GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS Y VARIABLES ALEATORIAS La simulación de eventos se basa en la ocurrencia aleatoria de los mismos, por ello los números aleatorios y las variables aleatorias son de especial importancia en la aplicación de esta herramienta
VARIABLES ALEATORIAS PROCESO TIEMPO GENERADOR DE NUMEROS ALEATORIOS ENTREGA TIEMPO GENERADO PIDE TIEMPO DA DISTRIBUCION Y PARAMETROS GENERADOR DE VARIABLES ALEATORIAS PIDE UN NUMERO ALEATORIO ENTREGA NUMERO GENERADO
VARIABLES ALEATORIAS PROCESO TIEMPO=? GENERADOR DE NUMEROS ALEATORIOS TIEMPO=4.324 GENERADOR DE VARIABLES ALEATORIAS NORMAL CON MEDIA=4.3 Y DESVIACION=0.4 PIDE UN NUMERO ALEATORIO ENTREGA 0.34555
GENERADOR DE NUMEROS ALEATORIOS Los números aleatorios son los que dan un comportamiento real al modelo. Es un proceso matemático-estadístico Existen varios algoritmos: Método del cuadrado medio Método congruencial lineal Método congruencial multiplicativo Todos los métodos se basan en una semilla En la generación se debe poner especial cuidado al período, que es el número de números que se pueden generar hasta que se repita la serie. El número aleatorio es un valor entre 0 y 1 y se distribuyen uniformemente.
METODO DEL CUADRADO MEDIO Es uno de los primeros métodos. Consiste en: 1. Escoger una semilla arbitraria 2. Elevar la semilla al cuadrado 3. Escoger los dígitos medios del cuadrado como número aleatorio 4. Elevar esos dígitos al cuadrado 5. Repetir 3 y 4 hasta generar los números deseados sin que se repita la cadena o serie.
METODO DEL CUADRADO MEDIO EJEMPLO: Generar 4 números aleatorios con la semilla 5497. R i : número aleatorio generado 1. Semilla= X 0 = 5497 2. X 02 = 5497 2 = 30217009 3. X 1 = 2170 R 1 = 0.217 4. X 1 2 = 2170 2 = 04708900 3. X 2 = 7089 R 2 = 0.7089 4. X 2 2 = 7089 2 = 50253921 3. X 3 = 2539 R 3 = 0.2539 4. X 3 2 = 2539 2 = 06446521 3. X 4 = 4465 R 4 = 0.4465 Estos son los cuatro números aleatorios
GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS En Simulación se debe siempre muestrear de una distribución de probabilidad que representa la ocurrencia de los eventos. Estas distribuciones pueden ser teóricas o empíricas y ambas pueden ser continuas o discretas. Las distribuciones empíricas están representadas por distribuciones de frecuencias. En el caso de distribuciones teóricas existen varios métodos para generar las variables.
GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS Técnicas para generar variables aleatorias provenientes de una distribución teórica: Transformada inversa (usada para generar variables aleatorias distribuidas según Exponencial, Weibull y Triangular) Función acumulada (usada para generar variables aleatorias de distribuciones empíricas) Transformación directa (usada para generar variables normalmente distribuidas) Método de convolución (usado para generar variables aleatorias distribuidas según ERLANG, POISSON y GAMMA)
METODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA PROCEDIMIENTO 1. Encontrar la función acumulada de la distribución respectiva. 2. Igualar esa función a R (número aleatorio uniformemente distribuido) sea F(x)=R 3. Resolver la anterior ecuación para x. 4. Establecer la función generadora EJEMPLO Encontrar la función generadora de la exponencial. 1. F(x) = 1 - e - x 2. 1 - e - x = R 3. x = (-1/ ) ln(1-r) 4. x i = (-1/ ) ln(1-r i )
EJEMPLO DE GENERADOR DE VARIABLES EXPONENCIALES PROCESO TIEMPO=? GENERADOR DE NUMEROS ALEATORIOS x i = (-1/ )* ln(1-r i ) TIEMPO=1.91 MINS EXPONENCIAL MEDIA=4.5 MINS PIDE UN NUMERO ALEATORIO ENTREGA 0.34555
METODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA OTRAS FUNCIONES GENERADORAS Distribución uniforme x i = a +( b - a ) * R i Distribución Weibull x i = * [ -ln (1 - R i )] 1/ Distribución triangular R1 = ALEATORIO 1 R2 = ALEATORIO 2 SI (R1 < (B - A) / (C - A)) ENTONCES Triangular = A + (B - A) * R2 SINO Triangular = C - (C - B) * R2
DISTRIBUCION NORMAL PROCEDIMIENTO A. X 12 R i 6 * i 1 PROCEDIMIENTO B. 1. Generar R 1 y R 2 V i =2R i -1 para i=1,2 W=V 12 +V 2 2 2. Si W>1 volver al Paso 1. Sino: Z 1 =V 1 *y Z 2 =V 2 *y X 1 =Z 1 * + X 2 =Z 2 * + y 2ln( w) w
EJEMPLO DE PROCEDIMIENTO A. Generar dos variables aleatorias para un tiempo de proceso cuya media es 5 y su desviación estándar es 0.3. S 1 12 i 1 R i 6 6.2 6 0.2 S 2 12 i 1 R i 6 5.4 6 0.6 X 1 =S 1 * + = 0.2*0.3+5= 5.24 X 2 =S 2 * + = -0.6*0.3+5= 4.82
EJEMPLO DE PROCEDIMIENTO B. Generar dos variables aleatorias para un tiempo de proceso cuya media es 5 y su desviación estándar es 0.3. 1. R 1 =0.6 y R 2 =0.3 V 1 =2(0.6) -1= 0.2 V 2 =2(0.3) -1=- 0.4 W=0.2 2 +(-0.4) 2 =0.2 2. W<1 Z 1 =V 1 *y =0.2*4.012=0.8 Z 2 =V 2 *y=-0.4*4.012=-1.6 X 1 =Z 1 * + = 0.8*0.3+5= 5.24 X 2 =Z 2 * + = -1.6*0.3+5= 4.52 y 2ln( w) w 2ln(0.2) 0.2 4.012
EJEMPLO 2 DE PROCEDIMIENTO B. Generar 30 valores para un tiempo de proceso que se distribuye normalmente con media es 2.35 minutos y desviación estándar es 0.23 minutos. # R1 R2 V1 V2 W y Z1 Z2 X1 X2 1 0.760177467 0.04974372 0.52035493-0.90051257 1.08169214 (No sirve pues W>1) 2 0.50190155 0.54633272 0.0038031 0.09266543 0.00860135 33.2541048 0.12646867 3.08150595 2.38 3.06 3 0.107204119 0.32589551-0.78559176-0.34820899 0.73840392 0.9063139-0.71199273-0.31558665 2.19 2.28 4 0.744025954 0.20457119 0.48805191-0.59085763 0.5873074 1.34624008 0.65703504-0.79543622 2.50 2.17 5 0.888466886 0.30798921 0.77693377-0.38402158 0.75109866 0.87300188 0.67826464-0.33525156 2.51 2.27 6 0.600042775 0.51130059 0.20008555 0.02260119 0.04054504 12.5742851 2.51593273 0.28419381 2.93 2.42 7 0.123304795 0.68341085-0.75339041 0.3668217 0.70215527 1.00358691-0.75609275 0.36813746 2.18 2.43 8 0.656965005 0.07457283 0.31393001-0.85085435 0.82250517 0.68930038 0.21639208-0.58649423 2.40 2.22 9 0.551837621 0.00516526 0.10367524-0.98966949 0.99019425 0.14107958 0.01462646-0.13962216 2.35 2.32 10 0.958738503 0.5849138 0.91747701 0.16982761 0.87060547 0.56420017 0.51764068 0.09581677 2.47 2.37 11 0.666282809 0.21796188 0.33256562-0.56407625 0.4287819 1.98741681 0.6609465-1.12105462 2.50 2.09 12 0.819078493 0.20853019 0.63815699-0.58293962 0.74706294 0.88355688 0.563848-0.51506031 2.48 2.23 13 0.293377603 0.30383294-0.41324479-0.39233413 0.32469733 2.63223846-1.08775884-1.03271698 2.10 2.11 14 0.088355424 0.32108534-0.82328915-0.35782931 0.80584684 0.73194157-0.60259955-0.26191015 2.21 2.29 15 0.097035419 0.77361042-0.80592916 0.54722084 0.94897247 0.33224026-0.26776211 0.1818088 2.29 2.39 16 0.109395645 0.40379788-0.78120871-0.19240423 0.64730644 1.15923757-0.90560649-0.22304222 2.14 2.30
DISTRIBUCIONES EMPIRICAS En este caso se trabaja con la frecuencia relativa acumulada y el punto medio que representa a la variable aleatoria. EJEMPLO: Para una distribución de probabilidad variable continua L i L s X k n k f k F k 5.05 14.95 10.0 4 0.1250 0.1250 14.95 24.85 19.9 6 0.1875 0.3125 24.85 34.75 29.8 12 0.3750 0.6875 34.75 44.65 39.7 8 0.2500 0.9375 44.65 54.55 49.6 2 0.0625 1
DISTRIBUCIONES EMPIRICAS X k F k R(# aleatorio) 10.0 0.1250 0.0000 0.1250 19.9 0.3125 0.1251 0.3125 29.8 0.6875 0.3126 0.6875 39.7 0.9375 0.6876 0.9375 49.6 1 0.9376 0.9999 Así, si por ejemplo, si se tiene un número aleatorio generado que da el valor de 0.5078, entonces el valor de la variable aleatoria es el correspondiente a X k o sea 29.8.
EJEMPLO DE GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS A: Determine un intervalo de confianza del 95% para el tiempo de proceso de 40 partes cuya función densidad de probabilidad es: 32 f ( x) para x 3 ( x 4) B. Muestre los efectos en la media, desviación e intervalo que tiene el incremento en el tamaño de la muestra. 0
FUNCION ACUMULADA F(x) SOLUCION: A. 0 16 16 8 4) ( 16 4) ( 16 2 32 32 ) ( 4 4) ( 32 ) ( ) ( 0 4) ( 32 ) ( 2 2 2 0 2 3 0 3 0 3 R x x R x x u du u x F dx du x u dx x dx x f x F para x x x f
GENERACION DE LA VARIABLE ALEATORIA x 7 0,46-18,58 1,88-9,88 1,88 x 2 +8x+(16-16/R) # Aleatorio (16-16/R) x1 x2 x 1 0,51-15,11 1,58-9,58 1,58 2 0,86-2,54 0,31-8,31 0,31 3 0,96-0,73 0,09-8,09 0,09 4 0,88-2,09 0,25-8,25 0,25 5 0,38-25,96 2,48-10,48 2,48 6 0,33-32,55 2,97-10,97 2,97 8 0,75-5,25 0,61-8,61 0,61 9 0,23-52,36 4,27-12,27 4,27 10 0,81-3,66 0,43-8,43 0,43 11 0,88-2,12 0,26-8,26 0,26 12 0,28-41,49 3,58-11,58 3,58 13 0,32-34,39 3,10-11,10 3,10 14 0,75-5,47 0,63-8,63 0,63 15 0,76-5,05 0,59-8,59 0,59 17 0,43-21,29 2,11-10,11 2,11 18 0,43-21,33 2,11-10,11 2,11 19 0,55-13,09 1,39-9,39 1,39 20 0,18-72,89 5,43-13,43 5,43 21 0,81-3,81 0,45-8,45 0,45 22 0,17-77,77 5,68-13,68 5,68 23 0,96-0,67 0,08-8,08 0,08 24 0,35-30,23 2,80-10,80 2,80 25 0,34-31,42 2,89-10,89 2,89 26 0,87-2,39 0,29-8,29 0,29 27 0,99-0,16 0,02-8,02 0,02 28 0,25-48,55 4,03-12,03 4,03 29 0,52-14,57 1,53-9,53 1,53 30 0,92-1,30 0,16-8,16 0,16 31 0,65-8,73 0,97-8,97 0,97 32 0,76-4,99 0,58-8,58 0,58 33 0,31-35,61 3,18-11,18 3,18 34 0,62-9,63 1,06-9,06 1,06 35 0,94-1,02 0,13-8,13 0,13 36 0,77-4,87 0,57-8,57 0,57 37 0,89-1,98 0,24-8,24 0,24 38 0,55-13,24 1,41-9,41 1,41 39 0,38-26,42 2,51-10,51 2,51 40 0,39-25,54 2,44-10,44 2,44 PROMEDIO 1,67 DESVIACION 1,534
RESPUESTA A LA PARTE A. El intervalo de confianza del 95% para el tiempo de proceso de 40 partes es: P{ Li Ls} 0.95 Li x z Ls x z P{1.282 0.025 0.025 ' 1.534 1.67 1,96* n 40 ' 1.534 1.67 1,96* n 40 2.058} 0.95 1.282 2.058
RESPUESTA A LA PARTE B. n t Z xbarra sigma LIC LSC 10 2,262 1,49 1,41 0,43 2,55 30 2,045 1,79 1,67 1,16 2,43 50 1,96 1,71 1,44 1,31 2,11 100 1,96 1,90 1,89 1,53 2,27 200 1,96 2,01 2,07 1,72 2,30 300 1,96 2,11 2,34 1,84 2,37 400 1,96 2,06 2,29 1,83 2,28 500 1,96 2,09 2,30 1,88 2,29 600 1,96 2,07 2,27 1,89 2,26 700 1,96 2,01 2,19 1,84 2,17 800 1,96 1,95 2,14 1,80 2,10 900 1,96 1,93 2,11 1,79 2,06 1000 1,96 1,92 2,08 1,79 2,05
PROMEDIO GRAFICOS DE ESTABILIDAD 2,20 2,10 2,00 1,90 1,80 1,70 1,60 1,50 1,40 GRAFICO DE PROMEDIOS DE LOS PROMEDIOS 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 TAMAÑO DE MUESTRA
DESVIACION ESTANDAR GRAFICOS DE ESTABILIDAD GRAFICO DE DESVIACIONES ESTANDAR DE LAS DESVIACIONES ESTANDAR 2,40 2,20 2,00 1,80 1,60 1,40 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 TAMAÑO DE MUESTRA
LIMITES DE CONFIANZA GRAFICOS DE ESTABILIDAD GRAFICO DE INTERVALOS DE CONFIANZA DE LOS INTERVALOS DE CONFIANZA 2,55 2,30 2,05 1,80 1,55 1,30 1,05 0,80 0,55 0,30 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 TAMAÑO DE LA MUESTRA