaµa ) Pseudosocitiv o fls socitiv λ µ A) λµ)a, ) Elemento unidd Eiste el número R tl que AA Not Otr propiedd es λa) t λa t ** Clcul ** Clcul l mtri A en los siguientes csos ) A7 7 b) A c) A 7 7 Producto de mtrices Potencis Not Pr poder multiplicr ls mtrices A B en el orden AB el número de columns de A tiene que coincidir con el número de fils de B, l mtri resultnte del producto tiene por orden fils de l ª mtri, columns de l ª mtri, es decir A mn B np C mp Def Dds ls mtrices A mn ij ) B np b ij ), se define su producto AB como l mtri C mp c ij ) con c ij i b j i b j i b j in b nj, es decir pr obtener el elemento c ij
Mtrices Sistems de Ecuciones Págin del producto se multiplic término término los elementos de l fil i de l mtri A por los elementos de l column j de l mtri B se sumn **, como l ª es de orden l ª de orden podemos multiplicrls el producto es de orden, es decir **, como l ª es de orden l ª de orden podemos multiplicrls el producto es de orden, es decir ) ) ) ) ** ), como l ª es de orden l ª de orden podemos multiplicrls el producto es de orden, es decir ) ) ) ** ) 7, como l ª es de orden l ª de orden podemos multiplicrls el producto es de orden, es decir ) 7 7) ) ) que es un número Propieddes del producto de mtrices suponiendo que se pued multiplicr) ) Asocitiv ABC) AB)C ) Distributiv ABC) ABAC AB)C ACBC ) Elemento unidd por l derech por l iquierd IAA AI A Not I coincide con I solmente sí l mtri A es cudrd L mtri I es l mtri identidd ) AB) t B t A ) 7 t ) No verific l propiedd conmuttiv es decir AB BA en generl ** A B Si hcemos AB nos sle un mtri, si hcemos BA nos sle un mtri que son distints ) No verific l propiedd simplifictiv es decir de ABAC no podemos firmr que BC ** A, B C ; AB ; AC B C Not No se verificn ls igulddes AB) A ABB, pues en generl AB BA Tmpoco se verific en generl AB)AB)A B, por l mism rón de ntes 7) El producto de dos mtrices puede ser l mtri nul O sin que lo sen ningun de ls dos es decir puede ser ABO con A O B O, siendo O l mti nul Se suele decir que el producto de mtrices es singulr no regulr) ** A B
X Y A ** Resolver el sistem con A B Clcul después X Y X Y B 9 Def En el conjunto de ls mtrices cudrds podemos definir ls potencis de un mtri de l siguiente form: A AA A AAA A n AAnveces)A ** Clcul A, A, A con A ** Clcul A, A, A n con A Sle A n n n n n nn ) n ** Clcul A, A, A n con A Sle A n n ** Selectividd) Comprueb que A I O, con A Con l iguldd nterior clcul A, A Def Un mtri A es ortogonl sii AA t I ** Comprueb que A, es ortogonl ** Comprobr si A es ortogonl Propieddes de l trsposición de mtrices ) A t ) t A b) AB) t A t B t c) ka) t ka t d) AB) t B t t A Mtri invers Not Ls mtrices inverss solo eisten pr ls mtrices cudrds Def Dd un mtri cudrd A de orden n, si eiste otr mtri cudrd de orden n B tl que ABBAI, siendo I l mtri identidd de orden n se dice que l mtri A es regulr o inversible, l mtri B se le llm mtri invers de A se escribe A Es decir AA A A I Def Si un mtri cudrd no dmite invers, es decir no es regulr se dice que es singulr Teorem L mtri invers de un mtri cudrd A si eiste es únic Propieddes ) A ) A ) AB) B A ) A t ) A ) t Mtrices Sistems de Ecuciones Págin
) Un mtri cudrd A decimos que es ortogonl sii su trspuest coincide con su invers, es decir A t A Clculo de l mtri invers por el método de GussJordn Not Pr clculr l invers de l mtri A por este método se pone l derech de l mtri A l mtri identidd del mismo orden en l form A n I n ), le plicmos ls trnsformciones elementles por fils entre mtrices hst obtener I n B n ) Si lo conseguimos l mtri B es l invers de l mtri A Si l hcer este proceso lgun de ls fils de l mtri A se nul, l mtri A no tiene invers es un mtri singulr NotRecuerdo que ls trnsformciones elementles por fils entre ls mtrices ern: ) Cmbir de orden ls fils de l mtri b) Multiplicr un fil de un mtri por un número distinto de cero c) Suprimir un fil que se combinción linel de ls demás d) Suprimir un fil de ceros e) Sustituir un fil por l sum de ell más otr multiplicd por un número culquier f) Sustituir un fil por un combinción linel de ell de ls restntes, siempre que el coeficiente multiplicdor de l fil sustituid se un número distinto de cero ** Clcul l mtri invers de A ª ) No toco No toco ª ª) 7 ª/7) ª ª), luego l mtri invers de A es A /7 /7 / 7 / 7 No toco /7 /7 Tmbién se pude clculr utilindo l fórmul A AdjA t ), si se conocen los A determinntes 7 9/ / / ** Clcul l mtri invers de A es, B / es, / C es / Not Tmbién se pude clculr utilindo l fórmul A AdjA t ), si se conocen los A determinntes Desde hce dos ños 9) los lumnos de l Comunidd Autónom Andlu no tienen necesidd de conocer los determinntes en ls Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Vmos relirlo con un mtri de orden b L mtri A tiene invers si su determinrte A b d bc producto de los c d c d elementos de l digonl principl menos producto de los elementos de l digonl secundri) es distinto de cero, l mtri invers es A AdjA t ), donde A es el A Mtrices Sistems de Ecuciones Págin
determinnte de A, A t es su mtri trspuest cmbir fils por columns) AdjA t ) es l mtri djunt de l trspuest En el cso de un mtri cudrd de orden indico ls diferentes mtrices b A ; A t c ; AdjA t c d b d ) d b c ; l invers es A AdjA t ) A ** Invers de A Como A, eiste su mtri invers que es A AdjA t ) A d b A c A ; A t ; AdjA t ) l invers es A / / AdjA t ) A / Not Y es necesrio utilir mtrices grfos, unque no h puesto nd en ests nots Mtrices Sistems de Ecuciones Págin 7
Sistems de ecuciones lineles Def Se llm sistem linel de m ecuciones con n incógnits tod epresión del tipo nn b I) nn b m m mnn b m en donde,,, n son ls incógnits, los números reles ij con i m j n son los coeficientes de ls incógnits los números b i independientes Not L mtri socid l sistem con i m son los términos nn b nn b m m mnn b I) es m m m n b n b mn bm Def Un solución del sistem linel de m ecuciones con n incógnits I), es un ntupl n números ordendos) α, α,, α n ) que l sustituirl respectivmente por,,, n, hcen cierts tods ls ecuciones del sistem linel I), es decir verific α α nα n b α α nα n b mα mα mnα n b Def Resolver un sistem es verigur si tiene o no soluciones, en cso firmtivo determinrls tods Def Un sistem se dice que es comptible sii dmite l menos un solución, por el contrrio se dice que es incomptible si no dmite ningun solución Un sistem comptible tiene solución) se dice que es determindo sii tiene solución únic, un sistem comptible se dice que es indetermindo sii dmite infinits soluciones dependen de un número o de vrios números llmdos prámetros) Def Un sistem linel de m ecuciones con n incógnits decimos que es homogéneo sii todos los términos independientes son cero, es decir es un epresión del tipo nn nn m m mnn NotCulquier sistem homogéneo es siempre comptible, pues por lo menos tiene n veces siempre l solución trivil,,,) m Mtrices Sistems de Ecuciones Págin
Def En el sistem linel de m ecuciones con n incógnits nn b nn b m m mnn b llmremos digonl principl del sistem l líne que une los coeficientes que tienen los subíndices igules,,, ii, etc Análogmente se llm digonl principl de l mtri socid l sistem m, m m n b n b mn bm, l líne que une los términos,,, ii, etc ** Mtri socid l sistem ** Sistem correspondiente l mtri Sistems equivlentes Def Dos sistems de ecuciones lineles con el mismo número de incógnits, unque tengn distinto número de ecuciones, se dice que son equivlentes sii tienen ls misms soluciones, es decir cd solución de uno lo es del otro recíprocmente ** El sistem es equivlente l sistem, porque tienen l mism solución,),) comprobrlo) Teorem Ddo un sistem linel, ls siguientes trnsformciones relids en él dn lugr otro sistem linel equivlente él es decir tiene ls misms soluciones): ) Cmbir de orden ls ecuciones del sistem b) Multiplicr los dos miembros de un ecución por un número distinto de cero c) Suprimir un ecución del sistem que se combinción linel de ls demás que se obteng prtir de ls demás multipiclándols por ciertos números sumándols), d) Sustituir un ecución por l sum de ell más otr ecución multiplicd por un número culquier e) Sustituir un ecución del sistem por un combinción linel de ell de ls restntes siempre que el coeficiente de l ecución sustituid se distinto de cero Consecuenci Cd un de ls trnsformciones nteriores que dn lugr sistem lineles equivlentes, determin un trnsformción en l mtri socid l sistem linel Mtrices Sistems de Ecuciones Págin 9
Ls trnsformciones que podemos utilir en ls mtrices socids pr dr lugr sistems equivlentes son ls siguientes: ) Cmbir de orden ls fils de l mtri b) Multiplicr un fil de un mtri por un número distinto de cero c) Suprimir un fil que se combinción linel de ls demás d) Suprimir un fil de ceros e) Sustituir un fil por l sum de ell ms otr multiplicd por un número culquier f) Sustituir un fil por un combinción linel de ell de ls restntes, siempre que el coeficiente multiplicdor de l fil sustituid se un número distinto de cero Not Ests trnsformciones entre ls mtrices son mu importntes, pues ls utiliremos pr resolver sistems de ecuciones, clculr el rngo de un conjunto de vectores, el rngo de un mtri Clculr determinntes etc Resolución de sistems Método de Guss GussJordn) Not Recuerdo que resolver un sistem es determinr si tiene o no solución en cso firmtivo determinr tods ls soluciones Def Un sistem linel de ecuciones se dice que es esclondo si el primer elemento no nulo de cd fil, llmdo cbecer de l fil está ms l derech del primer elemento no nulo de l fil nterior Def Análogmente un sistem es tringuldo nm) si todos los coeficientes que h por debjo de l digonl principl líne que une los términos,,, ii, ) son cero, es decir cd un de ls ecuciones tiene un incógnit menos que l nterior, por tnto tiene l form: b b b Not En l prctic en ve de utilir ls incógnits,,, n, utiliremos ls usules,,, t etc Not L resolución de un sistem esclondo es tremendmente sencill De l últim ecución despejmos l incógnit que h, con ese vlor de es incógnit entrmos en l ecución nterior obtenemos el vlor de l siguiente incógnit Con los dos vlores de ls dos incógnit que tenemos entrmos en l otr ecución obtenemos el vlor de otr incógnit Seguimos sí hst que terminemos Veámoslo con un ejemplo: ** Resolver el sistem Mtrices Sistems de Ecuciones Págin
t t t t De l últim ecución tenemos t, de donde t/ Entrmos con este vlor de t en l ecución nterior tenemos ), operndo despejndo result )/ Con t, / entrmos en t, tenemos /)) Operndo despejndo obtenemos 97/ Con t, /, 97/ entrmos en t tenemos 97/) /) ) Operndo despejndo obtenemos / L solución del sistem es,,,t)/, 97/, /,) Def El método de Guss pr resolver sistems de ecuciones lineles consiste en trnsformr el sistem ddo por otro equivlente que se esclondo, utilindo pr ello ls trnsformciones que dn lugr sistems equivlentes Not En l `práctic pr conseguir un sistem esclondo buscremos un ecución que teng como coeficiente de l un o un, sino lo fbricmos Cundo se teng se pueden hcer cero tods l de ls restntes ecuciones que se encuentren debjo de l primer Un ve hecho esto dejmos est ª ecución quiet con ls restntes buscmos otr que teng como coeficiente de un o un, sino lo fbricmos Un ve que lo tengmos podemos hcer cero tods l que se encuentrn debjo de l ª ecución Se sigue este proceso hst que se termine En relidd todo esto se hce con l mtri socid l sistem Resumiendo Al plicr el sistem de Guss pr resolver sistems de ecuciones lineles nos puede quedr en el sistem esclondo lo siguiente: ) Tnts ecuciones válids como incógnits En este cso el sistem tiene solución únic es un sistem comptible determindo b) Ms incógnits que ecuciones En l últim ecución se psn ls incógnits sobrntes l º miembro, cd un de ests incógnits sobrntes se les drá un vlor de un prámetro En este cso el sistem tiene infinits soluciones depende de los prámetros incógnits que hemos psdo l º miembro) se dice que el sistem es un sistem comptible e indetermindo c) Puede precernos un ecución de l form i k, lo cul es un bsurdo, en este cso el sistem no tiene solución se dice que es un sistem incomptible Veámoslo con ejemplos: Mtrices Sistems de Ecuciones Págin
Mtrices Sistems de Ecuciones Págin ** Resolver el sistem Psmos l mtri socid Mtri socid ) ) No se toc ) No se toc No se toc Es decir l fil que se multiplic no se toc Y tenemos l mtri esclond, psmos l sistem esclondo equivlente, de donde de l ultim ecución, entrmos en l nterior obtenemos ), de donde Con e entrmos en, obtenemos de donde, l solución del sistem es,,),,) Como l solución es únic es un sistem comptible determindo ** Resolver el sistem Psmos l mtri socid Mtri socid ) ) No se toc ) No se toc No se toc Y tenemos l mtri esclond, psmos l sistem esclondo equivlente, de donde resolviéndolo obtenemos, L solución del sistem es,,),,), como l solución es únic, tenemos un sistem comptible determindo ** Resolver el sistem Mtri socid ) ) No se toc ) No se toc No se toc 7 7 7 Como l tercer fil es de ceros desprece el sistem socido es 7 Como tenemos dos ecuciones solo h dos incógnits principles l l, l l psmos l otro miembro le dmos el vlor de un prámetro, es decir hcemos λ, con lo cul nos qued 7λ, entrndo en l ª ecución operndo obtenemos λ Por tnto l solución del sistem es,,)λ, 7λ,λ) con λ R λ número rel)
Es un sistem que tiene infinits soluciones que dependen del prámetro λ, es un sistem comptible e indetermindo depende de un prámetro) ** Resolver el sistem t No se toc Mtri socid t ª ª ) Sistem socido t t Como tenemos dos ecuciones solo h dos incógnits principles l l, l l t ls psmos l otro miembro le dmos vlores de prámetros, es decir hcemos λ λ µ tµ, con lo cul entrndo en l ª ecución operndo obtenemos Si hor entrmos con los vlores de t, e en l ª ecución despejmos l obtenemos 9 λ µ, por tnto ls soluciones del sistem son 9 λ µ λ µ,,,t),, λ, µ) con λ, µ R λ µ números reles) Es decir ls soluciones dependen de dos prámetros tiene infinits soluciones Es un sistem comptible e indetermindo doblemente, porque depende de dos prámetros) ** Resolver el sistem 9 Mtri socid 9 Cmbio ª por ª No se toc 9 ª ª ) ª ª ) Cmbio ª por ª No toco No toco ª ª ) Sistem socido Como vemos l últim ecución es bsurd, por tnto el sistem no tiene solución es un sistem incomptible ** Resolver el sistem Como es un sistem homogéneo siempre tiene l solución trivil,,),,) Pero no es est l que buscmos Mtri socid Sistem socido Dándole el vlor λ, obtenemos entrndo en l ª ecución λ, entrndo en l ª ecución 7λ Por tnto l solución del sistem es,,)7λ, λ, λ) con λ R λ número rel) Tiene infinits soluciones que dependen de un prámetro es un sistem comptible e indetermindo Mtrices Sistems de Ecuciones Págin