RESUMEN DE FUNCIONES REALES Y LIMITES (parte 0). DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una unción real de variable real es una aplicación de un subconjunto D de los números reales en un subconjunto I de los números reales, tal que, a cada elemento del conjunto D, que notaremos genéricamente x, variable independiente, le hace corresponder un único elemento de I, que notaremos y o ( llamado variable dependiente. : D I donde D R, I R x y 2. DOMINIO DE DEFINICIÓN Y CONJUNTO IMAGEN / Im / / D x R x y R x D x y D R\ D R Im 5, Im, 4 0,
3. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sean y g dos unciones reales de variable real, la unción compuesta como gx gx D g x Dg / g( D g se deine 4. FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA Sean una unción real de variable real, la unción recíproca de, y se escribe tal que x x El dominio de deinición de la unción pasa a ser el recorrido de la recíproca, es y el recorrido de la directa pasa a ser el dominio de deinición de la recíproca. No existe la recíproca de una unción si para un valor de la variable y existen dos valores para la variable x. Esto es, para que una unción tenga recíproca a un valor de la imagen no pueden corresponderles dos valores distintos de x, se dice que ha de ser INYECTIVA para que exista - Para un valor de y hay varios valores de x tal ( = y. No tiene recíproca en todo su dominio. Para un valor de y hay un único valor de x tal ( = y. Tiene recíproca en su dominio. Como un punto (a, b) de le correspondería el punto (b, a) en, entonces se tendrá que la graica de la unción directa y la de su recíproca son simétricas respecto de la bisec- triz primer-tercer cuadrante 2
5. SIMETRÍA Función Par Una unción se dice par o simétrica respecto del eje OX (abcisas) cuando ( Ejemplo: Comprobar que la unción eecto: 2 2 x x x 2 x es par. En Función Impar Una unción se dice impar o simétrica respecto del origen O de coordenadas cuando ( Ejemplo: Comprobar que la unción eecto: 3 3 ( x x x 3 x es impar. En 6. SIGNO DE UNA FUNCIÓN Una unción es deinida positiva en un intervalo [a, b] si para todo x de dicho intervalo se veriica que ( es mayor o igual a 0: deinida positiva en [ a, b] si x [ a, b], 0 Una unción es deinida negativa en un intervalo [a, b] si para todo x de dicho intervalo se veriica que ( es menor o igual a 0: deinida negativa en [ a, b] si x [ a, b], 0 7. PERIODICIDAD Una unción es T-periódica si para todo x de su campo de existencia se tiene que: ( x T) ( x 2T )... ( x kt) con T R Ejemplo: la unción sen x es periódica de periodo T 2 puesto que: ( x 2 ) sen ( x 2 ) sen x 3
8. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se dice que límite cuando x tiende al valor a de ( es L si cuando los valores de abcisas se aproximan al valor a entonces las respectivas ordenadas tienden a aproximarse al valor L, se escribe: 9. LIMITE EN EL INFINITO lim ( x ) L xa Diremos que el límite cuando x tiende a + de ( es L si cuando los valores de abcisas se hace cada vez más grandes a + entonces las respectivas ordenadas tienden a aproximarse al valor L, se escribe: lim L lim L x x Diremos que el límite cuando x tiende a de ( es si cuando los valores de abcisas tienden a entonces las respectivas ordenadas tienden a, esto es, se hacen cada vez más grandes (positivas o negativas), se escribe: lim x 0. CASOS DE INDETERMINACIÓN 0,, 0 0 0 0,, 0,, 0 0 A. INDETERMINACIÓN (cociente de unciones polinómicas) lim 0 x a q ( x ) 0 Se divide el numerador y el denominador por x a aplicando Ruini. Tener en cuenta los casos en los que hay que distinguir límites laterales porque sale K (signo signo? 0 B. INDETERMINACIÓN (cociente de unc polinómicas) lim x q ( x ) Para resolver la indeterminación se divide el numerador y el denominador por la potencia de x de mayor grado. Regla: Cuando el grado del numerador es mayor que el del denominador el límite es más o menos ininito, según el signo del cociente + o de los términos directores del numerador/denominador. Si son de igual grado, el límite es el cociente entre los coeicientes de los términos directores. Cuando el grado del numerador es inerior al del denominador, el límite es 0. 4
0 0 C. INDETERMINACIÓN (con expresiones radicales) lim 0 x a q ( x ) 0 Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por la expresión radical conjugada. D. INDETERMINACIÓN (dierencia de ininitos del mismo signo con expresiones radicales) Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por la expresión radical conjugada. Si posteriormente queda una indeterminación entonces se divide nume- rador y denominador por la mayor potencia. E. INDETERMINACIÓN Se resuelve, teniendo en cuenta que lim n n n e La indeterminación la resolveremos de la siguiente orma: lim ( ) xx 0 lim ( ) ( ) ( ) g x x g x x x0 x e 5