Parte III Series Una aplicación de las sucesiones consiste en representar sumas in nitas. Dicho brevemente, si fa n g es una sucesión, entonces a n = a a a : : : a n : : : es una serie. Los números a ; a ; a ; : : : son los términos de la serie. Para hallar la suma de una serie, consideremos la sucesión de sumas parciales. S = a S = a a S = a a a. S n = a a a : : : a n Según esto una serie in nita es una sucesión de sumas parciales. Además observe que S n = a a a : : : a n a n = S n a n : De nición 0. (Convergencia de una Seri Sea sumas parciales que de ne esta serie. a n una serie y fs n g la sucesión de Si lm S n existe y es igual a S, decimos que la serie es convergente y que S es la suma n! de esa serie in nita. Si lm S n no existe, decimos que la serie es divergente y que no tiene suma. n! OBSERVE QUE Cuando tratamos con series hay siempre involucradas dos sucesiones distintas; por una lado, la sucesión fa n g y por otra parte la sucesión de sumas parciales fs n g, que, como sabemos, está de nida en términos de fa n g.
No siempre es posible obtener una fórmula explicita para la sucesión de sumas parciales. Existen varios métodos que permiten determinar si una serie converge o no, sin necesidad de calcular (cuando exist el límite de su sucesión de sumas parciales. Ejemplo 0. Dada la serie = n 4 8 6 : : :. Obtener los tres primeros términos de la sucesión de sumas parciales.. Determinar una fórmula para S n en términos de n.. Converge o diverge? R/ S n = n n Debemos recalcar que, por lo general, no es posible obtener una expresión como la del ejemplo anterior para cualquier S n dado. En realidad se puede ver una serie como una suma in nita de términos. Por ejemplo, n = : : : n : : : En algunos casos esta suma in nita se puede identi car, en algún sentido, con un número real. En este caso se dice que la serie converge. Sin embargo esto no siempre es posible. No se debe confundir una suma que consta de un número nito de términos con una serie. Ejemplo 0. Dada la serie n = n : : : 4. Obtener los tres primeros términos de la sucesión de sumas parciales.. Determinar una fórmula para S n en términos de n.. Converge o diverge? R/ S n = n
SERIES TELESCÓPICAS Ejemplo 0. Dada la serie = : : :. Obtener los tres primeros términos de la sucesión de sumas parciales.. Determinar una fórmula para S n en términos de n. R/ S n = n. Converge o diverge?. Series Telescópicas La serie del Ejemplo 0. es una serie telecópica, o sea, de la forma (b b ) (b b ) (b b 4 ) (b 4 b 5 ) : : : (Serie Telesc pic La suma parcial n-ésima de esta serie es S n = b b n se sigue que una serie telescópica converge si y sólo si b n tiende a un número nito cuando n!. Además, si la serie converge su suma será S = b Ejemplo. Calcular la suma de la serie lm n! b n n n. Series Geométricas La serie del Ejemplo 0. es una serie geométrica. En general, la serie dada por ar n = a ar ar ar : : : ar n : : : ; a 6= 0 (serie geom tric es una serie geométrica de razón r.
SERIES GEOMÉTRICAS 4 Teorema. (Convergencia de series geométricas) Una serie geométrica de razón r diverge si jrj. Si 0 < jrj <, entonces la serie converge a la suma ar n = a r Ejemplo. Determine si la serie converge o diverge... n n La convergencia de una serie no se ve afectada por la eliminación de un número nito de sus términos iniciales. Por ejemplo, las series geométricas n=4 n y n convergen ambas. Además como la suma de la primer serie es suma de la primer serie es S = = = 8 " 0 5 8 a r # =, concluimos que la Teorema. (Propiedades de las Series) Si P a n = A y P b n = B, y c es un número real, las series siguientes convergen a las sumas indicadas... P ca n = ca P (a n b n ) = A B
CRITERIO DEL TÉRMINO GENERAL PARA LA DIVERGENCIA 5. Criterio del Término General para la Divergencia El próximo teorema establece que si una serie converge, el límite de su término n de ser necesariamente 0. esimo ha Teorema. Si la sucesión fa n g no converge a 0, entonces la serie P a n es divergente. NOTA: Este teorema no dice que si fa n g converge a 0 la serie P a n tenga que ser necesariamente convergente. Ejemplo. Determine si la serie dada converge o diverge.... P n P n! n! P n 4. Ejercicios. Obtenga los cuatro primeros términos de la sucesión de sumas parciales de cada serie n n ( ) n n n n n n cos 4 f ) ( ) n n n. Compruebe que la serie dada es divergente. n n n n n n n
4 EJERCICIOS 6 f ) g) n n n p n n 4. Compruebe que la serie dada es convergente. n 4 n n n n (n ) 4. Determine la suma de la serie n n n (n ) (n ) n n 5. Estudiar si la serie es converge o diverge f ) g) h) i) n 0 0n n n n n 4 n n ln n n= n n n n n 4 n (n )