6. DISTRIBUCIONES MUESTRALES Dr. Edgar Acua http://math.uprm.edu/~edgar UNIVERSIDAD DE UERTO RICO RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ
DISTRIBUCIONES MUESTRALES Uo de los objetivos de la estadística es saber acerca del comportamieto de parámetros poblacioales tales como: la media ( μ), la variaza ( σ ) o la proporció ( p). Se extrae ua muestra aleatoria de la població y se calcula el valor de u estadístico correspodiete, por ejemplo, la media muestral ( X), la variaza muestral ( s ) o la proporció muestral ( pˆ ). El valor del estadístico es aleatorio porque depede de los elemetos elegidos e la muestra seleccioada. y, por lo tato, el estadístico tiee ua distribució de probabilidad la cual es llamada la Distribució Muestral del Estadístico.
6.1 Distribució de la Media Muestral cuado la població es ormal Se extrae muestras aleatorias de tamaño de ua població ifiita co media poblacioal μ y variaza σ : La media de las medias muestrales es igual a la media poblacioal. Es decir, μ. x = μ La variaza de las medias muestrales es igual a la variaza poblacioal dividida por. E cosecuecia la desviació estádar de las medias muestrales (llamada tambié el error estádar de la media muestral), es igual a la deviació estádar poblacioal dividida por la raíz cuadrada de.es σ decir σ =. x Si la població fuera fiita de tamaño N, se aplica el factor de correció: N al error estádar de la media muestral N 1 3
6. El Teorema del Límite Cetral De ua població ifiita co mediaμ y variaza σ se extrae muestras aleatorias de tamaño, etoces la media muestral se comporta aproximadamete como ua variable aleatoria ormal co media igual a la media poblacioal y co variaza igual a la variaza poblacioal dividida por el tamaño de la muestra, siempre que sea grade. Esto es: X ~ σ N( μ, ), Estadarizado: Z = X μ ~ N(0,1) σ 4
Ejemplo 6.1 Cosiderar ua població que cosiste de 3, 4, 6, 8, 10, 11, 1, 15, 0. Solució: 1) Calculamos la media y desviació estádar de dicha població. ) Extraemos 30 muestras de tamaño 4 de dicha població, ejecutado 4 veces la siguiete secuecia Calc4Radom Data4Sample from colums. Guardar cada ua de las 4 observacioes de las muestras e 4 columas distitas: Obs1, Obs, Obs3, y Obs4. 5
Ejemplo 6.1 3) Tercero, calculamos las medias de todas esas muestras usado la opció Row Statistics del meú Calc y tratamos de ver gráficamete al meos si hay acercamieto a Normalidad. Se elige las 30 muestras. Las medidas estadísticas de la media muestral so: Iterpretació: Notar que la media de las medias muestrales es μ x =10.108 que está bie cerca de la media poblacioal μ = 9.89. Además la desviació estádar de la media muestral es.806 mietras que σ es igual a 5.4/=.71 ambos valores tambié está relativamete cerca. El histograma si está u poco alejado de la ormalidad. Si se icremeta el tamaño de las muestras se puede otar ua mejor aproximació a la Normal. 6
Figura 6.1 Histograma de la distribució de las medias maestrales del Ejemplo 6.1 7
6.3 Distribució de la roporció Muestral Si de ua població distribuida Biomialmete co probabilidad de éxito p, se extrae ua muestra aleatoria de tamaño, etoces se puede mostrar que la media de X: úmero de éxitos e la muestra, esμ = p y que su variaza es X σ =. E cosecuecia la proporció muestral p ˆ = tiee pq media p, y variaza. Etoces: por el Teorema del Limite Cetral, cuado es grade se tiee: z = X p = pˆ pq p 8
Fórmulas de aproximació Normal a la Biomial. Si X es ua Biomial co parámetros y p, etoces i) ii) iii) k.5 p k +.5 p ( X = k) ( k.5 < X < k +.5) = ( < Z < ) a +.5 p b.5 p ( a < X < b) = ( a +.5 < X < b.5) = ( < Z < ) a.5 p b +.5 p ( a X b) = ( a.5 < X < b +.5) = ( < Z < ) 9
Ejemplo 6.4. Segú reportes del cetro acioal para estadísticas de salud, alrededor del 0 % de la població masculia adulta de los Estados Uidos es obesa. Se elige al azar ua muestra de 150 hombres adultos e los Estados Uidos. Cuál es la probabilidad de que: a) Haya a lo más 5 persoas obesas? b) Haya más de pero meos de 35 obesos? c) Haya por lo meos u 5% de obesos e la muestra? 10
Ejemplo 6.4. Solució: a) b) Sea X el úmero de persoas obesas e la muestra. Usado aproximació ormal a la Biomial se tiee que: 5.5 30 ( X 5 ) ( X < 5.5) = Z < = ( Z < 0.91) = 0. 1814 ( < X < 35) (.5 < x < 34.5) = < Z < = 4.5 30 4 34.5 30 ( 1.53 < Z < 0.91 ) = 0.8186 0.0063 = 0. 813 4 37.5 30 pˆ.5) = ( X 37.5) = ( Z > ) = 4 1-.9730 =.0630. c) ( (Z>1.53) = 1-(Z<1.53) = 11