APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA [8.] Calcular el área del dominio plano definido en el primer cuadrante por: Determinemos los puntos de corte entre la parábola la recta : 8 ( º Cuadrante) P(,) A ( ) d ( ) d 7 9 (6 8) 6 u Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL [8.] Mediante integración, evaluar la superficie determinada por: 6 6 9 ; 6 La superficie se corresponde con la intersectada por dos circunferencias: ( ) ( ) 9 ; ( 6) ( 6) Resolviendo el sistema se obtienen los puntos de corte: (,6) (6,) 9 6 ( 6) ( 6) 9 ( ) ( ) 9 6 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 6 6 9 ( ) 6 9 ( 6) d A 9 ( ) 9 ( 6) d (mediante tablas) 6 6 ( ) 9 ( ) ( 6) 9 ( 6) 9arcsen 9arcsen 9 9 arcsen() 8 arcsen( ) 9 9 u [8.] Sean los puntos A(6,), B(,6), C(,) D(,). Calcular mediante integración definida la superficie plana limitada por:. Segmento de la recta AB. Cuadrante BC de la circunferencia centrada en (,) de radio. Segmento de la recta CD. Cuadrante DA de la circunferencia citada anteriormente Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL B C A D 6 a) INTEGRACIÓN SIN TRASLACIÓN DE EJES Por simetría: A ( ) d La ecuación de la circunferencia es: c r ( ) ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) La ecuación de la recta CD es: r 6 Por consiguiente, el área pedida valdrá: A ( ) d ( ) 6 d ( ) d c r ( ) arcsen ( arcsen 8 8) ( arcsen( ) ) ( / ) ( ) u Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA b) INTEGRACIÓN CON TRASLACIÓN DE EJES AL ORIGEN Por simetría: A ( ) d c r La ecuación de la circunferencia es: c La ecuación de la recta CD es: r Por consiguiente, el área pedida valdrá: c r A ( ) d d arcsen arc arc u ( sen) ( sen( ) ) ( /) ( ) c) POR GEOMETRÍA ELEMENTAL (no permitido por el enunciado). A cuadrante(o BC) + triangulo(o CD ( ) u [8.] Calcular mediante integrales el área limitada en el semiplano por las líneas 65; ; La primera línea es una circunferencia con centro en (,) radio : ( ) Se corta con las rectas en el semiplano según los puntos: Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 5

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL, ; N, 65 65 M N ( ) M 5 A d Debido a la simetría del área: Para resolver la integral irracional se hace: sent dcostdt I d cos tdt t ; t Se obtiene para el área: A d u valor que coincide con el área del cuadrante de un círculo de radio. 6 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA [8.5] Determinar la longitud de la curva: / / / a (astroide). / / / a -a a Fórmula de la longitud de un arco de curva: L a b d En nuestro caso: ( a ) ( a ) / / / / / / / ( a ) a a / / / / / / / Por simetría: a a a / / / / 6 6 L d a d a a u [8.6] Hallar la longitud del arco de curva arcsen( e ) desde hasta dt e t d t e d L d d t e e t e Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 7

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL e e e dt dt ln t t ln e e t t t u [8.7] Probar que Calcular L. L d representa la longitud del lazo. 9 ( ) Efectivamente así es, puesto que la longitud, L, del lazo sería: L ( ) d d d d Cálculo de la longitud: / / / L d ( ) d / / u 8 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA [8.8] El área que limitan en el cuadrante positivo (, ) las líneas: ; 6; ; gira alrededor del eje OX. Determinar el volumen del cuerpo generado. Área de giro ( ) Circunferencia con centro en (,) radio 6 6 Circunferencia con centro en (,) radio 6 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 9

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL Atendiendo al gráfico, para calcular el volumen de revolución se precisan tres integrales 6 b a V d d d d V V V Los volúmenes parciales resultan: V d 8 d 8 ( ) V d 8(6 9 ) V 6 d 6 8(6 9 ) V VV V 8 ( ) V u Nota: sent dcost dt d cos tdt ( cos tdt ) t ; t Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA [8.9] Hallar el volumen engendrado por el triángulo de vértices (,), (,), (, ) cuando gira alrededor del eje OY. Calculemos las ecuaciones de las rectas que forman los lados del triángulo: AB : AC : BC : A (,) B (,) C (,) Recordemos que el volumen de revolución generado al girar la curva ( ), entre c, d, alrededor del eje de ordenadas viene dado por: V d. En nuestro caso: V V V V TOTAL BC AB AC 8 6 6 5 8 VBC d d 7 VAB d d VAC d d c d VTOTAL 8 7 8 6 u Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL [8.] a) Calcular el área limitada por la función 9 el eje OX, entre las abscisas 6 b) Determinar el volumen del sólido obtenido al girar la función 9 alrededor del eje 7 a) Calcular el área limitada por la función 9 el eje OX, entre las abscisas 6. 7 6 A ( 9) d ( 9) d - 6 6 9 9 667 u b) Determinar el volumen del sólido obtenido al girar la función eje 7. 9 alrededor del Efectuando una traslación del origen al punto (,7): 7-7 9 7 9 6 5 68 V ( 6) d 56 u 5 5 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA [8.] Hallar la superficie que resulta al girar en torno del eje de abscisas una semionda de la sinusoide sen cos sh t b sen d ch tdt S d sen cos d a t argsh t arg sh ( ) argsh( ) argsh argsh sh t ( ch t) dt sh t ch t dt ch t dt argsh argsh( ) argsh( ) argsh argsh cht sht argsh dt t t ht cht argsh( ) s argsh( ) argsh( ) argsh tsh t sh t argsh argsh( ) argsh( ) argsh ln( ) u ch [8.] Calcular la superficie de revolución engendrada por la catenaria al girar alrededor del eje OX desde hasta Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL b a S ch sh d ch d ch d sh sh e e u [8.] Hallar el área de la superficie de revolución generada al hacer girar en torno al eje de abscisas la elipse: 6 6 La fórmula de la superficie de revolución es: b S 6 6 6 D 6 8 a d 6 6 6 6 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA Luego: 6 S ds d 6 d b a 6 d 6 d Calculemos la integral indefinida: 8 sen t 8 6 8 d cost dt 6 d 6 6sen t cost dt cos tdt 6 t sen t t 6 C sen t cos tc arcsen arcsen 6 8 8 6 8 C Volviendo a la definida: S arcsen 6 8 arcsen 8 arcsen 8 8 8 8 u 9 [8.] Considérese el recinto plano situado en el primer cuadrante limitado por la parábola, las rectas, el eje de abscisas. Determinar: a) El área el perímetro de este recinto. b) El volumen engendrado por dicha región al girar alrededor del eje Y. Puntos de corte Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 5

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL. 5 5. 9 8 ( ) 9 5/ a) El área el perímetro de este recinto A d d d 5/ 5/ / / 5/ ( ) ( ) ( /) 5 7 ( /) u 8 8 5/ L LL L L / ( ) ( ) 6 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA L d( argsh ) arg sh ( ) ( ) L 5/ 5 d ( ) ( ) 5 L d L 5/ L LL L L arg sh arg sh u b) El volumen engendrado por dicha región al girar alrededor del eje Y V d d d / ( ) ( ) ( /6) / / 5 6 9 9 8 8 5 / 6 u Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 7