EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN DEFINIDA. Definición de función integrble. Primers propieddes. Clculr ls integrles de ls siguientes funciones en los intervlos que se indicn: ) f(x) = [x] en [, n], con n N. b) f(x) = [x] en [, n], con n N. c) f(x) = [x ] en [, ]. d) f(x) = [ x] en [, 9]. e) f(x) = [e x ] en [, ]. ) Como f(x) = k cundo x [k, k + ), donde k =,,..., n, se trt de un función esclond. Por tnto, su integrl vle: n n [x] dx = k = + + + (n ) = k= n(n ). b) Análogmente l cso nterior, tenemos un función esclond que tom los vlores f(x) = k en los intervlos x [k, k + ), con k =,,..., n. Entonces, n n [x] dx = k = + + + (n ) = k= n(n )(n ), 6 resultdo que se puede probr por inducción (ver cpítulo ). c) En primer lugr debemos determinr los sub-intervlos de [, ] donde l función es constnte. Estos son los siguientes: x < = x < = [x ] = ; x < = x < = [x ] = ; x < 3 = x < 3 = [x ] = ; 3 x < = 3 x < 4 = [x ] = 3. L integrl se puede descomponer entonces en l sum siguiente: [x ] dx = ( ) + ( 3 ) + 3 ( 3) = 5 3.
d) Descomponemos nuevmente el intervlo de integrción en sub-intervlos donde l función se constnte: L integrl es hor x < = x < = [ x] = ; x < 4 = x < = [ x] = ; 4 x < 9 = x < 3 = [ x] =. 3 [ x] dx = (4 ) + (9 4) = 3. e) Como es tmbién un función prte enter, es esclond; los intervlos donde es constnte son los siguientes: x < ln = e x < = [e x ] = ; ln x < ln 3 = e x < 3 = [e x ] = ; ln 3 x < ln 4 = 3 e x < 4 = [e x ] = 3;. ln 7 x < = 7 e x < e = [e x ] = 7. (Téngse en cuent que el intervlo de integrción es [, ] y ln 7 < < ln 8.) L integrl es l siguiente: [e x ] dx = 6 k [ln(k + ) ln k] + 7 ( ln 7) k= = 6 ln 7 ln 6 ln 5 ln + 4 7 ln 7 = 4 ln(7!).. Clculr l integrl x x dx, donde < b. { L función integrndo es esclond porque x x = si x >. Podemos distinguir tres csos: si x < i) < b : x x dx = ( ) (b ) = b. ii) < b: descomponemos l integrl en dos sumndos. Así: x x dx = x b x dx + x dx = ( ) ( ) + (b ) = + b. x iii) < b: x x dx = (b ) = b. 3. Hllr I(f, P ) y S(f, P ) en los siguientes csos: ) f(x) = x, x [, ], P = {, /5, 4/5, 9/5, 6/5, }.
b) f(x) = x, x [, ], P = {, /4, /4, /, }. ) Como l función es creciente, el ínfimo se lcnz en el extremo izquierdo y el supremo en el extremo derecho de cd subintervlo de P. De est form, I(f, P ) = /5 f() + (4/5 /5) f(/5) + (9/5 4/5) f(4/5) +(6/5 9/5) f(9/5) + ( 6/5) f(6/5) = 3/5 /5 + 5/5 /5 + 7/5 3/5 + 9/5 4/5 = 4/5; S(f, P ) = /5 f(/5) + (4/5 /5) f(4/5) + (9/5 4/5) f(9/5) +(6/5 9/5) f(6/5) + ( 6/5) f() = /5 /5 + 3/5 /5 + 5/5 3/5 + 7/5 4/5 + 9/5 = 9/5. b) L función y = x es decreciente cundo x (, ) y creciente cundo x (, ). Además en el intervlo ( /4, /4), el ínfimo de l función se lcnz cundo x = y el supremo cundo x = /4. Por tnto, en este cso tenemos: I(f, P ) = ( /4) f( /4) + (/4 + /4) f() + (/ /4) f(/4) +( /) f(/) = 3/4 /6 + / + /4 /6 + / /4 = 3/6; S(f, P ) = ( /4) f( ) + (/4 + /4) f(/4) + (/ /4) f(/) +( /) f() = 3/4 + / /6 + /4 /4 + / = 43/3. Como se puede observr, en mbos csos se verific que I(f, P ) S(f, P ), lo cul es siempre cierto. 4. Dd l función f(x) = + x, si P = {x, x,..., x n } es un prtición regulr de [, b], clculr I(f, P ) y S(f, P ). Utilizr lo nterior pr clculr ( + x) dx. Como l función y = + x es creciente, el ínfimo en cd subintervlo (x i, x i ) se lcnz en x i y el supremo se lcnz en x i. Además, por trtrse de un prtición regulr, los puntos son equidistntes y x i x i = b n, x i = + i b, i =,..., n. De este modo, por definición: n n n b I(f, P ) = (x i x i ) f(x i ) = n ( + x i ) i= = b n = b n ( n + ( i= n i= n + n + b i= [ + (i ) b n ) n (i ) n i= ( ) b = (b ) + (b ) + n [ ] = (b ) + + ; 3 (b )(n ) n ] ) n(n )
S(f, P ) = n (x i x i ) f(x i ) = i= = b n = b n ( n + ( i= n i= n + n + b = (b ) + (b ) + [ = (b ) + + n b n ( + x i) i= [ + i b n ) n i n i= ( ) b n (b )(n + ) n ]. ] ) n(n + ) Bst clculr el límite de culquier de ls expresiones obtenids, cundo n, pr obtener el vlor de l integrl propuest. Así tenemos [ ( + x) dx = lím (b ) + + n ] (b )(n + ) = (b )( + + b). n 5. Probr que l función f(x) = { x si x Q si x Q, no es integrble en [, b], con, b >. Debemos comprobr que ls integrles superior e inferior no coinciden. Pr ello considermos culquier prtición regulr P = {x, x,..., x n } del intervlo [, b]. En culquier subintervlo (x i, x i ) de P hy infinitos números rcionles e infinitos números irrcionles. Esto quiere decir que, en (x i, x i ), el ínfimo de l función es cero y el supremo es f(x i ) = x i pues l función, restringid los rcionles, es creciente en dicho intervlo. Tenemos entonces que I(f, P ) = S(f, P ) = n (x i x i ) = ; i= n x i (x i x i ) = b n n i= [ n + b n(n + ) n i= = b n [ + i b n ] = (b ) ] [ + ] (b )(n + ). n De lo nterior se deduce que l integrl inferior es cero y l integrl superior es [ ] (b )(n + ) (b )(b + ) S(f) = lím (b ) + =. n n Como I(f) S(f), l función no es integrble en dicho intervlo. 6. ) Se f un función integrble y no negtiv en [, b] tl que f(x) dx =. Demostrr que f(x) = en cd punto de continuidd de f. 4
b) Se f un función continu y no negtiv en [, b]. Supongmos que existe c [, b] tl que f(c) >. Probr que f(x) dx >. ) Procederemos por reducción l bsurdo: si fuer f(c) pr lgún c (, b) donde f es continu, entonces necesrimente f(x) >, x (c ε, c + ε). Pero esto indic que c+ε c ε f(x) dx > lo que contrdice l hipótesis de que f(x) dx =. b) Como f(c) >, por ser f continu, existe un intervlo (c δ, c + δ) tl que f(x) >, x (c δ, c + δ). Considermos hor un prtición P = {x, x,..., x n } de [, b] de tl mner que existn dos puntos x i, x i+ (c δ, c + δ) (en cso contrrio siempre se pueden ñdir dos puntos sí l prtición). Se u k [x k, x k ] el vlor pr el cul f lcnz el mínimo en el subintervlo [x k, x k ]. Por definición, n I(f, P ) = f(u k ) (x k x k ) > k= porque en (c δ, c + δ) l función es estrictmente positiv y en el resto es no negtiv. Como I(f) = sup P I(f, P ), tmbién será I(f) >, de donde se deduce que 7. Sbiendo que ) b) c) d) 5 5 f(x) dx. f(x) dx. f(x) dx. f(x) dx. f(x) dx = 6, f(x) dx = 4, 5 ) Debido l propiedd ditiv de l integrl, tenemos: 5 b) Teniendo en cuent que f(x) dx = f(x) dx, si descomponemos nuevmente l integrl en dos sumndos, result: f(x)dx = f(x)dx + f(x) dx = f(x) dx + b f(x)dx = f(x) dx =, clculr: 5 f(x) dx = 4 + = 5. f(x) dx >. f(x)dx + c) Utilizndo el resultdo de ) y descomponiendo l integrl, obtenemos: 5 f(x) dx = 5 f(x) dx + f(x) dx = 5 f(x) dx + f(x)dx = 6 + 4 =. f(x) dx = 5 + 6 =. 5
d) Por l propiedd de escl f(x) dx = c f(x) dx = (/) /c /c f(cx) dx con c =, result: f(x) dx = 4/ =. 8. Probr que 4 e e x x dx e. Clculremos en primer lugr el máximo y el mínimo de l función integrndo en el intervlo [, ]: f(x) = e x x = f (x) = (x ) e x x, f (x) = x = x = /. Además como f (x) < pr x < /, f decrece en (, /); por otr prte, como f (x) > cundo x > /, f crece en (/, ). Esto quiere decir que el mínimo de l función corresponde x = / y tom el vlor f(/) = e /4 y el máximo estrá en lguno de los extremos del intervlo. Ahor bien, como f() = y f() = e, el máximo es el punto (, e ). Lo nterior permite escribir l desiguldd e /4 f(x) e, x (, ) (como se observ en l figur). Como est desiguldd sigue siendo válid l clculr ls integrles respectivs (propiedd de monotoní), obtenemos en definitiv que e /4 dx como querímos demostrr. e x x dx e dx = e /4 e x x dx e, 9. Sen f y g dos funciones continus en [, b]. Probr que ( ( f(x)g(x) dx) (llmd desiguldd de Schwrz). 6 ) ( ) f (x) dx g (x) dx
Si g es l función nul, l iguldd es evidentemente ciert (mbos miembros de l desiguldd son nulos). Se pues g y llmmos λ un número rel culquier. Como l función (f + λg) es no negtiv, entonces su integrl será tmbién no negtiv. Desrrollándol tenemos: (f + λg) (x) dx = f (x) dx + λ g (x) dx + λ Si sustituimos en l desiguldd el vlor λ = f(x)g(x) dx, result: g (x) dx f(x)g(x) dx. = = f (x) dx + ( f(x)g(x) dx g (x) dx f(x)g(x) dx g (x) dx ( f(x)g(x) dx ) ) f(x)g(x) dx f (x) dx + g (x) dx ( ) b f(x)g(x) dx f (x) dx g (x) dx ( ( = f(x)g(x) dx) g (x) dx ( f(x)g(x) dx ) g (x) dx ) ( ) f (x) dx g (x) dx.. Se f un función integrble en [, b]. Probr ls siguientes propieddes: ) f(x) dx f(x) dx. b) Si m f(x) M en todo [, b], entonces existe lgún k [m, M] tl que f(x) dx = (b ) k. c) (Teorem del vlor medio pr integrles.) Si f es continu en [, b], entonces existe lgún c [, b] tl que f(x) dx = (b ) f(c). ) Aplicremos l propiedd f g = A x A. Tenemos pues: f(x) f(x) f(x) = = f(x) dx g(x) dx y el hecho de que x A f(x) dx f(x) dx f(x) dx f(x) dx. f(x) dx 7
b) Aplicmos de nuevo l propiedd nterior, con lo que: m f(x) M = pr lgún k [m, M]. m dx = m(b ) = m b f(x) dx M dx f(x) dx M(b ) f(x) dx M = b f(x) dx = k, c) Por ser f continu, lcnz sus vlores máximo y mínimo, es decir, m f(x) M con m = f(c ) y M = f(c ). Procediendo como en el prtdo nterior, de l desiguldd m f(x) dx M y plicndo l propiedd de Drboux (ver cpítulo 4), se deduce b que existe c [, b] tl que f(c) = f(x) dx. b Geométricmente, est propiedd indic que, en el cso de ser f no negtiv en [, b], el áre limitd por l función y el eje X en el intervlo [, b] coincide con el áre de un rectángulo de bse b y cuy ltur es el vlor de l función en lgún punto c [, b].. Sen f y g dos funciones continus en [, b] donde demás g no cmbi de signo. Probr que existe lgún c [, b] tl que f(x)g(x) dx = f(c) (teorem generlizdo del vlor medio pr integrles). g(x) dx Por ser f continu en un intervlo cerrdo [, b], es cotd y existen dos constntes m y M tles que m f(x) M, x [, b]. Suponemos demás que g(x) en [, b] (en cso contrrio, cmbi sólo el sentido de ls desigulddes siguientes). Entonces: m g(x) f(x) g(x) M g(x) = = m m g(x) dx f(x) g(x) dx M g(x) dx f(x) g(x) dx g(x) dx M = r [m, M] : r = f(x) g(x) dx g(x) dx. Aplicndo hor l propiedd de Drboux, como r [m, M], existe c [, b] tl que f(c) = r, lo que prueb l propiedd buscd. Se observ que si g es l función identidd, l propiedd se reduce l teorem del vlor medio probdo en el problem nterior.. Se f un función continu en [, b]. Comprr l cntidd (b )f(b) con los siguientes csos: ) f constnte en [, b]. f(x) dx en 8
b) f creciente en [, b]. c) f decreciente en [, b]. ) Si f es constnte, entonces f(x) = f(b), x [, b]. Integrndo miembro miembro, result: f(x) dx = f(b) dx = f(x) dx = (b )f(b). b) Si f es creciente, f(x) f(b), x [, b]. Por l propiedd de monotoní, f(x) dx f(b) dx = f(x) dx (b )f(b). c) Si f es decreciente, f(x) f(b), x [, b]. Nuevmente tenemos: f(x) dx f(b) dx = f(x) dx (b )f(b).. Teorems fundmentles del cálculo integrl. Resolver: ( d ) dx b) d dx c) d dx d) d dx x x 3 x ( sen + /x ) + t dt. dt + t 4. ( x dx. ( y ) sen sen 3 t dt )) dy. ) Por l definición de integrl: ( ) [ d dx + /x dx = + /x ] = + + = 3 3/ = 3. b) Aplicmos en este cso el primer teorem fundmentl del cálculo integrl pues l vrible independiente está en el límite superior de integrción. Tenemos sí: d dx x + t dt = + (x ) x = x + x 4. 9
c) Análogmente l prtdo nterior, d x 3 dx x dt + t 4 = 3x = + (x 3 ) x 4 + (x ) 4 3x x. + x + x 8 d) Llmndo u(x) = ( y ) ( x ) sen sen 3 t dt dy, entonces u (x) = sen sen 3 t dt. De quí re- sult: x d dx (sen u(x)) = cos u(x) u (x) ( x ( y = cos sen ) sen 3 t dt ) ( x ) dy sen sen 3 t dt.. Dds ls funciones f(x) = x + sen πx, g(x) = + x 4, h(x) = f(x) g(x) dx, clculr h (). Aplicndo el teorem fundmentl del cálculo integrl, h (x) = g(f(x)) f (x). Por otr prte, si plicmos ls regls usules de derivción, obtenemos que f + sen(πx) cos(πx) π (x) =. En x + sen πx definitiv, h () = g(f()) f () = g() (/) = /. 3. Determinr tods ls funciones continus f pr ls cules g(x) = x+ x f(t) dt es constnte. Pr que g se constnte debe ser g. Como g (x) = f(x + ) f(x ), g será constnte cundo f(x + ) = f(x ) pr todo x, o, lo que es equivlente, f(x) = f(x + ), x. Est propiedd corresponde precismente ls funciones periódics de período. 4. Clculr lím x x tg t dt x sen x. Tenemos un indeterminción del tipo / por lo que plicremos l regl de L Hôpitl y ls equivlencis de infinitésimos tg f(x) f(x) y cos f(x) [f(x)] / cundo f(x). Así x tg x L = lím x cos x = lím x x x x / = lím 4 x x x,
lo que tiene diferentes vlores según x se positivo o negtivo. En concreto, 4 x lím x x = 4. 4 x lím x + x = 4 y 5. Dds ls funciones f(x) = x, g(x) = x + sen(πx) y h(x) = f(x) g(t) dt, clculr los máximos y mínimos reltivos de h. En primer lugr clculmos los puntos críticos, es decir quellos puntos en que h (x) = : h (x) = g(f(x)) f (x) = x 4 + sen(πx ) x; h (x) = x = ó πx = kπ, k Z x = ± k, k N {}. Pr sber si corresponden posibles máximos o mínimos, clculmos l derivd de segundo orden: h (x) = x + x 4 cos(πx ) πx + x sen(πx ) 4x 3 + x 4 + + x 4 sen(πx ). De quí se deduce que si k es pr, como cos(πk) =, sen(πk) =, entonces h ( k) = k + k π k = 4πk + k >, lo que implic que x = k corresponde un mínimo reltivo. Por otr prte, si k es impr, cos(πk) = y sen(πk) =, con lo que h ( k) = k + k π k = 4πk + k <, lo que implic que x = k corresponde un máximo reltivo. Por último, si k =, h () = pero, en un entorno reducido de x =, h (x) >, si x > y h (x) < si x <, lo que indic que x = corresponde un mínimo reltivo. 6. Probr que l función f(x) = derivble. Clculr (f ) (). x e /t dt, definid en el intervlo (, ), tiene invers L derivd de l función es f (x) = e /x, que es siempre positiv. Esto quiere decir que l función es creciente en (, ) y, por tnto, tiene invers. Por l regl de derivción de l función invers, (f ) (x ) = f (f (x )), y sbiendo que f() = equivle que f () =, tenemos: (f ) () = f (f ()) = f () = = e. e
7. Se y = g(x) un función continu y positiv en [, ). Probr que l función f(x) = es creciente en (, ). L función será creciente donde su derivd se positiv. Aplicndo l regl de derivción del cociente tenemos: f (x) = xg(x) x g(t) dt g(x) x tg(t) dt [ x g(t) dt] = g(x) x xg(t) dt g(x) x tg(t) dt g(x) x (x t)g(t) dt [ x g(t) dt] = [ x g(t) dt]. El denomindor es evidentemente positivo. Además, como g es positiv, pr todo x >, si t (, x), entonces g(x) > y (x t)g(t) >. Sbiendo que l integrl de un función positiv es positiv, se obtiene tmbién que el numerdor es positivo. De esto se deduce que l función es creciente cundo x >. x x tg(t) dt g(t) dt 8. Demostrr que, si f es un función continu, se tiene l siguiente iguldd Si llmmos F (x) = G(x) = x x (x u)f(u)du = x ( u ) f(t) dt du, x f(u)du x uf(u)du, debemos comprobr que F (x) = G (x) y que en lgún punto x, F (x ) = G(x ). Ahor bien: F (x) = G (x) = x x f(u)du + xf(x) xf(x) = f(t) dt. x f(u)du; Esto indic que F y G se diferencin en un constnte F (x) G(x) = C. Pero como F () = = G(), result que C =, con lo que F = G. 9. Clculr 3 f (x) + f (x) dx. Recordndo que D(rc tg f(x)) = 3 f (x) + f (x), obtenemos: f (x) + f (x) dx = [rc tg f(x)]3 = rc tg f(3) rc tg f( ).
. Hllr, medinte integrles definids, los siguientes límites: ( ) lím n n + n + + n ) n. ( b) lím sen π n n n + sen π ) (n )π + + sen. n n p + p + + n p c) lím n d) lím n n n p+, (p > ). ( + n + + n + n ). En todos los csos debemos construir un función decud y determinr un intervlo de modo que l definición de integrl de dich función en el intervlo correspond l límite buscdo. Utilizremos l definición de integrl b f(x) dx = lím n n n f(u i ), u i [x i, x i ], donde x i = + i(b )/n, i =,,,..., n es un punto genérico de un prtición regulr del intervlo [, b], pr lo cul escribiremos ls sums dds como en el cso generl. ) Escribimos i= n + n + + n n = ( n n + n + n + + n ). n Considermos l función f(x) = x en el intervlo [, ]. Un prtición regulr del intervlo es P = {, /n, /n,..., (n )/n, }. Como l función es creciente, l integrl inferior en el intervlo [, ] es, por definición, I(f) = lím n n i= f(x i )(x i x i ) = lím n n i= i n n = lím n n i= i n. Por otr prte, como l función es integrble, podemos plicr el segundo teorem fundmentl, con lo que dicho límite es igul n i [ ] x lím n n n = I(f) = I = x dx = =. i= b) Aplicmos el procedimiento nterior l función f(x) = sen(πx) en el intervlo [, ]. n ( ) i lím f = sen(πx) dx = [ ] cos(πx) n n n π = π. i= c) Escribimos l sum dd como p + p + + n p n p+ = n [(/n)p + (/n) p + + (n/n) p ], lo que sugiere considerr l función f(x) = x p en [, ]. Procediendo como en los csos nteriores, tenemos: n ( ) i lím f = x p dx = [ x p+ ] n n n p + = p +. i= 3
d) Nuevmente debemos dptr l sum dd pr que teng l form de un sum de Riemnn. Pr ello dividimos numerdor y denomindor por n con lo que ( ) n + n + + n + n = ( ) n + (/n) + + + (n/n). El límite de est sum corresponde l integrl de l función f(x) = en [, ]. De + x este modo, n ( ) i lím f = n n n + x dx = [ rc tg x ] = π/4. i=. Se f un función que verific f() =, f() = 3, f () = 5. Hllr xf (x) dx. Integrmos por prtes hciendo u = x, dv = f (x) dx. De este modo, du = dx, v = (/)f (x), con lo que xf (x) dx = x (/)f (x) (/)f (x) dx = (/)xf (x) (/4)f(x). Aplicndo hor el teorem fundmentl tenemos que xf (x) dx = [ ] (/)xf (x) (/4)f(x) = f () f() 4 + f() 4 = 5 3 4 + 4 =.. Resolver l ecución x dt t t = π cundo x >. Clculmos primero l integrl indefinid pr lo que hcemos el cmbio de vrible t = u. Qued entonces: dt t t = du u + = rc tg u = rc tg t. Si sustituimos hor en los extremos de integrción, π = x dt t t = rc tg x rc tg = rc tg x π 4 = rc tg x = π + π 4 = π 3 = x = tg π/3 = 3 = x = 4 = x =, pues debe ser x >. 3. Hllr un polinomio p(x) tl que p() = p( ) =, p() = 5, 3 p(x) dx = 4. 4
Como se proporcionn cutro condiciones, probmos como solución un polinomio de grdo 3, p(x) = + x + x + 3 x 3. De cuerdo con los dtos, tenemos el sistem de ecuciones siguiente: p() = = = p( ) = = + 4 8 3 = p() = 5 = + + + 3 = 5 [ x + x + x 3 3 3 p(x) dx = 4 = Al resolver el sistem, obtenemos l solución + 3x 4 4 ( = + 8 3 + 4 3 =, = 4, = 8, 3 = 3. ] = 4 3 ) = 4 3. 4. Dd un función integrble f, probr ls siguientes propieddes: ) b) f(x) dx = +c +c f(x) dx = (b ) f(x c) dx. f[ + (b )x] dx. ) Hciendo en l segund integrl el cmbio de vrible x c = t, el intervlo de integrción x ( + c, b + c) se trnsform en t (, b). Como demás dx = dt, l integrl qued hor: +c +c f(x c) dx = f(t) dt = f(x) dx. b) Al igul que el cso nterior, hcemos en l segund integrl el cmbio de vrible t = +(b )x; de quí, cundo x =, es t = y cundo x =, es t = b. Además dt = (b ) dx, con lo que (b ) f[ + (b )x] dx = f(t) dt = f(x) dx. 5. Se f un función integrble en [, b] que verific f( + b x) = f(x), x. Probr que xf(x) dx = + b f(x) dx. Si hcemos en l primer integrl el cmbio de vrible u = + b x, obtenemos: = xf(x) dx = ( + b)f(u) du b ( + b u)f( + b u)( du) uf(u) du = ( + b)f(x) dx xf(x) dx. 5
Agrupndo términos igules y despejndo, result: xf(x) dx = ( + b) f(u)du = xf(x) dx = + b f(x) dx. 6. Probr que x n ( x) m dx = x m ( x) n dx, n, m Z. Hcemos en l primer integrl el cmbio de vrible t = x. De este modo: que es l iguldd buscd. x n ( x) m dx = ( t) n t m ( dt) = t m ( t) n dt, 7. Se f un función continu en el intervlo [, ]. ) Si f es pr, probr que b) Si f es impr, probr que f(x) dx = f(x) dx =. f(x) dx. En mbos csos descomponemos l integrl en sum del siguiente modo: f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx, y en el primer sumndo hcemos el cmbio de vrible x = t. ) Teniendo en cuent que, l ser f pr, f( x) = f(x), x, tenemos: f(x) dx = f( t)( dt) = f( t) dt = f(t) dt. Sustituyendo este resultdo en l primer iguldd, se obtiene en definitiv que f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx. b) Procedemos nálogmente l cso nterior, pero, l ser f impr, utilizmos l propiedd f( x) = f(x), x. Así: f(x) dx = por lo que, l sustituir, se deduce que f( t)( dt) = f(x) dx =. f(t) dt = f(t) dt, 8. Sen f y g dos funciones integrbles en R con ls siguientes crcterístics: f es impr, g es pr, f(5) = 7, f() =, g(x) = f(x + 5), f(x) = 6 x g(t) dt pr todo x. Demostrr:
) f(x 5) = g(x) pr todo x. b) c) 5 x f(t) dt = 7. f(x) dx = g() g(x). ) Aplicndo que f es impr y que g es pr, obtenemos: f(x 5) = f(5 x) = g( x) = g(x). b) Por l propiedd de trslción, hciendo t = x + 5 y plicndo el problem nterior, result: 5 f(t) dt = 5 f(x + 5) dx = 5 g(x) dx = 5 g(x) dx = f(5) = 7. c) Hcemos el cmbio de vrible x = u + 5 y plicmos los resultdos nteriores. Así tenemos que x f(x) dx = = x 5 5 5 f(u + 5) du = x 5 5 g(u) du = 5 g(u) du + x 5 g(u) du + f(x 5) = f(5) + f(x 5) = g() g(x). g(u) du 9. Probr que si f es integrble en todo R y periódic de período T, entonces R. +T Por ser f periódic de período T, se verific que f(x) = f(x + nt ), x R, n Z. Probremos en primer lugr que T f(x) dx = (n+)t nt f(x) dx = f(x) dx, pr culquier entero n. Pr ello bst hcer en l segund integrl el cmbio de vrible t = x nt, con lo que, T f(x) dx, ( ) (n+)t nt f(x) dx = T f(t + nt ) dt = T f(t) dt. Si es culquier número rel, por l propiedd rquimedin de los números reles, existe n Z tl que nt < (n + )T. Hcemos pues l descomposición +T f(x) dx = (n+)t +T f(x) dx + f(x) dx. (n+)t En el segundo sumndo hcemos el cmbio de vrible u = x T. Así: +T (n+)t f(x) dx = nt f(u + T ) du = nt f(u) du. 7
Sustituyendo este resultdo en l iguldd nterior y plicndo (*), obtenemos: +T f(x) dx = (n+)t f(x) dx + nt f(u) du = (n+)t L siguiente figur ilustr l situción plnted en el problem. nt f(x) dx = T f(x) dx. { x [x] / si x no es entero. Se f(x) = si x es entero, pr todo x rel. y se define l función P (x) = x f(t) dt, ) Dibujr l gráfic de f en el intervlo [ 3, 3] y probr que f(x + ) = f(x) pr todo x. b) Demostrr que P (x) = x x, si x, y que P es periódic de período. c) Determinr un constnte c tl que d) Se hor Q(x) = x Q(x) = x3 6 x 4 + x [P (t) + c] dt =. [P (t) + c] dt. Demostrr que x [, ], y que Q es periódic de período. ) Si n es culquier entero y x (n, n + ), entonces [x] = n, con lo que f(x) = x n /, lo que corresponde un rect de pendiente uno y que cort l eje X en x = n + /. L gráfic es pues de l form: De l mism construcción se deduce que f(x + ) = f(x), x, lo que quiere decir que l función es periódic de período. Anlíticmente, si x [n, n + ), x + [n +, n + ), y [x + ] = n +. Entonces, f(x + ) = x + [x + ] / = x + (n + ) / = x n / = f(x). b) Si x (, ), [x] = y f(x) = x /, con lo que: x [ t P (x) = (t /) dt = t 8 ] x = x x = x x.
Además, es evidente que P () = y, por ser f integrble, P es continu y x x P () = lím P (x) = lím =. x x Por otr prte, l ser f periódic, del problem nterior se deduce que pr todo x, x+ x f(t) dt = Por tnto, si x [n, n + ), con n Z, P (x + ) = x+ f(t) dt = x f(t) dt + lo que prueb que P es periódic de período. c) Cundo x [, ], P (x) = (x x)/. Por tnto, = = f(t) dt = P () =. x+ x f(t) dt = [P (t) + c] dt = (t t) dt + [ct] = [ 3 ] + c = + c = c =. d) Procediendo como en b), si x [, ], tenemos: Q(x) = x [P (t) + c] dt = [ t 3 3 t + t Además, como P (t) + c es tmbién periódic de período, ] x x [ t 3 f(t) dt = P (x), 3 t ] = x3 6 x 4 + x. + c Q(x + ) = = x+ x [P (t) + c] dt = [P (t) + c] dt + x [P (t) + c] dt + x+ [P (t) + c] dt = Q(x). x [P (t) + c] dt 3. Cálculo de áres. Clculr el áre de l región limitd por l gráfic de l función f y el eje X en el intervlo indicdo: ) f(x) = x x en [, ]. b) f(x) = x(ln x) en [, e]. c) f(x) = e x sen x en [, π]. 9
) El áre de l región (que es l prte sombred de l figur) viene dd por l fórmul A = x x dx. Teniendo en cuent el signo de l función, l integrl se descompone sí: A = dx +,5 (x ) dx +,5 (x ) dx + dx = 5. b) L función y = x(ln x) es no negtiv en el intervlo [, e]. El áre es entonces, integrndo por prtes, A = e [ x x(ln x) dx = (ln x) x ] e x ln x + 4 = e. 4 c) Nuevmente l función es no negtiv, por lo que A = π e x sen x dx. Pr integrr descomponemos en dos sumndos y tenemos: A = = π [ e x e x sen x dx = (sen x + cos x) π ] π e x sen x dx + π [ e x + (sen x + cos x) π e x sen x dx ] π π = (e π + ).
. Hllr el áre de l figur limitd por l función f(x) = x(x )(x ) y el eje OX. Como l curv cort l eje OX en los puntos de bscis x =, x = y x =, el áre viene dd por A = f(x) dx. Ahor bien, en el intervlo [, ] l curv qued por encim del eje X mientrs que en el intervlo [, ] qued por debjo del mismo. Tenemos pues A = f(x) dx + f(x) dx = (x 3 3x + x) dx (x 3 3x + x) dx =. 3. Hllr el áre del menor de los sectores que l rect x = 3 determin en l circunferenci de ecución x + y = 5. Teniendo en cuent l simetrí de l figur bst clculr el áre de l región contenid en el primer cudrnte. Tenemos A = = 5 3 5 x dx [ x 5 x + 5 rc sen x ] 5 = 5π 5 3 5 rc sen 3 5. 4. Hllr el áre de l figur limitd por l rect x = y l hipérbol x y b =.
De cuerdo con l figur, el áre se obtiene como A = = [ bx b (x/) dx x x + x b ln ] = b[ 3 ln( + 3)]. 5. Hllr el áre limitd por l curv y = x 4 (4 + x). Como l figur está determind por el intervlo x [ 4, ] y es simétric respecto l eje X, el áre será A = x ( (4 + x) 4 + x dx = [4(4 + x) 3/ 8(4 + x) + 6 )] = 496 4 7 5 3 4 5. 6. Hllr el áre limitd por l curv x 4 x 3 + b y =. L curv está definid cundo x [, ] y es simétric respecto OX. El áre viene dd por: x A = x x b dx = (cmbio (/) cos t = x /) π [ ] π = 3 sen t ( + cos t) dt = 3 t sen t + sen3 t = π3 4b 4b 4 3 8b.
7. Hllr el áre de l figur limitd por l curv (x/5) + (y/4) /3 =. El áre de l figur, teniendo en cuent sus simetrís, es A = 4 = 5 4( x /5) 3/ dx = (cmbio x = 5 cos t) = 6 π/ ( cos t) dt = [ 3t π/ ] sen 4t π/ sen t + = 5π. 8 5 sen 4 t dt 8. Hllr el áre limitd por l curv x = (y + x). En form explícit, l ecución de l curv es y = ± x x. Como l gráfic es simétric respecto l eje OX, el áre viene dd por A = = π/ x x dx = (cmbio x = sen t ) π/ cos t ( sen t) dt = [ t sen t + + cos3 t 4 3 ] π/ π/ = π 4. 9. Hllr el áre encerrd por l curv y = x ( x ). 3
De cuerdo con l figur y grcis l simetrí, tenemos: A = 4 x = 4 [ cos3 t 3 π/ x dx = (cmbio x = sen t) = 4 cos t sen t dt ] π/ = 4 3.. Hllr el áre de l figur limitd por l crdioide de ecución x(t) = ( cos t cos t), y(t) = ( sen t sen t). Como l figur es simétric respecto l eje OX, el áre viene dd por A = = 3 π y dx = π y(t)x (t) dt ( sen t sen t)(sen t sen t) dt = 4 [ 3t + sen3 t + sen t + ] sen 4t = 6π. 8 π. Hllr el áre comprendid entre un lzo de l cicloide x = (t sen t), y = ( cos t) y el eje OX. π 4
Integrndo respecto l vrible t, como un lzo de l cicloide se encuentr en el intervlo t [, π], result: A = π = [ 3t y(t) dx(t) = π sen t + sen t 4 ( cos t)( cos t) dt ] π = 3π.. Hllr el áre encerrd por l stroide de ecución (x) /3 + (by) /3 = ( b ) /3. Escribimos l ecución en form prmétric como x(t) = (c /) cos 3 t, y(t) = (c /b) sen 3 t, donde c = b. c /b c / Teniendo en cuent l simetrí de l figur podemos escribir el áre como A = 4 c / = c4 b π/ y dx = 4 π/ sen 4 t cos t dt = c4 b (c /b) sen 3 t (c /)( 3 cos t sen t) dt [ ] π/ t sen 4t sen3 t = 3πc4 6 64 48 8b. 3. Hllr el áre de l figur limitd por l curv y 3 = x, l rect y = y l verticl x = 8. Como l rect y = cort l curv en el punto de bscis x = y en el intervlo [, 8] l curv qued por encim de l rect, el áre viene dd por [ ] 8 8 A = (x /3 3 x 4/3 ) dx = x = 7 4 4. 5
4. Clculr el áre limitd por l curv y = e x y ls rects y = e, x =. En este cso, l rect y = e qued por encim de l curv y = e x en l región comprendid entre los vlores x = y x =. e El áre se obtiene como ] A = (e e x ) dx = [e x ex = e e + = e +. 5. Hllr el áre de l región y x 9, x + (y 3) 9, y x + 3. El centro de l circunferenci es el punto (, 3) por el cul ps l rect y = x + 3. Esto quiere decir que l rect es un diámetro y el áre de l figur sombred es l diferenci entre el áre de l región comprendid entre dich rect y l prábol y el áre del semicírculo de rdio 3. Los puntos de intersección de l prábol y l rect se obtienen del sistem y = x 9, y = x + 3 = x + x = = x = 3, x = 4. 6
Tenemos entonces: A = = 3 4 [( x + 3) (x 9)] dx 9π = 3 [x x x3 3 ] 3 4 9π = 343 6 9π. 4( x x + ) dx 9π 6. Clculr el áre de l figur limitd por ls curvs y = e x, y = e x y l rect x =. Como en el intervlo x [, ] l curv y = e x qued por encim de l curv y = e x, el áre viene dd por A = (e x e x ) dx = [ e x + e x] = e + e. 7. Hllr el áre comprendid entre ls prábols y = px, x = py. Como los puntos de intersección de mbs prábols son (, ) y (p, p), el áre viene dd por l integrl: p ( px x ) [ ] p p x 3/ A = dx = x3 = 4p p 3 6p 3. 8. Dd l curv de ecución y = x 3 y l rect y = λx (ver figur), demostrr que l región S limitd por l curv y l rect en el intervlo x [, ] tiene l mism áre que l región S limitd por l curv y el eje X en el mismo intervlo. 7
Como l rect ps por el punto (, 3 ), se debe cumplir que 3 = λ, es decir λ =. Al clculr cd un de ls áres mencionds obtenemos [ ] λx S = (λx x 3 ) dx = x4 4 [ ] x S = x 3 4 dx = = 4 4 4, lo que prueb el enuncido. = λ 4 4 = 4 4, 9. Hllr el áre de l figur encerrd por l prábol y = x /4 y l curv de Agnesi y = 8 x + 4. Los puntos de intersección de mbs curvs son solución del sistem formdo por mbs ecuciones. Tenemos que: x 4 = 8 x + 4 x4 + 4x = 3 x = ± 4 + 3 = ± 6. Como l solución x = 8 no es rel, sólo es posible x = 4 x = ±. El áre es entonces, teniendo en cuent l simetrí de l figur, [ ] 8 [ ] A = x + 4 x 8 dx = 4 x + 4 x dx 4 ] x x3 = [4 rc tg = π 4 3. 8
. Clculr el áre limitd por ls curvs y = x, y = sen πx. Como se observ en l figur, l región que limitn dichs curvs se encuentr en el intervlo [, ] en el cul l función y = sen πx qued por encim de y = x. El áre es entonces A = [ sen πx [ x] dx = ] πx cos π x3 = 3 3 + π.. Clculr el áre de los dos trozos en que l circunferenci x + (y + R) = R divide l circunferenci x + y = R. Los puntos de intersección de mbs curvs son: x + y = R, x + y + Ry + R = R = Ry = = y = = x = ±R, y ls regiones que limitn son ls indicds en l figur. 9
Ls áres de mbs regiones son: A = = R R ( R x R x + R) [ x R x ] R + R rc sen x R R [ x R x A = πr A = (π )R. dx + R rc sen x R ] R R + [Rx] R R = R ;. Clculr el áre comprendid entre ls curvs y = sen 3 x, y = / sen x, pr x [π/4, π/]. En el intervlo indicdo, l curv y = / sen x qued por encim de y = sen 3 x. π/4 π/ π A = = π/ ( ) π/4 sen x sen3 x dx [ ln cosec x cotg x + cos x cos3 x 3 ] π/ π/4 = ln( ) 5. 3. Clculr el áre comprendid entre ls curvs y = / cos x, y = sen 6 x pr x [, π/4]. En este cso tmbién l curv y = / cos x qued por encim de y = sen 6 x. Bstrá pues integrr l rest de mbs funciones en el intervlo indicdo. π/4 π/ π 3
A = = π/4 (sec x sen 6 x) dx [ tg x 5 6 x + 4 sen x 3 sen 4x 64 48 sen3 x ] π/4 = 59 48 5π 64. 4. Hllr el áre de l figur comprendid entre l hipérbol equiláter x y = 9, el eje OX y l rect que une el origen con el el punto (5, 4). El áre de l región se puede obtener como l rest entre el áre del triángulo de vértices O(, ), A(5, ) y B(5, 4) y el áre de l región limitd por l hipérbol y el eje OX en el intervlo [3, 5]. Tenemos pues: 5 A = 5 4 x 9 dx 3 [ x ( x = 9 9 ln x + )] 5 x 9 = 9 ln 3. 3 3 5. Determinr el áre de l prte común ls dos elipses x + y x =, b b + y = con > b. Debido l simetrí de l región (ver figur), bst clculr el áre de l región comprendid en el primer cudrnte. 3
El punto de intersección de ls elipses tiene bscis x = b, con lo que el áre pedid es + b A = 4 = 4b = b b +b [ b x / dx + 4 x /b dx b +b ] b x +b + 4 [ b b rc sen x + x [ rc sen b rc sen + b + b + π rc sen x b + x ]. b x ] b b +b 6. Clculr el áre de l región limitd por ls gráfics de f(x) = x y g(x) = x x. Los puntos de intersección de ls curvs son: y = x, y = x x = x = x x { { x = x x si x > = x + = x x si x < = x = 3+ 5, x = 5. Debido l simetrí de l figur, el áre se puede expresr como: A = 3+ 5 5 [ x (x x)] dx = 3+ 5 [(x ) (x x)] dx = 7 + 5 5. 6 7. Clculr el áre de l figur limitd por l prábols y = x, y = x / y l rect y = x. L primer prábol y = x cort l rect en el punto de bscis x = mientrs que l segund prábol y = x / cort l rect en el punto de bscis x = 4. 3
El áre se descompone entonces como sum de integrles de l siguiente form: A = (x x /) dx + 4 (x x /) dx = 4. 8. Clculr el áre de l región limitd por ls gráfics de f y g en el intervlo que se indic en cd cso: ) f(x) = x, g(x) = x en [, ]. b) f(x) = x(x ), g(x) = x en [, ]. ) Los puntos de intersección de ls curvs son y = x, y = x = x = x 4 = x =, x =. El áre se descompone entonces como l sum A = ( x x ) dx + (x x) dx = 4. 3 b) Los puntos de intersección de ls curvs son: y = x(x ), y = x = x(x ) = x = x =, x =, x =. 33
El áre se obtiene entonces como: A = = x(x ) x dx (x 3 x) dx + (x x 3 ) dx + (x 3 x) dx = 4. 9. Clculr el áre limitd por ls regiones y x +, y x 9, y 3 x. Clculmos los puntos de intersección de ls curvs: y = x +, y = 3 x = x + x = = x =, x = ; y = x 9, y = 3 x = x + x = = x = 4, x = 3. El áre qued entonces como l sum de ls siguientes integrles: 34
A = = 4 4 [(3 x) (x 9)] dx + + 3 [(3 x) (x 9)] dx ( x x + ) dx + [(x + ) (x 9)] dx dx + 3 ( x x + ) dx = 58 3. 3. Clculr el áre comprendid entre ls cutro prábols y = x, y = x, x = y, x = y. Los distintos puntos de intersección son los siguientes: x = y, y = x = x =, x = 4 /3 ; x = y, y = x = x =, x = ; x = y, y = x = x =, x = 4 /6 ; x = y, y = x = x =, x =. El áre es entonces A = 4 /6 [x 4 /3 x] dx + [ x x] dx + [ x x /] dx = 4 /6 4 /3 3. 3. Clculr el áre de l figur interior l circunferenci x + (y ) = 5 y l prábol x = (y ). Los puntos de intersección de mbs curvs son: x + (y ) = 5, x/ = (y ) = x + x = = x =, x = 5/. Como l prábol está definid en x, sólo es posible l solución x = lo que d los puntos (, ) y (, ). 35
Como debemos descomponer l integrl en dos sumndos pr integrr respecto l vrible x, integrmos respecto y, lo que d lugr : A = = [ 5 (y ) (y ) ] dy [ 5 y rc sen + y 5 (y ) 5 ] 3 (y )3 = 5 rc sen 5 + 3. 3. Encontrr el áre de l región común ls circunferencis C : x + y = 4, C : x + y = 4x. Los puntos de intersección de ls circunferencis son (, 3) y (, 3), de modo que, si integrmos respecto l vrible y, el áre puede expresrse como l integrl A = 3 [ 4 y ( 4 y )] dy = 4 3 [ y = 4 4 y + rc sen y ] y 3 = 8π 3 3. ( 4 y ) dy 33. Se f l función indicd en l figur djunt. Hllr f y tmbién el áre de l región comprendid entre l función f y el eje X. 36
El áre será l sum de ls áres de los triángulos que l función determin con el eje OX. Result entonces l siguiente serie geométric: ( A = n ) n = n = / / =. n= Pr clculr l integrl, debemos sumr ls áres de los triángulos que queden por encim del eje OX y restrle l sum de ls áres de los triángulos que quedn por debjo del mismo. Tenemos nuevmente ls series geométrics, f = = n= n= ( n n+ n+ n= n= ) n= ( n ) n /4 = n+ /4 /8 /4 = 6. 4. Cálculo de volúmenes. Hllr el volumen de l figur engendrd l girr l curv y = x 3 lrededor del eje X lo lrgo del intervlo x [, ]. 37
De cuerdo con l figur, y plicndo l fórmul (), tenemos: V = π [ x x 3 4 dx = π 4 ] = π 4.. Hllr el volumen del cuerpo engendrdo por l rotción, lrededor del eje OX, de l superficie limitd por el eje OX y l prábol y = x x ( > ). Aplicmos directmente el método de los discos integrndo en el intervlo [, ] que corresponde los vlores de x que limitn l superficie dd. Así: V = π (x x ) dx = π ( x + x 4 x 3 ) dx = π5 3. 3. Clculr el volumen del sólido engendrdo por l rotción de l región limitd por los ejes coordendos y l curv de ecución x + y = ( > ) lrededor del eje OX. De l ecución de l curv se obtiene que y = ( x) 4 = +x +6x 4 3/ x / 4 / x 3/. El volumen buscdo es pues V = π y (x) dx = π ( + x + 6x 4 3/ x / 4 / x 3/ ) dx = π3 5. 4. Los semiejes positivos y un cudrnte de l stroide de ecución x = cos 3 t, y = sen 3 t delimitn un región cuy áre designremos por S. Se pide: 38
i) El volumen del cuerpo de revolución engendrdo por S l girr en torno l eje OX. ii) El volumen del cuerpo de revolución engendrdo por S l girr en torno l eje OY. i) ii) Por el método de los discos, si integrmos respecto l prámetro t, como los vlores extremos x = y x = corresponden t = π/ y t =, respectivmente, tenemos: V = π y (t) dx(t) = π sen 6 t ( 3 cos t sen t) dt π/ π/ [ cos = 3π 3 sen 7 t cos tdt= 3π 3 3 t 3 3 cos5 t 5 + 3 ] π/ cos7 t cos9 t = 6π3 7 9 5 Utilizremos en este cso el método de integrción por tubos. El volumen es V = π = 6π 3 π/ x(t)y(t) dx(t) = π cos 3 t sen 3 t ( 3 cos t sen t) dt π/ cos 5 t sen 4 t dt = 6π 3 [ sen 5 t 5 El resultdo es el mismo debido ls simetrís de l figur. ] π/ sen7 t + sen9 t = 6π3 7 9 5. 5. Hllr el volumen engendrdo por l rotción lrededor del eje OY del áre limitd por el primer rco de l cicloide de ecución x = t sen t, y = cos t. 39
π De cuerdo con l figur, si plicmos el método de los tubos e integrmos respecto l prámetro t, tenemos: π V = π = π π x(t)y(t) dx(t) = π π (t sen t)( cos t)( cos t) dt (t t cos t + t cos t sen t + sen t cos t cos t sen t) dt [ 3t = π 4 cos t + cos3 t 3 3 cos t 8 ] π 7t sen t = 6π 3. 4 6. Clculr el volumen del sólido obtenido l girr l región limitd por l curv f(x) = sen x + cos x y el eje X en el intervlo [, π] lrededor del eje X. Si plicmos el método de los discos, result: V = π π (sen x + cos x) dx = π L siguiente figur d un ide de l form del sólido obtenido. [ x ] π cos x = π. 7. Se consider el áre S de l región limitd por un cudrnte de un circunferenci de rdio R y ls tngentes en sus extremos. Hllr el volumen que engendr S cundo gir en torno un de ls tngentes. 4
Tommos como eje OX el eje de giro y como eje OY l rect que, psndo por el centro de l circunferenci, es prlel l otr tngente. De este modo l ecución de l circunferenci será x + (y + R) = R = y = R x R. El volumen pedido viene expresdo por: V = π = π R y (x) dx = π R [R x x3 3 R3 rc sen x R ( R x R) dx ] R = πr3 ( 3π). 6 8. Clculr el volumen engendrdo por un segmento circulr de ángulo centrl α (ver figur) con α < π/ y rdio R l girr lrededor de su cuerd. Tomndo como eje OX l cuerd AB y como eje OY l perpendiculr est cuerd que pse por el centro de l circunferenci, debido que OB = R sen α y OC = R cos α, l ecución de l circunferenci es x + (y + R cos α) = R, de donde y = R cos α + R x. De est form, el volumen pedido es R sen α R sen α V = π y dx = π (R cos α + R x R cos α R x ) dx R sen α = πr3 ( sen α 3α cos α + cos α sen α). 3 4
9. Se consider el rco OAB de l prábol de ecución y = x(x ), con OA = > y OC = c >. Determinr c de tl mner que el volumen de revolución engendrdo por l zon sombred de l figur, l girr en torno OX, se igul l volumen engendrdo por el triángulo OCB girndo en torno l mismo eje. El volumen engendrdo por l zon sombred es V = π y (x) dx + π c = πc3 3 (6c 5c + ). y (x) dx = π x (x ) dx + π c x (x ) dx Como OC = c, BC = c(c ) y el volumen del cono engendrdo por el triángulo OCB es V = πc (c ) c 3 Igulndo los vlores de V y V se deduce que c = 5/4. = πc3 (c ). 3 x. Al girr lrededor del eje OX l curv de ecución y = se obtiene en el intervlo + x [, x] un sólido cuyo volumen designremos por V (x). Determinr el vlor de pr que V () = lím x V (x). El volumen V (x) se clcul medinte l fórmul: V (x) = π x x y (x) dx = π x dx ( + x ) = π [ ] x + x = π x + x. Ahor bien, como lím V (x) = π x, deberá cumplirse π + = π de donde = (no es válido = pues no está en el dominio de l función).. Un sólido de revolución está generdo por l rotción de l gráfic de y = f(x) pr [, ] lrededor del eje X. Si pr > el volumen es 3 +, hllr l función f. 4
Por l fórmul del volumen tenemos que 3 + = V = π [f(x)] dx. Si llmmos G un primitiv de f, es decir tl que G (x) = f (x), entonces V = π[g() G()] = 3 + = G() = 3 + π Esto sugiere definir G(x) = x3 + x. De este modo, G() = y π + G(). G (x) = 3x + π 3x = f (x) = f(x) = +. π. Hllr el volumen de l figur engendrd l girr l superficie comprendid entre l prábol y = x y l circunferenci y = x x lrededor del eje X. Los puntos de intersección de mbs curvs son (, ) y (, ). Utilizndo el método de integrción por discos y descomponiendo l integrl en dos sumndos, tenemos [ ] x V = π x dx + π (x x ] ) dx = π + π [x x3 = 7π 3 6. 3. Se consider l prábol de ecución y = x /, con >, y l circunferenci x + y =. Determinr el volumen engendrdo por l zon sombred de l figur l girr en torno l eje OX. 43
Resolviendo el sistem formdo por ls ecuciones de l prábol y de l circunferenci, se tiene que OC = /. Como el rdio de l circunferenci es, el volumen pedido será V = π / [ x 5 = π 5 x 4 / dx + π ( x ) dx / ] / + π [ x x3 3 ] / = π3 3 ( ). 4. Determinr el volumen del sólido obtenido l girr lrededor del eje OY l región limitd por ls prábols y = x, y = b cx, con, b, c >. Los puntos de intersección de ls prábols se obtienen resolviendo el sistem formdo por sus ecuciones. Así se tiene A( b/( + c), b/( + c)). Clculmos el volumen por el método de los discos pr lo cul debemos integrr respecto y en los intervlos (, b/( + c)) y (b/( + c), b). Result sí: /(+c) y b V = π dy + π b y b/(+c) c dy = πb ( + c). 5. Hllr el volumen generdo por l rotción del áre limitd por l prábol y = 8x y l ordend correspondiente x = 44
i) en torno l eje X; ii) en torno l eje Y ; iii) en torno l rect x =. i) Dividiendo el áre en frnjs verticles, l girr lrededor del eje X se obtienen discos de rdio y = 8x en el intervlo x [, ]. Aplicndo l fórmul de integrción por discos se obtiene: V = π 8x dx = 6π. ii) Aplicremos nuevmente el método de los discos pr lo cul debemos integrr respecto l vrible y en el intervlo [ 4, 4]. Como un disco genérico tiene rdio exterior y rdio interior x = y /8, el volumen viene ddo por 4 ] 4 V = π [ (y /8) ] dy = π [4y y5 = 8π 3 5. 4 iii) Aplicremos en este cso el método de los tubos. Como se observ en l figur, l ltur de un cilindro genérico es y = 8x = 4 x y su distnci l eje de giro es x. 4 45
El volumen pedido será V = π 4 x( x) dx = 8 π (x / x 3/ ) dx = 56π 5. 6. Cuál es el volumen del sólido que se obtiene l girr lrededor del eje X l figur limitd por l curv y = e x y ls rects x =, y = e? Como l rect y = e qued por encim de l curv y = e x en el intervlo [, ], si plicmos l fórmul (4), el volumen viene ddo por: V = π [ (e e x ) dx = π e x ] ex Un ide del sólido obtenido se expres en l siguiente figur. = π e +. 46
7. Se consider l región del plno formd por los puntos (x, y) que stisfcen ls desigulddes x, x /4 y. Clculr el volumen del sólido obtenido l girr est región lrededor del eje Y, lrededor del eje X, lrededor de l rect x =, y lrededor de l rect y =. ) b) Al girr lrededor del eje Y, el volumen (por el método de los discos) es V = π 4y dy = π [ y ] = π. c) Nuevmente por el método de los discos, si integrmos respecto x, tenemos: V = π ) ( x4 6 dx = π ] [x x5 = 8π 8 5. 47
Aplicndo en est ocsión el método de los tubos tenemos: V = π ( x)( x /4) dx = π [x x x3 6 + x4 6 ] = π 3. d) Integrndo por el método de los discos, tenemos por último que ] V = π ( x /4) dx = π [x x3 6 + x5 8 = 6π 5. 8. Hllr el volumen generdo por l rotción del áre limitd por y = x 3x + 6, x + y 3 = lrededor de l rect i) y = ; ii) x = 3. i) Los puntos de intersección de ls curvs son y = x 3x + 6, y = 3 x = x x + 3 = = x = 3, x =. 48
Si plicmos el método de los discos, como l prábol qued por encim de l rect en el intervlo x [ 3, ], el volumen es: V = π = π 3 3 (y p y r) dx = π 3 [( x 3x + 6) (3 x) ] dx (x 4 + 6x 3 4x 3x + 7) dx = 79π 5. ii) L rect x = 3 es exterior l región que gir. Aplicmos en este cso el método de ls tubos. L ltur de un cilindro genérico es y p y r = ( x 3x+6) (3 x) = x x+3 y el rdio es 3 x (distnci del eje de giro un punto de l región). El volumen es pues V = π 3 (3 x)( x x + 3) dx = π 3 (x 3 x 9x + 9) dx = 56π 3. 9. Clculr el volumen del sólido obtenido l girr l región limitd por ls gráfics de f(x) = b(x/) y g(x) = b x/ lrededor de y =. Los puntos de intersección de mbs curvs son: x : y = bx, y = bx = bx = bx = x x = = x =, x =. Debido l simetrí de l figur, como l rect qued por encim de l prábol, el volumen es: V = π ( b x b x 4 ) 4 [ ] dx = π b x 3 3 x5 5 = 4πb. 5 49
. Clculr el volumen engendrdo por l región que delimitn ls prábols y = px, x = py (p > ), l girr en torno OX. Se obtiene fácilmente que los puntos de intersección de ls prábols son (, ) y (p, p). Por el método de los discos, el volumen es: V = π p px dx π p x 4 dx = 4p 5 πp3.. Clculr el volumen del sólido obtenido l girr l región limitd por ls gráfics de f(x) = sen x y g(x) = cos x en el intervlo [, π/] lrededor del eje X. π/4 π/ Aplicndo el método de los discos, debido l posición reltiv de ls curvs, debemos descomponer l integrl en los intervlos [, π/4] y [π/4, π/]. Así tenemos: V = π π/4 [ sen x = π (cos x sen x) dx + π ] π/4 [ sen x π ] π/ π/4 π/ π/4 = π. (sen x cos x) dx. Clculr el volumen del sólido obtenido l girr l región limitd por ls gráfics de f(x) = x 4x + 4 y g(x) = 4 x lrededor de y =. 5
Los extremos de integrción serán los puntos de intersección de ls curvs. Estos son: y = x 4x + 4, y = 4 x = x 3x = = x =, x = 3. Si plicmos el método de los discos (fórmul (5)), teniendo en cuent que el rdio exterior es r e = y r + = 4 x + y el rdio interior es r i = y p + = x 4x + 4 +, result: V = π 3 [(4 x + ) (x 4x + 4 + ) ] dx [ x 3 = π 3 5x + 5x (x ) 5 x Un sección del sólido obtenido tiene l form de l figur djunt. ] 3 (x )3 = 7π 3 5. 3. Determinr el volumen del sólido que se obtiene l girr lrededor del eje de bsciss l región del primer cudrnte limitd por ls curvs y = /x, y = sen(πx/) y ls rects x =, y = e. 5
Los puntos de intersección de ls curvs son y = /x, y = sen πx = sen πx = = x = ; x y = /x, y = e = x = /e = x = / e. Aplicndo el método de los discos, tenemos: V = = π / e [ π e sen πx ] [ e x x dx + sen πx ] / e + + π π / e [ π x ] πx sen dx 4 [ 3x 3 x sen πx + π ] / e = (8e e 5)π. 6 4. Se consider l hipérbol de ecución x / y /b = y ls dos rects perpendiculres l eje OX de ecuciones x = p, x = p + h (p > ). Determinr el volumen del cuerpo de revolución engendrdo por l región ABCD indicd en l figur (siendo OB un de ls síntots) l girr en torno l eje OX. 5
Sbiendo que l ecución de l síntot OB es y = bx/, el volumen del sólido indicdo viene ddo por [ p+h (bx ) ( ) ] x V = π b p+h dx = πb (x x + ) dx = πb h. p p 5. Hllr el volumen generdo por el áre comprendid entre l prábol y = 4x x y el eje X l girr lrededor de l rect y = 6. Utilizndo el método de los discos, como l región está comprendid en el intervlo [, 4], el volumen, ddo por l fórmul (5), es V = π = π 4 4 [6 (6 y) ] dx = π 4 [36 (6 4x + x ) ] dx (48x 8x + 8x 3 x 4 ) dx = 48π 5. 6. Un servilletero se obtiene prcticndo un gujero cilíndrico en un esfer de modo que el eje de quél pse por el centro de ést. Si l longitud del gujero es h, demostrr que el volumen del servilletero es πh 3, siendo un número rcionl. Si llmmos r l rdio de l esfer, el rdio del gujero cilíndrico será k = r h. 53
De este modo, y de cuerdo con l figur, el sólido obtenido viene ddo l girr lrededor del eje X l región limitd por ls curvs x + y = r e y = k. Tenemos entonces: V = π h h (r x k ) dx = π ] h [(r k )x x3 = 4πh3 3 h 3. Como 4/3 es rcionl, el resultdo obtenido prueb el enuncido. Un sección de l figur obtenid es l siguiente: 7. Se consider l elipse de ecución x + y = y l cuerd F C prlel l eje OX. Determinr OA = h de mner que el volumen engendrdo por l región sombred de l b figur l girr en torno OX se l mitd del volumen del elipsoide engendrdo por el áre que limit l elipse dd girndo en torno l mismo eje. Designremos por V y V los volúmenes del cuerpo engendrdo por l región sombred y del elipsoide engendrdo por l elipse, respectivmente. Como los puntos C y F tienen bscis h /b y h /b, respectivmente, dichos volúmenes se obtienen por integrción 54
medinte ls fórmuls: h /b V = π [b ( x / ) h ] dx h /b h /b = π [b ( x / ) h ] dx = π [(b h )x b x 3 ] h /b 3 = 4 3 π(b h ) h /b ; V = π b ( x / ) dx = 4 3 πb. Como debe ser V = V /, l resolver est ecución se obtiene que 4 3 π(b h ) h /b = 3 πb = h = b / 3 4. 8. Clculr el volumen del toro, que es el sólido de revolución engendrdo l girr un círculo de rdio r lrededor de un eje situdo en su plno y un distnci b de su centro (b r). Si hcemos que OX se el eje de giro y el centro de l circunferenci el punto (, b), ést tiene por ecución x + (y b) = r. El volumen, plicndo el método de los discos, vendrá ddo por: r [ ( V = π b + ) r x (b ) ] r x dx = (cmbio x = r sen t) = 4bπ r π/ π/ r cos t dt = br π [t + ] π/ sen t = br π. π/ 9. Hllr el volumen de un cono recto de ltur h, cuy bse es un elipse de eje myor y eje menor b. 55
L sección determind en el cono por un plno prlelo l bse y de ltur OP = z es un elipse de eje myor x y eje menor y. Su áre es pues πxy. Por semejnz de triángulos, se deduce de l figur que MP C MOA = P C OA = P M OM MP D MOB = P D OB = P M OM es decir x = h z h ; es decir y b = h z h. El áre de l sección es entonces πxy = πb(h z). Luego, h V = πb h h (h z) dz = πbh 3. 3. Un sólido tiene un bse circulr de rdio. Cd sección producid por un plno perpendiculr un diámetro fijo es un triángulo equilátero. Clculr el volumen del sólido. Si expresmos por l ecución x + y = 4 l bse del sólido y considermos ls secciones perpendiculres l eje X, el ldo de un triángulo genérico es l = y y l ltur es h = l l /4 = l 3/ = y 3. 56
El volumen será entonces V = y y 3 dx = 3 (4 x ) dx = 3 3. 3 3. Un cilindro cuy bse es un elipse se cort por un plno inclindo que ps por el eje menor de l mism. Hllr el volumen del sólido restnte. Supongmos que l ecución de l elipse es x / + y /b = y llmmos H l ltur del cilindro (que corresponde l punto (, )). Cortndo el sólido por plnos perpendiculres l eje OY obtenemos triángulos rectángulos semejntes. En un punto rbitrrio (x, y) el áre de uno de dichos triángulos (ver figur) es A = x h = x tg α = x H. Como (x, y) verific l ecución de l elipse, escribimos el áre en función de y como A(y) = ( y /b ) H 57
El volumen será entonces V = b ( y /b ) H A(y) dy = dy = H ] b [y y3 3b = bh. 3 3. Un sólido tiene un bse en form de elipse cuyos ejes myor y menor miden y 8 uniddes respectivmente. Hllr su volumen sbiendo que tod sección del mismo perpendiculr l eje myor es un triángulo isósceles de ltur igul 6. Escribimos l ecución de l elipse como x /5 + y /6 =. El triángulo obtenido por l sección perpendiculr l eje OX por un punto x tiene áre A(x) = y h/ = 6y = 4 x /5, y el volumen del sólido (plicndo los métodos usules de integrción) es V = 5 = 4 5 5 5 A(x) dx = 4 5 x /5 dx [ 5 rc sen x 5 + x 5 5 x ] 5 = 6π. 33. L sección de un cierto sólido por culquier plno perpendiculr l eje OX es un cudrdo tl que los extremos de un digonl pertenecen respectivmente ls prábols y = 4x, x = 4y. Hllr el volumen del sólido. L región que limitn mbs curvs viene indicd en l figur y los puntos de corte son (, ) y (4, 4). 58
Como indic el enuncido, l digonl de un cudrdo genérico une los puntos (x, y ) y (x, y ) y su longitud, en función de x es d = x x /4. Como el áre del cudrdo es A(x) = d / = ( x x /4) /, el volumen pedido es: V = 4 ( x x /4) dx = [ x + x5 8 x7/ 7 ] 4 = 44 35. 5. Longitud de curvs plns. Hllr l longitud del rco de l prábol x = py, con p >, comprendid en el intervlo [, ]. Si clculmos l derivd de l función, tenemos y = x/p = + y = + (x/p) = x + p. p L longitud del rco pedido qued entonces l = [ x p + p dx = p x x + p x + x p + ln + p p [ = p + p + ] p + ln + p. p ]. Probr que l curv f(x) = { x cos(π/x) si x si x = no es rectificble en [, ]. 59