Universidd del Pís Vsco Mtemátic Aplicd y Estdístic L Integrl Multiplictiv Jun-Miguel Grci Extrcto: Se nliz l relción de l integrl multiplictiv de Volterr con l derivd logrítmic y los sistems diferenciles lineles. mepgrmej@vc.ehu.es 21 de octubre de 2001 Versión preliminr
1. Introducción 2. Vrible rel 3. Vrible complej Índice Generl
Sección 1: Introducción 3 1. Introducción Es conocido que l derivd logrítmic de un función y(x) se define como dl y(x) = y (x) y(x) ; se puede probr que l derivd logrítmic de un producto (resp., cociente) de dos funciones es igul l sum (resp., diferenci) de sus derivds logrítmics. Se f un función complej definid en un intervlo [, b], integrble Riemnn. Si P = { = s 0, s 1,..., s n = b} es un prtición del intervlo [, b], se s k := s k s k 1 pr k = 1,..., n. Se µ(p ) l mll de l prtición P (longitud máxim de sus subintervlos). Un definición de l integrl ordinri (ditiv) es b f(t) dt := lím µ(p ) 0 k=1 n f(s k ) s k.
Sección 2: Vrible rel 4 Es obvio que ( b n ) exp f(t) dt = lím exp f(s k ) s k = lím µ(p ) 0 k=1 µ(p ) 0 k=1 n e f(s k) s k (1) por lo tnto, l integrl multiplictiv que v ser definid qued sugerid. 2. Vrible rel L definición de l integrl multiplictiv como límites de productos finitos de Riemnn es como sigue: Si P = { = s 0, s 1,..., s n = b} es un prtición del intervlo [, b], se s k := s k s k 1 pr k = 1,..., n. Se µ(p ) l mll de l prtición P (longitud máxim de sus subintervlos). Un definición de l integrl multiplictiv de un función A: [, b] C n n, es n e A(τ) dτ := lím e A(s k) s k. µ(p ) 0 k=1 Un función complej f(t), t b, puede ser vist como un función mtricil con vlores en C 1 1 ; de (1) deducimos que f es integrble multi-
Sección 2: Vrible rel 5 plictivmente si y sólo si es integrble ditivmente, y que e f(τ) dτ = e b f(τ) dτ. (2) De hecho, l ecución (2) es un cso prticulr de un resultdo más generl: Si culquier pr de vlores de l función mtricil A: [, b] C n n conmutn, i.e. pr todos t 1, t 2 [, b], A(t 1 )A(t 2 ) = A(t 2 )A(t 1 ), entonces puede demostrrse que e A(τ) dτ = e b A(τ) dτ.
Sección 2: Vrible rel 6 El mtricin Se llm mtricin ( mtricint en inglés [1, pág. 3], mtriznt en frncés [3, pág. 121]) l expresión t t τ I n + A(τ) dτ + A(τ) A(σ) dσ dτ + de l solución del problem de condiciones iniciles Se puede probr que dx dt = A(t)X, X() = I n. t A(τ) dτ e es (3) l solución del problem (3). De quí, que si definimos l derivd logrítmic de un función mtricil X(t) medinte l expresión D t X := dx dt X 1,
Sección 2: Vrible rel 7 se sigue el teorem fundmentl del cálculo integrl multiplictivo : t e A(τ) dτ = A(t). D t Además, si F (t) es un función mtricil tl que D t F (t) = A(t), entonces tenemos l regl de Brrow multiplictiv : e A(τ) dτ = F (b)f () 1. Cundo G y H son dos funciones mtriciles tles que D t G(t) = D t H(t) pr todo t de un intervlo, entonces G y H difieren en fctor constnte C C n n : G(t) H(t)C. Otr definición nálog b f(t) dt := b f(t) dt, Ind Volver Doc Doc
Sección 2: Vrible rel 8 es ( ) 1 e A(τ) dτ := e A(τ) dτ. b L fórmul del cmbio de vribles qued sí [2, pág. 27]: siendo t = ϕ(s). e A(ϕ(s))ϕ (s) ds = ϕ(b) ϕ() e A(t) dt.
Sección 3: Vrible complej 9 3. Vrible complej Si A: Ω C n n es un función mtricil continu definid en un dominio Ω del cmpo complejo, se puede definir l integrl multiplictiv de A(z) lo lrgo de un cmino Γ, prmetrizdo por z = z(t), t b, y situdo dentro del dominio, por l fórmul: e A(z) dz := e A(z(τ))z (τ) dτ. Γ Si Ω es un dominio simplemente conexo, l función mtricil A(z) es un función holomorf y Γ es un cmino cerrdo, se tiene que Γ e A(z) dz = I n, que es el resultdo nálogo l Teorem de Cuchy que nos dice que l integrl ordinri lo lrgo de un contorno cerrdo es nul.
Referencis Referencis [1] L. Y. Adrinov. Introduction to Liner Systems of Differentil Equtions. Amer. Mth. Soc., Providence, Rhode Islnd, 1995. 6 [2] J. D. Dollrd nd C.-N. Friedmn. Product Integrtion. Addison-Wesley, 1979. 8 [3] F. R. Gntmcher. Théorie des Mtrices, volume 2. Dunod, Pris, 1966. Trduit pr Ch. Srthou. 6
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