Integrales de línea. Índice. ISABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna 1.

Transcripción

1 Integrles de líne ISABEL MARRERO Deprtmento de Análisis Mtemático Universidd de L Lgun imrrero@ull.es Índice 1. Introducción 1 2. minos 1 3. Integrl de líne de cmpos esclres Definición Motivción Longitud de rco Interpretción geométric Algunos ejemplos Integrl de líne de cmpos vectoriles Definición Motivción Otrs notciones Propieddes Propieddes básics mbios de prámetro Relción con l integrl de líne de cmpos esclres L integrl de l componente tngencil Aplicciones físics Independenci del cmino Segundo teorem fundmentl del cálculo (regl de Brrow) pr integrles de líne Primer teorem fundmentl del cálculo pr integrles de líne rcterizción de los cmpos vectoriles grdiente Un condición necesri pr que un cmpo vectoril se un grdiente Aplicciones físics Potencil newtonino Principio del trbjo y l energí

2 Principio de conservción de l energí mecánic: cmpos conservtivos OW-ULL 211/12 ÁLULO INTEGRAL VETORIAL

3 INTEGRALES DE LÍNEA 1/21 1. Introducción En cursos nteriores se estudió l integrl de Riemnn simple b f (x) dx, primero pr funciones reles definids y cotds en intervlos finitos, y luego pr funciones no cotds e intervlos infinitos. En el Tem 1, el concepto de integrl de Riemnn fue extendido funciones reles de vrible vectoril (cmpos esclres). Ahor extenderemos l noción de integrl en otr dirección. El intervlo [, b] es reemplzdo por un curv en el espcio rel p-dimensionl (p N, p 2) definid por un función vectoril α, y el integrndo es un cmpo esclr f ó vectoril f definido y cotdo sobre un curv, llmd cmino de integrción. L integrl resultnte se llm integrl de líne, integrl curvilíne o integrl de contorno, y se denot por f dα ó f dα, respectivmente (el punto se us pr sugerir el producto esclr de dos vectores). Ls integrles de líne son de cpitl importnci en mtemátic pur y plicd, y tmbién en físic: se presentn l estudir el trbjo, l energí potencil, el flujo de clor, el cmbio en l entropí, l circulción de un fluido, y otrs cuestiones que involucrn el comportmiento de un cmpo esclr o vectoril lo lrgo de un curv. 2. minos Definición 2.1. Se α : [,b] R R p un función vectoril. El conjunto {α(t) : t [,b]} R p se llm gráfic de l función. undo α es continu se dice que α es un cmino en R p, y su gráfic se denomin curv descrit por α. Funciones α distints pueden originr el trzdo de l mism curv de forms distints, por ejemplo en direcciones opuests o con velociddes diferentes. Pr ilustrr est firmción, considérense α 1 (t) = (t,1 t), α 2 (t) = (1 t,t) ( t 1), β 1 (t) = (t,) ( t 1), β 2 (t) = (2t,) ( t 1 ). 2 ÁLULO INTEGRAL VETORIAL OW-ULL 211/12

4 2/21 I. MARRERO Definición 2.2. En l notción de l Definición 2.1, el cmino α es cerrdo si α() = α(b). Un cmino α se dice regulr si existe α y es continu en ],b[. El cmino α es regulr trozos si [,b] puede ser descompuesto en un número finito de subintervlos en cd uno de los cules α es regulr (Figur 1). Figur 1. Gráfic de un cmino regulr trozos en el plno. Ejemplo 2.3. Ddos x,y R p, el segmento que une x con y viene descrito por el cmino regulr α(t) = (1 t)x +ty ( t 1). Ejemplo 2.4. Un circunferenci de centro (,b) y rdio r > en R 2 viene descrit por el cmino regulr cerrdo α(t) = ( + r cost,b + r sent) ( t 2π). 3. Integrl de líne de cmpos esclres 3.1. Definición Definición 3.1. Se α : [,b] R R p un cmino regulr trozos, y se = {α(t) : t [,b]} l curv descrit por α. Se ϕ : R un cmpo esclr cotdo. L integrl de líne de ϕ lo lrgo de se represent y se define por ϕ ds b ϕ ds = ϕ(α(t)) α (t) dt, siempre que l integrl del segundo miembro exist, bien como integrl propi o como integrl impropi. Si el cmino α es cerrdo se suele indicr est circunstnci con l utilizción del símbolo en vez de Motivción En l notción nterior, supongmos que p = 3, que represent un lmbre y que ϕ es l densidd de ms, con lo que su integrl es l ms totl del lmbre; o que ϕ es l tempertur, de modo que su integrl, OW-ULL 211/12 ÁLULO INTEGRAL VETORIAL

5 INTEGRALES DE LÍNEA 3/21 si el lmbre tiene longitud 1, represent l tempertur promedio lo lrgo de éste. Figur 2. L integrl de líne de cmpos esclres. Un prtición { = t < t 1 <... < t n = b} de [,b] con nodos equiespcidos d lugr un prtición {α(t ),α(t 1 ),...,α(t n )} de (Figur 2). Pongmos t = t i t i 1 (i N, 1 i n). Si t es suficientemente pequeño, podemos suponer ϕ constnte en el segmento que une α(t i 1 ) con α(t i ). Por el teorem del vlor medio, l ms de este segmento del lmbre será entonces ϕ (α(t i 1 )) α(t i ) α(t i 1 ) ϕ (α(t i 1 )) α (t i 1 ) t (i N, 1 i n), y l ms totl, proximdmente, n i=1 ϕ (α(t i 1 )) α (t i 1 ) t. Tomndo límites pr n se obtiene como ms totl b ϕ (α(t)) α (t) dt = ϕ ds. ÁLULO INTEGRAL VETORIAL OW-ULL 211/12

6 4/21 I. MARRERO Figur 3. L integrl de líne de cmpos esclres como áre de un vll Longitud de rco Nótese que pr ϕ 1, l proximción nterior viene determinr l longitud de : L = b α (t) dt, lo cul motiv l definición de l función longitud de rco medinte: s(u) = u α (t) dt (u [,b]), cuy derivd es: s (t) = α (t) (t [,b]) Interpretción geométric El enfoque de l Sección 3.2 tmbién muestr que cundo p = 2 y ϕ = ϕ(x,y), l integrl de líne de ϕ tiene un interpretción geométric como el «áre de un vll». Podemos construir un «vll» cuy bse se l curv y cuy ltur en (x,y) se ϕ(x,y) (Figur 3). Si α recorre un sol vez, l integrl ϕ ds represent el áre de un ldo de l vll. OW-ULL 211/12 ÁLULO INTEGRAL VETORIAL

7 INTEGRALES DE LÍNEA 5/ Algunos ejemplos Ejemplo 3.2. Hllr l longitud de l circunferenci α(t) = (r cost,r sent) ( t 2π), donde r >. Qué ocurre si t 4π? RESOLUIÓN. Se tiene: α (t) = ( r sent,r cost), α (t) = r 2 sen 2 t + r 2 cos 2 t = r ( t 2π), sí que como cbí esperr. α (t) 2π dt = r dt = 2πr, Si t 4π hubiérmos obtenido 4πr, porque l circunferenci se recorrerí dos veces. Ejemplo 3.3. Se l hélice de prmetrizción α : [,2π] R 3, α(t) = (cost,sent,t) ( t 2π), y se ϕ(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2. Evlur l integrl ϕ ds. RESOLUIÓN. Se tiene: α (t) = ( sent,cost,1), α (t) = sen 2 t + cos 2 t + 1 = 2, ϕ(α(t)) = cos 2 t + sen 2 t +t 2 = 1 +t 2 ( t 2π). Por tnto, ϕ ds = 2π 2 (1 +t 2 ) dt = 2π 2 (3 + 4π 2 ) 3 es el vlor de l integrl pedid. 4. Integrl de líne de cmpos vectoriles 4.1. Definición ÁLULO INTEGRAL VETORIAL OW-ULL 211/12

8 6/21 I. MARRERO Definición 4.1. Se α un cmino regulr trozos en R p, definido en [,b]. Se f un cmpo vectoril definido y cotdo sobre l gráfic de α. L integrl de líne de f lo lrgo de se represent f dα ó f ds y se define por b f dα = f (α(t)) α (t) dt, siempre que l integrl del segundo miembro (en cuyo integrndo denot el producto esclr de R p ) exist, bien como integrl propi o como integrl impropi. Al igul que ocurre con ls integrles de líne de cmpos esclres, si el cmino α es cerrdo se suele indicr est circunstnci escribiendo en vez de Motivción Se f un cmpo de fuerzs en el espcio y supongmos que un prtícul se encuentr sometid l cción del cmpo; por ejemplo, podemos considerr un crg unitri en un cmpo eléctrico, o un ms unitri en un cmpo grvitcionl. Dich prtícul se moverá siguiendo un tryectori α. Un concepto físico importnte Figur 4. L integrl de líne de cmpos vectoriles. es el de trbjo relizdo por l fuerz f en este desplzmiento. Si α es un desplzmiento rectilíneo en l dirección dd por el vector d, y si f es un fuerz constnte, entonces el trbjo relizdo por f l mover l OW-ULL 211/12 ÁLULO INTEGRAL VETORIAL

9 INTEGRALES DE LÍNEA 7/21 prtícul lo lrgo de l tryectori α es f d, esto es, el producto de l fuerz por el desplzmiento en l dirección de l fuerz. Si l tryectori es curvilíne podemos intentr proximrl por un número finito de desplzmientos rectilíneos. A medid que t vrí en un intervlo de mplitud t, en el que podemos suponer que f es constnte si t es suficientemente pequeño, l prtícul se mueve de α(t) α(t + t), de modo que el desplzmiento efectudo es s = α(t + t) α(t). Del teorem del vlor medio, pr t pequeño obtenemos l proximción s α (t) t (Figur 4). Por tnto, proximdmente: f (α(t)) s f (α(t)) α (t) t. Subdividiendo el intervlo [,b] en n prtes igules = t < t 1 <... < t n = b, con t = t i t i 1 (1 i n), encontrmos que el trbjo relizdo por f es, proximdmente, n i=1 f (α(t i 1 )) [α(t i ) α(t i 1 )] n i=1 f (α(t i 1 )) α (t i 1 ) t. undo n est proximción se vuelve cd vez mejor, de modo que es rzonble definir el trbjo como el límite de l sum nterior pr n. Pero este límite no es otro que l integrl b f (α(t)) α (t) dt Otrs notciones Si f = ( f 1,..., f p ) y α = (α 1,...,α p ) se expresn en función de sus componentes, l integrl de líne tmbién se escribe en l form f dα = f 1 dα f p dα p. En prticulr, en el cso bidimensionl (p = 2) f dα = f 1 dx + f 2 dy, y en tres dimensiones (p = 3), f dα = f 1 dx + f 2 dy + f 3 dz. Ls expresiones ω = f 1 dx + f 2 dy y ω = f 1 dx + f 2 dy + f 3 dz se denominn 1-forms diferenciles ó forms diferenciles de grdo 1. ÁLULO INTEGRAL VETORIAL OW-ULL 211/12

10 8/21 I. MARRERO 4.4. Propieddes Propieddes básics Enuncimos en primer lugr dos propieddes básics de ls integrles de líne. Proposición 4.2. Se l curv en R p descrit por un cmino regulr trozos α definido sobre [,b], y sen f, g cmpos vectoriles definidos y cotdos sobre. Se verific: (i) (Linelidd respecto del integrndo) Pr culesquier esclres λ, µ, (λ f + µg) dα = λ f dα + µ g dα. (ii) (Aditividd respecto l cmino de integrción) Si 1, 2 son ls gráfics de α(t) l vrir t en [,c] y [c,b], respectivmente, con < c < b, entonces f dα = f dα + 1 f dα. 2 El siguiente ejemplo ilustr l dependenci del cmino. Ejemplo 4.3. Se el cmpo vectoril bidimensionl f (x,y) = ( y,x 3 + y) ((x,y) R 2, y ). lculr l integrl de líne de f desde (,) hst (1,1), lo lrgo de los siguientes cminos: () L rect x(t) = t, y(t) = t ( t 1). (b) El cmino x(t) = t 2, y(t) = t 3 ( t 1). RESOLUIÓN. () Pr t 1, se α(t) = (t,t) y se l curv descrit por α. Entonces α (t) = (1,1), f (α(t)) = ( t,t 3 +t), f (α(t)) α (t) = t +t 3 +t. Por tnto: 1 f dα = ( t +t 3 +t) dt = (b) Pr t 1, se α(t) = (t 2,t 3 ) y se l curv descrit por α. Entonces α (t) = (2t,3t 2 ), f (α(t)) = OW-ULL 211/12 ÁLULO INTEGRAL VETORIAL

11 INTEGRALES DE LÍNEA 9/21 (t 3/2,t 6 +t 3 ), f (α(t)) α (t) = 2t 5/2 + 3t 8 + 3t 5. Por tnto: 1 f dα = (2t 5/2 + 3t 8 + 3t 5 ) dt = Obsérvese que en () y (b) se hn obtenido resultdos diferentes. lculemos hor el prtdo (b) del Ejemplo 4.3 lo lrgo de l mism curv, pero con distint representción prmétric. Si pr t 1 tommos β(t) = (t,t 3/2 ), encontrmos que ( β (t) = 1, 3 ) t, f (β(t)) = (t 3/4,t 3 +t 3/2 ), f (β(t)) β (t) = t 3/ t7/ t2. Por tnto, f dβ = 1 (t 3/ t7/ t2 ) dt = El Ejemplo 4.3 pone de mnifiesto que l integrl de líne no depende sólo de los puntos inicil y finl, sino tmbién de l curv que los une. Sin embrgo, el cálculo precedente sugiere que el vlor de est integrl es independiente de l representción prmétric de l curv, siempre y cundo conserve l orientción. En el prtdo siguiente demostrremos est propiedd generl mbios de prámetro Se α un cmino definido en [,b], y se u un función rel con derivd continu y no nul en [c,d], y recorrido [,b]. L función β(t) = α(u(t)) (t [c,d]) es un cmino con l mism gráfic que α. Definición 4.4. Dos cminos α, β relciondos en l form nterior se denominn equivlentes. Se dice que proporcionn distints prmetrizciones o representciones prmétrics de l curv, y que u define un reprmetrizción o un cmbio de prámetro. Además (Figur 5): Si u > entonces u es creciente en [c,d], y α, β originn en l mism dirección. Se dice en este cso que u conserv l orientción. Si u < entonces u es decreciente en [c,d], y α, β originn en direcciones opuests. Se dice en este cso que u invierte l orientción. ÁLULO INTEGRAL VETORIAL OW-ULL 211/12

12 1/21 I. MARRERO Figur 5. mbio de prámetro definido por u = u(t). En () u preserv l orientción, y en (b) l invierte. El Teorem 4.5 demuestr que un integrl de líne no vrí l efectur un cmbio de prámetro que conserv l orientción, pero cmbi de signo si l orientción se invierte. Se supone que f es un cmpo vectoril definido y cotdo sobre, y que ls integrles involucrds existen. Teorem 4.5. Si α, β son dos cminos regulres trozos equivlentes, entonces f dα = f dβ si α, β originn en l mism dirección, y f dα = f dβ si α, β originn en direcciones opuests. DEMOSTRAIÓN. Bst probr el resultdo pr cminos regulres, pues plicndo luego l propiedd de ditividd respecto l cmino de integrción se deduce su vlidez pr cminos regulres trozos. omo α y β son equivlentes se tiene β(t) = α(u(t)) (t [c,d]), siendo α : [,b] R p y u : [c,d] [,b] con derivd continu y no nul. Por l regl de l cden, β (t) = α (u(t))u (t) (t [c,d]). OW-ULL 211/12 ÁLULO INTEGRAL VETORIAL

13 INTEGRALES DE LÍNEA 11/21 Efectundo el cmbio de vrible u(t) = v, obtenemos: f dβ = = d = ± c u(d) u(c) f (β(t)) β d (t) dt = f (α(v)) α (v) dv = ± f dα, c f [α(u(t))] α (u(t))u (t) dt b f (α(v)) α (v) dv donde se tom el signo «+» cundo u(c) = y u(d) = b, y el signo cundo u(c) = b y u(d) = Relción con l integrl de líne de cmpos esclres L integrl de l componente tngencil Si f es un cmpo vectoril definido en y α es un prmetrizción de con α (t) (t [,b]), considermos el cmpo esclr ϕ(α(t)) = f (α(t)) T (t) (t [,b]), donde T (t) = α (t) α (t) (t [,b]) es el vector tngente unitrio en cd punto de. Entonces f (α(t)) α (t) = f (α(t)) T (t) α (t) = ϕ(α(t)) α (t) (t [,b]). onsecuentemente, ϕ ds = f dα. Est relción expres que f dα es igul l integrl de líne de l componente tngencil ϕ(α(t)) = f (α(t)) T (t) (t [,b]) de f lo lrgo de α. Así pues, pr clculr un integrl de líne de un cmpo vectoril f lo lrgo de un cmino α podemos usr directmente l Definición 4.1 o bien hllr l integrl de líne de l componente tngencil de f lo lrgo de α, dependiendo de lo que se más sencillo o más propido. ÁLULO INTEGRAL VETORIAL OW-ULL 211/12

14 12/21 I. MARRERO Aplicciones físics En l notción del prtdo nterior, cundo f represent un velocidd el producto ϕ = f T es l componente tngencil de l velocidd, y ϕ ds = f T ds es l integrl de flujo de f lo lrgo de. Si es cerrd, est integrl de flujo se denomin circulción de f lo lrgo de. L terminologí proviene de l teorí de fluidos. 5. Independenci del cmino Definición 5.1. Se S R p un bierto. Se dice que S es conexo por cminos si todo pr de puntos de S se puede unir medinte un cmino regulr trozos cuy gráfic esté en S. Más precismente, un bierto S R p es conexo por cminos si ddos,b S, existe un cmino regulr trozos α definido en un intervlo [,b] tl que α(t) S pr cd t [,b], con α() = y α(b) = b. Definición 5.2. Un conjunto S R p es conexo si no puede ser expresdo como unión disjunt de biertos no vcíos. Se demuestr que un bierto S R p es conexo por cminos si, y sólo si, es conexo. Definición 5.3. Se S bierto y conexo, y se f un cmpo vectoril continuo en S. Ddos,b S, se dice que l integrl de líne de f es independiente del cmino que une y b si su vlor depende únicmente de los puntos y b y no del cmino que los une. Si ello ocurre culesquier sen,b S, se dice que l integrl de líne de f es independiente del cmino en S. Pr poder responder l pregunt de qué cmpos vectoriles tienen integrles de líne independientes del cmino, vmos extender el primer y segundo teorems fundmentles del cálculo ls integrles de líne Segundo teorem fundmentl del cálculo (regl de Brrow) pr integrles de líne Recordemos que el segundo teorem fundmentl del cálculo o regl de Brrow estblece que si ϕ : [,b] R es continu con derivd ϕ :],b[ R continu y existe b ϕ (t) dt, entonces b ϕ (t) dt = ϕ(b) ϕ(). OW-ULL 211/12 ÁLULO INTEGRAL VETORIAL

15 INTEGRALES DE LÍNEA 13/21 Enuncimos continución un generlizción de est regl pr integrles de líne, que esencilmente estblece que l integrl de líne de un grdiente continuo es independiente del cmino en culquier conjunto bierto conexo S. De est generlizción tmbién se desprende que l integrl de líne de un grdiente continuo es nul lo lrgo de culquier cmino cerrdo regulr trozos contenido en S. Veremos más delnte que los grdientes son los únicos cmpos vectoriles continuos con est propiedd. Teorem 5.4 (Regl de Brrow pr integrles de líne). Se ϕ un cmpo esclr diferencible con grdiente continuo ϕ en un bierto conexo S R p. Pr dos puntos culesquier, b unidos por un cmino regulr trozos α contenido en S, se verific: b ϕ dα = ϕ(b) ϕ(). DEMOSTRAIÓN. Elijmos,b S y unámoslos medinte un cmino regulr trozos α situdo en S, definido en un intervlo [,b]. Supongmos primero que α es regulr en [,b]. L integrl de líne de ϕ entre y b lo lrgo de α viene dd por b b ϕ dα = ϕ(α(t)) α (t) dt. Por l regl de l cden ϕ(α(t)) α (t) = g (t) (t [,b]), donde g : [, b] R está definid como g(t) = ϕ(α(t)) (t [,b]). L derivd g es continu en ],b[ porque ϕ es continu en S y α es regulr. De l regl de Brrow pr funciones de un vrible se sigue que b b ϕ dα = g (t) dt = g(b) g() = ϕ(α(b)) ϕ(α()) = ϕ(b) ϕ(). Esto prueb el teorem si α es regulr. undo α es regulr trozos, efectumos un prtición de [,b] en un número finito, digmos r, de subintervlos [t k 1,t k ] en cd uno de los cules α es regulr, y teniendo en cuent l propiedd de ditividd de ls ÁLULO INTEGRAL VETORIAL OW-ULL 211/12

16 14/21 I. MARRERO integrles de líne plicmos el resultdo nterior cd subintervlo pr obtener b ϕ dα = r k=1 α(tk ) α(t k 1 ) ϕ dα = r k=1 [ϕ (α(t k )) ϕ (α(t k 1 ))] = ϕ(b) ϕ(), como pretendímos Primer teorem fundmentl del cálculo pr integrles de líne Recordemos que el primer teorem fundmentl del cálculo estblece que l integrl indefinid de un función continu f tiene un derivd igul f. Más precismente: si x ϕ(x) = f (t) dt, entonces ϕ (x) = f (x) en los puntos de continuidd de f. Pr extender este resultdo integrles de líne integrmos un cmpo vectoril f continuo en un bierto conexo S lo lrgo de un curv regulr trozos entre un punto fijo S y un punto x S culquier: x ϕ(x) = f dα, donde α es un prmetrizción de. Puesto que S es conexo, cd x S puede ser lcnzdo desde por un curv de este tipo. Al objeto de que est definición crezc de mbigüedd, necesitmos segurrnos de que l integrl depende únicmente de x y no del cmino utilizdo pr unir con x. Por consiguiente, es nturl exigir que l integrl de líne de f se independiente del cmino en S. En ess condiciones tenemos: Teorem 5.5 (Primer teorem fundmentl del cálculo pr integrles de líne). Se f un cmpo vectoril continuo en un bierto conexo S R p. Supongmos que l integrl de líne de f es independiente del cmino en S. Se S, y definmos un cmpo esclr ϕ en S medinte x ϕ(x) = f dα (x S), donde α es un cmino regulr trozos de S que une con x. Entonces existe el grdiente de ϕ y es igul f : ϕ(x) = f (x) (x S). OW-ULL 211/12 ÁLULO INTEGRAL VETORIAL

17 INTEGRALES DE LÍNEA 15/21 DEMOSTRAIÓN. Si f (x) = ( f 1 (x),..., f p (x)) (x S), se trt de ver que ϕ/ x k (x) existe y es igul f k (x) (k N, 1 k p), pr cd x S. Fijdo x S, se B(x;r) un bol cerrd de centro x y rdio r > contenid en S, y se y un vector unitrio. Entonces x + hy B(x; r) S (h R, < h < r). Si < h < r, usndo l propiedd de ditividd de ls integrles de líne podemos escribir ϕ(x + hy) ϕ(x) h = 1 h x+hy x f dα. omo el cmino que une x con x + hy puede ser culquier, tommos el segmento rectilíneo α(t) = x + thy ( t 1). Y que α (t) = hy, ϕ(x + hy) ϕ(x) h 1 = f (x +thy) y dt. Se k N, 1 k p. undo y = e k (k-ésimo vector unitrio cnónico), el cmbio de vrible u = ht conduce ϕ(x + he k ) ϕ(x) h = = = 1 h = 1 1 h f (x +the k ) e k dt f k (x +the k ) dt f k (x + ue k ) du g(h) g(), (1) h donde t g(t) = f k (x + ue k ) du ( t < r). omo f k es continu en S, el primer teorem fundmentl del cálculo pr integrles simples segur que existe g (t) ( t < r), y que g (t) = f k (x +te k ) ( t < r). En prticulr, g () = f k (x). Hciendo h en (1) encontrmos que ϕ ϕ(x + he k ) ϕ(x) g(h) g() (x) = lím = lím = g () = f k (x) (k N, 1 k p). x k h h h h L rbitrriedd de x S complet l demostrción. ÁLULO INTEGRAL VETORIAL OW-ULL 211/12

18 16/21 I. MARRERO 5.3. rcterizción de los cmpos vectoriles grdiente El primer y el segundo teorems fundmentles del cálculo pr integrles de líne expresn que un condición necesri y suficiente pr que un cmpo vectoril se un grdiente en un conjunto bierto conexo es que su integrl se independiente del cmino. Ahor veremos que est condición es equivlente que l integrl de líne del cmpo vectoril en cuestión se nul lo lrgo de culquier cmino cerrdo regulr trozos. Pero ntes dremos un definición. Definición 5.6. Si un cmpo vectoril f es el grdiente de un cmpo esclr ϕ entonces ϕ se llm función potencil de f. Teorem 5.7. Se f un cmpo vectoril continuo en un bierto conexo S R p. Son equivlentes: (i) f = ϕ pr ciert función potencil ϕ en S. (ii) L integrl de líne de f es independiente del cmino en S. (iii) L integrl de líne de f lo lrgo de culquier cmino cerrdo regulr trozos contenido en S es nul. DEMOSTRAIÓN. Que (ii) implic (i) sigue del primer teorem fundmentl, mientrs que (i) implic (iii) en virtud del segundo teorem fundmentl. Pr completr l demostrción estbleceremos que (iii) implic (ii). Sen 1, 2 dos curvs regulres trozos en S, con los mismos extremos. Supongmos que 1 es l gráfic de un función α : [,b] S, y que 2 es l gráfic de un función β : [c,d] S. Definimos α( + 2t(b )), t 1/2 γ(t) = β(d + (2t 1)(c d)), 1/2 t 1. Entonces γ describe un curv cerrd tl que f dγ = f dα 1 f dβ. 2 Y que, por (iii), f dγ =, tenemos f dα = f dβ, 1 2 OW-ULL 211/12 ÁLULO INTEGRAL VETORIAL

19 INTEGRALES DE LÍNEA 17/21 por lo que l integrl de f es independiente del cmino. Si f dα pr lgun curv cerrd, entonces f no es un grdiente. Por otr prte, si f dα = pr un o pr infinits curvs cerrds, no se deduce necesrimente que f se un grdiente, como muestr el siguiente ejemplo. Ejemplo 5.8. Se f (x,y) = (x,xy) ((x,y) R 2 ), y pr r > se r l circunferenci de centro el origen y rdio r, prmetrizd medinte α r (t) = (r cost,r sent) ( t 2π). Entonces f dα r = (r > ), r pero f no es un grdiente en R 2. RESOLUIÓN. Se tiene: f dα r = r = 2π 2π (r cost,r 2 sent cost) ( r sent,r cost) dt ( r 2 sent cost + r 3 sent cos 2 t ) dt 2π = r2 2π sen2t dt + r 3 sent cos 2 t dt 2 = r2 2π 4 cos2t r3 2π 3 cos3 t =. Sin embrgo, x (xy) = y = y (x) cundo y. omo se justificrá continución (Teorem 5.9), esto impide que f se un grdiente en R Un condición necesri pr que un cmpo vectoril se un grdiente Teorem 5.9. Sen S R p un bierto y f = ( f 1,..., f p ) un cmpo vectoril de clse 1 (S). Si f es un grdiente en S, entonces f j x i (x) = f i x j (x) (x S; i, j N, 1 i, j p). (2) ÁLULO INTEGRAL VETORIAL OW-ULL 211/12

20 18/21 I. MARRERO DEMOSTRAIÓN. Supongmos que existe un función potencil ϕ tl que f = ϕ, de modo que f j = ϕ x j ( j N, 1 j p). Por tnto y tmbién f j = ( ) ϕ x i x i x j f i x j = x j ( ) ϕ x i (i, j N, 1 i, j p), (i, j N, 1 i, j p). Y que f j / x i y f i / x j (i, j N, 1 i, j p) son continus, el teorem de Schwrz sobre iguldd de ls derivds cruzds prueb que f j = ( ) ϕ = x i x i x j x j ( ϕ x i ) = f i x j (i, j N, 1 i, j p), como se pretendí. Observción 5.1. undo p = 2 y f (x,y) = (P(x,y),Q(x,y)) es un cmpo vectoril de clse 1, l condición (2) se reduce l siguiente: P y = Q x. undo p = 3 y f (x,y,z) = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) es un cmpo vectoril de clse 1, l condición (2) se convierte en: R y = Q z, P z = R x, Q x = P y. El rotcionl del cmpo vectoril f es otro cmpo vectoril definido por ( R rot f = y Q z, P z R x, Q x P ). y Así pues, (2) se expres brevidmente diciendo que rot f =, o que el cmpo f es irrotcionl. Retomremos este concepto más delnte. omo muestr el siguiente ejemplo, l condición necesri del Teorem 5.9 no es, en generl, suficiente ( menos que el dominio S se simplemente conexo; tmbién volveremos sobre este punto más delnte). OW-ULL 211/12 ÁLULO INTEGRAL VETORIAL

21 INTEGRALES DE LÍNEA 19/21 Ejemplo Se S = R 2 \ {(,)}. Se f definido en S por ( f (x,y) = y ) x 2 + y 2, x x 2 + y 2. Demostrr que ( ) x x x 2 + y 2 = ( y y x 2 + y 2 ), unque f no es un grdiente en S. RESOLUIÓN. Se tiene: ( ) x x x 2 + y 2 = ( y ) y x 2 + y 2 = y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2 ((x,y) S). Sin embrgo, si α(t) = (cost,sent) ( t 2π) es un prmetrizción de l circunferenci unidd, entonces 2π f dα = ( sent,cost) ( sent,cost) dt = 2π, lo cul impide que f se un grdiente (Teorem 5.7) Aplicciones físics Recordemos que si un cmpo vectoril f es el grdiente de un cmpo esclr ϕ entonces ϕ se llm función potencil pr f. En R 3, los conjuntos de nivel de ϕ se denominn superficies equipotenciles; en R 2, línes equipotenciles. Así, por ejemplo, si ϕ es un tempertur ls superficies o línes equipotenciles se denominn isoterms, y si es un presión, isobrs. Ejemplo Se ϕ(x,y,z) = r n (n Z), con r = x 2 + y 2 + z 2 ((x,y,z) R 3 \ {(,,)}). Se tiene que r n = nr n 2 r. Luego, ϕ es un potencil del cmpo vectoril nr n 2 r. Ls superficies equipotenciles de ϕ son esfers concéntrics, centrds en el origen Potencil newtonino L ley de grvitción de Newton estblece que f = GmMr 3 r, esto es: l fuerz f que ejerce un prtícul de ms M sobre otr de ms m es un vector de longitud GmM/r 2, donde G es constnte y r es l distnci ÁLULO INTEGRAL VETORIAL OW-ULL 211/12

22 2/21 I. MARRERO entre mbs prtículs. Situmos el origen en l prtícul de ms M, y llmmos r = (x,y,z) l vector de posición que une el origen con l prtícul de ms m, de modo que r = r y r/r es un vector unitrio en l dirección de f. Hciendo n = 1 en el ejemplo nterior vemos que f = ϕ, siendo ϕ el cmpo esclr ϕ(x,y,z) = GmM x 2 + y 2 + z 2 ((x,y,z) R 3 \ {(,,)}), que se llm potencil newtonino Principio del trbjo y l energí Un prtícul de ms m se mueve lo lrgo de un curv bjo l cción de un cmpo de fuerzs f. Si l velocidd de l prtícul en el instnte t es V (t), su energí cinétic está definid por mv 2 (t)/2. El principio del trbjo y l energí firm que l vrición de l energí cinétic en culquier intervlo de tiempo es igul l trbjo relizdo por f en dicho intervlo. En efecto, se r(t) l posición de l prtícul en el instnte t [,b]. Queremos probr: r(b) r() f dr = 1 2 mv 2 (b) 1 2 mv 2 (). L segund ley de Newton (fuerz = ms celerción) estblece que f (r(t)) = mr (t). El vector velocidd es v(t) = r (t), y l velocidd es V (t) = r (t). Por consiguiente, f (r(t)) r (t) = mr (t) r (t) = mv (t) v(t) = 1 2 m d dt (v v(t)) = mdv (t). dt Luego, r(b) r() b f dr = f (r(t)) r (t) dt = 1 b 2 m dv 2 (t) dt = 1 dt 2 mv 2 (b) 1 2 mv 2 () Principio de conservción de l energí mecánic: cmpos conservtivos Se f un cmpo de fuerzs continuo que tiene un potencil ϕ en un bierto conexo S R 2. El trbjo efectudo por f l mover un prtícul desde hst x siguiendo un cmino regulr trozos situdo en S es l vrición de l función potencil: ϕ(x) ϕ(). Denotndo k(z) l energí cinétic de l prtícul cundo está OW-ULL 211/12 ÁLULO INTEGRAL VETORIAL

23 INTEGRALES DE LÍNEA 21/21 situd en z, el principio del trbjo y l energí entrñ que k(x) k() = ϕ(x) ϕ(), o bien k(x) ϕ(x) = k() ϕ(). El esclr ϕ(z) se llm energí potencil de l prtícul. Hemos estblecido sí el principio de conservción de l energí mecánic: si un cmpo de fuerzs es un grdiente, l sum de ls energís cinétic y potencil permnece constnte. Un cmpo de fuerzs con un función potencil se llm conservtivo porque l energí totl (cinétic más potencil) se conserv. En este tipo de cmpos no se efectú trbjo lguno l mover un prtícul lrededor de un curv cerrd, volviendo l punto de prtid. Un cmpo de fuerzs no será conservtivo si existe fricción o viscosidd en el sistem, puesto que ésts convierten l energí mecánic en clorífic. ÁLULO INTEGRAL VETORIAL OW-ULL 211/12