Unidd : Mtrices. Cómo deen ser ls mtrices rectngulres M y N pr que puedn efecturse ls multiplicciones M.N y N.M?. Rzonrlo. Si el orden de l mtriz M es (m,n) y el de l mtriz N es (p,q). Pr poder multiplicr M N, el numero de columns de M dee ser igul l número de fils de N, es decir n = p. De igul form, pr poder multiplicr N M, el numero de columns de N dee ser igul l de fils de M, es decir q = m Por tnto, pr poder multiplicr l M N y l N M l vez, deerá verificrse que el orden de M se (m,n) y el orden de N se (n,m) respectivmente. Compror con ls mtrices indicds que: ) (B+C) = B + C ; ) (5 ) B = 5 ( B) )
) Pr compror + I = O clculmos Como pide un mtriz B Si x = ; t = - y + yz = - yz = - Si y = z = -
Dd l mtriz, existe un mtriz B, tl que el producto.b, o ien el B., se un mtriz de un sol fil?. Poner un ejemplo con Siendo B de dimensiones (p,q) y de dimensiones (,) Si multiplicmos B será necesrio que el nº de fils de B se igul l nº de columns de, es decir que p = Esto nos indic que no existe ningun mtriz B de un sol fil. Si multiplicmos B será necesrio que el nº de columns de B se igul l nº de fils de, es decir que q = y pr que el resultdo de B teng un sol fil, será necesrio que l mtriz B pose un sol fil, es decir p = En este cso l mtriz B tendrá de dimensiones (,) Si tommos B = ( ) y multiplicmos B. nos qued:
P = P Solo vlen ) d c d c d c c d c d c + d = + ; d = ; = d P,
5 tl que: + X = X + X. Se d c X d c d c X c d d c X d c d c X c d d d c X X Si + X = X + X => c d d c d c + = = L mtriz X Dd l mtriz = encontrr tods ls mtrices P = tles que P = P (PU Junio 5-6). Se dese que Por tnto dee cumplirse que: => Por tnto,, donde y son numeros culesquier
6 ) Hllr tods ls mtrices simétrics de segundo orden, que verifiquen que = I, siendo I l mtriz unidd. ) P P 7 5 M ) c c = I c c c c ; c c c c c c Si c =,,, Si = - + c = ; c [,]
7 Dd un mtriz P, ) existe un mtriz Q tl que el producto P Q, o ien el producto Q P se un mtriz de un sol fil?. ) Clculr l mtriz M = P P- I, siendo I l mtriz identidd de orden y P = ) P nxm Q pxq = x q Siempre que m = p y n = P x m Q mxq = x q ) M = P P I = P P P I = = 6 9 8 6 9 7 7 Dds ls mtrices 9 7 z y x 9 7 z y x z y x z y x e e e e 8 7 z y z y z y x e e 7 z y z y z y x e e 7 z z y z y x sistem comptile indetermindo Ls infinits soluciones son
8 (PU Junio Generl 9-) 5 5 ; 5 = = ( +I ) = + = 6 5 5 = = ( - +I ) ( - +I ) = - - + 9I = - 6 + 9I = 6 7 7 5 9 6 5 5 = = ( - + ) ( - + I ) = - - + 9 = = - 6 + 9 = 59 9 9 8 9 9 9 6 6 9 5 6
9 ) Clculr l mtriz ) Hciendo uso del prtdo nterior, determinr ) I I ) = Clculremos prtiendo de ( I ) ( I ) = ( I ) ( I) = - I I + I = + I Como ( I ) = + I = = I = ( I ) ( I ) = I I + I ; = + I = ( I) + I 5 8 7 8 5 8 8 8
) Pr poder multiplicr X nxm x = B x / m = y n = ) f e d c X 6 5 f e d c 6 5 f e f e d c d c = - ; = ; = + ; = 5 d c d c 8 d c d c d = -5 ; c = d ; c = + 5 ; c = 9 6 5 f e f e 5 f e f e f = -7 ; e = 6 f ; e = 6 + 7 ; e = 7 5 9 5 X y es únic
Dds ls mtrices: y ) Hllr. ) Hllr l mtriz invers de B. c) En el cso prticulr de k=, hll B. (PU Septiemre -5) ) = = = = = O = x = O x = O ; y lo mismo 5, 6 por tnto = ) B = = ; Es un mtriz tringulr, B = = ; B d = ; (B d ) t = B - = (B d ) t = c) B = = B = = B = = B n = ; B =
Determinr los vlores x, y, z pr que se verifique l iguldd: x y x y x 5 x 5 Multiplicmos ls dos primers mtrices y qued que y x yz x yz 5 x y 5 Igulndo los cutro términos de ms mtrices llegmos un sistem de ecuciones. z = x = x = - y = z = x = y = z = - z = x = x = y = - z = x = - y = - z = - ests son ls posiles soluciones que verificn l iguldd mtricil.
Encontrr los vlores x, y, u y v que verificn: y x v y u x Hllr los productos B y B pr ls mtrices 7 5 6 7 8 B 8 7 6 6 B No son conmuttivos
Hllr tods ls mtrices X de l form tles que c c c c c c ; (-) = =, Si = y = = + No vle Si = y = = + No vle Si = - y = = - + No vle Si = - y = = - + Si vle y l c = = c =
5 Hllr +Y siendo X e Y mtrices que verificn: Primero resolvemos el sistem en x e y 5 5 5 5 9 5 6 9 5 5 5 Y X Y X Y X Y X 5 5 Y Y 5 9 X ; 9 6 9 X 9 6 9 X ; X 6 7 6 5 8 5 5 Y X Otén ls mtrices y B que verificn el sistem: Y B X B Y B X B 6 Y X B 7 Y X B 7 Y B X B Y B X B 6 Y X 7 y X 7 6 8 7 6 8 7 B 6 6 6 7 7 7
6 Resolver el sistem mtricil: 6 9 9 5 Y X Y X 5 6 X 5 6 X Y X 5 6 Y 5 5 8 Y Se l mtriz de un sol fil y se B l mtriz de un sol column. Se pueden multiplicr B y B? x y B x luego es multiplicle 8 5 5 B B x y x luego son multiplicles 8 5 6 5 B.B B.
7 Se l mtriz Hllr n, siendo n un número nturl ritrrio. Clculr (PU MODELO 8-9) Se oserv fácilmente que el = siempre, el = y el =.El único que cmi es el pero sigue un ley de recurrenci y que su vlor coincide con el exponente de l. n n Si dmos n =5 5 5 Compromos que 5 5 Como lo verific pr n= 5, lo verificr pr culquier n Se un mtriz cudrd. Si + + I =, donde I es l mtriz unidd, compror que es invertile. Un mtriz es invertile siempre y cundo El prolem surge de que tenemos que prtir de l ecución mtricil + + I = + I + I = ; ( +I ) + I = ( + I ) = - I ; (-) ( + I ) = (-) (-I ) (- I ) = I multiplicndo l izd por - - (- - I ) = - I ; I (- I ) = - I - - = - - I L invers de se otiene restándole l mtriz -, l mtriz I
8 Se l mtriz Hllr l ley de formción pr ls potencis sucesivs de, clculr n y demostrrlo por inducción. 8 7 n n n Comproción pr n = 6 5 8 7 Se l mtriz Hllr y pr que = I. Si = +. = ; = ; = ± Si = - + ( ) = ; + 8 = ; 9 = ; = /9 ; = ± / Soluciones: ; / / / / / / / / / / / / / / / / / /
9 Se l mtriz fil : ) Hllr X t. ) Hllr = X t.x c)compror que l mtriz no tiene invers. ) t X ) 9 6 6 X X t c) no tiene invers porque =, y que tiene ls fils proporcionles. Se. Encuentr un mtriz cudrd tringulr B tl que B B t =. Es únic l mtriz B?. Se c B un mtriz tringulr de dimensión x Su trspuests será : c o B t Como B B t = c c c c c = ± Si c = ; = / c = / = ; + = = 9 = ± Si c = - ; = / - = - ; + (-) = = 9 = ± Hy soluciones diferentes
Se un mtriz cudrd de orden n tl que =, se I l mtriz unidd de orden n y se B = I, clculr B. I B B = B B = ( I) (. I) = I I + I B = + I = I Sen, B y C mtrices cudrds de orden n. Si se verific que B = C. Se puede concluir que será B = C? Si no es sí, mostrrlo con un ejemplo sencillo. No se puede segurr que B = C en cunto que l mtriz no pose mtriz invers, y esto sucederá cundo el determinnte de se cero. Se B y C en donde el Si multiplicmos B Si multiplicmos C Como podemos oservr el C B mientrs que B C
Sen y B ls mtrices Hllr ( + B) y + B + B. Se otiene el mismo resultdo? 5 B ; 7 8 6 5 5 B 6 8 6 6 B 9 7 6 B 5 5 9 7 6 6 B B Como se puede oservr: Se comprue que: ( + B) + B + B ( + B) = + B + B + B Sen ls mtrices:. Hllr un mtriz X tl que X = B Hy que eliminr l multiplicndo por X por l derech de los términos. =>
Sen ls mtrices Hllr ) - B ; ) - ( + B) ; c) 9 B ; d) 9 B ) 6 8 6 9 6 8 8 6 7 8 6 9 6 ) 6 8 6 7 9 6 B 5 5 8 5 c) 7 8 8 7 8 8 6 7 6 9 B d) 9 6 9 5 8 9 9 B = 7 9 5 8
Sen ls mtrices Hllr: ) B, ) B, c) ² d) B², e) ( B) ², f) ² B². Se otiene el mismo resultdo en e) y en f)? ) 6 7 7 8 5 9 B ) 7 5 6 6 5 9 8 5 B c) 5 8 9 9 d) e) f) No se otiene el mismo resultdo, deido l no conmuttividd de mtrices
Se consider l mtriz números reles ritrrios. Encuentr n n. donde, y c son tres pr todo numero nturl n = O pr todo numero nturl n Se considern ls mtrices Clculr B, Clculr hciendo = B + I ) = (B + I) = B +.B.I + 6.B.I +.B.I + I = =
5 Se se que l mtriz = Verific l iguldd ² = + I, siendo I l mtriz identidd. Clculr - y Prtiendo de ² = + I = + I multiplicmos l derech por - los dos miemros.. - = ( + I) - ; I = - + I - I I = I + - - = - I - = 5 7 9 6 7 5 7 9 6 7 = = ( + I) ( + I) = ( + I) + ( + I) I= + I + I + I I = + + + I = + I + + I = + I = 7 9 5 6 5 6 7 8 6 9 5 7 9 6 7
Tiene l propiedd conmuttiv l multiplicción de mtrices cudrds?. Y l de mtrices rectngulres?. Mostrr ejemplos sencillos. El producto de dos mtrices no cumple siempre l propiedd conmuttiv. Si ls mtrices M y N no son cudrds, pr que se puedn multiplicr M N y N M deerán ser de dimensiones (m,n) y (n,m) y entonces M N será de dimensiones (m,m) N M será de dimensiones (n,n) Por tnto l pregunt solo tiene sentido cundo m = n, es decir pr mtrices cudrds del mismo orden. hor ien, si tommos dos mtrices culesquier de orden, podemos ver que no conmutn. 6
UNIDD : Determinntes. Clcul el siguiente determinnte, hciendo previmente ceros en l segund column: f + 6f = f f f + 9f = (-) = = (-) (-) = c c = = f + f = f + f = 88-57 = - 9 plico l regl de Chio y en el determinnte x plico Srrus Clcul, en función de, y c el vlor de: () () ( ) (c ) (c ) () Si un líne de un determinnte se divide por un numero k, el nuevo determinnte viene multiplicdo por dicho numero k () Es un determinnte de Vn der Monde. 7
Clculr, en función de n, el vlor del determinnte Como puede oservrse el determinnte vle pr culquier vlor de n. Clculr el determinnte () () () Si cmimos un líne de un determinnte por un cominción linel de ell con otr prlel, el nuevo determinnte no vri. () El determinnte de un mtriz tringulr vle el producto de los elementos de su digonl principl. 8
Procedimiento ): Trjremos con ls fils relizndo cominciones lineles. f f f ; f f f ; f f f = = c + c c = = = (-) (-) c + c c = = = = + + = +. Procedimiento ): = c + c + c + c c = = c : ( + ) = ( + ) f f f ; f f f ; f f f = ( + ) = ( + ) = +. 9
Clculr los determinntes: = () () = () () () Un determinnte no vri si se cmi un líne por un cominción linel de ell con otr prlel. () Si en un determinnte hy dos línes prlels proporcionles, su determinnte vle () () () Si en un determinnte existe un líne descompuest en dos sumndos, se podrá descomponer en sum de dos determinntes, en donde ls línes no descompuests se mntendrán igules y l líne con dos sumndo se descompondrá cd sumndo en un determinnte. () Si en un determinnte existen dos línes prlels igules, el determinnte vle cero. De otr form: () () () Si en un determinnte intercmimos un líne por un cominción linel de ell mism con otr prlel, el nuevo determinnte no vrí.
= () () () Un determinnte no vrí si se cmi un líne por un cominción linel de ell con otr prlel. () En un determinnte con dos línes prlels igules, vle Contest ls siguientes cuestiones: ) Enunci dos propieddes de los determinntes. ) Clcul el siguiente determinnte: = = () () = = (x + ) (x ) () () Si cmimos un líne por un cominción linel de ell con otrs prlels, el nuevo determinnte no vrí. () Si dividimos un líne por un numero o función, el nuevo determinnte vendrá multiplicdo por dicho numero.
Dd l siguiente mtriz de orden n 9 9 9 Se pide: ) Clculr el determinnte de l mtriz. ) Clculr el vlor del determinnte de l mtriz. c) Clculr el vlor del determinnte de l mtriz 5. (PU Junio 7-8) ) 9 9 ) 9 9 8 9 9 c) 9 9 9 9 Demostrr que es nulo, sin desrrollr, el siguiente determinnte = = = =
El determinnte de un mtriz cudrd de orden tres vle 6. Hllr el determinnte de ls mtrices: ) 5 ; ) ; c) -6 ; d) t ; e) t ; f) t x = 6 = 5 6 = ) = - 6 c) = - 6 6 = 56 d) e) = 6 6 = 56 f) = 6 6 = 56 El determinnte de un mtriz cudrd de orden n vle k. Hllr el determinnte de ls mtrices 5 ; - ; t y t. nxn = K. 5 nxn = 5 n = 5 n K - = (-) n = (-) n K t = = K t = t = K K = K El determinnte de un mtriz cudrd de orden n es k. Qué condición dee verificr k pr que l mtriz teng invers? Cuánto vle en ese cso? pr que pose invers es decir =
Encontrr ls trnsformciones de fils o columns necesris pr deducir: = = (-) 5 = - ( - ) ( - ) = - ( - ) ( - ) (- +) = ( - ) ( + - ) = ( -) ( - ) ( + ) = = (- ( - ) ) ( - ) ( + ) = ( - ) ( + )
5 Hllr en función de, el vlor del determinnte (PU Septiemre 998-99) Restmos tods ls columns l c = Desrrollmos por los elementos de primer fil = + + + = - El determinnte de un mtriz tringulr, en este cso superior es siempre el producto de los elementos de l digonl principl. Con lo que = - ( - )³ Hllr los determinntes de ls siguientes mtrices ) B = = = = = = = (-) (-) = = = (-) = = - (9 + ) = -
Otén el vlor de los siguientes determinntes, utilizndo el método del pivote: = ( - + + + + ) = ( 9 + 8 + 8 ) = Otener, simplificndo, el desrrollo del determinnte plicms ls propieddes de los determinntes pr no desrrollr por Srrus. = = () () = c () () : Si dividimos un líne por un mismo número rel distinto de cero, el nuevo determinnte qued multiplicdo por dicho número. : Si sustituimos un líne por u cominción linel de ell con otr prlel, el determinnte no vri. : El determinnte de un mtriz tringulr (ceros por dejo de su digonl principl) vle el producto de los elementos de l digonl principl. 6
Pror que = sen ( - c) + sen (c - ) + sen ( - ) Si desrrollmos por los elementos de l primer column = = (sen.cos c - cos.sen c) + (sen c.cos - sen.cos c) + + (sen.cos - sen.cos ) = sen ( - c) + sen (c - ) + sen ( - ) Pror que: () () () Si cmimos un líne de un determinnte por un cominción linel de ell con otr prlel, el nuevo determinnte no vri. () El determinnte de un mtriz tringulr se clcul multiplicndo los elementos de l digonl principl. Prue que = = = = - ( ) (- + ) = ( ) ( + ) = = ( ) ( + ) 7
Resolver l ecución = pliquemos ls propieddes de los determinntes pr rejr el orden y poder clculr su vlor. Luego lo igulremos pr resolver l ecución. = = () () = - = = - (x - ) = = - (x - ) = = - (x - ) = = - (x - ) = = - (x - ) (-x + x - ) (x - x + x - ) = = - (x ) [- (x ) ] (x ) = = + (x ) 6 Pr resolver l ecución (x ) 6 = x = No olvidr explicr ls propieddes () y (). 8
Resolver l ecución: = = ( - ) ( + ) = ( - ) ( +) = ; = ( - ) ( + ) = - = ; = + = ; = - En un determinnte de un mtriz tringulr, su resultdo es el producto de los elementos de l digonl principl. Resolver ls ecuciones: ) x - - c + c x - + x - - x ) -x x - ======= -x - + x = = - x c xc x - x - x -+x - -x - +x = - - + x = - (-+x) = (-x) = (- x)[ - (-x) x (+x )]= x - x x -x = ( - x) (- + x x x ) = ( - x) (-- x ) (-x) (-- x ) = - x = ; x = - - x = ; x = - ; x = - = - x - - c +c x x+ - - x - + x - - x ) -x x - ====== -x - + x = = = - x c xc - + x =(- + x) (- + x ) ; (- + x) (- + x ) = - + x= ; x = -+ x = ; x = ; x = 9
Resolver ls ecuciones: ) ) = ) = = () () = (-) = (-) () () = (-) (-) (-) = (-) (-7 x + ) = - 5 + x e igulndolo cero qued x = 5 x = 5 / ) = = = = - x - x () () Si igulmos cero - x x = -x (x + ) = () Si cmimos un líne de un determinnte por un cominción linel de ell con otr prlel, el nuevo determinnte no vri. () Desrrollmos por los elementos de un líne.
Resolver ls ecuciones: ) = ( x) = ( x) ( x) [ + x x] = ( x) Como dee vler cero ( x) ( x) = Sle tmien por Vn der Monde. [ (-)] [z (-)] (z ) = (z + ) (z ) () Como dee de vler cero (z + ) (z ) = () plicndo el determinnte de Vn der Monde.
Resolver ls ecuciones siguientes: = 8 (x ) = ; x = ; = ; = ; = = (k 7) = (k 7); k 7 = ; k = 7; k = = + x + x (x ) = + x + x x = + x ; + x = ; x - = ; x = ; x =
?. Por que?. Pr llegr l segundo determinnte prtir del vlor del primero, hrá que relizr dos trnsformciones. verigu el vlor del determinnte de ls siguientes mtrices: =
Se l mtriz =. Pr cd número rel ƛ definimos B = I, donde I denot l mtriz identidd x. ) Hllr los vlores de que hcen que el determinnte de B se nulo ) Resolver el sistem B = pr los distintos vlores de (PU Modelo -) ) = B= I B= - = ǀBǀ = => - + + = - = ; = ) = = = = x = y Pr todo perteneciente R Existen infinits soluciones -> Sistem comptile indetermindo. = - Pr todo perteneciente R Existen infinits soluciones -> Sistem comptile indetermindo. es 5, clculr rzondmente el vlor de = 8 5 =
() () () () Si en un determinnte hy un líne descompuest en dos sumndos, se descompondrá en dos determinntes en ls que ls fils no descompuests, precerán tl cul en cd determinnte y los primeros sumndos de l descompuest irán l primer determinnte y los segundos sumndos irán l segundo determinnte. () Si en un determinnte existen dos línes prlels proporcionles, su vlor es cero. () Si dividimos un líne por un mismo número, el determinnte vendrá multiplicdo por dicho número. 5
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UNIDD : Rngo de mtrices Clculr el rngo de l mtriz según los diferentes vlores del prámetro rel : (PU Junio -) El rngo l menos es, pues el menor = 5. Vemos qué dee psr pr que se. Pr ello estudimos los menores de orden, prtir del menor de orden El menor = = El menor En consecuenci:.. Clcul los vlores de x pr que se el rngo de l mtriz Pr que el rg = - + x - + x = x = x = Pr x =, el menor de orden es nulo No existe menor principl de orden rg = 7
Estudir el rngo de l mtriz según los vlores del prámetro m (PU Junio 6-7). = m = menor principl orden en menor principl orden en rg = m = menor principl orden en = = - menor principl orden en rg = menor principl orden en => rg = Hll el rngo de l mtriz : existe menor principl de orden = 7 + 6 = existe menor principl de orden = - 5 existe menor principl de orden = = - 5 ( ) = 5 existe menor principl de orden rg = 8
Hllr el rngo de l siguiente mtriz M, según los vlores de α, β y γ: Pr clculr el rngo utilizremos l propiedd de que un cominción de fils prlels no vrí el rngo de l nuev mtriz. = = rg () () () si divido un fil por un número rel el rngo no vrí () dos fils prlels proporcionles hcen que el rngo disminuy en un fil. Luego rg M < α = β = γ = rg M = rg M = α = β γ rg M = α β = γ rg M = 9
Estudir su rngo según los diferentes vlores de x. Los vlores que discutimos son x =, x =, x = y los distintos de, y 5
Se pide: ) Clculr el rngo de. ) Hllr l mtriz rg = pues un vez hechos los ceros por dejo de l digonl principl, me quedn línes linelmente independientes Siguiendo y como prtir de hor hrá que multiplicr por l mtriz nul, nos quedr que 5
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UNIDD : Mtriz invers. Ecuciones mtriciles Clculr pr que vlores de k l siguiente mtriz inverss. es invertile. En esos csos escriir sus mtrices tendrá mtriz invers cundo el determinnte de l mtriz no se cero. = 9k + 8 = 9k + Si = 9k + = 9k = - k = - / Pr todos los vlores de k distintos de / existirá - 5
) Hll pr que vlores del prámetro existe -. ) Clcul - pr =. ) Pr que exist - el Buscmos los vlores de pr que vlg - + - = - + =, el existe - Pr = = - + 8 = ) Hllr -. ) Compror que se verific I = O. c) Hllr - prtir de l iguldd nterior ) = 6 = - = ; ) =. c) I - I = O ( I) - I = O ( I) = I ( I) - = I - I = - 5
, verigur pr que vlores del prámetro ß l mtriz no tiene invers. Clculr su invers cundo ß =. Pr que l mtriz pued invertirse, dee ser. = - ß + ß - Si hgo que = resolviendo l ecución de segundo grdo en ß tenemos que ß = y ß = Cundo ß = o cundo ß = l mtriz no posee invers. Clculemos l invers de, pr ß =. - + 8 - = Pr comprorlo. - = I Hll el vlor no nulo de c pr el cul l mtriz es digonl. Con este vlor de c hllr -. c + c = c ( + c) = + 8 + 8 - - = 55
Dd l mtriz: Se pide: ) Estudir el rngo de l mtriz según los vlores del prámetro. ) Otener l mtriz invers de pr. (PU Junio 8-9) ) - - - ) 56
Dd l mtriz: ) Determinr el rngo de M según los vlores del prmetro. ) Determinr pr que vlores de existe l mtriz invers de M. Clculr dich mtriz invers de = (PU Junio 5-6) + ) = => ) 57
Dd l mtriz invertile = hllr : ) t ) t c) - d) - e) t - f) - t Clculo t = Clculo - : = = + + = d = ( d ) t = - = ( d ) t = = ) t = = ) t = = c) - = = = I d) - = = = I e) t - = = f) - t = = 58
Dds ls mtrices: y ) Hllr. ) Hllr l mtriz invers de B. c) En el cso prticulr de k=, hll B. (PU Septiemre -5) d) = = = = = O = x = O x = O ; y lo mismo 5, 6 por tnto = e) B = = ; Es un mtriz tringulr, B = = ; B d = ; (B d ) t = B - = (B d ) t = f) B = = B = = B = = B n = ; B = 59
Escriir l mtriz invers de multiplicándolo por l mtriz dd.. Compror el resultdo Clculemos el = - = - con lo que se puede clculr l invers de. Clculemos los djuntos de l mtriz. = ; = - ; = - ; = = Comproción: Escriir l mtriz invers de l existe, culquier que se el vlor de. y compror que Pr que exist l mtriz invers, el determinnte de l mtriz deerá ser no nulo. = - + - = - l ser el determinnte e independiente del vlor de, l mtriz invers existirá siempre pr todo vlor rel de. Comprovemos que. - = -. = I 6
su trspuest es igul su invers. En esos csos hllr. verifique que t = - t = - t = I + = = = Como = y como c = vlido pr todo y todo c perteneciente los nº reles. ½ + = = ½ ½ + c = c = ½ De ls cutro posiiliddes solo son vlids los vlores de y c que tengn signos opuestos, pr que l sustituir en ½ + c =, l verifique, es decir Si = ; Si = ; = I = = I = = = = I Ls potencis impres dn y ls potencis pres dn I 6
Hllr l invers de l mtriz ; Hllr l mtriz - en función de siendo que existe y que se verific + 7 = I. + 7 = I + 7 I = I ( + 7 I) = I ( + 7 I) - = I - + 7 I = - Hllr l mtriz invers de I - siendo: e I = = B 6
Hllr l mtriz invers de y compror el resultdo, multiplicándol por l mtriz dd. Si llmmos l mtriz dd, un método pr clculr l mtriz invers - es: = + + - - - = luego puedo invertir. Clculemos los elementos de l mtriz djunt Por último l Pr compror el resultdo - = I Hllr l mtriz X tl que: iendo (PU Junio -5) ; => Clculmos el menor complementrio de, = y ) t Como ; X = = 6
Se un mtriz que verific +=I, donde I denot l mtriz identidd. ) Demostrr que no es singulr (det() y expresr - en función de e I. ) Clculr dos números p y q tles que = p I + q en función de e I. c) Si = cumple l relción de prtid, clculr el vlor de k. (PU Modelo -) ) es no singulr + = I si => + = I => ( + I) = I => => + => ) => p = 5 y q = - c) = ; + = => 6
Se l mtriz =. Pr cd número rel ƛ definimos B = I, donde I denot l mtriz identidd x. ) Hllr los vlores de que hcen que el determinnte de B se nulo ) Resolver el sistem B = pr los distintos vlores de (PU Modelo -) ) = B= I B= - = ǀBǀ = => - + + = - = ; = ) = = = = x = y Pr todo perteneciente R Existen infinits soluciones -> Sistem comptile indetermindo. = - Pr todo perteneciente R Existen infinits soluciones -> Sistem comptile indetermindo. Sen ls mtrices: = mtriz X tl que X = B. Hllr un Hy que eliminr l multiplicndo por X por l derech de los términos. => 65
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UNIDD : Estudio generl de sistems de ecuciones lineles. El cmino entre dos ciuddes y B, tiene un trmo de suid l slid de y uno de jd l llegd de B. L distnci entre ls dos ciuddes es de 6 Km. Un ciclist trd de ir de B hors, y de ir de B trd hors y medi. Siendo que l velocidd de jd es cutro veces l velocidd de suid, determinr ms velociddes y el punto donde se encuentr l cim de l montñ que sepr de B. Se x l distnci desde l cim Se t el tiempo de suid Se y l distnci de l cim hst B Se t el tiempo de jd Vymos de hst B psndo por l cim C t + t = ==> x / v + y / v = Vymos de B hst psndo por l cim C t + t =,5 ==> y / v + x / v =,5 demás el cmino recorrido x + y = 6 y l v = v ==> x = 6 y ==> v = Km/h v = v ==> v = Km/h + y = 6 ==> y = 6 - ==> y = Km x = 6 - y ==> x = 6 - ==> x = Km 67
El empleo en el sector servicios en el 987 represent proximdmente el 5% del empleo totl, en el sector industril el 5% y en el sector grícol el %. Si el empleo totl del ño fue de 599. Clculr los empleos del sector. Llmmos x los empleos del sector servicio Llmmos y los empleos del sector industril Llmmos z los empleos del sector grícol Llmmos t los empleos totles x =,5t y =,5t z =,t x = 6767 empleos sector servicio y = 57865 empleos industriles z = 968 empleos grícols En un cerí se fricn tres tipos de productos: cero en lámins, en ro-llos o ceros especiles. Estos productos requieren chtrr, crón y lecio-nes en ls cntiddes que se indicn en l tl, por unidd de producto fri-cdo:. en lmins. en rollos. especiles Chtrr 8 6 6 Crón 6 6 leciones Si se disponen de uniddes de chtrr, 8 de crón y 9 leciones, Cuánts uniddes de cd tipo de cero se podrán fricr con estos mteriles? => Por Guss = y () = 5 ; y = 6 ; y = uniddes de cero en rollos x + () + () = 7 ; x = 8 ; x = uniddes de cero en lmins 68
En un grnj se venden pollo, pvos y perdices rzón de,,5 y euros/kg, respectivmente. En un semn, los ingresos totles de l grnj scendieron 57. Si se se que l cntidd de pollo vendid es superior en kg l de pvo, y que se vendió de perdiz l mitd que de pvo: ) Plnte un sistem de ecuciones pr verigur l cntidd vendid de cd tipo de crne. ) Expres mtricilmente el prolem. c) Cuántos kilos se vendieron de cd tipo? x pollos y pvos z perdices /kg 5 /kg /kg y = z ; y = kg de pvos. x= + y ; x = kg de pollos Fulno de Tl quiere hcer un grn fiest e invitr sus migos uns tortills, sí que v de tiend y compr un docen de huevos, un ols de ptts y un otell de ceite. Ddo el éxito otenido, decide repetir l fiest y vuelve comprr un docen de huevos y dos otells de ceite. Cundo lleg cs, se cuerd que no tiene ptts. Vuelve l tiend pr comprr un ols de pt-ts y decide comprr tmién otr docen de huevos. En l primer ocsión gsto 6 euros; en l segund ocsión gsto 6,5 euros y en l ultim,5 euros. Clculr si es posile, el precio de los huevos, ls ptts y el ceite. x precio de los huevos ; y precio de ls ptts ; z precio del ceite z =,5 => x = 6,5,5 =,5 => y =,5 -,5 = 69
Hce tres ños l edd del pdre er el triple de l de su hijo. Dentro de nueve ños l edd del hijo será l mitd de l del pdre. Hllr ls eddes ctules de mos. Edd ctul del pdre: x Edd ctul del hijo: y Hce tres ños ==> x - = (y - ) Dentro de nueve ños ==> y + 9 = (x + 9) / Resolvmos el sistem de dos ecuciones con dos incógnits => y = 5 ños x = - 6 + 5 ==> x = - 6 + 5 ==> x = ños Los lumnos de los tres cursos de un centro sumn 6. L relción entre los de curto de ESO y primero es de 9/8, y l relción de primero y segundo es de 6/5. Cuántos lumnos hy en cd curso?. Cuántos grupos de cd curso hy, en el supuesto de que cd grupo teng 5 lumnos como máximo?. x serán los lumnos de º ESO y serán los lumnos de º z serán los lumnos de º y lo sustituimos en l ª ecución => ==> 5y = 68 ==> y = 9 lumnos x = 9 (9 / 8) ==> x = 95 lumno; z = 5 (9 / 6) ==> z = 75 lumnos Pr clculr los grupos por curso, dividiremos los lumnos de cd curso por 5 lumnos como máximo. De º serán: 95 / 5 =, ==> hrá clses. De º serán: 9 / 5 =, ==> hrá clses. De º serán: 7 / 5 =, ==> hrá clses. 7
Mikel sle con un montón de cromos y vuelve cs sin ninguno. Su mdre le pregunt que h hecho con los cromos, lo que Mikel responde: cd migo que encontré le di l mitd de los cromos que tení en ese momento más uno. Su mdre le pregunt que con cuntos migos se h encontrdo, lo que Mikel contest que con cinco. Cuántos cromos teni Mikel l slir de cs? Rzon l respuest. x cromos l slir de cs l primer migo le d x/ + = (x + ) / y le qued x (x + ) / = (x ) / l segundo migo le d [(x - ) / ] / + = (x ) / + = (x + ) / y le qued (x ) / - (x + ) / = (x x ) / = (x 6) / l tercer migo le d [(x 6) / ] / + = (x 6) / 8 + = (x + ) / 8 y le qued (x 6) / - (x + ) / 8 = (x x ) / 8 = (x ) / 8 l curto migo le d [(x ) / 8] / + = (x ) / 6 + = (x + ) / 6 y le qued (x ) / 8 (x + ) / 6 = (x 8 x ) / 6 = (x ) / 6 Por último l quinto migo le d [(x ) / 6] / + = (x ) / + = = (x + ) / y le qued (x ) / 6 (x + ) / = (x 6 x ) / = = (x 6) / Como l finl no le quedn cromos x 6 = x = 6 cromos 7
Se dese confeccionr un diet de tres clses de limentos:, B, C. El limento del tipo tiene cl. por cd gr., el de tipo B tiene cl. por cd gr., y el C tiene cl. por cd gr. Si l diet const de gr. de limento por cd dí, si duch diet está restringid 8cl., y si l cntidd de limento del tipo ingerido dee ser el dole en peso que l cntidd de limento C. Hllr ls cntiddes que dee ingerir de cd uno de los limen-tos. = X B=Y C=Z => => => => X = gr. de limento de tipo C Z= gr. de limento de tipo + Y + = ; Y = gr. de limento de tipo B 7
Se tienen tres tipos de cfé: el de clse, que cuest 98 pts/kg; el de clse B, que cuest 875 pts/kg, y el de clse C, que cuest 95 pts/kg. Se dese hcer un mezcl pr vender 5 kg 9 pts/kg. Cuántos kg de cd clse se deen de poner si del tercer tipo dee entrr el dole de los otros dos juntos?. x kg de cfé 98 pts/kg y kg de cfé B 875 pts/kg z kg de cfé C 95 pts/kg 5 kg de mezcl 9 pts/kg Resolviendo por Guss => z = 7 kg de cfé C - y 6 7 = - 8 ; - y = - y = kg de cfé B x + + 7 = 5 x = kg de cfé 7
Según RENFE, el nº de vijeros que utilizron el tren en Enero scendió 757, en Ferero descendió en 5 vijeros. Ls dos ctegorís que existen son de ª y ª. Si l relción pr el mes de Enero h sido de un % de ª más en Enero que en Ferero y l ª clse en Enero represent el 6% del totl. Cuántos psjeros de ª y de ª hn utilizdo el servicio?. Llmmos x los psjeros de ª ; Llmmos y los psjeros de ª Llmmos x los de ª en Enero y x los de ª en Ferero Llmmos y los de ª en Enero y y los de ª en Ferero x + y = 757 ==> x = 757 - y x + y = 757-5 = 55 x = x +,x y =,6 (x + y ) x + y = 55 757 - y =,x y =,6 (757 - y ) +,6y ==> y = 65 vijeros 757-65 =, x ==> x = 8 /, ==> x = 88 y = 55 - x = 55-88 = 65669 vijeros x = 757-65 = 8 vijeros Los psjeros de ª sern x = x + x = 8 + 88 ; x = 95 vijeros. Los psjeros de ª sern y = y + y = 65 + 65669 ; y = 89 vijeros. 7
Sumndo los ños de ntigüedd de tres empledos, B y C, se otienen 5 ños. demás, el dole de ls ntigüeddes de B y de C es igul l triple de l ntigüedd de, y l diferenci de ntigüedd entre B y C es igul l % de l ntigüedd de. Determin los ños de ntigüedd de cd empledo. x ños el, y ños el B, z ños el C => => z = / z = y + = y = 8 x + 8 + = 5 x = ños de ntigüedd el empledo, 8 ños de ntigüedd el empledo B y ños de ntigüedd el empledo C. 75
Tres migos, Mrcos, Luis y Miguel, son ficiondos l músic. Entre los tres poseen un totl de CD comprendido entre 6 y uniddes. Mrcos prest CD Miguel, Luis prest CD Mrcos y Miguel prest CD Luis, con lo cul los tres migos tienen l finl el mismo número de CD. Cuántos CD pueden tener en totl?. Mrcos tiene x CD, Luis tiene y CD y Miguel tiene z CD 6 x + y + z Mrcos se qued con x + = x CD Luis se qued con y + = y + CD Miguel se qued con z + = z + CD Como los tres deen de cr con el mismo número de CD x = y + x y = y = x - x = z + x z = 6 z = x 5 Pr que x, y,z sen positivos λ 6 λ = 6 x = 6; y = ; z = x + y + z = 9 no vle λ = 7 x = 7; y = ; z = x + y + z = no vle λ = 8 x = 8; y = ; z = x + y + z = 5 no vle λ = 9 x = 9; y = 5; z = x + y + z = 8 si vle λ = x = ; y = 6; z = 5 x + y + z = si vle λ = x = ; y = 7; z = 6 x + y + z = no vle Ls soluciones son dos Mrcos 9 CD, Luis 5 CD y Miguel CD Mrcos CD, Luis 6 CD y Miguel 5 CD 76
Un utoús universitrio trnsport en hor punt 8 vijeros de tres tipos: vijeros que pgn el illete entero, que vle 75 céntimos, vijeros con ono de descuento del % y estudintes con ono de descuento del %. Si l recu-dción del utoús en ese vije fue de 9,75 euros, clcul el número de vije-ros de cd clse siendo que el número de estudintes er el triple que el del resto de vijeros. x es el nº de vijeros sin descuento. y es el nº de vijeros con el % de descuento. z es el nº de vijeros con el % de descuento. => x = - y y +,8y + 6 = 5 ==> -,y = - => y = 5 x = y = 5 = 5 x = 5 5 vijeros sin descuento, 5 vijeros con el % de descuento y 6 estudintes. 77
Un número cpicú tiene cinco cifrs. L sum de ls cifrs es 9. L cifr de ls centens es l sum de ls cifrs de ls uniddes y ls decens. Si se intercmin ls cifrs de ls uniddes y decens, el número que result disminuye en 9. Hllr el número. El numero es xyzyx l cmir el numero xyzxy disminuye en 9 uniddes z = 9 ; z = -y+z = - ; -y+ = - ; -y = - ; y = x+y+z = 9 ; x++ = 9 ; x = ; x = El número es Un compñí de trnsportes tiene tres cmiones diferentes, P, Q y R, en los que cen exctmente un cierto número de contenedores de tres tipos, B y Si se hn de trnsportr 5 contenedores de tipo, de tipo B y 58 de tipo C, cuántos vijes h de hcer cd cmión si todos los vijes lo hcen totlmente llenos?. (PU). x nº de vijes el P ; y nº de vijes el Q ; z nº de vijes el R z = vijes relizo el cmión R 9y + = 85 9y = 76 y = vijes relizo el cmión Q 5x + + = 5 5x = 5 x = 5 5 vijes relizo el cmión P 78
Un compñí fric tres tipos de mueles: sills, mecedors y sofás. Pr l fricción de cd uno de estos mueles se necesitron uniddes de mder, plástico y luminio tl y como se indic en l tl. Si l compñí tení en existenci uniddes de mder, 6 uniddes de plástico y 5 uniddes de luminio, y utilizo tods sus existencis, cuánts sills, mecedors y sofás x sills y mecedors z sofás ==> y + 6 = 7 y = ; x + + = x = Hy sills, mecedors y sofás. Un empres produce un ien, cuy función de ofert es Q o = - 5 + p y su función de demnd viene dd por Q d = - p. Cules son el precio y l cntidd en el punto de equilirio Q o = Q d?. Si Q o = Q d ; - 5 + p = - p es decir un ecución con un sol incógnit. p + p = + 5 ==> 5p = 5 ==> p = En el equilirio Q o = - 5 +. = - 5 + 9 ==> Q o = pts ser el precio Q d = -. = - 6 ==> Q d = ienes demnddos 79
Un multincionl de seguros tiene delegciones en Mdrid, Brcelon y Vlenci. El número totl de ejecutivos de ls tres delegciones sciende. Pr que el número de ejecutivos de l delegción de Brcelon fuese igul l de Mdrid, tendrín que trsldrse tres de ellos de Mdrid Brcelon. demás, el número de los ejecutivos de Mdrid excede en uno l sum de los destindos en ls otrs dos ciuddes. Cuántos ejecutivos están destindos en cd ciudd? x ejecutivos en Mdrid y ejecutivos en Brcelon z ejecutivos en Vlenci x = 6 ejecutivos en Mdrid. 6 y = 6; y = ejecutivos en Brcelon. ; z = 5 ejecutivos en Vlenci. 8
Un tiend vende un clse de clcetines el pr. l llegr ls rejs, reliz durnte el primer mes un % de descuento sore el precio inicil y en el segundo mes hce un % tmién sore el precio inicil. Siendo que vende un totl de 6 pres de clcetines por 5976 y que durnte ls rejs h vendido l mitd de dicho totl, cuántos pres de clcetines se les h plicdo el descuento del %?. X clcetines. Y clcetines l % de ; / = 6 ; - 6 = 8. Z clcetines l % de ; / = 8 ; 8 = 7. ==> Por Guss ==> Z = pres l % Y = = 8 pres l % X = 6 8 ==> X = pres sin rej. 8
UNIDD : Estudio generl de sistems de ecuciones lineles. ) y z Considerr el sistem de ecuciones ( ) x y z x ( ) y z ) Discutirlo según los vlores del prámetro λ. ) Resolverlo pr λ=. c) Resolverlo pr λ=. (PU Septiemre 999-) y z ( ) x y z x ( ) y z C ( ) + (λ - ) (λ - ) - [ - (λ - )] = ( ) = + λ - λ λ + - ( λ + ) = λ - λ C λ (λ - ) = λ =,, C menor principl orden en C rg C = Si rg C = rg = nº de incógnits SISTEM COMPTIBLE DETERMINDO Solución únic Pr λ= C No existe menor principl orden en C rg C < C menor principl orden en C rg C= x x y ti No existe menor principl de orden en rg = Si rg C = rg = < nº de incógnits Sist. Comptile Indetermindo: soluciones. 8
8 Pr λ = C No existe menor principl orden en C rgc < x C menor principl orden en C rg C= x y ti No existe menor principl orden en rg = Si rg = rg C = < nº de incógnits Sist. Comptile Indetermindo: soluciones. ) Pr λ = z y x z y x z y L ª ecución desprece por tener rg C = z y x z y z y x z z x z z x z y x z x y c) Pr λ = ti y z : Crmer Método z y x z y x z y 6 6 C x x ti z x y ti 6 C y 6 C z
Discutir el sistem según los vlores del prámetro. sistem en el cso de tener infinits soluciones. Resolver el = = 5 λ + 8 + 8 5 - - λ = λ Si rg C = y rg = Sistem incomptile, no existen soluciones. Si λ = - C = = 5 = existe menor de orden en C rg C = 5 Si rg C = = rg < nº de ecuciones Sistem comptile indetermindo, soluciones. Si λ menor de orden en C rg C = rg = = nº ecuciones. ==> Sistem comptile determindo. L solución es únic pr cd λ distinto del ±. 8
) Clculemos ls infinits soluciones pr λ = - eliminndo un de ls ecuciones 85
Ddo el sistem: Se pide: ) Discutir el sistem según los vlores del prámetro. ) Resolver el sistem pr. (PU Junio 8-9) ; y que y Sistem comptile determindo Existe solución únic. Pr Sistem incomptile Pr x z Sistem incomptile Pr 86
Sistem incomptile ) Resolver pr 87
Ddo el sistem de ecuciones: ) Discutirlo según los distintos vlores de m. ) Resolverlo cundo se comptile indetermindo. (PU Junio -5) ) El sistem será comptile cundo el rngo de l mtriz de coeficientes (C) se igul l rngo de l mtriz mplid (). L primer ríz m = - se encuentr por Rufini (entre los divisores de 8); ls otrs dos resolviendo l ecución resultnte de º grdo pr drnos m = y m = Por tnto: m -, y, el rg(c) = rg() = = nº de incógnits el sistem será comptile determindo => solución únic Pr m = -, 88
Pr m = -, Pr m =, ) Si m =, el sistem es: => 89
Ddo el sistem: demuestr que es comptile determindo pr culquier vlor de pr =.. Hllr su solución prin- cipl de orden rg C = Como α, se lo que se l mplid, no existe menor de orden en rg = Si rg C = rg = = nº de incógnits únic pr cd vlor de α rel Sistem comptile determindo, solución Resolviendo por Crmer: 9
Ddo el sistem de ecuciones lineles: ) Discutir si el sistem según los vlores del prámetro. Resolverlo cundo l solución se únic. ) Determinr pr qué vlor o vlores de el sistem tiene un solución en l que y =. (PU. Junio 7-8). ) C C ; C menor principl de orden en C rg C = El rg = y que no existen menores de orden Si rgc = rg = = nº de incógnits => Sistem comptile determindo, existe solución únic = C = menor principl orden en C rg C = no existe menor principl orden en rg = Si rg C = rg = nº incógnits. Sistem comptiles indetermindo existen soluciones = - C menor principl orden en C rg C = existe menor principl orden en rg = Si rgc rg Sistem incomptile, no existe solución Pr resolverlo pr solución únic x C y C ) Si y = ; ; 5 ; / 9
Ddo el sistem homogéneo de ecuciones: Se pide: ) Determinr pr qué vlores del prámetro k el sistem tiene soluciones distints de x= y = z =. ) Resolver pr el cso k = (PU Junio Generl 9-) Por ser un sistem homogéneo, pr tener solución distint de l trivil, es necesrio que rg C = Pr k = y k = -5/ rg C < so- rg C = = rg < nº de incógnits Sistem comptile indetermindo luciones. ) x = = = y = = = 9
+ + = - + - = - = existe menor de orden en C => rg C = Si rg C = = rg < nº de ecuciones Sistem comptile indetermindo, soluciones. = - = existe menor de orden en C rngo C = Si rngo C = y rngo = sistem incomptile soluciones 9
, menor principl de orden en C => rg C = rngo C = = rngo = nº incógnits Sistem comptile determindo solución únic 9
en función del prámetro. Resuélvelo cundo se posile. = + = 6 rngo C = Si rg C = = rg < nº de ecuciones Sistem comptile indetermindo, soluciones. = + = 6 rngo C = 95
Si rngo C = rngo = sistem incomptile soluciones, - menor principl de orden en C => rg C = rngo C = = rngo = nº incógnits Sistem comptile determindo solución únic 96
en función del prámetro. Resuélvelo, si es posile, pr =. No existe menor de orden en C rg C < Si = - 5α + 5 = α = menor de orden en y rg = Pr α = rg C = rg = < nº de incógnits Sistem comptile indetermindo, existen soluciones Pr α rg C = y rg = Sistem incomptile, no existe solución Pr resolverlo pr el vlor α = eliminndo un de ls tres ecuciones 97
Clculemos los vlores de m que nuln el determinnte de l mtriz de coeficiente. Si = rg C < ; como rg C = En ls dos primers columns de C mplimos con los términos independientes y clculmos los vlores de m que nuln Si m = rg < pues no existe menor principl de orden. S rg = pr m = Como rg C = y rg = => rg C = rg < nº incógnits Sistem comptile indetermindo => soluciones. Si m, rg = pues si existe el menor principl de orden y que m rg C = ; rg = => sistem incomptile, no tiene solución 98
si rg C < rg sistem incomptile soluciones Si rg = rg C = < nº incógnits ; Sistem comptile indetermindo ; soluc. 99
, - menor principl en C rgc = rg = = nº incógnits sistem comptile determindo -> solucion unic.
pr los diferentes vlores de y resolverlo pr = Clculmos los vlores de que nulen el = + existe en el mismo menor principl de orden rg = Si rg C = rg < nº de incógnits Sistem comptile indetermindo existen soluciones
Si rg C rg Sistem incomptile No existen soluciones existe en el mismo menor principl de orden rg = Si rg C = rg < nº de incógnits Sistem comptile indetermindo existen soluciones,, - C rg C = El rg = pues no puede ser myor l no existir menores de orden Si rg C = rg = nº de incógnits Sistem comptile determindo solución únic pr cd vlor de distinto de, y -.
según los vlores de λ, y resolverlo cundo se posile. l tener más ecuciones que incógnits empezmos discutiendo l mtriz mplid Hllemos los vlores de λ que hcen que = = ; - λ + λ - λ + = ; λ - λ + λ - = - - λ = - - λ = = rg El sistem me qued Si rg C = rg = nº incognits Sistem comptile determindo solución únic. λ => rg = Si rg C solo puede ser o pues no hy un tercer column en C rg C rg, el sistem es por tnto incomptile solucion rel Resolvmos pr λ = el sistem
según los vlores de Hllemos los vlores de que nulen el = ==> + - 6 = ==> + - = ; => Sistem comptile indetermindo; soluciones. => mplimos el menor de orden con los términos independientes Si rgc rg ==> sistem incomptile ==> solución., - rg C = pues y el rg = pues menores de orden Si rg C = rg = nº de incógnits ==> Sistem comptile determindo ==> ==> solución únic pr cd vlor de
λ = = m.p. orden en C y como todos los menores de orden son nulos => m.p. orden en C m.p. orden en C => rg. C = En l mtriz mplimos el C => Como rg. C = rg. = < soluciones. nº incógnits=> Sist. Comp. Indetermindo λ = - = m.p. orden en C y como Si rg.c rg. => sistem Incomptile => solución, - rg C = pues y el rg = pues menores de orden Si rg C = rg = nº de incógnits ==> Sistem comptile determindo ==> ==> solución únic pr cd vlor de 5
Resolver pr λ = Como y = - x ==> 6
Discutir según los vlores del prámetro, y resolver en los csos que se posile el sistem: (PU modelo -5) + 8 = 9 + - 5 + 9-6 = - = - +8 = ; = = Pr = 8/ = = m.p. orden en C rg C = = = 6 + + 8-5 8-56/9 rg = Si rg C = y rg = Sistem incomptile solución. Pr = = = m.p. orden en C rg C = = = 6 + + - 5 - - 8 = rg = solución. Si rg C = y rg = Sistem incomptile 8/ y rg C = = rg = nº incógnits. => Sistem comptile determindo Solución únic. Pr = y = + z -x = + x = -/ z = - + 9/ = - ¾ => z = -/8 ; y = /8 => y = /8 7
Discutir según los vlores del prámetro rel l posición reltiv de los plnos: (PU Septiemre -5) λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ; x = ; x = -8/ menor principl de orden en C, rg C = = rg = nº de incógnits, el sistem serí comptile determindo; solución únic. menor principl de orden en C; rg C < C =, (usndo l º y ª fil y l ª Y ª column); menor principl de orden en C, rg C= = menor principl de orden en, rg = rg C; el sistem es incomptile, no hy soluciones reles. menor principl de orden en C; rg C< C = (usndo l º y ª fil y l ª Y ª column); menor principl de orden en C, rg C= = menor principl de orden en, rg = rg C; el sistem es incomptile, no hy soluciones reles. 8
Clculemos los vlores de m que hcen = 9 m 7 = ==> 9 m = 7; m = Si m = - No existe menor principl de orden ==> rg C < prtir de él mplimos con los términos independientes. rg = ; Si rg C rg ==> sistem incomptile no existe solución rel C existe menor principl de orden ==> rg C = Si rg = y que no existen menores de orden. Si rg C = rg = = nº de incógnits ==> sistem comptile determindo ==> existe solución únic. 9
= No existe menor de orden en C rg C < Si - 5m + 5 = m = = menor de orden en y rg < rg = Si m = rg C = rg = < nº de incógnits, sistem comptile indetermindo con soluciones m rg C = y rg = y que solución, sistem incomptile, no existe Si lo resolvemos pr el vlor de m =, eliminmos un de ls tres ecuciones. x = + /5 λ y = - + /5 λ λ R z = λ =>
El sistem es homogéneo por lo que st con trjr con l mtriz de coeficientes = ( - - ) 6 + + - 9 - + 8 = = λ - λ - λ - 6 + λ + λ 9 - λ + 8 = λ - λ - λ + = λ - λ - λ + = Por Ruffini = Pr λ= => Si rg C < nº de incognits sistem comptile indetermindo con soluciones. ; => Pr λ= - => Si rg C < nº de incognits sistem comptile indetermindo con soluciones. =>
,- rg C = rg = rg C = rg = = nº de incognits Sistem comptile con solución trivil x = ; y = ; z =
Encuentr los vlores del prámetro α que hcen que el sistem: Si rg C < rg => Sistem incomptile solución α = Si rg = rg C = < número de incógnits => Sistem Comptile Indetermindo => => α, C menor principl orden en C rg C = Si rg C = rg = = nº incógnits Sistem comptile determindo solución únic
H distint de l trivil. Resolverlo en esos csos. Pr que un sistem homogéneo teng solución de (,,) => el rg C = ó pero siempre menor que el nº incógnits Si rg C = es que menor principl de orden en C, es decir = = ó rg C = < nº incógnits y el sistem tiene soluciones
y resolverlo pr = Hllremos los vlores de que hcen que = ; - - = = - C = => rg C < No existe menor de orden en C mplimos con los términos independientes = - + rg = existe menor de orden en Como rg C rg - orden sistem incomptile no existe solución => rg C=, Como rg = por no existir menores principles de Si rg C = rg = nº de incógnits. Según Rouche el sistem será comptile determindo. Existe solución únic Pr resolverlo pr = el sistem qued: sistem con ecuciones y incógnits y C. Es un sistem de Crmer 5
y se pide: ) Discutir el sistem según los vlores de p. ) Resolverlo pr p = = - 5 p + 5 = - - p - - p = p = - No existe menor de orden en C rg C < Si p = - => = - 5 existe menor de orden en C rg C = y rg = rg C = y rg = Sistem incomptile, no existe solución Si p - rg C = rg = = nº de incógnits Sistem comptile determindo, solución únic pr cd vlor de p distinto del - Pr resolverlo pr el vlor p = Como se puede oservr l solución es l tern (,,) 6
Clculemos los vlores de pr que = = = = rg C < pues no existe menor principl de orden rg C = menor principl de orden. prtir de él mplimos con los términos independientes. - = menor principl de orden rg = si rg C = rg = < nº incógnits sist. Comptile indetermindo existen soluciones. Pr este vlor hy que resolver el sistem: Eliminmos un de ls tres ecuciones por ser cominción linel de ls otrs, (elimino l ª ) Si llmmos x = λ otenemos ls soluciones. pr = - = rg C < pues no existe menor principl de orden rg C = menor principl de orden. prtir de él mplimos con los términos independientes. 7
- existe menor principl de orden rg = si rg C rg = sistem incomptile, - rg C = rg = sistem comptile determindo, existe solución únic pr esos vlores de. 8
x y z Se el siguiente sistem de ecuciones lineles: x y z y z ) ( punto) Discutir el sistem según los vlores del prámetro. ) ( punto) Resolver el sistem pr =. c) ( punto) Resolver el sistem pr =. (PU Septiemre -) C ( )( ) C, C menor principl orden en C rg C== rg = nº incógnits Sistem comptile determindo solución únic C menor principl orden en C rg C < C rgc rgc rg nº incógnits Sst comp. indetermindo soluciones C=C rg= C menor principl orden en C rg C < C 9 rgc rgc rg Sistem incomptile solucion 8 rg x y z x y z y z 9
5 x 5 5 y 7 5 5 z 6 7 5 5 x y z x y z Por ser un sistem comptile indetermindo se elimin un ecución, por ejemplo l y z x y z y z yz x z z x z x y R z
Se consider el siguiente sistem linel de ecuciones, dependiente del prámetro rel : Se pide: ) Discutir el sistem según los diferentes vlores del prámetro. ) Resolver el sistem pr =. c) Resolver el sistem pr =. (PU Junio -) = =
) Resolvemos pr = c) Resolvemos pr = por el método de Crmer
) Discutir el sistem según los vlores de m; ) Resolverlo pr m = 5 El sistem es homogéneo con lo que strá con discutir el rngo de coeficientes según los vlores de m y que el rngo de l mplid será el mismo. 6m 5 = + principl Si = ===> rgc < y que el menor de orden no es pr vler -7 m² +6m 5 = ===> m = m = / 7 rg C = < nº incógnits ===> Sistem es comptile con soluciones según Ronche m = 5 rg C = < nº incógnits ===> Sistem es comptile con soluciones según Ronche m /7, 5 ===> existen menor principl orden ===> rg C = = nº incógnits ===> Sistem con solución trivil x =, y =, z = Según Ronche ) Resuelve pr m=5 l ser = puedo eliminr uno de ls ecuciones por ser Cominción linel y el
sistem qued Resuelv el sistem en x, y por Crmer
x y z ( )( ) Se consider el sistem de ecuciones. x y z ( ) ( ) x y z ( ) ( ) ) Compror que es comptile pr todo vlor de ) Descriir en términos geométricos el conjunto de soluciones pr = y pr = - c) Resolverlo pr = - (PU Junio 999-) ) Pr que se comptile, el rg = rgc, llmndo l mtriz mplid, y C l mtriz de coeficientes. C C = Ruffini ( - ) ( ) ()( ) C ( )( )( ) 9 Pr =, - => sistem el rgc = rg = < nº de incognits. Por ser un homogéneo, es comptile indetermindo =>, el rgc = rg = = nº de incógnits El sistem será comptile determindo con un únic solución. ) Pr = me qued solo un ecución x y z Su solución es un plno Pr = - l ser el rg C = elimino un de ls tres ecuciones x y z Como rg = rg C su solución es un rect. x y z 5
6 c) z y x z y x z y x como el rg = eliminmos un ecución. z y x z y x => R z y x
) Encuentr los vlores de λ pr que el rngo de l mtriz de los coeficientes del sistem se. ) Resuelve el sistem nterior pr λ= (PU Junio 998) Como hy solo ecuciones pr incógnits homogéneo, hrí que uscr un rg C = rg Pr no hcer todos los determinntes x en función de, hcemos Guss λ - = ; λ = / rg C = y el rg = pues es homogéneo y existen soluciones l ser menor que el numero de incógnits. Pr λ / rg C = y el rg = pues es homogéneo Tmién existen soluciones l ser menor que el numero de incógnits. Resolvámoslo pr λ = t = x y = z = - x y llmndo x = nos qued 7
Si el rngo de l mtriz de coeficientes de un sistem de tres ecuciones con tres incógnits es igul dos, puede ser comptile el sistem?. Puede ser comptile y determindo?. Puede ser incomptile?. Llmmos C l mtriz de coeficientes y l mtriz mplid con l column de los términos independientes. Si el rngo C =, el sistem será comptile en cunto el rngo =. hor ien, como en este cso el rngo es menor que el número de incógnits, el sistem tendrá infinits soluciones, por lo que el sistem nunc podrá ser comptile y determindo. Se puede oservr que un de ls tres ecuciones es cominción linel de ls otrs dos, por lo que puede ser suprimid. Nos qued pues, un sistem de dos ecuciones con tres incógnits, un de ls cules se ps l segundo miemro, y pr cd vlor que se le de es incógnit, otendremos un de ls infinits soluciones. Si el rngo =, entonces el sistem será incomptile, y que entonces rg C rg. Un sistem de dos ecuciones con cutro incógnits, puede ser incomptile?. En cso firmtivo mostrrlo con un ejemplo. Un sistem de dos ecuciones con cutro incógnits si que puede ser incomptile, es decir, puede no tener solución. Esto ocurrirá cundo el rngo de l mtriz de coeficientes se distinto del rngo de l mtriz mplid. Por ejemplo: mtriz l mplid 8
Un sistem de tres ecuciones lineles con dos incógnits, puede ser comptile y determindo?. En cso firmtivo, poner un ejemplo. Pr que el sistem se comptile y determindo, deerá verificrse que el rngo de l mtriz de coeficientes deerá ser igul l rngo de l mtriz mplid e igul, que es el número de incógnits. Pr construir un sistem sí, st con prtir de un sistem de dos ecuciones con dos incógnits y ñdir un cominción linel de ms ecuciones. rg C = rg = = nº de incógnits ==> solución únic y = ; x + y = 8 ===> x = 8 - ==> x = 6 9