PROBLEMAS ALGEBRAICOS 1) La suma de un número y su cuadrado es 4. Calcula dicho número. Sea dicho número La suma del nº y su cuadrado es 4: + = 4 1+ 13 1 = = 6 1± 1 4 ( 4) 1± 13 + 4 = 0 = = = 1 13 = = 7 El número es 6. ) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 71. Calcula dichos números. Sean, + 1 dichos números. La diferencia entre sus cuadrados es 71: (+1) = 71 + + 1 = 71 = 70 = 35 Los números son 35 y 36. 3) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 85. Calcula dichos números. Sean, + 1 dichos números. La suma de sus cuadrados es 85: (+1) + = 85 + + 1 + = 85 + 84 = 0 1+ 13 1 = = 6 1± 1 4 1 ( 4) 1± 13 + 4 = 0 = = = 1 1 13 = = 7 Los números son los pares (6, 7) y (-7, - 6). 4) Halla dos números consecutivos cuyo producto es 380. Sean, + 1 dichos números. El producto es 380: ( + 1) = 380 1+ 39 1 = = 19 1± 1 4 1 ( 380) 1± 39 + 380 = 0 = = = 1 1 39 = = 0 Los números son los pares (19, 0) y (-0, -19). Luisa Muñoz 1
5) Halla dos números cuya suma es 0 y su producto 84. Sean e y ambos números La suma es 0 : + y = 0 y = 0 Su producto es 84 : y = 84 Planteamos la ecuación: (0 ) = 84 0 + 8 1 = = 14 y1 = 0 14 = 6 0 ± 0 4 84 0 ± 8 0 + 84 = 0 = = = 0 8 = = 6 y1 = 0 6 = 14 Los números son 14 y 6. 6) Halla dos números cuya suma es 11 y la de sus cuadrados 65. Sean e y ambos números La suma es 11: + y = 11 y = 11 La suma de sus cuadrados es 65: + y = 65 11 + + = 65 + 56 = 0 11 + 8 = 0 Los números son 7 y 4. Planteamos la ecuación: (11 ) + = 65 11+ 3 1 = = 7 y1 = 11 7 = 4 11± 11 4 8 11± 3 = = = 11 3 = = 4 y1 = 11 4 = 7 7) Halla dos números positivos cuya diferencia sea 7 y la diferencia de sus cuadrados 63. Sean e y ambos números La diferencia es 7: y = 7 y = 7 La diferencia de sus cuadrados es 63: y = 63 + 14 49 = 63 14 = 11 = 8 Los números son 8 y 1. Planteamos la ecuación: ( 7) = 63 8) Un rectángulo tiene una superficie de 30 m y su perímetro m. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo. Sean = altura ; y = base Perímetro es : + y = 11 y = 11 Área es 30: y = 30 11 = 30 11 + 30 = 0 Las dimensiones son 7 4 m Planteamos la ecuación: (11 ) = 30 11+ 1 1 = = 6 y = 11 6 = 5 11± 11 4 30 11± 1 = = = 1 11 1 = = 5 y = 11 5 = 6 Luisa Muñoz
9) Para vallar una finca rectangular de 750 m se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la cerca. Sean = ancho ; y = largo Perímetro es 110: + y = 55 y = 55 Área es 750: y = 750 55 = 750 55 + 750 = 0 Las dimensiones son 5 15 Planteamos la ecuación: (55 ) = 750 55 + 5 1 = = 40 y = 40 15 = 5 55 ± 55 4 750 55 ± 5 = = = 1 55 5 = = 15 y = 40 5 = 15 10) Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área es 4m. Sean 3, 4 y 5 los tres lados del triángulo Área es 4: 3 4 = 4 1 = 48 = 4 = Las medidas de los lados son 6, 8 y 10 m. 11) Un cuadrado tiene 33 m más que otro y éste 1 m menos de lado que el primero. Halla los lados de los cuadrados. Sea = medida del lado del cuadrado pequeño + 1 = medida del lado del cuadrado grande Área cuadrado grande = área cuadrado pequeño + 33 Planteamos la ecuación: ( + 1) = + 33 1 m + + 1 = + 33 = 3 = 16 m Los lados miden 16 y 17 m 1) Un campo rectangular tiene 400 m de superficie y 0 metros de longitud más que de anchura. Halla las dimensiones. Sea = largo el rectángulo + 0 = ancho del rectángulo Área del campo es 400 m : ( + 0) = 400 + 0 400 = 0 Las dimensiones del rectángulo son 60 40 m 0 + 100 1 = = 40 0 ± 0 4 ( 400) 0 ± 100 = = = 1 0 100 = = 60!!!! Luisa Muñoz 3
13) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y la suma de los catetos 14 cm. Halla el valor de los catetos. Sea = medida de un cateto 14 = medida del otro cateto La hipotenusa mide 10 cm : 10 = + (14 ) 100 = + 196 8 + 14 + 48 = 0 La medida de los catetos son 6 y 8 cm. 14 + 1 = = 8 14 ± 14 4 48 14 ± = = = 1 14 = = 6 14) Un triángulo isósceles tiene 160 cm de perímetro y la altura correspondiente al lado desigual mide 40 cm. Calcula los lados del triángulo y el área. Sea = la mitad de la medida del lado desigual 40 cm y y = medida del lado igual Perímetro es 160: + y = 160 80 = + y y = 80 Altura es 40: y = 40 + Planteamos la ecuación: (80 ) = 40 + 6400 + 160 = 1600 + 160 = 4800 = 30 cm Los lados miden 60 cm y 50 cm Área = 40 60 = 100 cm 15) Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula su edad. Edad actual: Edad dentro de 11 años: + 11 Edad hace 13 años: - 13 Dentro de 11 años, su edad será la mitad del cuadrado de la que tenía hace 13 años: ( 13) + 11 = + = 6 + 169 8 + 147 = 0 8 + 14 1 = = 1 8 ± 8 4 147 8 ± 14 = = = 1 8 14 = = 7 La edad de pedro es 1 años. Luisa Muñoz 4
16) Una persona compra una pieza de tela por 100. Con el mismo dinero podría haber comprado otra pieza de tela que medía 30 metros más y costaba 3 menos por metro. Cuántos metros mide la pieza que ha comprado? Sea = nº metros de tela y = precio del metro de tela La pieza cuesta 100 : y = 100 La otra pieza de 30 m más cuesta 100 : ( + 30) (y 3) = 100 Planteamos el sistema: y = 100 ( + 30)(y 3) = 100 y = 100 y 3 + 30y 90 = 100 y = 100 = 10y 30 10y = 30 (10y 30)y = 100 (y 3)y = 10 y 3y 10 = 0 3 + 7 y1 = = 5 1 = 0 3 ± 3 4 ( 10) 3 ± 7 y = = = 1 3 7 y = = La pieza mide 0 metros. 17) Un grupo de amigos van de viaje en vacaciones; los gastos ascienden a 4.000, a pagar entre todos. Como hay tres niños en el grupo, los gastos los pagan los mayores, correspondiendo 300 más a cada uno de los mayores. Cuántas personas formaban el grupo? Sea = nº personas del grupo y = precio a pagar por persona Los gastos son 4000 : y = 4000 Los 3 niños no pagan, los demás pagan 300 más: ( - 3) (y + 300) = 4000 Planteamos el sistema: y = 4000 ( 3)(y + 300) = 4000 y = 4000 y 3y + 300 900 = 4000 y = 4000 y = 100 300 y 100 = 300 (100 300) = 4000 ( 3) = 40 3 40 = 0 3 + 13 1 = = 8 y1 = 500 3 ± 3 4 ( 40) 3 ± 13 = = = 1 3 13 = = El grupo está formado por personas Luisa Muñoz 5
18) La suma de las edades de tres personas es de 11 años, la mediana tiene 8 años más que la más joven y la mayor tiene tantos como las otras dos juntas. Qué edad tiene cada una? Sean : edad más joven + 8: edad de la mediana + 8 + = + 8: edad de la mayor La suma de las edades es 11. + + 8 + + 8 = 11 4 = 96 = 4 Las edades son 4, 3 y 56 años. 19) Dos ciclistas salen al mismo tiempo para una ciudad que dista 4 Km. Uno de ellos anda Km más por hora que el otro y llega al punto donde se dirigen horas antes que el otro. Cuáles son las velocidades? Sea = velocidad del segundo + = velocidad del primero Sea y = tiempo del segundo y = tiempo del segundo Planteamos el sistema: y = 4 ( + )(y ) = 4 y = 4 y + y 4 = 4 y = 4 y = y = + ( + ) = 4 + 4 = 0 + 30 1 = = 14 y1 = 16 ± ( ) 4 ( 4) ± 30 = = = 1 30 = = 16 Las velocidades son 16 km/h y 18 km/h 0) Hallar una fracción tal que si se le añade 1 al numerador se convierte en un tercio y añadiendo 1 a su denominador sea igual a un cuarto. Sea = numerador de la fracción y = denominador de la fracción Si se añade 1 al numerador la fracción es un tercio: + 1 1 = 3 + 3 = y y 3 Si se añade 1 al denominador la fracción es un cuarto: Planteamos la ecuación: 3 + 3 = 4 1 4 3 = 3 + 1 = 4 y = 1 + 3 = 15 La fracción es 4 15. 1 = y + 1 4 4 = y + 1 y = 4 1 Luisa Muñoz 6