METODOS NUMERICOS 697 TALLER 7, SEMESTRE Tem: Derivción e integrción numérics Se recomiend relizr los ejercicios propuestos en el texto guí, en prticulr los siguientes: Sección :,,, 7, 8,, Sección :, 8 Sección :,,, 7,,,, Sección : 9,, Sección : 7, 8 Sección 7:, 6 Sección 9:,, Se obtuvieron los siguientes dtos de l distnci recorrid por un cohete contr el tiempo: x fx 8 8 Utilice diferencición numéric pr estimr l velocidd del cohete y l celerción en cd momento Usndo l fórmul de Tylor pr fx + h, fx h, fx + h y fx h, deduzc l fórmul de diferencis centrds f x fx + h fx + h+fx h fx h h Cuál es el orden del error de est proximción? L fórmul de diferenci centrd pr f x puede expresrse como f x = h [ fx + h fx h] h 6 f x h fv x +Oh 6 Utilice l extrpolción pr derivr un fórmul Oh pr f x emplendo los nodos x h, x h, x + h y x + h Supongmos f = f 7=b Determine b prtir de los dos siguientes hechos: L regl Trpezoidl compuest con n= pr b L regl Trpezoidl compuest con n= pr fxdx d el vlor fxdx d el vlor 7 Supongmos f = f =b Determine b prtir de los dos siguientes hechos: L regl trpezoidl compuest con n= pr b L regl trpezoidl compuest con n= pr fxdx d el vlor fxdx d el vlor 6 Seleccione un respuest L regl del trpecio compuest con subintervlos pr un función pr es decir, f x= fx en el intervlo [,] está dd por: fxdx h i= f x i con x i = +ih y h=8 b fxdx h i= f x i con x i = +ih y h=8 c fxdx h[ f x +f x + f x ] con x i = +ih y h=8 d fxdx h[ f x +f x +f x ] con x i = +ih y h=8
7 Determine l integrl de fx prtir de l regl del trpcio compuesto, usndo l siguiente tbl de vlores x 7 fx 8 7 6 8 Seleccione un respuest L regl de Simpson compuest con 6 subintervlos pr un función pr es decir, f x= fx en el intervlo [,] está dd por: fxdx h [ i= f x i + i= f x i+ ] con x i = +ih y h= b h fxdx [ f x +f x +f x +f x ] con x i = +ih y h= c fxdx h [ f x +f x +f x +f x ] con x i = +ih y h= d h fxdx [ f x +f x +f x +f x ] con x i = +ih y h= 9 Pr ls siguientes integrles propis, resuelv medinte los métodos del trpecio y de Simpson pr el número de nodos indicdos Además, use ls soluciones nlítics compruébels de cd integrl pr clculr los errores bsolutos y reltivos b senxe x dx con n=8 Solución nlític: x e x dx con n= Solución nlític: π x e t dt senxe x dx= [ ex senx ] x=π cosx x e x dx = xe x x= x= x= π + erf, donde l función de error de Guss erfx = c e x sen xdx con n= Solución nlític: e x sen xdx= [ cosx+ ] x=π senx x= d Repit los literles nteriores duplicndo el número de nodos Est medid mejor los resultdos de ls proximciones obtenids nteriormente? Determine los vlores de n y h pr proximr ls integrles de form que l exctitud se de cundo se proximn medinte L regl compuest de trpecio b L regl compuest de Simpson Recuerde que h= b n Determine vlores de A, B y C que hgn que l expresión x fxdx A f +Bf +C f fxdx de los literles, b y c del punto nterior; se exct pr todos los polinomios de grdo tn lto como se posible Cuál es el grdo máximo? Compruebe que l siguiente regl de integrción numéric es exct pr polinomios de grdo : fxdx [ ] 7 f + f + f + f + 7 f 9 dt b Clcule un vlor proximdo pr ln plicndo el método de l prte t+
Construy un regl de l form fxdx αf + β f+γ f que se exct pr todos los polinomios de grdo ; es decir, determine vlores pr α, β y γ Hllr ls constntes A, B y C tles que l fórmul de cudrtur x fxdx A f +Bf +C f se exct pr todo polinomio de l form px=+bx + cx Deduzc un fórmul de l form x fxdx f α+bf+cfα que se exct pr polinomios de tn lto grdo como se posible, determinndo vlores pr α,, b y c Dig el grdo de precisión de l fórmul 6 Encuentre l fórmul de cudrtur fxdx A f +A f que es exct pr funciones de l form fx=e x + bcos πx 7 Utilice l Regl de Simpson con subintervlos pr proximr l curt prte de l longitud de l elipse x 9 + y = Not: L longitud de un rco de l curv y= fx entre x= y x=b está dd por l fórmul d f L= + dx dx Si se trt de un curv dd en form prmétric por los puntosxt,yt con t entre y b, l longitud de curv se define si: [ x L= t + y t ] dt 8 Use los siguientes dtos y l integrción de Romberg pr proximr fxdx x fx 67 897 976 8 9 Construy un tbl de Romberg pr proximr l integrl de fx si x 6 8 fx 7 Se dese proximr el vlor erf de l función de error de Guss erf dd por erfx= x π e t dt Aproxímelo utilizndo regl trpezoidl compuest con subintervlos, regl de Simpson con subintervlos y cudrtur de Romberg con tres fils Complete l siguiente tbl de integrción de Romberg pr fxdx Además identifique el número de subintervlos usdos en cd fil Tmbién estime el vlor de f Oh Oh Oh 6 R, = 678 R, R, R, R, = 98 R, = 96
Completr l siguiente tbl de Integrción de Romberg pr xsenxe x dx Oh Oh Oh 6 Oh 8 Oh 79 R, R, R, = 9 R, = 7 7 R, = 7 699 R, = 6 8 R, = 88 R, = 7 69 R, R, R, = 7 97 R, = 6 7 R, = 6 6 R, R, = b Cuál es l proximción de c Cuál es l proximción de xsenxe x dx obtenid l empler l regl del trpecio con 8 subintervlos? xsenxe x dx obtenid l empler l regl de Boole con 6 subintervlos? Determine el grdo de precisión de l fórmul de cudrtur de Guss-Legendre: fxdx 9 f + 8 9 f+ 9 f Use l fórmul de cudrtur pr encontrr un vlor proximdo de ln b Use l fórmul de cudrtur pr evlur l integrl pr poder usr l fórmul x e x dx Relice los cmbios de vrible necesrios Clcule ls siguientes integrles impropis con l fórmul de cudrtur de Guss-Legendre con,,, y 6 nodos x dx, e x dx, sen y e y dy, +y +y dy Emplee l regl del trpecio con 9 subintervlos en totl pr evlur l distnci verticl recorrid por un cohete si l velocidd verticl está dd por t t t vt= t t t+ t t 6 El trbjo ejercido sobre un objeto es igul l fuerz por l distnci recorrid en l dirección de l fuerz L velocidd de un objeto en l dirección de l fuerz está dd por vt=t+ cos e t/ t donde v est en m s Emplee l regl del Simpson con subintervlos pr determinr el trbjo si se plic un fuerz constnte de N 7 Se dese clculr l integrl senx x dx Clcule l integrl nterior medinte el método de Romberg Cuál es el vlor de l integrl proximd pr el cul el error es O π 8 y un tolernci de e 9 Note que es necesrio hcer un cmbio de vrible, ddo que no se puede evlur l función en x= b Use el comndo qud pr evlur l integrl con l mism tolernci
8 Considere l siguientes funciones: fx=sen x cos e x pr x [,8], fx=sen cos e x pr x [,], fx= pr x [,], +x fx= ln x + pr x [,7], e x fx= cosx lne x pr x [,], + fx= lnx+ e x + x pr x [,7] fx= senx x+ pr x [,π] Emplee el método de integrción de Romberg pr hllr un proximción de fxdx por medio de l regl del trpecio con 8 subdivisiones del intervlo b por medio de l regl de Simpson con 6 subdivisiones del intervlo c por medio de l regl de Boole con 6 subdivisiones del intervlo d con un error O b 8 6 e con un error O b