UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TALLER N NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TÍTULO: DURACIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA: Calculo Diferencial Limites CALCULO, Conceptos y Contextos. James Stewart, Ed. Thomson. CALCULO, con Geometría Analítica (Calculo 1). Larson, R., Hosteller, R. y Edwards, B.. Editorial McGraw Hill. Octava Edicion. Docente: Lic. Jairo Alberto Mora Fernández 1. OBJETIVO Facilitar al estudiante la comprensión del concepto de limite y su aplicación en la construcción de nuevos conceptos matemáticos. 2. CONCEPTUALIZACION Y EJEMPLOS. El concepto de LIMITE de una función es fundamental en calculo, particularmente en la construcción del concepto de DERIVADA de una función. Pero mas allá de este hecho particular, este concepto se aplica al análisis de funciones en cuanto al comportamiento de la relación de dependencia entre los valores de x y los correspondientes de f(x). Para una función y = f(x) en particular, y asumiendo que f(x) es continua en x = a (f(x) es continua en x = a significa que la función no esta cortada o interrumpida en x = a), se puede verificar, evaluando la función, que si x = a entonces f(x) = f(a). Pero, será cierto que si se toman valores de x que se aproximan al valor a, los correspondientes valores de f(x) se aproximaran a f(a)? Si esto es cierto, podemos afirmar que el limite de f(x) es f(a), cuando x toma valores suficientemente próximos al valor a. Esta idea puede ser simbolizada como f(x) f(a) o como lim f(x) = f(a) Ilustremos esta idea con un ejemplo: EJEMPLO 1. Consideremos la función cuadrática básica f(x) = x 2 y analicemos el concepto en las proximidades del valor x = 2. Si evaluamos a f(x) cuando x = 2, obtendremos que f(2) = 2 2 = 4. Pero será que si tomamos valores de x que se aproximan a 2, los valores de f(x) se aproximarán a f(2) = 4?. Tomemos unos cuantos valores de x que se aproximen a 2 y veamos
como se comporta f(x). Separadamente tomemos valores de x que se aproximen a 2 por valores menores que 2 (por la izquierda de 2, o por 2 - ), y por valores mayores que 2 ( por la derecha de 2, o por 2 + ). Se pide al estudiante que elabore la grafica, sobre el mismo plano cartesiano, de las dos tablas de valores siguientes: Tabla No. 1 Tabla No. 2 Tomando valores menores que 2: Tomando valores mayores que 2: x f(x) = x 2 x f(x) = x 0 0 4 16 1 1 3 9 1.5 2.25 2.5 6.25 1.9 3.61 2.1 4.41 1.95 3.8025 2.05 4.2025 1.99 3.9601 2.01 4.0401 1.995 3.980025 2.005 4.020025 1.999 3.996001 2.001 4.004001 1.9995 3.99800025 2.0005 4.00200025 1.9999 3.99960001 2.0001 4.00040001........ 2.0 4.0 2.0 4.0 Obsérvese en la Tabla No.1 que cuando x toma valores que se aproximan mucho a 2 por la izquierda, o por valores menores que 2, el valor de f(x) se aproxima a 4. Este comportamiento de la función se representa simbólicamente como lim x 2 = 4 x 2- En esta expresión, la indicación x 2 - significa que x se aproxima a 2 por la izquierda de 2, o por valores menores que 2. Igualmente, en la Tabla No. 2 se observa que cuando x toma valores que se aproximan a 2 por valores mayores que 2, esto es, por la derecha, los valores de f(x) se aproximan a 4. Este hecho se simboliza como lim x 2 = 4 x 2+ Igual aquí, la expresión x 2 + significa que x tiende a 2 por la derecha, o por valores mayores que 2. Dado que, según lo observado en el ejemplo,
lim x 2 = 4 y lim x 2 = 4 x 2- x 2+ podemos concluir que, en efecto, x 2 lim x 2 = 4 En algunos casos muy particulares, el valor f(a), la evaluación de la función en x = a, puede no ser el valor hacia donde tiende f(x) cuando x tiende al valor a. Por esta razón, una definición formal del concepto de limite es la siguiente: Se afirma que el limite de f(x), cuando x tiende al valor a, es igual a L, denotado lim f(x) = L si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L, tomando x lo bastante cercano al valor a, pero no igual a a.. El Ejemplo 1 anterior ilustra claramente que la existencia del limite de f(x) en x = a depende de que existan los limites de f(x) por la izquierda y por la derecha de a, y que estos limites sean iguales a un valor L. Una definición de estos limites laterales, similar a la definición de limite, es la siguiente: El limite de f(x) cuando x se acerca al valor a desde la izquierda, es igual a L, denotado lim f(x) = L - si podemos aproximar los valores de f(x) a L tanto como queramos, escogiendo valores de x lo bastante cercanos de a pero menores que a Una definición del limite por la derecha, lim f(x) = L, puede hacerse en los + mismos términos anteriores, y se deja al lector para que la redacte. Dado que, como ya se comento, la existencia del limite de la función en valores próximos a a depende de la existencia e igualdad de los limites laterales, la siguiente afirmación es muy importante: lim f(x) = L si y solo si lim f(x) = L y lim f(x) = L - x a+
ÁLGEBRA DE LIMITES Para calcular el limite de una función determinada f(x) cuando x tiende a un valor a, podríamos utilizar el método ilustrado en el Ejemplo 1, pero resulta mejor utilizar las propiedades y reglas de los limites, que se plantean a continuación. Para las funciones básicas función constante f(x) = c (c un número real), función idéntica f(x) = x, función potencia f(x) = x n con n un entero positivo, y función raíz f(x)= n x, las reglas de los limites se plantean como siguen: 1. Limite de la función constante: lim c = c 2. Limite de la función idéntica: lim x = a 3. Limite de la función potencia: lim x n = a n 4. Limite de la función raíz: lim n x = n a Como se ve, estos limites operan como un reemplazo directo de x por a en cada caso. Si consideramos ahora funciones cualesquiera f(x) y g(x), g(x) 0, tales que los limites lim f(x) y lim g(x) existen, las leyes de limites relacionadas con las operaciones suma, resta, múltiplo constante, producto, cociente, potencia y raíz de estas funciones son, respectivamente: 5. Limite de suma de funciones: lim [ f(x) + g(x) ] = lim f(x) + lim g(x) 6. Limite de resta de funciones: lim [ f(x) - g(x) ] = lim f(x) - lim g(x) 7. Limite de múltiplo constante: lim c*f(x) = c*lim f(x) 8. Limite del producto de funciones: lim[ f(x) * g(x) ] = lim f(x) * lim g(x) 9. Limite del cociente de funciones: lim[ f(x) / g(x) ] = lim f(x) / lim g(x) 10. Limite de potencia de funciones: lim [ f(x) ] n = [ lim f(x)] n 11. Limite de raíz de funciones: lim n f(x) = n lim f(x) Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de estas reglas.
EJEMPLO 2: Evalué los siguientes limites. Justifique cada paso de su proceso. 1. lim (3x 2-2x+5) x 4 2. lim ((2x 3 +3x 2-2)/(4-x)) x -3 3. lim ((x 2-4)/(x-2)) x 2 SOLUCION. La evaluación de estos límites se aborda aplicando el álgebra de limites. 1. lim (3x 2-2x+5) = lim 3x 2 - lim 2x + lim 5 (Reglas 5 y 6) x 4 x 4 x 4 x 4 = 3 lim x 2-2 lim x + lim 5 (Regla 7) x 4 x 4 x 4 = 3*4 2-2*4 + 5 (Reglas 1, 2 y 3) = 45 2. lim ((2x 3 +3x 2-2)/(4-x)) = lim (2x 3 + 3x 2-2) / lim (4 x) (Reglas 9) x -3 x -3 x -3 = (lim 2x 3 + lim 3x 2 - lim 2) / (lim 4 - lim x) (Reglas 5 y 6) x -3 x -3 x -3 x -3 x -3 = (2 lim x 3 + 3 lim x 2 - lim 2) / (lim 4 - lim x) (Reglas 7) x -3 x -3 x -3 x -3 x -3 = (2*(-3) 3 + 3*(-3) 2-2) / (4 -(-3)) (Reglas 1, 2 y 3) = (-54 +27 2) / 7 = -29 / 7 3. lim ((x 2-4)/(x-2)) = lim (x 2 4) / lim (x 2) (Regla 9) x 2 x 2 x 2 = (lim x 2 - lim 4) / ( lim x - lim 2) (Reglas 5 y 6) x 2 x 2 x 2 x 2 = (2 2 4) / (2 2) (Reglas 1, 2 y 3) = 0 / 0 Obsérvese que el resultado de este limite, 0 / 0, es un valor indefinido, además que su denominador es 0 lo cual es imposible. Esto no significa que el limite no exista. De hecho, es posible revisar si la expresión en cuestión se puede transformar algebraicamente, de tal forma que pueda eliminarse el limite 0 en el denominador. En este ejemplo es posible hacerlo. Veamos: La expresión del numerador, (x 2 4), se puede factorizar como (x 2)(x + 2). Así, el factor (x 2) puede ser simplificado con el denominador (x 2). Por lo tanto,
lim ((x 2-4)/(x-2)) = lim ((x 2)(x + 2) / (x 2)) = lim (x + 2) x 2 x 2 x 2 = lim x + lim 2 = 2 + 2 = 4 x 2 x 2 Observe en el desarrollo de los numerales 1. y 2. del Ejemplo 2 que la aplicación sucesiva y ordenada de las reglas de limites conducen básicamente a la evaluación de la función f(x) en el valor a. Este hecho es la aplicación de una regla adicional que prácticamente globaliza las anteriores reglas: Regla 12. Si f(x) es un polinomio o una función racional, y a esta en el dominio de f(x), entonces lim f(x) = f(a) En resumen, para calcular el limite de una función f(x) cuando x tiende al valor a, se sigue la siguiente rutina: 1. Aplique en primera instancia las reglas del álgebra de limites. 2. Si eventualmente la aplicación del álgebra de limites conduce a una forma indeterminada, generalmente del tipo a/0, o 0/0, intente buscar alguna transformación algebraica, generalmente aplicando técnicas de factorización o de racionalización, que permita una simplificación y, posiblemente, la eliminación de la expresión del denominador que conduce al valor 0 en él. Logrado esto, vuelva a aplicar el álgebra de limites a la expresión resultante. 3. Si no es posible encontrar una transformación algebraica que permita eliminar el valor 0 en el denominador al aplicar el limite en el valor a dado (el hecho de no encontrar tal transformación algebraica no significa que no exista), aplique la estrategia ilustrada en el Ejemplo 1, dando valores a la izquierda y a la derecha del valor a dado, y observando el comportamiento de la función en las proximidades de a para obtener una conclusión al respecto. EJEMPLO 3. Obtenga el limite de las siguientes funciones: 1. lim ((5 + t) 2-25) / t t 0 2. lim ( (x 2 + 16) 4) / x 2 x 0 3. lim (sen x) / x x 0 4. lim (cos x 1) / x
x 0 SOLUCION 1. lim ((5 + t) 2-25) / t t 0 Al evaluar el denominador en t = 0, se obtiene 0 en el denominador, lo que conduce a una indeterminación del tipo a / 0. Entonces intentamos una simplificación, desarrollando el cuadrado del numerador: ((5 + t) 2-25) / t = (25 + 50 t + t 2 25) / t = (50 t + t 2 ) / t = t ( 50 + t) / t = 50 + t Por lo tanto, lim ((5 + t) 2-25) / t = lim (50 + t) = 50 t 0 t 0 Observe que en el ultimo paso del desarrollo anterior se aplico la Regla 12. 2. lim ( (x 2 + 16) 4) / x 2 x 0 Igual aquí, al evaluar el denominador en x = 0, se obtiene 0 en el denominador, lo que conduce a una indeterminación del tipo a / 0 (si se evalúa toda la expresión en x = 0, se obtiene la indeterminación 0 / 0). Entonces intentamos una simplificación, aplicando en este caso un proceso de racionalización en el numerador: (( (x 2 + 16) 4) / x 2 ) = (( (x 2 + 16) 4) / x 2 ) * (( (x 2 + 16) + 4) / ( (x 2 + 16) + 4)) = (( (x 2 + 16) 4) * ( (x 2 + 16) + 4)) / ( x 2 ( (x 2 + 16) + 4)) = ( x 2 + 16-16 ) / ( x 2 ( (x 2 + 16) + 4)) = x 2 / (x 2 ( (x 2 + 16) + 4)) = 1 / ( (x 2 + 16) + 4). Asi, lim ( (x 2 + 16) 4) / x 2 ) = lim (1 / ( (x 2 + 16) + 4)) = 1 / (4 + 4) = 1 / 8 x 0 x 0 3. lim (sen x) / x x 0 Observe que al aplicar las reglas de limites y al evaluar la función en x = 0, se obtiene una indeterminación del tipo 0 / 0. Tampoco al intentar una transformación algebraica de la función se obtiene una forma de eliminar el
valor 0 resultante en el denominador. Por tanto, aplicamos la evaluación de la función en las proximidades de 0, por ambos lados: Tabla No. 3 Tabla No. 4 Tomando valores menores que 0: Tomando valores mayores que 0: x f(x) =(sen x) / x x f(x) = (sen x) / x -1.0 0.84147098 1.0 0.84147098-0.5 0.95885107 0.5 0.95885107-0.1 0.99833416 0.1 0.99833416-0.05 0.99958338 0.05 0.99958338-0.01 0.99998333 0.01 0.99998333-0.005 0.99999583 0.005 0.99999583-0.001 0.99999983 0.001 0.99999983-0.0005 0.99999995 0.0005 0.99999995-0.0001 0.99999999 0.0001 0.99999999............ 0.0 1.0 0.0 1.0 La tendencia de los valores de f(x) obtenidos señala que lim (sen x) / x = 1.0 x 0 4) lim (cos x 1) / x x 0 Observe que, al igual que en el ejemplo anterior, al aplicar las reglas de limites y al evaluar la función en x = 0, se obtiene una indeterminación del tipo 0 / 0. Sin embargo aquí se puede intentar una transformación algebraica por racionalización. Veamos: (cos x 1) / x = ((cos x 1) / x) * ((cos x + 1) / (cos x + 1)) = ((cos 2 x 1) / ( x (cos x + 1)) = ( - sen 2 x) / ( x (cos x + 1)) = ( - (senx) / x ) * (sen x) / (cos x + 1). Al aplicar el limite tenemos lim ((cos x 1) / x ) = lim ( - (senx) / x ) * (sen x) / (cos x + 1).) = x 0 x 0 - lim ( (senx) / x ) * lim ((sen x) / (cos x + 1).) = - 1 * (0 / (1 + 1)) = 0 x 0 x 0
LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO Al explorar el comportamiento de algunas funciones racionales, o que contienen denominadores, se encuentra la circunstancia de que la función no existe en los valores de x donde el denominador se hace 0, y en las proximidades donde esto ocurre, la función podría tomar valores que tienden a infinito (valores infinitamente grandes), o a menos infinito - (valores infinitamente grandes, pero negativos). Funciones como f(x) = 1 / x, o g(x) =1 / x 2 exhiben estos comportamientos. Veamos: Para la función f(x) = 1 / x, la grafica muestra que cuando x toma valores que se aproximan a 0 por la izquierda, f(x) toma valores que tienden a -, y cuando x toma valores que se aproximan a 0 por la derecha, f(x) toma valores que tienden a. Este comportamiento de f(x) puede presentarse como Lim f(x) = - y Lim f(x) = x 0- x 0+ Para la función g(x) = 1 / x 2, la grafica muestra que cuando x toma valores que se aproximan a 0 por la izquierda o por la derecha, g(x) toma valores que tienden a. Este comportamiento de g(x) puede presentarse como Lim g(x) = y Lim g(x) = x 0- x 0+
El símbolo llamado infinito denota un numero infinitamente grande, pero de hecho no es una cantidad, por lo que los limites indicados para estas funciones no existen. El concepto ilustrado en este ejemplo se conoce como limite infinito ya que señala que la función f(x) tiende a tomar un valor infinito ( o menos infinito - ) cuando x se aproxima suficientemente a un valor a determinado. Una definición formal de este concepto es la siguiente: Sea f(x) una función definida a ambos lados de a, excepto talvez en el mismo valor a. Entonces, Lim f(x) = x a significa que los valores de f(x) se pueden hacer infinitamente grandes, tanto como queramos, eligiendo valores de x suficientemente próximos pero no iguales al valor a. La definición anterior denota que x puede tomar valores muy próximos pero no iguales al valor a, debido a que f(x) no esta definida en x = a, esto es, f(a) no existe. Este comportamiento de f(x) tendiendo a o a - cuando x tiende a a muestra que la recta vertical x = a es una asíntota vertical de f(x): La recta x = a se llama asíntota vertical de la curva y = f(x) si se cumple al menos una de las siguientes proposiciones: Lim f(x) = Lim f(x) = Lim f(x) = x a x a- x a+
Lim f(x) = - Lim f(x) = - Lim f(x) = - x a x a- x a+ EJEMPLO 4. Para ilustrar los conceptos anteriores, veamos la grafica, la(s) asíntota(s) vertical(es) y el limite de las siguientes funciones cuando x tiende a las asíntotas. 1. f(x) = 4 / (3-x) Según la definición de la función, para el valor x = 3, la función no existe, por lo que la recta vertical x = 3 es una asíntota vertical de la función. Como lo muestra la grafica, los limites de la función cuando x tiende a 3 son: Lim f(x) = x 3-2. g(x) = ln x Lim f(x) = - x 3+
Según la definición de la función, su dominio son los reales positivos, por lo que para valores de x menores o iguales a 0 g(x) no esta definida, y la recta vertical x = 0 es una asíntota vertical de la función como lo muestra la grafica. El limite de la función cuando x tiende a 0 por la derecha es: Lim g(x) = - x 0+ 3. h(x) = x / (x 2 1) La definición de la función muestra que esta no esta definida en x = -1 y x = 1, por lo que en estos valores hay asintotas verticales. Los limites laterales en estos valores son: Lim h(x) = - x -1- x -1+ Lim h(x) = Lim h(x) = - x 1- Lim h(x) = x 1+ A diferencia de lo anterior, si nuestro interés es analizar el comportamiento de una función f(x) cuando x tiende hacia un valor infinitamente grande, positivo (- ) o negativo (- ), estamos haciendo referencia en este caso a limites al infinito o a limites en el infinito. Retomemos las funciones f(x) = 1 / x, y g(x) =1 / x 2 y revisemos su comportamiento en el caso descrito:
Para la función f(x) = 1 / x, la grafica muestra que cuando x toma valores que se aproximan a - por la izquierda, f(x) toma valores que tienden a 0, y cuando x toma valores que se aproximan a por la derecha, f(x) toma valores que tienden también a 0. Este comportamiento de f(x) puede presentarse como Lim f(x) = 0 y Lim f(x) = 0 x - x Para la función g(x) = 1 / x 2, la grafica muestra que cuando x toma valores que se aproximan a - por la izquierda o a por la derecha, g(x) toma valores que tienden a 0. Este comportamiento de g(x) puede presentarse como Lim g(x) = 0 y Lim g(x) = 0 x - x
Una definición formal de este concepto de limites al infinito o limites en el infinito es la siguiente: Sea f(x) una función definida en el intervalo (a, ) (o en el intervalo (-,a)). Entonces, lim f(x) = L ( o lim f(x) = L ) x - significa que los valores de f(x) se pueden aproximar a L tanto como queramos, eligiendo valores de x suficientemente grandes por valores positivos ( ) (o por valores negativos (- )). La definición anterior denota que cuando x toma valores muy grandes por valores positivos ( ) (o por valores negativos (- )), la función toma valores que son muy próximos al valor L, pero no pueden ser iguales a L. Este comportamiento de f(x) tendiendo a L cuando x tiende a (o a - ) muestra que la recta horizontal y = L es una asíntota horizontal de f(x): La recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva cumple al menos una de las siguientes proposiciones: y = f(x) si se lim f(x) = L o lim f(x) = L x - Los dos ejemplos ilustrativos iniciales de este concepto, las funciones f(x) = 1 / x, y g(x) =1 / x 2, son una generalización de la siguiente regla: Regla 13: Si n es un entero positivo, entonces Lim 1/x n = 0 o lim 1/x n = 0 x - Para ilustrar los conceptos anteriores, revise los siguientes ejemplos en los que se puede observar la grafica de la función,, la(s) asíntota(s) horizontales, y el limite de las funciones cuando x tiende a la(s) asíntota(s), y se ilustra un método de transformación algebraica que evita las operaciones con valores (al aplicar el álgebra de limites a expresiones en las que x, como en la expresión del EJEMPLO 5. 1. siguiente, y en general todas las expresiones de este ejemplo, al reemplazar x por se tendría la operación (3 2 2)/( 5 2 + 4 + 1) que daría como resultado /, lo cual es claramente una indeterminación).
EJEMPLO 5 1. Evalúe lim (3x 2 x 2) / ( 5x 2 + 4x + 1) 2. Calcule lim ( (x 2 + 1) x) 3. lim 4 / (3-x) 4. lim 1 / x 2 5. lim x / (x 2 1) SOLUCION 1. Evalúe lim (3x 2 x 2) / ( 5x 2 + 4x + 1) La grafica de la función muestra a la recta y = 3/5 = 0.6 como una asíntota horizontal. Para verificar que, en efecto, la recta y = 3/5 = 0.6 es una asíntota horizontal debemos evaluar el limite pedido. Al aplicar el álgebra de limites, ocurre lo comentado en la nota anterior: al reemplazar x por se tendría la operación (3 2 2) / ( 5 2 + 4 + 1) que daría como resultado /, lo cual es claramente una indeterminación. Para evitar esta situación, se usa la siguiente estrategia, la cual es utilizable en expresiones de tipo racional P(x) / Q(x): divida el
numerador y el denominador entre la mayor potencia de x que haya en el denominador, transforme y simplifique algebraicamente. Para este caso, dividimos el numerador y el denominador entre x 2, la mayor potencia de x en el denominador, transformamos, simplificamos y aplicamos de nuevo el álgebra de limites. lim (3x 2 x 2) / ( 5x 2 + 4x + 1) = lim ((3x 2 x 2)/ x 2 ) / (( 5x 2 + 4x + 1)/ x 2 ) = lim (3x 2 / x 2 x / x 2 2/ x 2 ) / ( 5x 2 / x 2 + 4x / x 2 + 1 / x 2 ) = lim (3 1 / x 2 / x 2 ) / ( 5 + 4 / x + 1 / x 2 ) = (lim 3 lim 1 / x 2 lim 1/ x 2 ) / (lim 5 + 4 lim1 / x + lim 1 / x 2 ) = (3 0 2*0) / (5 + 4*0 + 0) = 3 / 5 = 0.6 Como puede verse, acá se hizo uso de la Regla 13: 2. Calcule lim ( (x 2 + 1) x) Si n es un entero positivo, entonces Lim 1/x n = 0 o lim 1/x n = 0 x - La grafica de la función nos permite ver que la recta y = 0 es una asíntota horizontal, lo que sugiere que lim ( (x 2 + 1) x) = 0
Al aplicar el álgebra de limites, y al reemplazar x por, se tiene, como en el caso anterior, operaciones con, lo cual es indeterminado. Como la expresión algebraica de la función no es racional (cociente de dos expresiones), no puede aplicarse al estrategia del ejercicio anterior. Sin embargo la expresión puede convertirse en racional aplicando un proceso de racionalización. Veamos: lim ( (x 2 + 1) x) = lim ( (x 2 + 1) x) * ( (x 2 + 1) + x) / ( (x 2 + 1) + x) = lim (x 2 + 1 x 2 ) / ( (x 2 + 1) + x) = lim 1 / ( (x 2 + 1) + x) = lim (1 / x 2 ) / ( (x 2 + 1) + x) / x 2 ) = lim (1 / x 2 ) / ( (x 2 / x 2 + 1 / x 2 ) + x / x 2 ) = lim (1 / x 2 ) / ( ( 1 + 1 / x 2 ) + 1 / x) = lim (1 / x 2 ) / ( (lim 1 + lim 1 / x 2 ) + lim 1 / x) = 0 / ( ( 1 + 0) + 0) = 0 3. Determine lim 4 / (3-x) La grafica nos sugiere una asíntota horizontal en y = 0 cuando o x -, por lo que el limite a calcular determina tal asíntota. Veamos: Como se trata de una expresión racional, aplicamos la estrategia ilustrada en los ejemplos anteriores, dividiendo numerador y denominador por x:
lim 4 / (3-x) = lim ( 4 / x ) / ((3-x) / x ) = lim ( 4 / x ) / ((3 / x x / x )) = lim ( 4 / x ) / (3 / x 1 ) = lim 4 / x / ( lim 3 / x lim 1 ) = 4 lim 1 / x / ( 3 lim 1 / x lim 1 ) = 4*0 / ( 3*0 1 ) = 0 / (-1) = 0 Un procedimiento similar nos permite demostrar que lim 4 / (3-x) = 0, confirmando x - lo que la grafica sugiere. 4. lim 1 / x 2 Para la función 1 / x 2, su grafica muestra a la recta y = 0 como asíntota horizontal, lo cual es demostrable aplicando directamente la Regla 13: Si n es un entero positivo, entonces lim 1/x n = 0 o lim 1/x n = 0 x - Por lo tanto, lim 1 / x 2 = 0. Igualmente, lim 1 / x 2 = 0 x - 5. Hallar lim x / (x 2 1)
La grafica de esta función muestra a la recta y = 0 como asíntota horizontal. El calculo del limite pedido se hace aplicando la estrategia ilustrada: lim x / (x 2 1) = lim ( x / x 2 ) / ((x 2 / x 2 ) 1 / x 2 ) = lim ( 1/ x ) / ( 1 1 / x 2 ) = lim ( 1 / x ) / ( lim 1 lim 1 / x 2 ) = 0 / ( 1 0 ) = 0 3. EJERCICIOS A. Evaluar los siguientes Límites : x 3 1. lim ; x 9 5x 45 2. lim 3x x 10 2 + x 2 x 5x 14 ; 1 3. lim 1 ; 1 1 x x
4. lim h 0 3 x + h h 3 x 5. Enuncie la diferencia entre: Límites infinitos, Límites al infinito y Límites Laterales. 2 6. Dada la siguiente función: f(x)= x 2x 8, determine el valor de los limites laterales a a) lim + x 2 lim x 2 f ( x) ; b) f ( x) ; c) lim x 0 f ( x) ; d) lim + x 0 f ( x). 7. Dado que 3 x 1 g ( x) = obtenga: x 2 1 a) lim x 1 g( x) ; b) lim + x 1 lim x 1 g( x) ; c) g( x) lim x 1 ; d) g( x) 8, Calcular