Así, integrando la fórmula de interpolación de Lagrange, que viene dada por : x x i. donde W K = l K ( x)dx con k A.

Transcripción

1 . Introducción.. Integrción con ciss dds... Fóruls de integrción interpoltori.. Error de ls fóruls de integrción interpoltori..3. Fórul de Sipson.4. Error de l Fórul de Sipson.5. Fórul del Rectángulo o del punto edio..6. Fórul del Trpecio..7. Regl del Trpecio Corregid..8. Fórul de Newton-Cotes. 3. Regls Copuests de Integrción Nuéric. 3.. Regl de los Trpecios. 3.. Regl de Sipson Regl del Punto Medio Regl del Trpecio Copuest Regl del Trpecio Corregid. 4. Integrción Gussin. 4.. Ejeplo que otiv ls fóruls. 4.. Fóruls Gussins Error de ls Fóruls Gussins. 5. Método de Roerg. Biliogrfí Recoendd. /5

2 . INTRODUCCIÓN. Dd un función de for nlític, seos por tes nteriores clculr su integrl definid entre y siepre que conozcos un priitiv de ell. El prole surge cundo no seos un priitiv de ell. Es situción es uy norl en proles prácticos de Físic, Quíic y otrs ciencis. El prole de l integrción nuéric de un función consiste en clculr el vlor de un integrl definid sore l se de un serie de vlores del integrndo.. INTEGRACIÓN CON ABCISAS DADAS... Fóruls de Integrción Interpoltori. Sen x < x < < x un prtición en + ciss del segento [, ] y consideros el polinoio P (x) de grdo enor o igul que verificndo: P ( x K ) = f( x K ) con k A = {,,, } entonces, proxireos l integrl uscd por: f ( x) = P (x)dx Así, integrndo l fórul de interpolción de Lgrnge, que viene dd por : P (x) = f K l K (x), donde l K K = x x i = x x i K K i oteneos l fórul de integrción nuéric f (x)dx W K f K donde W K = l K ( x)dx con k A. K = Deido que est fórul se hll por integrción de un polinoio interpoldor, recie el nore de fórul de integrción interpoltori de + ciss. Los eleentos W K los llreos pesos, y hy que tener en cuent que no dependen de f, unque si del intervlo [, ] y de ls ciss x,, x. Pr culquier polinoio de grdo enor o igul que, l fórul es exct por l unicidd del polinoio interpoldor. Esto nos perite clculr los pesos W K sin tener /5

3 que integrr l ( x), es decir, pr los onoios, x, K resolviendo el siste resultnte. x,, x l fórul es exct.. Error de ls Fóruls de Integrción Interpoltori. El error de l proxición viene ddo por l integrl del error de interpolción, utilizndo coo error de interpolción l expresión: f(x) - p ( x) = f ( +) ( ( x)) ( + )! ( x x )( x x ) ( x x ) Por lo tnto si f C + ( [, ] ), se tiene que el error de l fórul de integrción interpoltori de + ciss es: f ( +) ( ( x)) E = f (x)dx = W K f K = ( + )! ( x x )( x x ) ( x x ) dx K = con (x) (, ) Si toos l constnte k R, coo l cot superior de l derivd (+)-ési de f, f ( +) (x) k k [, ], teneos que: E k ( + )! ( x x )( x x ) ( x x ) dx.3. Fórul de Sipson. Si toos polinoios de grdo enor o igul que, usos g k = g(k) (k = -,, ) y l fórul de integrción interpoltori de + ciss, podeos clculr los pesos de integrción W, W y W pr que l fórul: se exct. g (t)dt W g +W g +W g Interponiendo l exctitud de l fórul pr g(t) =, t, t oteneos que 3/5

4 W + W + W = W = 3 4 W + W = W = 3 W + W = 3 W = 3 Por lo tnto teneos que l fórul uscd l podeos expresr coo: g (t)dt 3 ( g + 4g + g ). Aunque est fórul podeos expresrl pr culquier intervlo [, ] solente con el cio: t = x - o lo que es lo iso x = t + + resultndo sí un fórul nuev de integrción nuéric pr un función f(x) sore un intervlo [, ] que reciirá el nore de fórul de Sipson: f (x)dx 6 + [ f() + 4 f ( ) + f()] unque hciendo el juste c = + y h = teneos que: f (x)dx h 3 [ f(c-h) + 4 f(c)+ f(c + h)]. que tién es válid y recie el iso nore. Not: Ests fóruls resultn tién excts sore polinoios de grdo enor o igul que Error de l Fórul de Sipson. Pr poder clculr el error que coeteos en l integrción nuéric edinte l fórul de Sipson vos definir: c + h E s (h) = f ( x)dx - c h h 3 [ f(c-h) + 4 f(c)+ f(c + h)]. donde se verific que E () = E '() = E ( ) () = y s s s 4/5

5 h ( 3) ( 3) (3) ( ) [ f (c+h) - f (c-h)]. E h = - 3 Si l función f(x) verific que f C 4 ( [c - h, c + h] ) definios un función F(x) que viene dd por: f ( 3) (c + h) f ( 3) (c h) si h F(x) = h ( 4) f (c) si h = y donde se verific que F(h) es continu, y que li F (x) = F() y deás por el h teore del vlor edio [, h], F ( ) = f ( 4) (ρ ) pr lgún ρ (c h, c + h). Si utilizos l fórul del error de interpolción de Tylor: R n ( x) = oteneos que: x n ( n+) (x s) f (s)ds n! E s (h) = h (3) (h t) E s (t)dt = h 3 (h t) t F (t)dt pero coo H(t) = (h t) t es un función estrictente positiv y continu en (, h), el teore del vlor edio pr integrles nos segur que: E s (h) = - 3 h F( ) (h t) t dt = f ( 4) (ρ) 9 h 5 conρ (c h,c + h).5. Fórul del Rectángulo o del punto edio. Hciendo el iso proceso que heos hecho pr l fórul de Sipson y con h =, oteneos l fórul del rectángulo, que se s en l interpolción en l cis edi únicente, y que viene dd por: f ( ) ( ) f (x)dx = h f( ) + h 3 con (,) 4.6. Fórul del Trpecio. Igulente que ntes con =, pero interpolndo en ls ciss extres oteneos l fórul del trpecio: 5/5

6 h f ( ) ( ) f (x)dx = [ f() f() ] - h 3 con (,).7. Regl del Trpecio Corregid. Si toos l fórul de integrción interpoltori de 4 ciss con x = x 3 =, entonces: x = x = y f (x)dx f IV 4! ( ) (x ) f IV ( )( ) 5 (x ) dx = 7 Coo + = 4 entonces teneos un polinoio P IV (x) =. Por lo tnto, usndo l regl de Sipson: cúico, P 3 ( x), es decir, f (x)dx 6 + [ P 3 () + 4 P 3 ( ) + P 3 ()], pero coo P 3 (x) está interpoldo f(x) en x =, x =, x = y x 3 = entonces P 3 () = f(), entonces: f (x)dx siendo su error: P 3 () = f() y P 3 ( + ) = E = f IV ( )( ) Fóruls de Newton-Cotes [ f() + f() ] + ( ) ( ) [ f() + f() ] + ( ) 8 [ f () f () ] [ f () f () ] Si toos hor + ciss equidistntes sore el intervlo [, ], es decir: x k = + kh con k A, h = oteneos l fórul de Newton-Cotes de + ciss t i i dt con k A y donde f (x)dx h α k f k, con α k = k k = i k f k = f ( + kh) Los coeficientes α k solo dependen del grdo, es decir, ni del intervlo [, ] ni de l función f(x). El error de l fórul de Newton-Cotes de + ciss está ddo por 6/5

7 y donde: f ( p+) ( ) E = f (x)dx - h α k f k = p+ ( p +)! h con (,) k = Π (t)dt K = tπ (t)dt p = si es ipr p = + si es pr siendo Π (t) = t (t )... (t ) 3. REGLAS COMPUESTAS. Ls foruls de integrción nuéric nteriorente expuests no se plicn norlente l intervlo I = [, ] sore el cul queros clculr l integrl, sino que se plicn sore suintervlos de I, oteniendo sí ls regls copuests de integrción nuéric. 3.. Regl de los Trpecios. Si prtios el intervlo I = [, ] en M prtes igules, y sore cd un de ells, plicos l fórul del trpecio, otendreos l regl copuest que llreos Regl de los Trpecios T(h) = h [ f() + f( + h) + f( + h) + + f( h) + f(), que se for coo su de l integrción nuéric sore cd uno de los M intervlos en los que heos descopuesto el intervlo I = [, ], siendo cd un de ess M prtes de longitud h = : M y puesto que: M x K + f (x)dx = f (x)dx f (x)dx con x k =+kh con k A {,,M} K = x K h f (x)dx = [ f( x k ) f( x k + ) ] - x K + x K f ( ) ( ) k h 3 donde k ( x k, x k + ), entonces teneos que: M f (x)dx - T(h) = f ( ) ( k )h 3 = - ( ) M k = M k = f ( ) ( )h, k 7/5

8 donde si teneos que f C ( [, ] ), utilizndo el teore del vlor edio pr sus, existe (,) tl que: f (x)dx- T(h) = - f ( ) ( k )h, que es l fórul del error de l regl de los trpecios. 3.. Regl de Sipson. Si hor lo que hceos es dividir el intervlo I = [, ] en M prtes y plicndo l fórul de Sipson en cd uno de ellos, que de longitud, y suándolos M oteneos l Regl de Sipson. S(h) = h [f()+ 4f( + h)+f( + h)+ 4f( + 3h)+ +f( h)+ 4f( h)+ f()] 3 y deás teneos que si f C 4 ( [, ] ) oteneos l siguiente expresión pr el error de l regl Sipson: f (x)dx - S(h) = - 8 f ( 4) ( )h4 con (,) 3.3. Regl del punto edio. Siguiendo un proceso nálogo los vistos hst hor, se oiene: N f (x)dx h f ( + (i )h) i = donde el error otenido viene ddo por: E = f '' ( )h ( ) Regl del Trpecio Copuest. Utilizndo l regl siple del trpecio y dividiendo el intervlo I = [, ] en N prtes igules oteneos l siguiente expresión: N h f (x)dx h f ( + ih) + ( f () + f ()) i = 8/5

9 siendo h = N L expresión del error pr l regl del trpecio copuest viene dd por: E = - f '' ( )h ( ) 3.5. Regl del trpecio corregid. Utilizndo l regl del trpecio corregid siple y dividiendo el intervlo I = [, ], en N prtes de ner que definos h = se tiene que l expresión de l N regl del trpecio corregid viene dd por: N h h f (x)dx i = h f ( + ih) + f () + f () + [ f '() f '()] siendo el error que se coete en l proxición el siguiente: E = f IV ( )h 4 ( ) 7 Deeos drnos cuent que tods ls derivds interiores f( x i ) se nuln entre si un con otr l sur ls fóruls de todos los intervlos (coo si fuese un su prcil de un serie telescópic). Por lo tnto l regl del trpecio corregid nteriorente expuest, es un regl copuest del trpecio corregid, que l igul que l siple, olig, pr poder utilizrl, que conozcos l derivd de f(x) o l clculeos. 4. INTEGRACIÓN GAUSSIANA. Ls fóruls de integrción interpoltori de + ciss nteriorente expuests son excts pr los polinoios de grdo enor o igul que, independiente de l elección que hgos de ciss dentro del intervlo de integrción. Veos que un uen elección de ests + ciss nos proporcionrá fóruls de integrción nuéric de + ciss, exct pr polinoios de grdo enor o igul que +, y ests fóruls reciirán el nore de fóruls Gussins. 4.. Ejeplo que otiv ls fóruls. Si plicos de for conveniente l regl de los trpecios sore polinoios trigonoétricos nos d el siguiente ejeplo, es decir: 9/5

10 n n n Se t n (8) = + j Cos j 8 + j Sen j8 = c j e j= j= j = n ij8 un polinoio de grdo enor o igul que n, y clculos ν J (t n ) = t n (8)d8 = ν =ν c edinte l regl de los trpecios con pso h = ν Por culp de l periodicidd de culquier R se verific que: con M>n. M t n (8), t n (8 + ν) = t n (8) 8 R por lo tnto pr J (t n ) = ν + ν t n (χπ)dχπ = t n ( + 8)d8 = ν pero plicndo l regl de los trpecios est últi integrl teneos el siguiente resultdo excto: T( ν ) = M ν M M t n k = ( + νk ) = ν M M n j c j = n eij M e k = i νkj M = ν c = J (t n ) donde teneos que : M e i νkj M ( j = ) M = k = ( < j n M n siendo que c j e ij ( < j n M ) j = n Si toos hor un polinoio trigonoétrico en cosenos de grdo enor o igul que n t (8) = n n + j Cos j 8 j= Si teneos en cuent l periodicidd t n (8 + ν) = t n (8) y l sietrí respecto 8 = ν, es decir, t n (8) = t n (ν 8), por lo tnto, si M>n ν ν ν ν M ν νk M M t n ( + ) k = M J (t n ) = t n (8)d8 = t n (8)d8 = = T( ) = Si toos M = ( + ) > n y = ν M pr que el conjunto de ciss se siétrico respecto ν. Entonces + νk k + ν con k {,, +} y los = M + /5

11 (k + )ν vlores t n ( ) precen dos veces: si l = + k, con k {,, } teneos ( + ) que l { +,, +}, y t n ( (k + )ν ) = ( + ) t n (ν - (k + )ν ) = ( + ) t n ( (l +)ν ) ( + ) Por lo tnto oteneos sí l siguiente fórul de integrción nuéric de + ciss: ν ν F (8)d8 + F ( k = (k + )ν ) ( + ) que es exct pr los polinoios trigonoétricos en cosenos de grdos enor o igul que +. Si hceos hor el cio t = Cos 8, que es usul en l proxición edinte polinoios de Cheichev, result que f(t) = F(rccos t) será un polinoio de grdo enor o igul que n si F es un polinoio trigonoétrico en cosenos de grdo enor o igul que n y sí otendreos l siguiente fórul de integrción nuéric de + ciss: f (t) dt ν f ( Cos (k + )ν ) t + k = ( + ) que es exct pr los polinoios de grdo enor o igul que +, y l llreos Fórul de Guss-Cheichev. Podeos escriir tién ls fóruls nteriores coo: ν ν F (8)d8 + F (8 k ) k = f (t) ν dt f (t t k ) + k = donde 8 k con k {,, } son ls ríces de + + (8) = Cos(( +)8) y t k con k {,, } ls ríces de l función T + (t)= Cos(( +) rccos t) = + + ( rccos t). Deeos ser que + + ( 8) y T + (t ) forn prte de ls filis + j (8) y T j (t) que son ortogonles respecto de los productos esclres: F,G ν = F (8)G(8)d8, f, g f (t )g (t) = dt t /5

12 De l exctitud de l fórul de Guss-Cheichev resultrá que + j ( 8) =Cos j8 y T j (t) = + j (rccos t) son ortogonles respeto los productos esclres: F,G f, g = K = = K = F(8)G(8) f (t k ) g(t k ) 4.. Fóruls Gussins. L elección de ls ciss x k, con k {,, }, coo ríces de un polinoio + + (x), de un fórul de polinoios ortogonles llevrá siepre fóruls de cudrtur exct pr los polinoios de grdo enor o igul que +. Se w:[, ] R un función peso positiv y continu sore el intervlo [, ] y se (x) = A + x + el polinoio ortogonl de grdo + socido l producto esclr: f, g = w( x) f ( x) g( x)dx + + (x) tiene + ríces siples intervlo (, ). x k con k {,, } que se encuentrn en el Si + + (x) sólo cise de signo en i ciss x,, x i de [, ] con i entonces el polinoio: q i ( x) + + (x) (x- α ),, (x- α i ) + + (x) de grdo + i +, no cirí de signo sore (, ) y por lo tnto: cos(x)q i (x) + + (x)dx = q i, + + l integrl serí no nul, en contrdicción con el hecho de que culquier polinoio de grdo enor o igul que. + + (x) es ortogonl Consideros hor l fórul de integrción nuéric de + ciss evlud sore ls ríces de + + (x): w(x) f (x)dx W k (x k ) K = /5

13 Por l exctitud de ls fóruls de grdo enor o igul que, oteneos que los pesos W k provienen de: W k = l k (x)w( x)dx, l k ( x) = x x i con k {,, } x k i k x i Coproreos hor que est elección hce exct l fórul tién pr los polinoios de grdo enor o igul que +. A ests fóruls otenids ls llreos fóruls Gussins de + ciss. Se P + (x) un polinoio de grdo enor o igul que + y sen q (x) y r (x) los polinoios de grdo enor o igul que que son el cociente y el resto otenidos l dividir P + (x) por el polinoio P + (x) por el polinoio + + (x) de grdo +. P + = q (x)+ + + (x)+ r (x) Por lo tnto el polinoio decir: q (x) será ortogonl + + (x), es decir, q, + + =, es w(x)p + ( x)dx = w(x) + q (x) (x) + w(x)r ( x)dx = = w(x)r ( x)dx = W k r ( x k ) K = puesto que l fórul gussin es exct pr el polinoio r (x). Coo + + ( x k ) = con k {,, } oteneos l exctitud de l fórul gussin pr P + (x): W k P + (x k ) = W k q ( x k ) + + ( x k ) + W k r ( x k )= W ( x)p + (x)dx k = K = K = 4.3. Error de ls fóruls Gussins. Pr ls funciones f C + ( [, ] ) podeos dr un expresión pr el error de ls fóruls gussins. Pr ello tengos en cuent el polinoio interpoldor de Herite P + (x) f en ls ciss x k con k {,, }, por un ldo l fórul gussin es exct pr este polinoio y por otr prte: f(x) - P + (x) = f ( + ) ( (x)) w (x) ( + )! 3/5

14 donde con {x, x,..., x, x} [, ] y w (x)= ( x x ) ( x x ) = + + ( x) A + Multiplicndo por w(x) e integrndo sore el intervlo [, ], oteneos l fórul del error de l fórul gussin de + ciss: f ( + ) ( ) W ( x) f ( x)dx - W k f (x k ) = K = ( + )! A W(x) + + ( x)dx + donde (,) y A + es el coeficiente del térino de yor grdo de + + (x). 5. MÉTODO DE ROMBERG. El étodo de Roerg se s en el error de l fórul trpezoidl copuest. En est, N h f "(n) I(t) f i + [ f + f n ] y E(t) = h ( ) i= Desde luego h = N. Por tnto si llos T(N) = [ f i + f + f n ] l N N i= proxición con (N +) puntos, dndo N los vlores j (j =,,, ) podeos i 4 T i,i j T definir T ij = i, j recurrenteente. 4 i Se deuestr que culquier que se l función f continu en [, ]: i, T ij T ij tiende f (x)dx cundo j j, tiende f (x)dx cundo i Por otro ldo el error de l proxición T ij es: E (t ) = - ( - ) i+3 B i+ f ( i+ ) ( ) con [, ] T ij (i +)(i + j ) (i + )! siendo B i+ el polinoio de Bernstein de f de orden i +. Est expresión indic que l convergenci de ás rápid que l de culquier serie geoétric. T ij hci f (x)dx cundo i es 4/5

15 L sucesión T,T,T,,T i proporcion sucesivs fóruls de integrción Roerg. Tienen l for: i T i (f) = w j f ( x j ) j= donde x j = +jh y h = y los pesos i el intervlo [ ch, ch] con c = k 3 K = 4 w j, clculles por recurrenci están todos en Ejeplo.- 3 dx Pr clculr proxidente el étodo de Roerg no dri: ( + x ) T =,5 T =,83 T =,63 T 3 =,86 T 8 =,8965 T 9 =,8965 Biliogrfí Recoendd Eleentos de Análisis Nuérico. Meter Henrici. Edit: Trills. Mexico. 977 Análisis Mteático I. Aut. J.A. Fernández Viñ. Ed. Tecnos Curso de Análisis Mteático I. Aut. E.L. Lun. Ed. Eduns, 99. Clculus. Aut. M. Spivk. Ed. Reverté. Análisis Mteático. Aut. M. de Guzán, B. Ruio. Ed. Piráide. Análisis Mteático ª Edición. Aut. T. M. Apostol. Ed. Reverté 5/5