11.6 EJERCICIOS PROPUESTOS Temas: Función área. 1. Señale para cada enunciado si es verdadero o es falso, justificando su determinación. 1.1. El área de un polígono simple siempre es un número entero y positivo. 1.2. El área de un polígono simple puede ser un número real cualquiera. 1.3. Con relación a los polígonos señalados en las figuras siguientes: 1.3.1 A(A 1A 2A 3A 4A 5A 6)= A(ΔA 1A 2A 3) + A(ΔA 1A 3A 5) + A(ΔA 1A 5A 6) + A(ΔA 3A 4A 5) 1.3.2 A(B 1B 2B 3B 4B 5B 6)= A(ΔB 1SB 6) + A(ΔB 6B 5T) + A(ΔB 1B 2S) + A(B 2STKWB 4B 3) + A(B 4B 5KW)
1.3.3. A(C 1C 2C 3C 4C 5C 6)= A(ΔC 3C 4C 5) + A(ΔC 3C 5C 6) + A(ΔC 2C 3C 6) + A(ΔC 1C 2C 3) 1.3.4 A(D 1D 2D 3D 4D 5D 6D 7)= A(D 1D 2D 3D 4) + A(ΔD 1D 4D 7) + A(ΔD 6D 7F) + A(D 4D 5D 6S) 1.4 Si dos polígonos son semejantes, entonces, son equivalentes. 1.5 Si dos polígonos son congruentes, entonces, son equivalentes. 1.6 Si dos polígonos son equivalentes, entonces, son congruentes. 1.7 El área de un rectángulo es igual al producto de la medida de un lado cualquiera por la distancia al lado opuesto. 1.8 El área de un rombo es igual al producto de la medida de un lado cualquiera por la distancia al lado opuesto. 1.9 El área de un paralelogramo es igual al producto de la medida de un lado cualquiera por la distancia al lado opuesto. 1.10 Un polígono convexo de 15 lados es equivalente a un polígono convexo de 8 lados. 2 Para cada uno de los polígonos siguientes, determine un cuadrado equivalente. 3 Calcule el área para cada uno de los polígonos siguientes. 3.1. ΔABC rectángulo, BH altura. ABCrecto,
3.2. ABCD rombo, d ( O, DC ) 1. 7 3.3. ABCDE representa un terreno, las longitudes de los lados están en metros, calcule el área del terreno. Sugerencia: Particione el polígono en triángulos, utilice ley de cosenos y de senos. 4 Calcule el área sombreada en cada una de las figuras siguientes, teniendo en cuenta las hipótesis respectivas. 4.1. El ΔABC es equilátero, inscrito en C(0, r), AH altura. Calcule el área sombreada en términos del radio r. Sugerencia: Tenga presente las propiedades de los segmentos notables en el triángulo isósceles. 4.2. Las tres circunferencias son congruentes de radio r y tangentes entre sí. Calcule el área sombreada en términos de r.
4.3. ABCD es un cuadrado de lado. Con centros en cada vértice y radio igual a la mitad de la diagonal, se trazan al interior del cuadrado los arcos: P, 1 OP 2 P 3 OP 4 P 5 OP 6 P 7OP 8. Calcule el área sombreada en términos del lado. Sugerencia: Calcule inicialmente el área de un aspa de la cruz. 4.4. En la figura ΔPQT es equilátero, C (0,r) cuerda diametral, está inscrita en este triángulo, AB WB tangentes a C(0, r); AB // QT // SM ; AK y entre B y W. SMWK cuadrado, O S entre A y K, M punto de intersección de las diagonales de este cuadrado, en SMLG. GFL semicircunferencia inscrita
Calcule el área sombreada en términos de r. 4.5. ABCD es un cuadrado de lado. Los arcos se han construido en la forma descrita en el literal 4.3. Calcule el área sombreada en términos de. 5 En el paralelogramo ABCD de la figura M es el punto medio de BC y N lo es de CD. Demuestre que ΔABM ΔADN. Sugerencia: Determine AC. Compare ΔABM y ΔACM; compare ΔADN y ΔACN. 6 En el ΔABC de la figura O es el baricentro, AM 1, 2 BM, CM 3 medianas. Demuestre que : ΔOBM 1 ΔOM 1C ΔOCM 2 ΔOAM 2 ΔOAM 3 ΔOM 3B
7 Lúnulas de Hipócrates En la figura ΔABC es rectángulo y está inscrito en la semicircunferencia de cuerda diametral AB. Tomando como cuerda diametral cada cateto se traza una semicircunferencia en el exterior del triángulo. Las regiones sombreadas se denominan lúnulas. Demuestre que la suma de las regiones sombreadas es igual al área del ΔABC. 8 En la figura ABCD es un paralelogramo, P es un punto cualquiera de la diagonal BD. Se determinan PA y PC. Demuestre que ΔAPD ΔCPD y ΔAPB ΔCPB. 9 En el trapecio ABCD de la figura, AB // DC ; M 1 y M 2 puntos medios de AD y BC respectivamente. Demuestre que ΔAM 2D ΔBM 1C.
10 En cada uno de los numerales siguientes, calcular la razón o el incremento pedido. 10.1. Si el radio de una circunferencia se incrementa en una unidad, entonces, calcule la razón de la longitud de la nueva circunferencia respecto al nuevo diámetro. 10.2. Si el diámetro de una circunferencia se incrementa en unidades, entonces, calcule el incremento en la longitud de la nueva circunferencia. 10.3. Si el radio de una circunferencia se incrementa en el 100%, entonces, calcule el incremento de la nueva área del círculo. 11 Si el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles es igual a 2 k, calcule, en función de k, el área del triángulo. 12 El área de un círculo es igual 64 unidades de área. Calcule el área del exágono regular circunscrito a este círculo. 13 En la circunferencia C(0, r) de la figura, AB es cuerda diametral, AT TB medida del arco total de la circunferencia. Calcule A ( ATB) /A ( DOF). y 1 m ( DMF) 4 14 Si se designa por L el perímetro de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia, calcules el área del círculo en función de L. 15 Dados dos cuadrados cualesquiera de lados de longitudes a y b unidades respectivamente, construya: 15.1. Un cuadrado equivalente a la suma de las áreas de los dos cuadrados. 15.2. Un cuadrado equivalente a la diferencia de las áreas de los dos cuadrados 16 Generalice el problema anterior en su literal 15.1. Sean los cuadrados de lados cuyas longitudes corresponden a a, 1 a, a 2 3,, a n unidades. Construya un cuadrado equivalente a la suma de las áreas de los n cuadrados.
17 Demuestre ilustrando con una construcción precisa que el cuadrado construido sobre la diferencia de dos segmentos, es equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre ellos menos el doble del rectángulo construido con estos mismos segmentos. (Demostración geométrica de una propiedad algebraica) 18 Demuestre ilustrando con una construcción precisa que la diferencia entre los cuadrados construidos sobre dos segmentos es equivalente al rectángulo una de cuyas dimensiones es la suma de ellos y la otra dimensión es la diferencia de los mismos. (Demostración geométrica de una propiedad algebráica) 19 El diámetro de una toronja es de 10 centímetros y la cáscara tiene 6mm de espesor. Si se corta un trozo de cáscara tangente a la pulpa interior, como se indica en la figura, calcule el diámetro y la longitud de la circunferencia del trozo que se ha cortado. 20 El perímetro de un triángulo es el doble del perímetro de la circunferencia inscrita en él. Si 2 el área del círculo es 12m, calcule el área del triángulo. Puede obtenerse una generalización del problema planteado y concluirse un teorema? 21 En un rombo una de las diagonales mide el doble de la otra. Si el área del rombo se designa por A en unidades de área, calcule la dimensión del lado del rombo en función de A.
22 En la figura ABCD es un cuadrado de área 25 unidades de área, P un punto arbitrario, P BC.Por A se levanta AT AP ; Q CD AT. Deteminamos QP. Si el área del ΔPAQ es igual a 15,125 unidades de área, calcule QD. 23 En el paralelogramo ABCD, M es el punto medio de la diagonal BD, K BC 1 BK BC. Demuestre que (A ( BMK) /A (MKCD) )= 1/5 3 24 El ΔABC de la figura es rectángulo, con A recto, M es el punto medio de BC, MK BC. Si B 12 unidades y 6, 2 unidades, calcule el área del cuadrilátero ACMK. tal que
1 1 1 25. En el ΔABC de la figura, AP1 AC, AP2 CB, BP3 BA; AP 2, BP 1 y CP 3 se 3 3 3 1 intersectan como se indica. Demuestre que A ( STW) = A ( ABC). 7 26 En el ΔABC de la figura los lados son tangentes a las circunferencias y estas son a su vez tangentes entre sí r 17 y r 10 unidades respectivamente, calcule el área del ΔABC. Sugerencia: 1) Pruebe que ΔABC es isósceles y en consecuencia AH es mediatriz de BC. 2)Determine los radios asociados a los puntos de tangencia sobre los lados AB y AC y considere los triángulos semejantes. H
27 En la figura ABCDEF es regular, H H AB 1 2, H 1 H ED y H 1, O, H 2 son colineales, H 1H 2=50 2 unidades. ST es una cuerda diametral con ST = 16 unidades. Calcule el área de la figura sombreada. 28 En la figura el círculo C(0, r ) está contenido en el círculo C(0, r). Si el área del círculo mayor es igual al valor del área de la región sombreada multiplicada por el término b a, pruebe que r / r a. a b 29 Si un arco intersectado por un ángulo central de 60º en un círculo C(O 1, r 1) tiene la misma longitud que un arco intersectado por un ángulo central de 45º en un círculo C(O 2, r 2), calcule la razón entre las áreas del primer círculo al segundo. 30 En la figura AB no nulo cualquiera, se determina la semicircunferencia de centro en O y diámetro AB. P un punto cualquiera, P Int( AB). En el mismo semiplano de la circunferencia se trazan dos semicircunferencia de diámetros AP y PBrespectivamente. Por P se levanta el segmento perpendicular que intersecta el arco
en K. Con centro en P se determina la circunferencia de radio PK. Demuestre que la razón entre el área sombreada y el área del círculo de centro en P y radio PK es igual a 1. 4