Modelo Linel Generl Prof. Susn Mrtín Fernández ndez
Índice Introducción Modelo Linel Generl Análisis de l Vrinz Regresión n Linel
Introducción Un Un modelo linel es un relción entre vribles mtemátics tics cuntittivs y/o culittivs (explictivs) y un vector letorio de interés.
Plntemiento del problem Introducción Elección de vribles medir Plntemiento del modelo Obtención y depurción de dtos Obtención de prámetros del modelo Simplificción del modelo Vlidción del Modelo NO Es válido? SI APLICACIÓN
Métodos Estdísticos de Inferenci Introducción SI Dd l V.A. X Se conoce su Función de Distribución excepto un nº de prámetros? NO Inferenci Prmétric Inferenci no Prmétric f(x)=? µ=?, σ=?
Modelo Linel Generl Se X = (X, X2,..., Xn) un vector letorio, se A un mtriz nxk / k<n de constntes conocids ij (vlores de ls vribles explictivs), i=,..n; j=,...,k. Y se β un D vector desconocido de esclres, el vector X = (X, X2,..., Xn) sigue un modelo linel si se puede escribir de l siguiente form: X = β A + ε
ε = ( ε, ε,..., ε n) Modelo Linel Generl Donde 2 es un vector de vribles letoris no medibles y demás cumplen que E[ ε i ] = 0 (medi cero). Luego otr definición de modelo linel serí l siguiente: Se X = (X, X2,..., Xn) un vector letorio, se A un mtriz D nxk / k<n de constntes conocids ij i=,..n; j=,...,k. Y se β un vector desconocido de esclres, el vector X = (X, X2,..., Xn) sigue un modelo linel si cumple: E[X] = βa
Modelo Linel Generl Modelo linel de form mtricil: 2... n... 2 22 n2 ( X,X2,..., Xn) = ( β, β2,..., β ) k + ( ε, ε2,..., εn)............ D k 2k... nk
Modelo Linel Generl Por tnto: X X 2 = β +...+ β + k ε k = +...+ β + ε... β 2 k 2k 2 X = β +... + β i X D... n = β i n j +...+ β ij k +... nk +β + ε k n ik +ε i
Modelo Linel Generl Qué representn ests expresiones? = β... +...+ β + ε X k k X = β β 2 +...+ 2 + 2k ε k 2 X = β +... + i X D... n = β i n β j +...+ β ij k +... nk +β + ε k n ik +ε i Muestr de tmño n de un vrible X Dtos de ls k vribles numérics o explictivs medids en ls n uniddes muestrles
Modelo Linel Generl EJEMPLO: Queremos modelizr los sólidos s en suspensión n (ss)( ) de un depurdor en función n del cudl, Q,, y del ph. Dtos: ss=(376,364,360) D Q=(28., 28.9, 30.) ph=(7.75, 7.53, 7.9)
Por tnto n=3; Modelo Linel Generl EJEMPLO El vector X es: X=(X, X 2, X 3 )=(376,364,360) D K=2, hy 2 vribles numérics Q=(28., 28.9, 30.) ph=(7.75, 7.53, 7.9)
El modelo de form mtricil: Modelo Linel Generl EJEMPLO Cudl 2 3 (X,X2, X3) = (β,β ) 2 + (ε,ε 2,ε3) 2 22 32 ph D 28. 28.9 30. (376,364,360) = (β,β2) + (ε,ε 2,ε3) 7.75 7.53 7.9
Modelo Linel Generl Se ε sume que ls vribles del vector cumplen: = ( ε, ε 2,..., ε n) - Son independientes - Siguen un distribución n norml -Tods tienen l mism vrinz σ 2 (homocedsticidd)). E[ ε i ] = 0 - (medi cero). Condición n que y cumplín por definición. Bjo ests condiciones se deduce que ls vribles del vector X=(X, X2,..., Xn) siguen un distribución norml, son independientes y con vrinz constnte σ2.
Modelo Linel Generl Objetivo: El objetivo es encontrr el mejor vector de estimdores de los prámetros: D β = (β, β,..., Consistente. Al umentr el tmño de l muestr el estimdor converge en probbilidd en el prámetro estimdo. Invrinte. Se G un grupo de trnsformciones que dej ls funciones de distribución {Fθ :θ Θ} invrintes. Un estimdor U se dice que es invrinte bjo G, si: U(g(x), g(x2),..., g(xn)) = U(x, x2,..., xn), g G. Con vrinz mínim. Se dice que U es el estimdor de vrinz mínim de un prámetro θ, si pr culquier otro estimdor Ui de dicho prámetro se cumple que: vr(u) < vr(ui) Insesgdo. E[U]=θ 2 β k )
Modelo Linel Generl f Obtención n del vector de prámetros β: Pr l estimción de los prámetros se pueden utilizr dos métodos: Error cudrático mínimo. min εε' = D ( X βa' )( X βa' )' = ε Método de máxim verosimilitud. ( x,..., x ) n = exp ( ) n 2 2π σ 2σ i= 2 i ( x β... β ) β, σ n i i k ik 2
Modelo Linel Generl Simplificción n del modelo-hip Hipótesis linel generl El modelo se simplificrá si se puede ceptr que lguno de los coeficientes β i es 0. Form teóric y complej de plnter l simplificción del modelo ( β, β 2,..., β : βh H0 k h h2 )... hk h h h 2 22... 2k............ = 0 hr h r2 = (0,0,...,0)... hrk
Teorem Se el modelo linel X=β A +ε donde A es un mtriz nxk conocid y de rngo k<n,, se β un vector desconocido de esclres, y se ε=( =(ε,ε 2,...ε n ) un vector de vribles letoris no observbles independientes de form que tods ells siguen un distribución n Norml N(0,σ 2 ). El coeficiente obtenido por máxim m verosimilitud F (estdístico) stico) pr contrstr l hipótesis linel H 0 :βh =0, donde H es un mtriz rxk con rngo r<=k, hipótesis nul pr un nivel de significción α si F FF 0, donde P H0 (F Modelo Linel Generl Simplificción n del modelo hrá que se rechce l (F F 0 ), es decir l probbilidd de rechzr l hipótesis nul cundo ést es ciert en l relidd es α.. Y se demuestr que F es un vrible letori cuy expresión n es: ( ( X β )( ) ( )( ) 0 A' X β A' ' X β A' X β A' ) ) ( X β A' )( X β A' )' 0 F = ( ) ) ' βˆ ˆβ 0 Donde es el estimdor de máxim m verosimilitud de β y es el estimdor máximo m verosímil bjo l hipótesis nul. L vrible letori [(n-k)/ k)/r]f tiene un distribución n F-snedecorF con (r,n-k) grdos de libertd bjo.