Capítulo 8: Inferencia e Intervalos de confianza para proporciones y medias

Transcripción

1 Capítulo 8: Iferecia e Itervalos de cofiaza para proporcioes y medias 8 Tomado decisioes acerca de la proporció de ua població 8 Tomado decisioes acerca de la media de ua població 83 Itervalos de cofiaza para ua proporció 84 Itervalos de cofiaza para la media de ua població 85 Itervalos de cofiaza y Test de hipótesis E este capítulo ya estamos e el fial del ciclo del método cietífico, teemos todas las bases para poder hacer iferecia estadística, es decir usar la iformació de la muestra para geeralizar y llegar a coclusioes acerca de la població de iterés Partiremos co lo más básico que es la iferecia para proporcioes y medias e ua població y veremos que los pasos para hacer iferecia se repite, lo que cambia es el parámetro de iterés 8 Tomado decisioes acerca de la proporció de ua població Primero revisemos el caso dode lo que os iteresa es ivestigar sobre ua proporció de ua població Hipótesis Escriba las hipótesis ula y alterativa que usaría para probar las siguietes aseveracioes Las hipótesis debe ser expresadas e térmios del parámetro P, la proporció de iterés e la població a) E Chile más de la mitad de los embarazos o so plaeados b) Meos del 3% de iños vacuados cotra la rubéola adquiere la efermedad c) E Chile la proporció de persoas co itoleracia a la lactosa es diferete a,5 Mejora el proceso? U estudiate de Igeiería Civil Idustrial, e su memoria de tesis, asegura que su recié creado proceso para empastar libros tiee meor tasa de fallas que el atiguo proceso usado por ua impreta local La tasa de fallas del atiguo proceso usado por la impreta era de 3% Datos: Se saca ua muestra de 8 libros empastados usado el uevo proceso y 6 tiee fallas a) Las hipótesis ula y alterativa apropiadas so? b) El test estadístico observado está dado por? c) Ecuetre el valor p del test d) Es el uevo proceso mejor? Pasos e ua prueba de hipótesis: Establecer la hipótesis Defiir el ivel de sigificació 3 Obteer los datos 4 Defiir test estadístico y verificar los supuestos 5 Calcular el test estadístico observado bajo H 6 Calcular el valor p 7 Tomar la decisió co respecto a H 8 Coclusió del ivestigador

2 Iferecia simple para proporcioes Distribució muestral de $p, la proporció muestral Si P represeta la proporció de elemetos e ua població co algua característica Tomamos ua muestra aleatoria simple de tamaño de esa població y es suficietemete grade, etoces la distribució de la proporció muestral $p es aproximadamete ormal: P(- P) pˆ ~& N P, etoces la proporció muestral estadarizada es: Test para ua proporció e la població pˆ - P = ~& P( P) N(,) Queremos docimar ua hipótesis acerca del parámetro e la població P La hipótesis ula es H : P= p, dode p es u valor hipotético de P Supuestos: Se recomieda usar este test cuado los datos proviee de ua muestra aleatoria de tamaño, dode satisface que p ( ) es mayor o igual a y p Nuestra decisió acerca del parámetro P estará basada e el valor de la proporció muestral estadarizada, la cual es: = p p$ p ( p ) Este score o putaje z es el test estadístico, y su distribució bajo H es aproximadamete N (, ) Notar que el test estadístico o depede de la hipótesis alterativa Calculamos el valor-p del test, el cuál depede de la direcció de la hipótesis alterativa: Test Uilateral, cola superior Si H : P p >, etoces el valor-p es P > z ) es el área ( obs a la derecha del test estadístico observado bajo H N(,) Test Uilateral, cola iferior Si H : P p <, etoces el valor-p es P < z ) es el área ( obs a la izquierda del test estadístico observado bajo H N(,) Test Bilateral Si H : P p, etoces el valor-p es P ( > z ) el área obs afuera de las dos colas del test estadístico observado bajo H N(,) OBS OBS - OBS + OBS Decisió: Si el valor-p es meor o igual al ivel de sigificació rechazamos H

3 PES Se diseña u experimeto para averiguar si ua persoa tiee poderes extrasesoriales (PES) De u mazo corriete bie barajado, se elige 96 cartas, ua por ua, co reemplazo A la persoa e cuestió se le pide que adivie la pita de la carta Tiee 4 posibilidades para cada carta, trébol, corazoes, diamate o piques Queremos docimar la hipótesis de que el sujeto esta solo adiviado y o tiee poderes extrasesoriales, cotra la alterativa de que el sujeto tiee poder extrasesorial Hipótesis: H : versus H : Nivel de sigificacia:,5 Datos: La persoa tiee 35 correctas de las 96 cartas Verificació de supuestos: p = y ( p ) 7 Test Estadístico Observado: z = valor-p: Decisió: Coclusió: 4 = 8 Tomado decisioes acerca de la media de ua població Ahora veremos el caso dode lo que os iteresa es ivestigar sobre la media de ua població Hipótesis Escriba las hipótesis ula y alterativa que usaría para probar las siguietes aseveracioes Las hipótesis debe ser expresadas e térmios del parámetro µ, la media de la població de iterés a) La media de la edad de los pacietes e u hospital es de más de 6 años b) La media del coteido de cafeía de ua taza regular de café es de meos de mg c) El úmero promedio de pacietes que igresa a la Posta Cetral diariamete difiere de Distribució muestral de x, la media muestral Si tomamos ua muestra aleatoria simple de tamaño de ua població co media µ y desviació estádar σ, y si la població origial distribuye ormal, x N µ, σ x µ σ ~ = ~ N(,) si la població origial o es ecesariamete ormal, pero el tamaño muestral es suficietemete grade, x aprox N µ, σ x µ σ es = es aprox N(,) (TCL)

4 Test para la media de ua població H : µ= µ Queremos docimar ua hipótesis acerca de la media poblacioal µ La hipótesis ula es, dode µ es u valor hipotético de µ Asumimos que los datos proviee de ua muestra aleatoria de tamaño, de ua població co distribució Normal co desviació estádar coocida σ El supuesto de ormalidad o es crucial si el tamaño de la muestra es grade Nuestra decisió acerca de µ estará basada e el valor de la media muestral estadarizada x, la cual es: x µ = σ Este score o putaje z es el test estadístico y su distribució bajo H es aproximadamete N (, ) Notar que el test estadístico o depede de la hipótesis alterativa Calculamos el valor-p del test, el cuál depede de la direcció de la hipótesis alterativa: Test Uilateral, cola superior Test Uilateral, cola iferior Test Bilateral Si H : µ > µ, etoces el Si H : µ< µ, etoces el Si H : µ µ, etoces el valor-p es el área a la derecha valor-p es el área a la izquierda valor-p es el área afuera de las del test estadístico observado del test estadístico observado dos colas del test estadístico bajo H bajo H observado bajo H N(,) N(,) N(,) OBS OBS - OBS + OBS Decisió: Si el valor-p es meor o igual al ivel de sigificació se rechaza H

5 Desviació estádar coocida Moóxido de carboo La Comisió Federal de Comercio (Federal Trade Commissio de Estados Uidos clasifica aualmete las variedades de cigarrillos segú su coteido de alquitrá, icotia y moóxido de carboo Se sabe que estas tres sustacias so peligrosas para la salud de los fumadores Estudios ateriores ha revelado que los icremetos e el coteido de alquitrá y icotia de u cigarrillo va acompañados por u icremeto e el moóxido de carboo emitido e el humo de cigarrillo La base de datos cotiee los datos sobre moóxido de carboo (e miligramos) e ua muestra de 5 marcas de cigarrillos (co filtro) Sea µ = media de moóxido de carboo e la població de todos los paquetes de cigarrillos E el pasado esa media ha sido 5 mg, co ua desviació estádar de 4,8 mg y queremos saber si la media actual µ es meor que la media atigua de 5 mg MARCA CO Alpie 36 Beso & Hedges 66 Bull Durham 35 Camel Lights Carlto 54 Chesterfield 5 Golde Lights 9 Ket 3 Kool 63 L&M 54 Lark Lights 3 Marlboro 44 Merit Multifilter Newport Lights 95 Now 5 Old Gold 85 Pall Mall Lights 6 Raleigh 75 Salem Ultra 49 Tareyto 59 True 85 Viceroy Rich Lights 6 Virgiia Slims 39 Wisto Lights 49 Porcetaje 4% 3% % % Estadísticos descriptivos Moóxido de Carboo (mg) N Media Desv típ CO N válido (segú lista) 5

6 Variaza de la població ( σ ) descoocida El cálculo del error estádar de la media muestral icluye a σ, pero casi uca vamos a coocer la variabilidad e la població e estudio Cuado se descooce el σ del uiverso, el error estádar del promedio debe calcularse a partir de la desviació estádar de la muestra: s x = E este caso ya o es lícito trabajar co la distribució ormal y la variable ormal estádar, s x µ x µ z = = σ σ x sio que se trabajará co la variable t de Studet: t = x s x µ x µ = s Esta variable t sigue ua distribució t de Studet co (-) grados de libertad Propiedades de la distribució t de Studet N(,) t(5) t(3) Los valores de t depede del úmero de grados de libertad, los que se determia a partir del úmero usado e el deomiador para el cálculo de la desviació estádar (s) es decir (-) La fució de desidad de la distribució t de Studet tiee forma de campaa simétrica, similar a la distribució ormal N(,) Es u poco más chata y tiee colas más pesadas que la N(,) Cuado el tamaño de la muestra aumeta, la distribució t de Studet se aproxima a la N(,)

7 Uso de la Tabla t: a) Ecuetre el percetil 99 de la distribució t co 4 gl: t 99 (4): b) Ecuetre el percetil de la distribució t co 3 gl: t (3): c) Ecuetre el percetil 95 de la distribució t co gl: Se observa, por ejemplo, que el percetil 97,5 que e la curva ormal correspode a u valor de z =,96, e la distribució de t para 4 grados de libertad correspode a u t de,64 Para ifiito la distribució t de Studet es igual a la ormal, pero e la práctica cuado el úmero de observacioes es superior a 3, los valores de z y t ya so ta parecidos que se puede utilizar como aproximació, la distribució ormal

8 t(df) Area=α Tabla: Percetiles de la distribució t de Studet t α gl t 6 t 7 t 8 t 9 t 95 t 975 t 99 t gl -t 4 -t 3 -t -t -t 5 -t 5 -t -t 5

9 Tiempos de estudio U profesor uiversitario lee u artículo que discute sobre el tiempo que dedica los alumos para estudiar cada semaa El artículo dice que los alumos estudia e promedio 7,6 horas por semaa El profesor cree que los alumos estudia más de 7,6 horas por semaa e promedio El profesor elige ua muestra aleatoria simple de 5 estudiates de su uiversidad y ecuetra que el promedio muestral de estudio es x = 8, 43 horas y la desviació estádar es s = 4, 3 Asuma que el tiempo de estudio semaal sigue ua distribució ormal a) Establezca la hipótesis a docimar b) Calcule el test estadístico c) Ecuetre el valor p del test d) Los resultados, so estadísticamete sigificativos al 5%? e) Escriba su coclusió al profesor Datos del mar Laegelmavesi, Filadia * Se tiee ua muestra de peces que fuero pescados e el mar Laegelmavesi de Filadia ( Se está ivestigado el peso de los peces e kilos Se quiere docimar la hipótesis de que el peso es meor que 6 kilos µ = promedio de peso de los percas (perch) e la població e kilos Datos Test estadístico observado: x µ 5,839 6 t = = =,885 s, ,885 os dice que la media muestral esta a,885 errores estádar debajo de la media hipotética de 6 Valor p t T OBS t t(55) Usado la Tabla t: Ya que el test t observado de -,885 cae etre el percetil y el, e la distribució t co 4 grados de libertad, el valor p estará etre, y,,< valor p<, t(4) Usado el computador: t=-,885 y 55 grados de libertad, se obtiee u valor-p de,9 Por lo tato co u ivel de sigificacia del 5% o podemos rechazar H Así, parece que el peso promedio de las percas e este mar, o es sigificativamete meor que 6 kilos * Fuete: Brofeldt, Pekka: Bidrag till keedom o fiskbestodet i vaera sjoear Laegelmavesi THJaervi: Filads Fiskeriet Bad 4, Meddelade utgiva av fiskerifoereige i Filad Helsigfors 97

10 Resume del test t simple para la media de ua població Estamos iteresados e docimar la hipótesis acerca de la media de ua població µ La hipótesis ula es H :µ = µ dode µ es u valor hipotético para µ La hipótesis alterativa da la direcció del test Se asume que los datos proviee de ua muestra aleatoria de tamaño de ua població co distribució Normal co desviació estádar σ descoocida El supuesto de ormalidad o es crucial si el tamaño de la muestra es grade Nuestra decisió acerca de µ, será e base al valor de la media muestral estadarizada x, el x µ cual es t = s Este es el test estadístico y su distribució bajo H, es ua distribució t co - grados de libertad El valor-p del test, depede de la hipótesis alterativa: Uilateral, cola superior Uilateral, cola iferior Bilateral Si H :µ > µ, etoces el Si H :µ < µ, etoces el Si H :µ µ, etoces el valor-p valor-p es el área a la derecha valor-p es el área a la izquierda es el área e las dos colas, del test estadístico observado del test estadístico observado fuera del test estadístico observado bajoh bajo H bajo H t(-) t(-) t(-) T OBS T T OBS T -T T OBS +T OBS Decisió: Si el valor-p es meor que el ivel de sigificacia etoces rechazamos H Revisió de supuestos del test: Este test de hipótesis asume que los datos proviee de ua muestra aleatoria de tamaño de ua població co distribució Normal co desviació estádar descoocida El supuesto de ormalidad o es crucial si el tamaño de la muestra es grade ( > 3) Si embargo es importate primero describir los datos y verificar presecia de sesgos y valores extremos que pudiera hacer pesar que la distribució de la població o es Normal Ver p56 Moore