Capítulo -.. étoos e stuo e stabla Crtero e Áreas Iguales l análss e establa transtora puee empreno por: étoos Cláscos. étoos Drectos. étoos Híbros. l prmer métoo recto, fue el Crtero e Áreas Iguales, (qual Area Crtera) para una máquna conectaa a una barra e potenca nfnta (OIB One achne Infnte Bus). Luego le han seguo métoos rectos más refnaos. Lapunov, se asoca con el prncpo e nvaranza e LaSelle, el cual es empleao para estmar la regón e establa el sstema e potenca (funcón e Lapunov). n 966, l Aba y Nagapan, calcularon toos los untos e qulbro Inestables (U Unestable qulbrum ont) alreeor e los untos e equlbro stable (S Stable qulbrum ont) bajo nvestgacón. n 979 se mplementa el Control e los untos e qulbro Inestable (Control U) por el uso el crtero e eracón. n 978, Kakmoto presenta el étoo BS otencal nergy Bounary Surface o étoo e superfces e contorno e energía potencal, posee la ventaja que una estmacón e CCT es obteno sn el calculo e los puntos nestables e equlbro pero como esventaja en algunos casos provee estmacones no conservatvas. n 994, (BU: Bounary Control U) Control e Bore e untos e qulbro Inestables (Chang), el cual esta basao en el concepto e controlar los U.. Crtero e Áreas Iguales... Generalaes Los estuos e establa nvolucran el tratamento con la ecuacón e osclacón e la máquna (), la cual en s forma más smple es una ecuacón no lneal. Hb πf La solucones formales e (), no se pueen encontrar explíctamente; bajo las mayores smplfcacones apunta haca ntegrales elíptcas. Como se ha cho, encontrar la solucón e esta ecuacón en forma lteral es sumamente fícl, e moo que traconalmente, el problema e establa generalzao ha so enfocao a los métoos cláscos, que se basan en la resolucón por métoos numércos. n el caso más smple, una máquna contra una barra e potenca nfnta (One achne Infnte Bus), o os máqunas, el estuo e establa puee ser efectuao con métoos que no requeren resolver la ecuacón e osclacón, seno los enomnaos métoos rectos. l más smple e los métoos rectos es el enomnao crtero e áreas guales. () Solo para ser empleao con objetvo e evaluacón, o acaémcos. rohbo la reprouccón total o parcal e este ocumento.
stabla en Sstemas e otenca Solo para ser empleao con objetvo e evaluacón, o acaémcos. rohbo la reprouccón total o parcal e este ocumento. La ecuacón e osclacón permte escrbr el comportamento troánco e la maquna sncrónca al ocurrr una perturbacón. La resolucón e la ecuacón e osclacón e manera formal es un trabajo cas mposble en el mas smple e los casos, y con el empleo e los métoos cláscos se transforma en un trabajo largo, aemás realzar la representacón e las curvas e osclacón para etermnar s el ángulo e potenca e la máquna aumenta nefnamente u oscla alreeor e una poscón equlbro, en ocasones pueen ser pocos necesaros. S se resuelve la ecuacón e osclacón, con la suposcón e potenca ánca constante, que el sstema es netamente reactvo y que la tensón etrás e la reactanca transtora, se puee emostrar que el ángulo e potenca (t) oscla alreeor e un punto e equlbro con ampltu constante, sempre que no se sobrepase el límte e establa transtora. n el caso e una sola máquna el métoo e las áreas guales es mucho más smple que resolver la ecuacón e osclacón; pero aunque este métoo no es aplcable a sstemas que contengan varas máqunas, esté crtero ayua a comprener en qué forma nfluyen certos factores en la establa, en régmen transtoro, para un sstema cualquera..3 Deuccón ara eucr el crtero e áreas guales se hace para una máquna (G) y una barra e potenca nfnta ( ), aunque las conseracones efectuaas, pueen ser elevaas para el caso e un sstema general e os máqunas. Supóngase que se tene una máquna sncrónca la cual se encuentra conectaa meante una reactanca ( G + T + T + LT // LT ) a un gran sstema, que se puee conserar como una barra e potenca nfnta. Fgura. Sstema e otenca Típco e un Generaor conectao a través e un sstema e transmsón a una barra e potenca nfnta sta máquna puee osclar, respecto a la barra e potenca nfnta, cumpleno con la ecuacón e osclacón: H ω s ( ) Seno la veloca angular relatva el rotor a la veloca sncrónca, aa por: ω rel ω ωs ( ) La potenca eléctrca ( ) entregaa por la máquna puee ser obtena e la relacón potenca ángulo: G sen en one es el voltaje etrás e la reactanca transtora e eje recto. Y G + T + T + LT // LT, la reactanca equvalente ese el generaor a la barra e potenca nfnta. () Francsco. Gonzalez-Longatt, Febrero, 6
Capítulo II 3 LT + " T + T + LT Fgura. Dagrama e ractancas el sstema mostrao en la Fgura Conserano lo anteror la ecuacón e osclacón e la máquna conectaa a la barra e potenca nfnta es: s H ω G sen Antes e que exsta la perturbacón en la máquna, ésta se encuentra operano en estao estable y la potenca ánca ( ) nyectaa al generaor es gual a la potenca eléctrca e sala ( ), por lo que la potenca total erante es cero ( ), sempre que se esprece, las péras por rozamento ánca, por frccón el are, por corrente e Facoult, etc. G sen n estas concones estables e operacón, la veloca real el rotor ω, es gual a la veloca sncrónca ω, e moo que la veloca relatva el rotor es cero ω. s max G rel ω rel ω ωs ( ) π π G sen Fgura 3. Característca -, mostrano el punto e equlbro ncal Supóngase que ésta poscón e equlbro entre las potencas ánca y eléctrca (esprecano las péras) ocurre para un certo ángulo e potenca ncal. Solo para ser empleao con objetvo e evaluacón, o acaémcos. rohbo la reprouccón total o parcal e este ocumento. Francsco. Gonzalez-Longatt, Febrero, 6
4 stabla en Sstemas e otenca ultplíquese en ambos membros e la ecuacón e osclacón e la máquna por la prmera ervaa el ángulo e potenca respecto al tempo ((t)/), resulta: Ahora, se conoce por teoría e cálculo ferencal ( ) Solo para ser empleao con objetvo e evaluacón, o acaémcos. rohbo la reprouccón total o parcal e este ocumento. ([ f ] ) f t S se consera f, entonces es valo: entonces: () f l prmer térmco e la ecuacón anteror, puee ser reescrto, e una manera más smple como: ( ) ultplcano en ambos membros e la ecuacón por ferencal e tempo se tene: ( ) S se ntegra con respecto al tempo t, conoceno que varía entre el ángulo ncal hasta un ángulo ( ) ( ) Francsco. Gonzalez-Longatt, Febrero, 6
Capítulo II 5 la ntegral plantaa entro el racal, se una ntegral efna evaluaa entre el ángulo, el cual correspone al ángulo e potenca e la máquna cuano ésta funcona sncróncamente antes que se prouzca la perturbacón, es ecr (t)/. n general el ángulo e potenca (t) ejará e osclar y la máquna volverá a funconar sncróncamente espués e la perturbacón cuano (t)/, o mejor escrto: ( ) Se puee justfcar que la máquna no permanecerá estátca, respecto a la barra e potenca nfnta, la prmera vez que (t)/ se anule, pero el hecho e que por un nstante el ángulo e potenca eje e osclar, puee ser nterpretao como una ncacón e establa, por la nterpretacón geométrca e la ervaa; el hecho e que (t)/ se anule, correspone al punto en que la curva e osclacón e la máquna cuano el ángulo (t) alcanza el máxmo y empeza a smnur. Consérese una máquna sncrónca operano como generaor conectaa a una barra e potenca nfnta, la cual funcona en sncronsmo con un ángulo e potenca ncal para la cual entrega una certa potenca eléctrca que vene ao por: G sen sta ecuacón es vala, sempre que se consere que la resstenca eléctrca e la máquna es muy pequeña. S se conseran esprecables las péras e la máquna, tales como frccón ánca y roce el are, aemás e las correntes e Facoult, la potenca ánca ( ) y la eléctrca ( ) en la máquna son guales, para un estao e operacón normal. Supóngase que la potenca ánca a la entraa el generaor es aumenta bruscamente, pasano nstantáneamente e a. ventemente la barra e potenca nfnta no puee absorber cualquer cambo e potenca eléctrca mentras el voltaje y la frecuenca permanezcan constantes. La ferenca que exste entre la potenca ánca y la potenca eléctrca, se trauce en una potenca e eracón ( ), que almacena en el rotor en forma e energía cnétca; ocasonano un aumento e la veloca el rotor, con lo que el ángulo e potenca aumenta ese hasta un nuevo valor. Solo para ser empleao con objetvo e evaluacón, o acaémcos. rohbo la reprouccón total o parcal e este ocumento. Francsco. Gonzalez-Longatt, Febrero, 6
6 stabla en Sstemas e otenca max c Solo para ser empleao con objetvo e evaluacón, o acaémcos. rohbo la reprouccón total o parcal e este ocumento. A a b A c π π Fgura 4. Dagrama e otenca-angulo para un cambo en la otenca ecánca l sstema gratoro rotórco, contnuará en eracón sempre que la potenca ánca nyectaa en el eje el rotor sea mayor que la potenca eléctrca entregaa en el generaor, es ecr ese el punto "a", hasta el punto "b"; con lo que se aumenta el ángulo e potenca ese hasta.la zona ncaa como "A " correspone a la zona o área e eracón y el área "A " nca la zona e eseracón. n el punto "b" e la grafca correspone one la máquna termna e erar pero su veloca rotórca es aun mayor que la veloca e sncronsmo ω ωs, por lo que el ángulo e potenca contnua aumentano. n el espaco compreno entre el punto "b" y "c" la veloca rotórca permanece por encma e la e sncronsmo, la potenca eléctrca es mayor que la potenca ánca, por lo que se hace presenta una potenca eserante, que es entregaa por la energía cnétca almacenaa en el rotor, pereno veloca el rotor, pero el ángulo e potenca contnúa aumentano. La zona marcaa por "A ", enota la potenca e eseracón. ara el punto "c" ocurre que la veloca rotórca es gual a la veloca e sncronsmo, el rotor contnúa pereno eracón, y a partr e aquí su veloca es menor que la e sncronsmo ω ωs, smnuyeno el ángulo e potenca. Se prece que en este proceso habrá establa alreeor el punto "b" con el nuevo ángulo e potenca s el área e eseracón es gual al área e eracón (A A ). s mportante menconar que s urante el proceso e osclacón el rotor no puee entregar toa la energía cnétca almacenaa en el, su veloca rotórca nunca smnurá y el ángulo e potenca aumentará nefnamente, pereno el sncronsmo la máquna. Fnalmente el crtero e áreas guales para establa, nca que para que el rotor logre establzarse a un nuevo ángulo e potenca, es necesaro que el área e eseracón ebe ser gual al área e eracón(a A ). Cuano el ángulo e potenca oscla par alcanzar la establa, ebe varar entre y max. S la máquna posee amortguamento, la osclacón el ángulo e potenca smnuye y se obtene un funconamento estable. l ángulo e potenca que etermna la mayor área e eracón sn que la máquna pera el sncronsmo, es el llamao ángulo crítco c y al tempo que correspone para alcanzar el ángulo crítco se le enomna tempo crítco t c, este efne como el tempo máxmo entre el nco y el espeje e una falla, e manera que el sstema sea transtoramente estable. Francsco. Gonzalez-Longatt, Febrero, 6
Capítulo II 7 l ángulo e osclacón máxma max, se satsface cuano el ángulo e potenca el rotor (t) alcanza máxmo y (t)/. Geométrcamente se puee estmar el área erante "A " a través e la expresón: A ( ) De gual forma el área e la zona eserante "A " puee ser escrta por: A Restano ambas zonas "A - A " se obtene A - A max ( ) max ( ) ( ) A - A max ( ) La ecuacón anteror se satsface que (t)/, cuano las áreas erante y eserante son guales A A ; por lo que el ángulo máxmo se ubca gráfcamente e forma que A A. Comprener el fenómeno e la máquna, emuestra que la energía ganaa cuano el rotor se era y el ángulo (t) crece hasta se pere cuano el rotor se frena cuano alcanza el valor max. l análss preceente fue realzao para la máquna sncrónca operano como generaor; pero es gualmente válo para un motor sncrónco cuano la potenca ánca camba abruptamente ese hasta. La únca salvea el caso generaor - motor, es que las áreas quearán ntercambaas, ya que la potenca erante es: S se consera que la potenca erante es constante urante el estao transtoro e la máquna, se puee encontrar una expresón que permta relaconar el tempo crítco con el ángulo crítco. La potenca erante e la máquna al ser perturbaa se emostró que se puee escrbr como: Conserano que la veloca angular el rotor es cero en el momento e comenzar la perturbacón, pero espués e t segunos esta veloca es: t Resultano que el esplazamento angular rotorco en ese tempo es: t Solo para ser empleao con objetvo e evaluacón, o acaémcos. rohbo la reprouccón total o parcal e este ocumento. Francsco. Gonzalez-Longatt, Febrero, 6
8 stabla en Sstemas e otenca t + + t t Fnalmente el ángulo crítco correspone al tempo crítco: c + t c Solo para ser empleao con objetvo e evaluacón, o acaémcos. rohbo la reprouccón total o parcal e este ocumento. e one : c ( ).4 Límte e stabla Transtora t c l límte e establa transtora se refere al valor e potenca que puee ser transmta con establa cuano el sstema es sujeto a un perturbacón aperóca (aperoc sturbance). or perturbacón Aperóca sgnfca una que no se prouce con regulara y solo espués e ntervalos tales que el sstema alcanza una concón e equlbro entre perturbacones. Los tres prncpales tpos e perturbacones o sturbos transtoros que recben conseracón en los estuos e establa, en oren e ncremento e mportanca son:. Incrementos e Carga (Loa Changes). Operacones e Sucheo o manobra (Swtchng Operatons) 3. Fallas con subsecuentes aslamento e crcutos (Crcut Isolaton) Francsco. Gonzalez-Longatt, Febrero, 6