. DEFINICIÓN FUNCIONES Una unción real de variable real es una relación entre dos variables numéricas e y de orma que a cada valor de la variable le corresponde un único valor del la variable y. La variable se denomina variable independiente y la variable y es la variable dependiente. : D R R y Eisten varias ormas de epresar una unción: Enunciado A cada número real le hacemos corresponder su cuadrado menos unidades Epresión algebraica y ò Tabla de valores y eje eje de abscisas eje y eje de ordenadas Gráica Una gráica corresponde a una unción cuando cada recta paralela al eje de ordenadas corta a la gráica sólo una vez.
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES Polinómicas : + Algebraicas Racionales: + Radicales ò Irracionales: 6 Funciones Eponenciales: Transcendentes Logarítmicas: log Trigonométricas: cos. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES. inio. Recorrido. Continuidad 4. Puntos de corte con los ejes 5. Signo 6. Simetría 7. Periodicidad 8. Asíntotas 9. Monotonía. Etremos relativos y absolutos. Acotación. Etremos absolutos
.. DOMINIO inio de o campo de eistencia de es el conjunto de valores para los que está deinida la unción, es decir, el conjunto de valores que toma la variable independiente. Se denota por. { R / y R con y } OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA Cuando una unción se presenta a través de su gráica, con proyectar sobre el eje de abscisas eje OX su gráica conseguimos su dominio de deinición. Esto es así porque cualquier valor del dominio tiene una imagen y, y, por tanto, le corresponde un punto, y de la gráica. Este punto es el que, al proyectar dicha imagen sobre el eje OX, nos incluye ese valor dentro del dominio. En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio está dibujado un poco más abajo para que sea bien visible la escala del eje de abscisas. En este caso tenemos que,,4 4,8]. De una manera no ormal, podríamos decir que si aplastamos la gráica sobre el eje OX y ésta estuviese manchada de tinta, quedaría manchado sobre el eje justo el dominio de deinición de la unción. EJEMPLO: Halla el dominio de las siguientes unciones,] 4, + R [ 6, [, +,], +
OBTENCIÓN DEL DOMINIO A PARTIR DE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA I Función polinómica: P R Ejemplos a 5 + 5 unción polinómica R 4 b + unción polinómica R P R / Q Q II Función racional: { } Ejemplos a unción racional R { R / 4 5 } R {,5} 4 5 4 + 6 5 4 ± 6 + 4 ± 6 4 5 4 6 b unción racional R { R / + 4 } R + 4 III Función radical: Ejemplos a + 4 4 n 4 no tiene solución real n par g n impar g { g / g } unción radical con ínidice par { R / Tenemos que resolver la inecuación: Ceros ± ò }, ] [, + b unción radical con índice par { R/ 4 4 4 Tenemos que resolver la inecuación: 4 > > }, La desigualdad es estricta porque como el radical está en el denominador no puede ser Ceros 4 4 ± 4 ò 4
5 c R + + 5 impar índice con radical unción 5 y d } { impar índice con radical unción 5 R + + y IV Función eponencial R >, a a con a, g a a con a g > Ejemplos a [, } / { + R y b {,} } / { R R R y e c R + R R + + } / { y real solución tiene No +
V Función logarítmica log con a >, a, + a log [ g ] con a >, a { g / g > } a Ejemplos a log + { R/ + > }, + + > > > b ln { R / > },, + > + >,, + Ceros ± VI Funciones trigonométricas a sen R T π Rec [,] b sen [ g ] g 6
a cos R T π Rec [,] b cos [ g ] g π ; k Ζ T π Rec R tg { R / cos } R k + 4 cotg { R/ sen } R { kπ ; k Ζ} T π Rec R 7
π ; k Ζ T π Re c, ] [, + 5 sec { R / cos } R k + 6 cosec { R/ sen } R { kπ ; k Ζ} T π Re c, ] [, + VII Cociente de unciones no polinómicas: g h [ g h ] { h / h } Valores de en los que g y h están deinidas a la vez ecepto aquellos en los que h se anula Ejemplos a ln 8
y inio R y ln inio { R / > } { R / > }, + ln Por tanto,,, + b + + e y + inio { R / + } [ 5, + + 5 [ 5, + + y e inio R + + e e + Por tanto, [ 5,, + VIII Funciones del tipo: inio y g { / > } g Valores de en los que > y y g están deinidas a la vez Ejemplos a 5 5 >, 5 5 Ceros Polos 5 5 y inio R {} Por tanto,, R {},, 9
IX Funciones deinidas a trozos Se estudian las unciones parciales en cada uno de los subintervalos en los que están deinidas. Ejemplo a si si si < < < 5 Primero estudiamos el dominio de cada una de las unciones parciales y inio R, ] y inio R {},, y inio R [5, + Por tanto,,, [5, + si b si < < 6 ln si 6 Primero estudiamos el dominio de cada una de las unciones parciales
,], {,} } / { inio y R R R ò + + > R,, {}, } ln / { } / { inio ln y,6, [6, inio y + R {,} Por tanto, R
.. RECORRIDO OBTENCIÓN DEL RECORRIDO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA Para calcular el recorrido de una unción, se representa gráicamente y luego se estudia sobre el eje de ordenadas. Procedemos igual que en el dominio, pero ahora proyectamos sobre el eje de ordenadas. En la gráica de la derecha Rec R {}. OBTENCIÓN DEL RECORRIDO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA Para calcular el recorrido de una unción epresada en orma analítica, y, se debe encontrar una epresión en la que se puedan obtener los valores de la variable en unción de los valores de la variable y. Esta epresión no siempre es una unción, como veremos más adelante, pero su dominio constituye el recorrido de. Ejemplo: Calcular el recorrido de la unción y. + Hay que obtener en unción de su imagen y, y determinar el dominio de esta epresión. y y y + y + y y y y y + y y eiste y y Por tanto, Rec R
.. CONTINUIDAD. DISCONTINUIDADES. De orma intuitiva, una unción continua en todo su dominio sería aquella que se puede dibujar de un sólo trazo sin levantar el lápiz del papel. Por ejemplo la dibujada a continuación: Sin embargo, la mayoría de las unciones van a presentar discontinuidades, o sea, van a ser continuas sólo en algunos "trozos" intervalos de su dominio y en los límites de éstos presentarán discontinuidades. Una unción que no es continua presenta alguna discontinuidad. R {} inio de continuida d R {,,} En hay una discontinuidad de salto inito En hay una discontinuidad evitable En hay una discontinuidad de salto ininito TIPOS DE DISCONTINUIDADES Discontinuidad de salto inito Una unción tiene una discontinuidad de salto inito en a si, en dicho punto, observamos una separación o salto entre dos trozos de su gráica que puede medirse. Esto es debido a que la tendencia de la unción a la izquierda del punto a es dierente de la que tiene a la derecha. En la siguiente gráica observamos lo indicado.
lim a lim + a lim a lim + a Discontinuidad asintótica o de salto ininito Cuando en un punto a observamos que la tendencia de la unción a la izquierda, a la derecha o a ambos lados de dicho punto es a alejarse al ininito más ininito o menos ininito, entonces nos encontramos con una discontinuidad de salto ininito en el punto a. La siguiente unción tiene una discontinuidad de salto ininito en el punto a lim lim + + a a Discontinuidad evitable Si nos encontramos que la continuidad de la unción en un punto a se interrumpe porque no hay imagen, o la imagen está desplazada del resto de la gráica, tendremos una discontinuidad evitable en el punto a. En este caso la tendencia de la unción a la izquierda de a y a la derecha de a sí coincide, sin embargo es a el valor que no coincide con dicha tendencia o que ni siquiera eiste. eiste lim a y no eiste a lim a pero a lim a a 4
.4. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Podemos calcular los puntos de corte de una unción con los ejes cartesianos a partir de su gráica o a partir de su epresión analítica. GRÁFICAMENTE Etraemos la inormación directamente de la gráica. Si un punto pertenece al eje de abscisas eje OX su ordenada es cero y. Es decir, los puntos del eje OX son de la orma,. Si un punto pertenece al eje de ordenadas eje OY su abscisa es cero. Es decir, los puntos del eje OY son de la orma,y. Una unción puede cortar al eje OX en varios puntos. Al eje OY como máimo puede cortarlo en un punto. 5 Puntos de corte con el eje OX: 6,, Puntos de corte con el eje OY:, 5, 5, ANALÍTICAMENTE y Para hallar el punto donde la unción corta al eje de ordenadas eje OY se resuelve el sistema: y Para hallar los puntos donde la unción corta al eje de abscisas eje OX se resuelve el sistema: y Ejemplos Calcula los puntos de corte con los ejes de la unción Puntos de corte con el eje OX y y 4 4 y 4 Utilizamos el método de igualación 4 y 5
Luego, los puntos de corte con el eje OX son, y, Puntos de corte con el eje OY y 4 No hay puntos de corte con el eje OY. Calcula los puntos de corte con los ejes de la unción y 4 + Puntos de corte con el eje OX y 4 + Utilizamos el método de igualación 4 + y y Luego, los puntos de corte con el eje OX son, y, Puntos de corte Eje OY y 4 + Utilizamos el método de sustitución y 4 + y y Luego, el punto de corte con el eje OY es,. 6
. 5. SIGNO DE UNA FUNCIÓN. Dada una unción, determinar su signo es hallar para qué valores de su dominio es < y >. A PARTIR DE SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA > en el conjunto de puntos de su dominio para los que la gráica está situada por encima del eje de abscisas eje OX < en el conjunto de puntos de su dominio para los que la gráica está situada por debajo del eje de abscisas. < si [ 6, ],4 < si,, > si [, 4, + > si,, + A PARTIR DE SU EXPRESIÓN ANALÍTICA Es preciso encontrar los posibles cambios de signo, determinando los ceros de la unción y los puntos en los que la unción no está deinida. Con estos datos se pueden determinar los intervalos en los que el signo es constante. Ejemplo: Estudiar el signo de la unción R {} 4 4 ò 4 SIGNO DE + + + < si,, > si,, + 7
. 6. SIMETRÍA es PAR si En tal caso, la gráica de es simétrica respecto al eje OY. es IMPAR si En tal caso, la gráica de coordenadas. es simétrica respecto al origen de Ejemplo: Estudiar la simetría de las siguientes unciones 4 a + b 4 5 Solución c + d + 4 4 4 a + + es PAR b 4 5 4 + 5 4 5 es IMPAR c + + + no es par ni impar d es PAR 4 4 + + 8
. 7. PERIODICIDAD es una unción PERIÓDICA DE PERIODO T si + T, siendo T el menor número real que veriica esta propiedad. 9
.8. ASÍNTOTAS La palabra asíntota, antiguamente, "asímptota", proviene del griego asumptotos, compuesto de "a" "sin" y de "sumpipto" "encontrarse". Por tanto, nuestro término viene a signiicar "sin encontrarse, sin tocarse". En el estudio de unciones llamamos así a una línea recta hacia la que se aproima ininitamente la gráica de la unción, pero sin llegar a encontrarse ambas durante dicha aproimación ininita. Las asíntotas surgen de manera natural al estudiar el comportamiento de las variables de una unción "en el ininito". ASÍNTOTAS VERTICALES Cuando una unción no está deinida en un punto "a", pero para valores cercanos a dicho punto por la derecha, por la izquierda o por ambos lados, las correspondientes imágenes se hacen cada vez más grandes o más pequeñas diremos que la recta a es una asíntota vertical de. Se dice que en dicho punto la unción "tiende a ininito". La recta "a" es una ASÍNTOTA VERTICAL de la unción si el límite de la unción en el punto "a" es ininito. lim ± a es asíntota vertical por la izquierda a lim ± a es + a lim ± a a asíntota vertical por la derecha es asíntota vertical lim lim lim+ es + asíntota vertical
lim + + es asíntota vertical por la derecha de lim lim + lim+ + + es asíntota vertical Observaciones Una unción puede tener varias asíntotas verticales, incluso ininitas por ejemplo tg. La gráica de una unción nunca corta a una asíntota vertical. La tendencia hacia ininito a ambos lados del punto de discontinuidad puede ser idéntica u opuesta.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Si estudiamos lo que ocurre con la gráica de una unción cuando los valores de la variable independiente "" se hacen muy grandes o muy pequeños tienden a más o menos ininito, puede ocurrir que ésta se vaya acercando cada vez más a un valor determinado y k, sin llegar nunca a tomarlo. En tal caso, la recta y k es una asíntota horizontal de, dado que la unción tiende a "pegarse" a dicha recta "en el ininito". La recta "yk" es una ASÍNTOTA HORIZONTAL de la unción si el límite de la unción en el ininito es el número "k". lim k y k es asíntota horizontal de ± lim ± lim lim + + y es asíntota horizontalde lim ± lim lim + + y es asíntota horizontalde yk es una ASÍNTOTA HORIZONTAL POR LA DERECHA de la unción si el límite de la unción en + es el número "k". lim + k y k es asíntota horizontal por la derecha yk es una ASÍNTOTA HORIZONTAL POR LA IZQUIERDA de la unción si el límite de la unción en es el número "k". lim k y k es asíntota horizontal por la izquierda
lim y + es asíntota horizontal por la derecha lim y + es lim y es asíntota horizontal por la derecha asíntota horizontal por la izquierda Observaciones Una unción real de variable real puede tener como máimo asíntotas horizontales en este último caso, una de ellas es asíntota por la derecha y la otra lo es por la izquierda. Hay unciones que sólo tienen asíntota horizontal por la derecha o por la izquierda. La gráica de una unción puede cortar a una asíntota horizontal. Una unción no tiene por qué tener los dos tipos de asíntotas que hemos visto verticales y horizontales. Puede no tener ninguna cualquier unción polinómica, tener sólo asíntotas verticales una o más o sólo asíntotas horizontales una o dos como mucho.
ASÍNTOTAS OBLICUAS Una recta de ecuación y m + n m distinto de es asíntota oblicua de una unción si para valores de cada vez más grandes o más pequeños, los puntos de la recta y los de la gráica de la unción están cada vez más próimos. Es decir, la recta y la gráica de tienden a pegarse para valores grandes o pequeños de. Es decir una unción tiene una asíntota oblicua del tipo más a la recta asíntota en el ininito. y m + n cuando la unción se va acercando cada vez y es asíntota oblicua de y + es asíntota oblicua de 4
Observaciones Si una unción tiene asíntotas horizontales, no tiene oblicuas. Esto es ácilmente esperable, puesto que una asíntota horizontal y n es realmente un caso particular de asíntota oblicua y m + n, con m. Por tanto, la presunta asíntota oblicua que buscamos, es la horizontal ya eistente. La gráica de una asíntota oblicua puede cortar a una asíntota oblicua. 5
.9. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. DEFINICIONES a Una unción es creciente en un intervalo a, b de su dominio si y a, b con > se cumple que. b Una unción es estrictamente creciente en un intervalo a, b de su dominio si y a, b con > se cumple que >. c Una unción es decreciente en un intervalo a, b de su dominio si y a, b con > se cumple que. d Una unción es estrictamente decreciente en un intervalo a, b de su dominio si y a, b con > se cumple que <. NOTA: Para deinir los intervalos de crecimiento y decrecimiento siempre abiertos utilizaremos la variable es CRECIENTE si 6, 4, es CRECIENTE si,, es DECRECIENTE si 4,,6 es DECRECIENTE si,,4 es CRECIENTE si,,6 es DECRECIENTE si, 6
.. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS DEFINICIONES a Una unción tiene un máimo relativo o local en un punto si es posible determinar un entorno * reducido de E, r entorno de centro y radio r ecluyendo a en el que > * E, r. En caso de que sea continua en, la unción pasa de ser estrictamente creciente a estrictamente decreciente en dicho punto. b Una unción tiene un mínimo relativo o local en un punto si es posible determinar un entorno * * reducido de, E, r en el que < E, r. En caso de que sea continua en, la unción pasa de ser estrictamente decreciente a estrictamente creciente en dicho punto. Máimo relativo Mínimo relativo c Una unción tiene un máimo absoluto en un punto si. d Una unción tiene un mínimo absoluto en un punto si. Cuando se determinan los etremos de una unción continua en un intervalo cerrado [ a, b] hay que tener presente que un etremo relativo puede ser absoluto, pero un etremo absoluto no es relativo cuando está en a ò b a c d b En En En c hay un máimo absoluto y relativo de en [ a, b]. a hay un mínimo absoluto de en [ a, b] pero no relativo. d hay un mínimo relativo de en [ a, b]. 7
Esta unción presenta dos máimos relativos en y y un máimo absoluto en Tiene un mínimo relativo en absoluto en y un mínimo Esta unción presenta un máimo relativo y absoluto en Tiene un mínimo relativo en No tiene mínimo absoluto 8
.. ACOTACIÓN Una unción está acotada superiormente si eiste un número real k tal que se tiene k.a cualquier k que veriique esta condición lo llamamos cota superior de la unción. Si está acotada superiormente, la menor de sus cotas ineriores recibe el nombre de supremo y si además pertenece al recorrido de la unción es su máimo absoluto. Una unción está acotada ineriormente si eiste un número real k tal que se tiene k.a cualquier k que veriique esta condición lo llamamos cota inerior de la unción. Si está acotada ineriormente, la mayor de sus cotas ineriores recibe el nombre de ínimo y si además pertenece al recorrido de la unción es su mínimo absoluto. está acotada superiormente está acotada ineriormente Máimo absoluto 8 y lo alcanza en Mínimo absoluto y lo alcanza en 4 no está acotada ineriormente no está acotada superiormente no está acotada superiormente está acotada ineriormente. Ínimo ; no tiene mínimo absoluto 9
Una unción está acotada si lo está a la vez ineriormente y superiormente, es decir, está acotada si eiste un número real M tal que se tiene k M Mínimo absoluto y lo alcanza en Máimo absoluto y lo alcanza en Mínimo absoluto y máimo absoluto está acotada es decir está acotada superior e ineriormente Supremo ; no tiene máimo absoluto Ínimo ; no tiene mínimo absoluto