ANALISIS MATEMATICO I (0) TRABAJO PRÁCTICO Funciones cuadráticas Ejercicio. Hacer una representación gráfica aproimada de las siguientes funciones cuadráticas:. f() =. f() = + 4 3. f() = +, Ejercicio. Hallar las ecuaciones de las parábolas que verifican:. pasa por los puntos (0,3), (,4) (-,3).. su vértice está en el punto (, ) corta al eje en 3. 3. pasa por el origen, en = alcanza su valor mínimo. Ejercicio 3. Graficar señalar raíces, vértice eje de simetría de las parábolas. = + 5 + 6. = + 3. = 4 3 4. = / 3 + 7/ 5. = 3 + Ejercicio 4. Analizar el efecto del cambio de los coeficientes en el gráfico de la función f() = a + b + c, a 0. a cambia mientras b c permanecen fijas. b cambia (a c fijas ) 3. c cambia (a b fijas ) Ejercicio 5. Determinar el valor de k para el cual. = + 7 + k tiene una sola intersección con el eje. = k + k 3k + pasa por el origen
Ejercicio 6. Determinar para qué valores de se satisface cada una de las siguientes desigualdades representar gráficamente el conjunto de soluciones. ( )( + 4) > 0. + > 0 3. 5 + 3 > 0 4. + < 0 5. 3( )( + ) < 0 6. 7. + < 0 + + 3 > 0 Ejercicio 7. Problemas. Se sabe que cierto gallinero rectangular tiene un perímetro de 30 m. Epresar la superficie del gallinero en función de su ancho. Si se sabe que el ancho es de 6 m averiguar la superficie del gallinero. Cuál es el ancho si se sabe que la superficie es de 44 m? Puede ser el ancho de 8 m?. Una flecha que se lanza con un ángulo de 45 grados hacia el horizonte, viaja trazando un arco parabólico dado por la ecuación = a ++c. Utilizar el hecho de que la flecha se lanza a una altura vertical de,5 m que recorre una distancia horizontal de 60 m, para hallar a c. Cuál es la máima altura alcanzada por la flecha? En qué intervalo sube la flecha? En qué intervalo baja? 3. (a) Encontrar las coordenadas de un punto cua distancia al (0, 0) es cua distancia al (4, 4) es. (b) Si λ > mostrar que ha eactamente dos puntos cua distancia al (0, 0) es λ cua distancia al (4, 4) es λ. Interpretar geométricamente. 4. Se corta un alambre de.4 metros de longitud en cuatro partes para formar un rectángulo. (a) Puede encontrar una epresión para el área A del rectángulo? En caso afirmativo representar la función. (b) Utilizar la gráfica para estimar el área máima del rectángulo. Cuáles son las dimensiones del rectángulo en ese caso?
Funciones Potenciales Ejercicio 8. Dados los siguientes gráficos de funciones potenciales de la forma f() = a n, con a IR, a 0, n IN,, 60 60 50 40 40 30 0 0 8 6 4 0 4 6 8 0 0 8 6 4 0 4 6 8 40 60 Determinar en cada caso si a > 0 ó a < 0, si n es par o impar. Graficar ejemplos correspondientes a los casos que no aparecen arriba. Ejercicio 9. Problemas:. Epresar el área de la superficie volumen de un cubo como una función de la diagonal. Qué tipo de función resulta? Qué sucede con el área el volumen del cubo si la diagonal crece indefinidamente?. En un estanque en calma, se deja caer una piedra produciendo ondas en forma de círculos concéntricos. El radio de la onda eterna viene dado r(t) = t, donde t es el tiempo en segundos transcurridos desde que la piedra toca el agua. Epresar el área A(t) del círculo en función del tiempo. Funciones Polinómicas Ejercicio 0. El polinomio de cuarto grado P() = 8 4 8 + aparece en los estudios de estadística. Analizar donde P() > 0. Ejercicio. Estudiar cómo se modifica el gráfico de f() = a( + b) 3 + c cuando a cambia mientras b c permanecen fijas. b cambia (a c fijas a 0 ). c cambia (a b fijas a 0 ). Ejercicio. Problemas:. Con un cuadrado de cartón de metro de lado se desea construir una caja de base cuadrada (sin tapa) cortando cuadrados de las esquinas doblando los lados hacia arriba. Epresar el volumen de la caja en función de la altura. 3
. Un meteorólogo halló que la temperatura T ( en o F) en un cierto día frío de invierno estaba dado por T(t) = 0.05t(t )(t 4) en donde t es un momento del día t = 0 corresponde a las 6 horas. A qué hora la temperatura es maor que 0 o F?, a qué hora la temperatura está por debajo de 0 o F? Trazar una gráfica de la temperatura T para 0 < t < 4. 3. Analizar si es cierto que entre todas las esferas cuos radios pertenecen al intervalo [0, 5] ha una con 75cm 3 de volumen (recordemos que el volumen de una esfera de radio r es 4 3 π r3 ). Funciones Racionales Ejercicio 3. Hacer un gráfico aproimado de las siguientes funciones racionales:. f() = 3 + 4. f() = + 4 4 3. f() = 4 3 + 9 Ejercicio 4. Dada f() = a n, con n IN, que puede decir de su gráfico para los distintos valores de a de n. Ejercicio 5. Problemas:. Debido a que un supervisor debe emplear parte de su tiempo inspeccionando a cada subordinado, una organización pondrá generalmente un límite máimo s, llamado período de control, sobre el número de subordinados que un supervisor pueda tener. Puesto que la supervisión disminue el trabajo productivo, el número actual N de empleados que se requiere para realizar un trabajo, necesitando esfuerzo de tiempo de M empleados, es maor que M. En un modelo matemático, esta relación se aproima por medio de la función N(s) = M(s + ). s (a) Trace la gráfica de la función N con M = 000. (b) Si el período de control en la parte a) es s = 5, cuántos empleados se requieren?. (c) En la parte b), cuántos empleados se requieren si el período de control se reduce de 5 a 4?. (d) Qué puede decir sobre el crecimiento (o decrecimiento) de N(s)? Qué ocurre con la función N(s) cuando s toma valores mu grandes? 4
. En un recipiente que contiene kg de agua, se deja gotear alcohol a razón de 5g por segundo. Epresar el porcentaje de alcohol en función del tiempo de goteo. Cuál será el porcentaje de alcohol al cabo de minuto de goteo? Cuánto tiempo habrá que esperar para que haa un 0% de alcohol en la mezcla? 3. Un triángulo rectángulo tiene un área de 30cm su hipotenusa es cm. más larga que uno de los otros lados. Encontrar una epresión para el área en función de la longitud de ese lado. Cómo se puede averiguar en forma aproimada la longitud del mismo, utilizando una gráfica conveniente? Valor absoluto Ejercicio 6. Un vehículo parte de un lugar con una velocidad constante de 45 km/h. Media hora más tarde parte otro vehículo en su búsqueda, desde el mismo lugar a una velocidad de 60 km/h. Epresar la distancia que los separa en función del tiempo que ha estado viajando el segundo vehículo. Ejercicio 7. A partir del gráfico de una función f(), graficar f(). Ejercicio 8. Teniendo en cuenta la definición de valor absoluto, graficar las siguientes funciones:. f() =. f() = 3 + 3. f() = + 4. g() = Ejercicio 9. Resolver representar gráficamente el conjunto de soluciones.. = 4, + =. 5 = 8 3. 4 = 4 + 4. + = 5. > 3, 6. + 3 > 6 7. + 3 4 8. + > + 5
Otras curvas Algunas curvas que aparecen frecuentemente en distintos tipos de problemas no son el gráfico de una función, pero son representadas por distintas ecuaciones. Analizaremos las llamadas cónicas que, junto con la parábola se obtiene al seccionar un cono cirular doble con un plano es distintas posiciones. Circunferencia Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto llamado centro de la circunferencia. Es decir, si consideramos un punto C(α,β) una distancia (positiva) r que llamamos radio, la circunferencia de centro C radio r es el conjunto La ecuación que la representa es {P = (,) / d(p,c) = r} ( α) + ( β) = r es claro que para determinar una circunferencia basta conocer su centro su radio. Las posiciones relativas de una circunferencia una recta pueden ser eterior: no eisten puntos de intersección tangente: eiste un solo punto de intersección secante: eisten dos puntos de intersección.5 0.5.5 0.5 0.5.5 0 0.5.5 Elipse Una elipse puede verse como una circunferencia deformada, pero puede caracterizarse considerando dos puntos fijos llamados focos, diciendo que es el conjunto de puntos del plano P(,) tales que la suma de las distancias de P a los focos es constante. 6
Llamando a a esta constante c a la distancia entre los focos, la ecuación llamada canónica de la elipse centrada en el punto C(α,β) está dada por ( α) ( β) + = a b donde a = b + c el centro C es el punto medio del segmento determinado por los focos. Los focos se encuentran en el semieje maor (llamado eje focal) de longitud a que es perpendicular al semieje menor de longitud b., 4 3 4 6 8 0 3 Hipérbola Si bien los gráficos de todas las funciones homográficas son curvas llamadas hipérbolas cuas asíntotas son verticales horizontales, éstas no son las únicas. Toda ecuación de la forma a b = o a b = es una hipérbola centrada en el origen que corta al eje en los puntos (a, 0) ( a, 0) en el primer caso al eje en los puntos (0,b) (0, b). En este caso, las ecuaciones de las asíntotas son = b a = b a De manera análoga toda ecuación de la forma ( α) ( β) = o a b ( β) ( α) = a b representa una hipérbola centrada en el punto C(α,β) En este caso, las ecuaciones de las asíntotas son β = b a b ( α) β = ( α) a 7
,, 3 4 3 4 0 4 4 6 8 0 3 3 Ejercicio 0. Dar la ecuación de la circunferencia que verifica las siguientes condiciones graficar.. Centro C(, ) radio. Centro C(, 3) tangente al eje 3. Pasa por los puntos ( 3, ), (, 3) (5, 5) Ejercicio. Graficar las siguientes circunferencias. 4 + 8 = 0. 4 + ( + ) = Ejercicio. Dada la circunferencia de ecuación + = 4, indicar para que valores de k la recta de ecuación + = k es. eterior. secante 3. tangente Ejercicio 3. Graficar las siguientes elipses. + 9 =. + 6 = 3. 3( ) + 5( + 3) = 5 Ejercicio 4. Encontrar b para que la elipse de ecuación 4 + b recta =. = sea tangente a la Ejercicio 5. Graficar las siguientes hipérbolas 8
. ( + ) 9 4 =. + 4 = 4 Ejercicio 6. Determina los puntos de intersección de la hipérbola = con cada una de las siguientes curvas (verificar los resultados gráficamente):. + = 0. + 4 = 5 3. + = 0 4. 4 = 9