Para medir la pendiente de una recta, o sea su inclinación, se mide cuánto subió verticalmente en qué distribución horizontal.

4.1 DEFINICIONES Y CONCEPTOS PRELIMINARES 1) abscisa (el latín, abscissa cortaa, que corta. Se refiere a que corta a la vertical): Es el valor nuérico e la coorenaa x en el plano cartesiano. ) orenaa (el latín, lineae orinatae líneas paralelas. Se refiere a paralelas a la vertical): Es el valor nuérico e la coorenaa e en el plano cartesiano. ) recta: Es el conjunto e puntos que siguen la isa irección. Una recta no tiene principio ni fin. 4) segento e recta: Es un peazo seleccionao e toa una recta en el que está perfectaente eterinao su inicio su final. Es u iportante istinguir entre una recta lo que es un segento e recta. La recta no tiene principio ni fin, aunque en el papel aparezca un peacito naa ás. Una cosa es que se ibuje solaente una parte e la recta otra cosa es que la recta sea naa ás ese peacito ibujao. Lo que sucee es que coo no tiene principio ni fin, es iposible ibujarla así, sin principio ni fin. Si e toa esa recta infinita en longitu, se selecciona un peacito eterinao, señalano claraente en óne epieza en óne terina, lo que se tiene es un segento e esa recta. 5) peniente: La peniente e una recta, representaa con la letra, es la inclinación e icha recta. Una peniente puee ser positiva o negativa. Es positiva si traslaaa la recta al origen atraviesa el priero tercer cuarantes; es negativa si traslaaa al origen, atraviesa el seguno cuarto cuarantes. Para eir la peniente e una recta, o sea su inclinación, se ie cuánto subió verticalente en qué istribución horizontal. Por ejeplo, se construe una rapa coo lo uestra la figura 4.1; la inclinación que tiene es e uniaes hacia arriba istribuios en figura 4.1

uniaes horizontales, lo cual se inica con la fracción. Se ice entonces que su peniente es. Pero esa fora e eir la inclinación coincie con la función trigonoétrica tangente el ángulo con la horizontal (cateto opuesto entre el cateto aacente ), por lo que la peniente es lo iso que la tangente e ese ángulo, o sea que tanθ Por ejeplo, si una recta r fora un ángulo con la horizontal e 45 o, coo tan 45 1, se ice que esa recta tiene una peniente e 1. tan45 aeás Si una recta tiene una peniente e, coo tanθ, significa que tanθ, e one espejano θ arc tan, es ecir, fora un ángulo respecto e la horizontal e 6.4 o. 4. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean os puntos A B cuas coorenaas son conocias. Un nobre genérico para esas coorenaas es ( x 1,1) ( ) A ( x,) B ( x, ) para el punto A, ientras que x, para el punto B. Lo anterior se escribe ; está representao en 1 1 la figura 4.. La istancia que existe entre esos os puntos se puee eucir e la siguiente anera: Trazano una línea horizontal que pase por el punto A una línea vertical que pase por el punto B se fora el triángulo ABC (ver figura 4.). Obsérvese que la istancia horizontal AC es la iferencia e x enos x 1, ientras que la istancia vertical BC es la iferencia e enos 1. Entonces, por el teorea e pitágoras aplicao sobre el triángulo ABC, se obtiene que la istancia buscaa AB (hipotenusa) es: figura 4.

La istancia entre los puntos A(x 1, 1 ) B(x, ) es x x + 1 1 en one es u iportante aclarar que cualquiera e los os puntos conocios puee toar el nobre e A cualquiera el e B, sin que se oifique el valor e su istancia calculao con la fórula anterior. Ejeplo: Solución: Un punto tiene por coorenaas (9, 6) otro punto se localiza en (, 14). Hallar la istancia entre ellos. Llaano A al punto e coorenaas (9, 6) B al otro, se tiene que x 1 9 ; x 1 6 ; 14 utilizano la fórula e istancia entre os puntos, se tiene que x x + 1 1 ( 9) ( 14 6) + ( 6) ( 8) + 100 10 4. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA: Sean los puntos A B cuas coorenaas son conocias, los que eterinan el inicio el final e un segento e recta. Un nobre genérico para esas coorenaas conocias es x 1, 1 para el punto A, ientras que x, para el punto B. Lo anterior se escribe A, ; B x,. ( x ) 1 1

página Las coorenaas el punto eio P e icho segento se eucen fácilente a partir e la figura 4.: Es obvio que la abscisa e P (la eia horizontal a partir el origen e coorenaas) está a la ita e los puntos A B; coo la istancia horizontal entre esos os puntos es x x1 (ver figura 4.), entonces a la ita está la abscisa e P, o sea en x x 1 Pero no perer e vista que esa eia está aa a partir el punto A coo tiene que estar aa a partir el eje e las e, entonces le hace falta suarle la istancia x 1, con lo que se obtiene: x x x x + x + x 1 1 1 1 x + x 1 figura 4. Ésta es la abscisa el punto eio P. Exactaente igual se euce la orenaa e icho punto eio. En conclusión: Las coorenaas (x, ) el punto eio P el segento e recta coprenio entre los puntos A(x 1, 1 ) B(x, ), son x x + x 1 + 1 en one es u iportante aclarar que cualquiera e los os puntos conocios puee toar el nobre e A cualquiera el e B, sin que se oifiquen los valores e las coorenaas el punto eio.

página Ejeplo: Hallar las coorenaas el punto eio el segento e recta que está eliitao por los puntos (9, 4) (7, 14). Solución: Llaano A al punto e coorenaas (9, 4) B al otro, se tiene que x 1 9 ; 1 4 x 7 ; 14 utilizano la fórula e las coorenaas el punto eio, se tiene que x x + x 1 + 1 x 9+ 7 4+ 14 x 8 9 Las coorenaas e ese punto eio son: P (8, 9). EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO Ejeplo 1: Las coorenaas e un triángulo son: (, ) ; B( 8, 4) C( 81, ) A 4 Investigar analíticaente si se trata e un triángulo equilátero, isósceles o escaleno (ver figura 4.4). Solución: Cuano se pie una investigación analítica quiere ecir que se haga analizao a través e cuentas, no a lo que la vista icta, es ecir, no se vale ninguna afiración basaa en que es que ahí se ve en la figura. Si se calcula la istancia entre los puntos A B lo que realente se está obtenieno es la eia el lao AB. Lo iso sucee entre A C entre los puntos B C. figura 4.4

Entonces calculano la istancia entre los puntos A B con la fórula e istancia entre os puntos: AB 1 1 x x + AB 8 + 4 4 10 + 0 AB AB 10 La istancia entre los puntos A C con la fórula e istancia entre os puntos: AC 1 1 x x + AC 8 + 1 4 AC 6 8 + AC 10 La istancia entre los puntos B C con la fórula e istancia entre os puntos: BC 1 1 x x + BC ( 8 8) ( 1 4) + BC 0 17. 88 BC Coo las eias e los laos el triángulo son os iguales, con AB 10; AC 10 BC 17.88, se trata e un triángulo isósceles. Ejeplo : Las coorenaas e un hexágono regular son: ; B 4. 6 ; 7. 5 ; A( 7 ). ; (.. ) C 0 6 ; 7 5 ; D. ; ; (.. ) E 0 6 ; 1 5 ; F 4. 6 ; 1. 5. Coprobar que las iagonales AE CE son iguales (ver figura 4.5). figura 4.5

Solución: La istancia entre los os puntos A E es la longitu e la iagonal AE, e anera que epleano la fórula e istancia entre os puntos: AE 1 1 x x + AE ( 06 7) ( 15 ).. +. AE. +. 81. 09 AE 900. AE 78 45 La istancia entre los os puntos C E es la longitu e la iagonal la fórula e istancia entre os puntos: CE, e anera que epleano CE x x + 1 1 CE 06. 06. + 15. 75. + CE 900. CE 0 9 Coparano los resultaos obtenios se ve que. AE CE Ejeplo : Solución: Hallar las coorenaas el centro el hexágono el ejeplo anterior. El punto eio e la iagonal AD es el centro el hexágono (ver figura 4.6). Utilizano la fórula e punto eio: x x x + x 1 7. +. 4 x figura 4.6

+ 1 + Las coorenaas el punto eio e la iagonal AD son (, ) P. Allí está el centro el hexágono. Ejeplo 4: Las coorenaas e un cuarilátero son: A( 1), C1011 ; B, 9 ;, D 9,. Coprobar que las iagonales AC BD se bisecan (cortarse a la ita) utuaente. Solución: Si las iagonales se bisecan utuaente, es ecir que se cortan entre sí por su punto eio una a la otra, entonces el punto eio e la iagonal BD ebe coinciir con el punto eio e la iagonal AC. Las coorenaas el punto eio e AC son: figura 4.7 x x + x 1 + 1 x + 10 6 1+ 11 6 Dichas coorenaas son (6, 6). Las coorenaas el punto eio e BD son: x x + x 1 + 1 x + 9 6 9 + 6 Dichas coorenaas son (6, 6).

Coo efectivaente es el iso punto, eso euestra que se bisecan utuaente. Ejeplo 5: Las coorenaas e un triángulo son: A( ), (, ) ; B14 C 9, 9. Hallar la longitu e la eiana al lao AB (ver figura 4.8). Solución: Lo priero que ebe hacerse es recorar que una eiana es la recta que va el punto eio e un lao hasta el vértice opuesto. Por lo tanto, se requieren calcular las coorenaas el punto eio el lao AC. Una vez conocias estas coorenaas, la longitu e la eiana C se obtiene calculano la istancia entre los puntos C. Las coorenaas el punto eio entre A B se obtienen epleano las respectivas fórulas e punto eio: x x + x 1 + 1 x + 1 + 4 x 8 Dichas coorenaas son: (8, ). La istancia entre los puntos C se obtiene utilizano la fórula e istancia entre os puntos: C x x + C 1 1 ( 8 9) ( 9) + C ( 1) ( 6) + 1+ 6 C 608. C

La longitu e la eiana al lao AB es 6.08. Ejeplo 6: Las coorenaas e un cuarilátero son: A1 (, ) ; B(, 10) ; C118 (, ) D( 9, 1) Investigar analíticaente si se trata e un cuarao, un rectángulo, un robo, un roboie, un trapecio o un trapezoie (ver figura 4.9). Solución: La longitu e los laos ará la priera pista para saber e qué tipo e cuarilátero se trata, pero cuiao!, será una pista, pero no la efinitiva. Porque, por ejeplo, si tiene los cuatro laos iguales puee ser un cuarao, pero tabién poría ser un robo; si tiene por pares los laos opuestos iguales esiguales los contiguos, puee ser un rectángulo, pero tabién poría ser un roboie. Calculano las longitues e caa uno e sus laos con la fórula e istancia entre os puntos figura 4.9 x x + 1 1 : AB ( 1) ( 10 ) + + 7 AB AB 5 78. AB BC ( 11 ) ( 8 10) + + BC BC 8 68 84. BC CD ( 11 9) ( 8 1) + + 7 CD

CD 5 78. CD DA ( 9 1) ( 1 ) + + DA DA 8 68 84. DA Priera conclusión: Coo por una parte por otra, con puee AB CD BC DA DC DA ser un rectángulo o un roboie solaente. Las eás figuras quean escartaas. Para saber cuál e estas os figuras es, ha que recurrir a las propieaes e caa figura. Recorar que el rectángulo tiene las iagonales iguales el roboie no. Entonces analizano las longitues e sus iagonales se porá saber si es rectángulo o roboie: ( 11 1) + ( 8 ) ( 9 ) + ( 1 10) AC BD AC 10 + 5 6 ( 9) BD + 15 117 AC 11. 18 10. 81 AC BD BD Las iagonales son iferentes. Por lo tanto se trata e un roboie. Este ejeplo uestra claraente que no se vale hacer eucciones basaos en que ahí se ve. En el papel, la figura 4.9 parece un rectángulo o un cuarao siple vista jaás se hubiera sospechao que no son ni uno ni otro, sino un roboie.

EJERCICIO 4.1 Resolver los siguientes probleas: 1) Una recta tiene una peniente e.5; eucir el ángulo que fora con la horizontal. ) Una recta tiene una peniente e 0.5; eucir el ángulo que fora con la horizontal. ) Las coorenaas e un trapecio son: A(- 5, ) ; B(7, ) ; C(5, 8) D(-, 8). Hallar las penientes e sus laos no paralelos AD BC. 4) En el trapecio el problea anterior, hallar la peniente e la iagonal BD. 5) Una circunferencia tiene su centro en C(, 4). Cuál es la peniente el raio CP, sabieno que las coorenaas el punto P son (6, 1). Ver figura 4.10. 6) En la circunferencia el problea anterior, Cuánto ie el raio e icha circunferencia? 7) Cuáles son las coorenaas el punto eio Q el raio CP e la circunferencia e la figura 4.10? figura 4.10 8) Cuál es la peniente e la recta trazaa en la figura 4.10 ese el origen e coorenaas hasta el punto eio Q? 9) Una recta fora un ángulo e 17 o con la horizontal; Cuál es su peniente? 10) Una recta fora un ángulo e 15 o con la horizontal; Cuál es su peniente? 11) Una recta fora un ángulo e 9 o con la vertical; Cuál es su peniente? 1) Una recta fora un ángulo e 65 o con la vertical; Cuál es su peniente? 1) Una recta fora un ángulo e 77.65 o con la vertical; Cuál es su peniente? 14) Las coorenaas e un punto son (, -1) las e otro son (0, 8); hallar la istancia entre abos puntos. 15) Las coorenaas e un punto son (-6, -7) las e otro son (, -1); hallar la istancia entre abos puntos. 16) Las coorenaas e un punto son (, 0) las e otro son (0, 0); hallar la istancia entre abos puntos. 17) Las coorenaas e un punto son (5, 5) las e otro son (9, 9); hallar la istancia entre abos puntos. 18) Las coorenaas el extreo e un segento e recta son (1, -4) las el otro extreo son (, 6); hallar las coorenaas e su punto eio.

19) Las coorenaas el extreo e un segento e recta son (11, -) las el otro extreo son (-, 1); hallar las coorenaas e su punto eio. 0) Un segento e recta está eliitao por los puntos A C. Las coorenaas el extreo A son (-, ) las coorenaas el punto eio e icho segento son P, 5. Hallar las coorenaas el otro extreo C el segento. 1) Un segento e recta e longitu 1 coienza en el punto A(- 4, ) terina en el punto B1, ( ). Hallar el valor e la orenaa e icho punto B. ) Las coorenaas e los vértices e un triángulo son: A(4, 5) ; B(-, ) C(1, - ) ; investigar si se trata e un triángulo equilátero, isósceles o escaleno. ) Las coorenaas e los vértices e un triángulo son: A(5, 8) ; B(-, ) C(1, -6) ; Hallar las coorenaas e los punto eios e caa una e sus eianas. 4) Las coorenaas e los vértices e un triángulo son: A(, 11) ; B(8, 9) C(-4, -1) ; Hallar las coorenaas e los punto eios e caa una e sus eianas. 5) Las coorenaas e los vértices e un triángulo son: A(, 1) ; B(-8, 0) C(-6, -10) ; Hallar las coorenaas e los punto eios e caa una e sus eianas. 6) Las coorenaas e los vértices e un cuarilátero son: A(, 1) ; B(6, 1) ; C(, -1) D(6, -1) ; investigar analíticaente el tipo e cuarilátero e que se trata. SUGERENCIA: Recorar las propieaes e los cuariláteros encionaas en la página 7, para que, en base en ellas, hacer la eucción peia. 7) Las coorenaas e los vértices e un paralelograo son: A(1, ) ; B(4, 7) ; C(4, -1) D(7, ) ; investigar analíticaente el tipo e paralelograo e que se trata. SUGERENCIA: Recorar las propieaes e los cuariláteros encionaas en la página 7, para que, en base en ellas, hacer la eucción peia. 8) Las coorenaas e los vértices e un paralelograo son: A(, ) ; B(7, 15) ; C(1, ) D(7, -11) ; investigar analíticaente el tipo e paralelograo e que se trata. SUGERENCIA: Recorar las propieaes e los cuariláteros encionaas en la página 7, para que, en base en ellas, hacer la eucción peia. 9) Las coorenaas e los vértices e un triángulo son: A(, ) ; B(8, 16) C(1, ). Hallar la longitu e caa una e las eianas. 0) Las coorenaas e los vértices e un paralelograo son: A(, ) ; B(7, 15) ; C(1, ) D(7, -11). Hallar analíticaente las coorenaas el punto e intersección e sus iagonales. 1) Coprobar que las iagonales el paralelograo el problea anterior se bisecan utuaente.

4.4 ECUACIÓN EN FORMA GENERAL Y EN FORMA PARTICULAR La ecuación e la recta en fora general es la que se obtiene e la ecuación general e las cónicas, eliinano los cuaraos, coo se encionó en la posibilia 1 el análisis e la ecuación general, en la página 4, la cual es la siguiente: La ecuación en fora general e la recta es Dx + E + F 0 A esta ecuación se le llaa ecuación en fora general o sipleente fora general e la recta. Pero, coo a se explicó anteriorente, la ecuación en fora general proporciona una inforación bastante liitaa acerca e la gráfica que le correspone, en este caso, al e la recta. Para saber ás e ella, es necesario pasar esa ecuación e la fora general a la fora particular, a que la ecuación en fora particular es la que proporciona toa la inforación e las características e la figura. Coo la ecuación particular es la que a la inforación copleta e la figura corresponiente, en el caso particular e la recta se tiene la siguiente regla: La ecuación particular e la recta es x + b en one: * es la peniente e la recta; * b es la orenaa al origen. Peniente significa la inclinación e la recta, confore a la efinición aa en la página 9. Una peniente puee ser positiva o negativa. Es positiva si traslaaa la recta al origen atraviesa el priero tercer cuarantes; es negativa si traslaaa al origen, atraviesa el seguno cuarto cuarantes. Orenaa al origen significa la istancia sobre el eje e las e en que la recta corta a icho eje, coo se uestra en la figura 4.11. figura 4.11

Por ejeplo, si se tiene la ecuación particular e una recta x +, en este caso, coo b, entonces por el significao que tienen estos núeros, la peniente es la recta corta al eje e las e a tres uniaes a partir el origen (ver figura 4.1). 4.5 TRANSFORMACIONES Debe quear claro que tanto la ecuación general coo la particular son realente la isa ecuación, solaente que escritas e iferente anera, por lo que es posible hacer transforaciones e una fora a la otra. figura 4.1 1) Para transforar la ecuación e una recta e la fora general a la fora particular: * Se espeja la variable Y; * El lao erecho se parte en os fracciones, en caso e que resulte con enoinaor, hasta obtener los os térinos x b. ) Para transforar la ecuación e una recta e la fora particular a la fora general: * Se quitan los enoinaores, ultiplicano toa la iguala por el coún enoinaor e toos los enoinaores que aparezcan; * se escriben toos los térinos el lao izquiero para que quee igualao a cero. * si resulta negativo el prier térino Dx, se le cabia e signo a toa la iguala. Ejeplo 1: Transforar la ecuación 1x + 7 0 e la fora general a la particular eucir los valores e b e. Solución: Coo para pasar e la fora general a la particular, sipleente ebe espejarse la variable, entonces, espejánola se obtiene: 1x + 7 0

1x + 7 que es exactaente lo iso que escribirlo al revés: 1x + 7 1x + 7 1x 7 + 4x + 7 7 e one, 4 b. 11 Ejeplo : Transforar la ecuación 7x +, e la fora particular a la fora general eucir 5 los valores que corresponen a D, E F. Solución: El prier paso es quitar los enoinaores que aparezcan. El enoinaor 5 puee eliinarse ultiplicano por cinco la fracción en la que aparece, pero coo es una iguala, ebe aplicarse la propiea e las igualaes: Lo que se haga e un lao ebe hacerse el otro lao tabién para que la iguala se conserve, e lo que resulta: 5( ) 5 7x + 5 5x + 11 11 5 El seguno paso es escribir el lao izquiero toos los térinos, ejano la expresión igualaa a cero: e one: 5x + 5 11 0 D 5 E 5 F - 11

EJERCICIO 4. Transforar a su ecuación particular encontrar la peniente la orenaa al origen b e caa una e las siguientes rectas: 1) 1x + - 6 0 8) 8x + + 11 0 ) 8x + + 16 0 9) 15x + 5 + 1 0 ) 15x + 5 + 10 0 10) 5x - + 0 4) 5x - + 61 0 11) 9x + 7-19 0 5) 9x + 0 1) x + 0 6) 19x + 0 1) x + 0 7) 1x - 0 14) 8x - - 51 0 Transforar a su ecuación general: 15) x + 8 16) 7x + 1 17) 5x 1 18) 15x 5x + 19) 0) 7 11x + 1 1) ) 14 14x + 5 ) 4) 5 5x 5) + 4 6) 5x 7) 8) 4x 1 9 6x 4 4 17x + 7 14 10x 11 7x 5 4

4.6 OBTENCIÓN RÁPIDA DE LA GRÁFICA Dao que la ecuación particular proporciona toos los etalles para efinir perfectaente la gráfica corresponiente, se pueen obtener las gráficas e las rectas con los atos e e b. Sipleente se localiza priero la orenaa al origen luego, a partir e ese punto, se hace una especie e escalón que arcará la peniente, en one ha que recorar que el nueraor es la elevación vertical (sobre el eje e las e) el enoinaor su istribución horizontal (sobre el eje e las x), poner atención en el signo e la peniente. Ejeplo 1: Obtener la gráfica e 5x 15 + 60 0 Solución: Pasano la ecuación e la fora general en que está escrita a la fora particular, para lo cual basta espejar la variable e: 5x + 60 15 que es exactaente lo iso que escribirla al revés: 15 5x + 60 iviieno abos laos entre 15 para espejar e: 15 5x 60 + 15 15 15 siplificano: 1 x + 4 1 e aquí se obtiene que la peniente es que b 4. PRIMER PASO: Se localiza la orenaa al origen b 4, que es la istancia sobre el eje e las e a partir el origen, coo se uestra en el prier paso e la figura 4.1. SEGUNDO PASO: A partir e ese punto, se pone el escalón que 1 a la peniente. En este caso, coo, el nueraor 1 inica que ebe tener una elevación vertical e una unia; el enoinafigura 4.1

or señala que esa elevación ebe estar istribuia en uniaes horizontales. Haciénolo se obtiene el seguno paso e la figura 4.1. Finalente se traza la recta, haciénola que pase por el punto señalao en el prier paso que se apoe en la parte final el escalón, queano la recta coo la tercera parte e la figura 4.1. Ejeplo : Obtener la gráfica e x + 4 0 Solución: Pasano la ecuación original a su fora particular para eucir los valores e e b, se obtiene: x + e one se ve que ; b. PRIMER PASO: Se localiza la orenaa al origen b, que es la istancia sobre el eje e las es a partir el origen por one pasa la recta, coo se uestra en el prier paso e la figura 4.14., SEGUNDO PASO: A partir e ese punto, se pone el escalón que a la peniente. En este caso, coo, el signo negativo inica que va el seguno al cuarto cuarante, el nueraor inica que ebe tener una elevación vertical e tres uniaes el enoinaor señala que esa elevación ebe estar istribuia en os uniaes horizontales. Haciénolo se obtiene el paso e la figura 4.14. Finalente se traza la recta, haciénola que pase por el punto señalao que se apoe en el escalón que le ará la peniente /, queano coo en la tercera parte e la figura 4.14. figura 4.14 EJERCICIO 4. Obtener la gráfica con el proceiiento el ejeplo anterior e las ecuaciones #15 al #8 el ejercicio 4..

4.7 DEFINICIÓN DE UNA RECTA Existen os foras para ejar bien efinia a una recta, pero antes e señalarlas es inispensable coprener bien el significao e la frase quear bien efinio. Un objeto quea al efinio, bajo el entenio e que no ha falseaes, cuano la escripción que se hace e él es insuficiente, e anera que aite otros objetos que cuplen con la escripción que no son el efinio. Por ejeplo, se esea efinir un hobre e la siguiente anera: Es un ser viviente. Esta escripción hecha e un hobre, aunque cierta, es insuficiente, a que aite a aniales vegetales que no son hobres, coo los perros, gatos, peces, uraznos, bacterias, etc., que cuplen con la escripción, es ecir que son seres vivos. Por lo tanto, se ice que está al efinio. En el caso particular e la recta, si se esea efinir una recta eterinaa icieno únicaente que pasa por el punto, está al efi- A(, 1) nia a que aite a otras rectas que cuplen con la escripción no son la que se pretene efinir, coo lo uestra la parte superior e la figura 4.15. O bien, si se ice naa ás que tiene una inclinación e 45 o, tabién quea al efinia por aitir uchas rectas que cuplen esa escripción, tal coo se ve en la parte inferior e la figura 4.15. En cabio, un objeto quea bien efinio cuano la escripción que se hace e él no aite a otros objetos que no sea el efinio. Por ejeplo, se esea efinir un hobre e la siguiente anera: Es un ser viviente pensante. Esta escripción hecha e un hobre a no aite a aniales vegetales coo a los perros, gatos, peces, uraznos, bacterias, etc., pues ninguno e ellos cuple con la escripción e ser pensante. Por lo tanto, se ice que está bien efinio. figura 4.15 En el caso particular e la recta, si se efine una recta eterinaa icieno que pasa por los puntos A 1 B, 7, está bien efinia (, ) a que no aite a otras rectas que cuplan con la escripción; solaente ha una recta que pasa por esos os puntos. O bien, si se ice que tiene una inclinación e 45 o aeás pasa por el punto A 0, 4, tabién e esta anera quea bien efinia por no aitir a ninguna otra recta que cupla esa escripción; solaente existe una recta que puea pasar por el punto encionao con esa inclinación.

De anera que las os foras para ejar bien efinia a una recta son: 1) Conocieno las coorenaas e os puntos por los que pasa; ) conocieno un punto por el que pasa su peniente. En abos casos se tiene una fórula respectiva para calcular la ecuación e la recta que cuple con una e las os coniciones, las cuales se an en el siguiente recuaro: 1) La ecuación e la recta que pasa por os puntos conocios A x, ( x ) B, es x x 1 1 1 x1 x 1 1 ) La ecuación e la recta que pasa por un punto conocio A x, e peniente conocia, es x x 1 1 1 1 De las os fórulas anteriores, por coparación se infiere que la peniente e una recta e la que se A ( x,) conocen las coorenaas e os puntos por la que pasa B x,, es 1 1 x x 1 1 Ejeplo 1: Encontrar la ecuación e la recta que pasa por los puntos A(1, 4) B(0, - ). Solución: En este caso: x 1 1 1 x A ; 4 0 B Utilizano la fórula e "os puntos" sustitueno valores:

x x 1 1 1 x1 x ( x ) 4 4 1 1 0 4+ 4 1 1 ( x ) 4 6 1 4 6x 6 6x 6+ 4 6x ( x ) Ejeplo : Encontrar la ecuación e la recta que pasa por el punto A(-, ) tiene peniente 4. Solución: En este caso: x 1-1 4 Utilizano la fórula e punto peniente e la página 49 sustitueno valores: x x 1 1 4 x ( x ) 4 + 4x + 1 4x + 1+ 4x + 14

4.8 COORDENADAS DE UN PUNTO DE INTERSECCIÓN Una herraienta u práctica en la resolución e probleas es la localización e las coorenaas el punto e intersección e os rectas, las cuales se obtienen resolvieno por siultáneas las ecuaciones respectivas e caa una e las rectas que se cortan entre sí. Ejeplo : Hallar el punto e intersección e las rectas x + 5 0 x + 5 0 (ver figura 4.16). Solución: Resolvieno por siultáneas abas ecuaciones: (1) x + 5 0 () x + 5 0 ultiplicano por la ecuación (1) por 5 la ecuación () se obtiene: 9x + 15 6 0 10x 15 + 5 0 19x + 19 0 figura 4.16 espejano: 19x - 19 x 1 sustitueno este valor en la ecuación (1): (1) (- 1) + 5-0 - + 5-0 5 + 1 e anera que las coorenaas one se cortan estas os rectas son P 1, 1.

4.9 RECTAS PARALELAS La conición obvia para que os rectas sean paralelas es que tengan exactaente el iso ángulo, por lo tanto, la isa inclinación o peniente. Dos rectas son paralelas si tienen la isa peniente, es ecir que 1 para lo cual se requiere que estén escritas en su fora particular. Ejeplo: La recta x 1 es paralela a la recta x + 10 porque abas tienen la isa penien- 4 4 te que es. 4 Óbservese lo siguiente: Si abas ecuaciones e las os rectas anteriores escritas en fora particular se transforan a su fora general se obtiene lo siguiente: x 1 4 4 x 4 x + 4 + 4 0 x + 10 4 4 x + 40 x + 4 40 0 Los térinos en equis en e son exactaente iguales. De aquí se saca el siguiente corolario 1 : Dos rectas son paralelas si tienen los térinos en equis en e respectivaente iguales, para lo cual se requiere que estén en su fora general. 1 COROLARIO significa Proposición que se euce fácilente e lo eostrao antes.

EJERCICIO PARA HACERSE O DISCUTIRSE EN CLASE: Arguentar por qué los siguientes pares e rectas son paralelas; en caso e que alguno no lo sea arguentar por qué no son paralelas: 4 x 1) ) 4 x 1 + 11 x + 11 x 4 7x 1 ) 1 4) x + 5 7 6x 9 6x + 5x 9 5) 6) 5x 4 x 11 0 x 11 0 11 0 7) x + + 8) x + 0 x 7 9 0 x 7 1 0 x + 7 + 1 0 9) 10) 7x + + 1 0 5x + 1 0 5x + 1+ 7 0 4.10 RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas son perpeniculares si sus penientes son recíprocas e signos opuestos, o sea que 1 1 para lo cual se requiere que estén escritas en su fora particular.

Ejeplo: La recta x 7 tiene una peniente ientras que la recta tiene una peniente penientes son recíprocas e signos contrarios. x + 19, por lo tanto si se grafican resultarán perpeniculares porque sus Se recoiena coo ejercicio que en equipos e os, los alunos grafiquen abas ecuaciones para que coprueben que son perpeniculares. Óbservese lo siguiente: Si abas ecuaciones e las os rectas anteriores escritas en fora particular se transforan a su fora general se obtiene lo siguiente: x 7 x 14 x + + 14 0 x + 19 x + 57 x + 57 0 De aquí se saca el siguiente corolario: Dos rectas son perpeniculares si tienen los coeficientes e los térinos en equis en e respectivaente intercabiaos (en valor absoluto) entre ellos un signo es igual ientras que el otro ebe ser contrario, para lo cual se requiere que estén en su fora Ejeplo: Estas os rectas son perpeniculares 9x 1 0 x + 9 1 0 porque los coeficientes (en valor absoluto) e la equis con el e la e e una ecuación a la otra están intercabiaos. Aeás la equis conservó su signo ientras que la e lo cabió. Por la isa razón, analícese que el siguiente par e rectas son perpeniculares: x + 11 1 0 11x + 0

EJERCICIO PARA HACERSE O DISCUTIRSE EN CLASE: Arguentar por qué los siguientes pares e rectas son perpeniculares; en caso e que alguno no lo sea arguentar por qué no son perpeniculares: x + 4 11 1) ) 11 x 9 5x + 1 1 + 7 5 4 1 x 7 ) 4) 7 x 8 4 1 x 11 7 7x + 1 x + 5) 1 6) x + 1 6x 7 9 0 7x + 6 8 0 4x + 11 + 1 0 7) 8) 11x + 4 + 0 9x 11 4 0 11x 9 1 0 x 0 9) 10) x + 0 x 1 0 x 11 0 4.11 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA Cuano se conocen las coorenaas e un punto P la ecuación e una recta, es posible calcular la istancia que ha entre ese punto e coorenaas P x, la recta e ecuación Dx + E + F 0. 1 1

Aquí una cosa u iportante es efinir e qué anera ebe eirse esa istancia ese el punto hasta la recta, porque, entro e las últiples opciones que existen, puee hacerse la eición e iferentes foras. En la figura 4.17 se ve que efectivaente, la istancia 1 tiene iferente eia que la istancia. Y confore se ie con iferente inclinación, la istancia será caa vez iferente. Surge necesariaente la pregunta: Cuál e toas las eias es la correcta? Y por qué? Se puee ver fácilente que caa eición es aor cuano la inclinación auenta enor cuano isinue la inclinación. Esto iplica que no ha líite en cuanto a la eia figura 4.17 ás grane posible, pero en cabio sí ha una, entre toas, que es la ás pequeña. Esa es exactaente la que se hace en fora perpenicular a la recta. Por lo tanto, para evitar confusiones, se efine la istancia e un punto a una recta coo la eia ás pequeña que es posible realizar; en otras palabras, es la eia perpenicular a la recta. De anera que caa vez que se haga referencia a una istancia, ebe arse por hecho que se refiere, por efinición, a la eia perpenicular. Tal istancia se puee calcular por eio e la siguiente relación: La istancia entre el punto conocio Dx + E + F 0 es P ( x 1,1) la recta e ecuación Dx + E + F 1 1 D + E en one D, E F son las constantes e la ecuación e la recta en la fora general, ientras que x1, 1 son los valores e las coorenaas el punto conocio. Las os lineas verticales que abarcan al nueraor significan valor absoluto, es ecir, no ebe toarse en cuenta el signo negativo. Ejeplo 4: Encontrar la ecuación e la recta que pasa por el punto A(7, 4) que es paralela a la recta x 5 0 (ver figura 4.18).

Solución: Coo las os rectas son paralelas, eben tener la isa peniente; e anera que ebe obtenerse la peniente e la recta que se conoce su ecuación pasársela a la otra: Para obtener la peniente e la recta x 5 0 ebe escribirse en la fora particular, es ecir, ebe espejarse la variable e. Haciénolo, se obtiene: x - - 5 0 x - 5 x - 5 la peniente e esta recta es. De anera que esta peniente es la isa que la e la recta peia. Coo aeás a se sabe que la recta peia pasa por el punto A( 7, 4), utilizano la fórula e punto peniente e la página 49 sustitueno valores: figura 4.18 x x 1 1 ( x ) 4 7 4 x 14 x 14+ 4 x 10 Ejeplo 5: Encontrar la ecuación e la recta que pasa por el punto P(-, 1) que es perpenicular a la recta 4x + 5 0. Ver figura 4.19. Solución: Coo las os rectas son perpeniculares, sus penientes eben ser recíprocas e signos contrarios; e anera que ebe obtenerse la peniente e la recta que se conoce su ecuación pasársela a la otra por eio e la conición e perpenicularia. Para obtener la peniente e la recta 4x + 5 0 tiene que escribirse en la fora particular, es ecir, ebe espejarse la variable e. figura 4.19

4x + - 5 0-4x + 5 - x + 5/ 1 la peniente e la recta aa es -. De anera que la peniente e la perpenicular es. Coo aeás a se sabe que la recta peia pasa por el punto punto peniente e la página 49 sustitueno valores: x x 1 1 1 1 x ( ) 1 1 + ( ) ( x ) 1 x + x + x + 0 (, ) P 1, utilizano la fórula e x + 5 0 Ejeplo 6: Encontrar la ecuación e la recta que es paralela a otra recta que tiene por ecuación 7x 6 71 0 que aeás pasa por el punto e intersección e las rectas 8x + 9 4 0 x + 0 (ver figura 4.0). figura 4.0

Solución: Coo la recta peia es paralela a otra cua ecuación es 7x 6 71 0, eben tener la isa peniente; e anera que espejano la variable e e esta últia ecuación para obtener su peniente pasársela a la otra: 7x 6 71 0 6 7x + 71 6 7x 71 7x 71 6 7 71 x 6 6 7 e one se ve que 1. 6 El punto e intersección e las rectas 8x + 9 4 0 x + 0 se obtiene resolvieno por siultáneas abas ecuaciones: (1) 8x + 9-4 0 () x + - 0 ultiplicano por - 8 la ecuación () se obtiene: (1a) 8x + 9-4 0 (a) - 8x - 4 + 4 0 S))))))))))))))))Q suano: - 15 0 0 sustitueno este valor en la ecuación () original: () x + (0) - 0 x - 0-0 x

e anera que las coorenaas el punto P one se intersecan estas os rectas son P(, 0). Se tienen a la peniente un punto conocio e la recta que se pie su ecuación, por lo que, en este caso: x 1 1 0 7 6 Utilizano la fórula e punto peniente e la página 49 sustitueno valores: x x 1 1 7 0 6 ( x ) 7 7 x 6 fora particular O bien, si se quiere en su fora general: 7 7 6 6 x 6 (ultiplicano abos laos por 6) 6 7x 1 7x + 6 + 1 0 7x 6 1 0 OTRA FORMA: Si la recta peia es paralela a la recta e ecuación 7x 6 71 0, entonces por lo visto antes esa recta peia ebe tener exactaente igual los térinos en equis en e, o sea 7x 6. Falta eter- inar cuánto vale el térino inepeniente o el nuerito solo. Sea k icho térino inepeniente. Entonces la ecuación buscaa tiene la fora 7x 6 + k 0, en la que ebe eterinarse cuánto vale k. Lo priero es calcular las coorenaas el punto e intersección e las otras os rectas, lo cual a se hizo en el étoo anterior, obteniénose que son (, 0).

Coo la recta buscaa 7x 6 + k 0 0. Sustitueno estos valores en la recta buscaa: 7x 6 + k 0 7 6 0 + k 0 1 0 + k 0 pasa por (, 0) significa que allí la equis vale la e vale k 1 De oo que la ecuación e la recta buscaa es 7x 6 1 0 Ejeplo 7: Los vértices e un cuarilátero son: (, ) (, ) ( ) A ; B1 1 ; C, 5 D 5,. Investigar si es cuarao, rectángulo, robo, roboie o trapecio. Solución: Graficano los puntos en el plano para ir efectuano las eucciones razonaientos en base al ibujo previo se obtiene la figura 4.1. Lo priero que ha que investigar es si ha laos paralelos, para saber si se trata e un paralelograo o no. Para eso eben obtenerse las penientes e los cuatro laos. figura 4.1 Con la fórula e la peniente x 1 x 1 escrita en la página 49, se obtiene: peniente AB : AB 1 1 peniente BC : BC 1 5 1 AB 1 BC 4

peniente DC : peniente AD : DC 5 5 DC AD AD 5 + + 5 DC 1 AD 4 Coo AB DC aeás BC AD, se puee a obtener la priera conclusión: Se trata e un paralelograo. El siguiente paso es investigar si los laos foran ángulos rectos o no. Para ello se requiere, por la conición e perpenicularia, que las penientes sean recíprocas e signos contrarios en este caso no lo son, lo que significa que los laos no son perpeniculares. Por lo tanto no es cuarao ni tapoco rectángulo. Quean solaente os posibiliaes: que sea robo o que sea roboie. Para investigarlo ha os opciones, e acuero con las propieaes e los paralelograos vistas en la página 8: Priera, por el taaño e sus laos, sabieno que el robo tiene sus cuatro laos iguales; seguna, por sus iagonales, sabieno que las iagonales el robo son perpeniculares. Por el taaño e sus laos: obtenieno la istancia entre los puntos A B luego entre los puntos B C, utilizano la fórula e istancia entre os puntos. Para la istancia A-B se tiene que 1 1 x x + en one: x 1 - ; 1 x 1 ; - 1 sustitueno valores [ ] AB 1 + 1 AB + AB 9+ 9

AB 18 Para la istancia B-C se tiene que x x + 1 1 en one x 1 1 ; 1-1 x - ; - 5 sustitueno valores BC 1 + 1 5 BC + 4 BC 9+ 16 BC 5 BC 5 Se ve que el lao AB es iferente al lao BC. Por lo tanto, se trata e un roboie. Ejeplo 8: Hallar la istancia entre las rectas paralelas 8x 1 0 8x + 18 0. Solución: Se localizan las coorenaas e cualquier punto P que pertenezca a cualquiera e las os rectas se calcula la istancia e ese punto a la otra recta, con la fórula e la página 56. De anera que tabulano un punto cualquiera e la recta 8x 1 0, por ejeplo, para x, se obtiene x 1 La istancia entre ese punto la otra recta está aa por la fórula e la página 56: figura 4.

Dx + E + F 1 1 D + E En one D 8, E F 18 (son las constantes e la ecuación e la recta), ientras que x 1 1 (son las coorenaas el punto). Sustitueno valores en la fórula se obtiene: 1 8 + 1 + 18 8 + 4 + 18 64 + 9 9 7 456. Cuiao!: Un error u frecuente que suele coeter el aluno es el e tabular un punto en caa una e las rectas luego calcular la istancia entre esos os puntos. Por ejeplo, el punto A ; 1. 6 el punto B( ; 0. 6), coo se uestra en la figura 4.. El error está en que una istancia ebe ser eia perpenicularente por las razones expuestas en figura 4. la página 56, el hecho e localizar os puntos, uno en caa recta, no garantiza e ninguna fora que queen en ángulo recto con las rectas a las que pertenecen. Por lo tanto, la istancia obtenia entre esos os puntos no es, en la aoría e los casos, la que ha realente entre uno e esos puntos la otra recta. 4.1 CASOS ESPECIALES 1) La gráfica e la ecuación c, en one c es cualquier constante (cualquier núero), es una recta horizontal. Por ejeplo, la gráfica e es la e la figura 4.4.

) La gráfica e la ecuación x c, en one c es cualquier constante (cualquier núero), es una recta vertical. Por ejeplo, la gráfica e x es la e la figura 4.5. figura 4.4 figura 4.5

EJERCICIO 4.4 1) Una recta pasa por los puntos A(, ) B(1, 9). Hallar su ecuación en fora general. ) Una recta pasa por los puntos A(4, - ) B(, - 8). Hallar su ecuación particular. ) Una recta pasa por el punto A(7, - ) tiene una peniente. Hallar su ecuación en fora particular. 4) Una recta pasa por el punto A( 0, 0) tiene una peniente - /. Hallar su ecuación en fora particular. 5) Una recta pasa por el punto A( 1, - 11) tiene una peniente /7. Hallar su ecuación en fora general. 6) Cuál es la peniente e la recta x 5 9 0? 7) Los vértices e un triángulo son: A(1, 1) ; B(- 4, 5) C(-, 0). Hallar la ecuación e caa uno e sus laos. 8) Los vértices e un triángulo son: A(11, 8); B( 0, 4) C( 9, - ). Hallar la longitu el lao aor. 9) Los vértices e un triángulo son: A(1, 1) ; B(- 4, 5) C(-, 0). Hallar la ecuación e la eiatriz al lao AB. 10) Los vértices e un triángulo son: A(11, 8) ; B( 0, 4) C(1, -). Hallar la ecuación e la eiana al lao BC. 11) Los vértices e un triángulo son: A(1, 1) ; B(- 4, 5) C(-, 0). Hallar la ecuación e la altura al lao AB. figura 4.6 1) Las ecuaciones e los laos el triángulo e la figura 4.6 son: 5x + 16 0 ; x + + 8 0 x + 0. Hallar: a) las coorenaas el vértice C; b) la ecuación e la eiana al lao AC; c) la ecuación e la eiatriz al lao BC; ) la ecuación e la altura al lao AB. 1) La recta 8x + 6 106 0 es tangente a una circunferencia que tiene su centro en (, ) io e icha circunferencia. Ver figura 4.7.. Hallar la longitu el ra- figura 4.7