3.4 El Teorema de Taylor. Extremos relativos

3.4. EL TEOREMA DE TAYLOR. EXTREMOS RELATIVOS 103 3.4 El Teorema de Taylor. Extremos relativos La derivación está directamente relacionada con la posibilidad de aproximar localmente funciones suficientemente regulares mediante funciones más sencillas. Sea f : A R una función real de variable real. B el conjunto de puntos de A A 0 en los que f es derivable y x 0 B B 0, decimos que f es dos veces derivable en el punto x 0 si la función f 0 es derivable en dicho punto. En este caso, la derivada de f 0 en x 0 recibe el nombre de derivada segunda de f en el punto x 0 y se denota por f 00 (x 0 ). La función que a cada punto de B B 0 en el que f sea dos veces derivable le hace corresponder la derivada segunda de f en tal punto se denomina función derivada segunda de f y se denota por f 00. Reiterando esta definición por recurrencia se introducen las derivadas de orden superior, obteniendo la derivada n-ésima de f en el punto x 0, que dentamos por f (n) (x 0 ). Cualquiera que sea α R, puede comprobarse fácilmente por inducción que f + g, αf y fg son n veces derivables en todo punto de A con (f + g) (n) (x) =f (n) (x)+g (n) (x), (αf) (n) (x) =αf (n) (x), nx µ n (fg) (n) (x) = f (n k) (x)g (k) (x), k k=0 para todo x A. La anterior expresión para la derivada n-ésima de un producto se conoce como Fórmula de Leibnitz. Siademásg(x) 6= 0, para todo x A, la función f g también es n veces derivable en todo punto de A ysuderivadan-ésima es de la forma ϕ gn,dondeϕes una función que puede expresarse mediante sumas, diferencias y productos de las funciones f,f 0,...,f (n) y g, g 0,..., g (n).además,la composición de funciones n veces derivables es una función n veces derivable. Sea I esunintervalonoreducidoaunpunto,f : I R una función y n un natural. Diremos que f es de clase C n en I si f es n veces derivable en todo punto de I y la función derivada n-ésima de f, f (n) : I R, es continua en I. Denotaremos por C n (I) el conjunto de las funciones de clase C n en I. Que f sea de clase C 0 en I significará simplemente que f es continua en I. C 0 (I) denotará el conjunto de las funciones continuas en I. Finalmente, diremos que f es de clase C en I si f es de clase C n en I, para todo n N. Elconjunto de las funciones de clase C en I se denota por C (I). Es claro que C (I) C n+1 (I) C n (I) C 0 (I), para todo n N. Además, puede comprobarse que todas las inclusiones son estrictas. Por otra parte, las sumas, productos, cocientes y composiciones de funciones de clase C n (donde n puede ser un natural o ) son también funciones de clase C n. En particular, toda función racional (luego también toda función polinómica) en I pertenece a C (I). Proposición 3.19 Sea I un intervalo no reducido a un punto, n un natural mayor o igual que y f,g : I R funciones n 1 vecesderivableseni y n

104 TEMA 3. DERIVABILIDAD f(x) g(x) (x x 0) n vecesderivablesenunpuntox 0 I. Entonces lim x x0 si, f(x 0 )=g(x 0 ), f 0 (x 0 )=g 0 (x 0 ),..., f (n) (x 0 )=g (n) (x 0 ). =0si, y sólo Si f : I R es una función derivable en un punto x 0 I, sabemos que existe f(x) g(x) una única función afín g : R R tal que lim x x0 x x 0 =0. Concretamente g viene dada por g(x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ), para todo x R. Si f verifica las hipótesis de la proposición anterior, es decir, si f es n 1 veces derivable en I y n veces derivable en el punto x 0 (con n ), no cabe esperar que la función f(x) g(x) afín g verifique la condición lim x x0 (x x 0) =0. De hecho, no la verifica si n una de las derivadas f 00 (x 0 ),...,f (n) (x 0 ) es distinta de cero, lo que puede ocurrir perfectamente. Sin embargo, es natural preguntarse si existe alguna función f(x) P (x) polinómica P : R R tal que lim x x0 (x x 0) =0, o equivalentemente, tal n que f(x 0 )=P(x 0 ), f 0 (x 0 )=P 0 (x 0 ),..., f (n) (x 0 )=P (n) (x 0 ). La respuesta es afirmativa ya que la función P : R R dada por P (x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ f 00 (x 0 )! (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n, x R, n! verifica claramente las condiciones pedidas. Además, P es de hecho la única función polinómica de grado menor o igual que n que cumple tales condiciones (pues las funciones polinómicas de grado menor o igual que n quedan determinadas por su valor en un punto arbitrario x 0 y el valor de las derivadas sucesivas hasta la n-ésima en tal punto). Así pues: Definición 3.0 Sea n un natural y f : A R una función real de variable real n veces derivable en un punto x 0 A. La función polinómica P n : R R definida por P n (x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ f 00 (x 0 )! (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n, n! para todo x R, recibe el nombre de polinomio de Taylor de orden n de f en el punto x 0. Además, la función R n : A R dada por R n (x) =f(x) P n (x), para todo x A, se denomina resto de Taylor de orden n de f en el punto x 0. Ejemplo 3.1 Obtenemos y representamos gráficamente los polinomios de Taylor de la función f(x) =cosx, centrados en el punto x 0 =0ydeorden1,,..., 10,

3.4. El Teorema de Taylor. Extremos relativos 105 junto con la función cos x. Los polinomios de Taylor son Gráficamente: P 1 (x) =1 P (x) =1 x P 3 (x) =1 x P 4 (x) =1 x + x4 4 P 5 (x) =1 x + x4 4 P 6 (x) =1 x + x4 4 x6 70 P 7 (x) =1 x + x4 4 x6 70 P 8 (x) =1 x + x4 4 x6 70 + x8 4030 P 9 (x) =1 x + x4 4 x6 70 + x8 4030 P 10 (x) =1 x + x4 4 x6 70 + x8 4030 x10 368800 A medida que aumenta el grado del polinomio de Taylor mejor es la aproximación obtenida, de hecho, bajo ciertas condiciones, el polinomio de Taylor de orden n nos proporciona una aproximación de f en un entorno del punto x 0 que estantomásperfectacuantomayorseaelnaturaln. Concretamente, tenemos lo siguiente: Corolario 3. Sea I un intervalo no reducido a un punto, n un natural mayor o igual que y f : I R una función n 1 vecesderivableseni y n veces derivables en un punto x 0 I. Sea además P n el polinomio de Taylor de orden f(x) P n de f en el punto x 0. Entonces lim n(x) x x0 (x x 0 ) =0. n Como consecuencia inmediata de este resultado puede probarse el siguiente criterio de utilidad para el estudio de extremos relativos. Corolario 3.3 (Criterio de clasificación de extremos relativos). Sea I unintervalonoreducidoaunpunto,n un natural mayor o igual que y f : I R una función n 1 veces derivable en I y n veces derivable en un punto x 0 I. Supongamos que I es un entorno de x 0 yque f 0 (x 0 )=f 00 (x 0 )= = f (n 1) (x 0 )=0, f (n) (x 0 ) 6= 0.

106 TEMA 3. DERIVABILIDAD Entonces: i) Si n es par y f (n) (x 0 ) < 0, la función f alcanzaunmáximorelativoestricto en el punto x 0. ii) Si n es par y f (n) (x 0 ) > 0, la función f alcanza un mínimo relativo estricto en el punto x 0. iii) Si n es impar, la función f no alcanza un extremo relativo en el punto x 0. El criterio anterior, para el caso n =, se conoce como Criterio de la a derivada. Ejercicio 3.4 Comprueba que la función f(x) =x 4 4x 3 +6x 4x +1 presenta en x =1un mínimo relativo. El resultado principal del presente apartado, que enunciamos a continuación, nos proporciona, bajo condiciones un poco más exigentes que las del Corolario 3., una expresión del resto de Taylor de orden n de f en el punto x 0, lo que nos permitirá a menudo controlar el error que se comete al sustituir la función f por su polinomio de Taylor. Teorema 3.5 (Fórmula de Taylor). Sea I un intervalo no reducido a un punto, n un natural y f : I R una función de clase C n en I y n +1 veces derivable en todo punto de I que no sea un extremo de I. Entonces, dados dos puntos x 0 y x de I con x 0 6= x, existe un punto c en el intervalo abierto de extremos x 0 y x tal que f(x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ f 00 (x 0 )! + f (n+1) (c) (n +1)! (x x 0) n+1. (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + n! Es decir, R n (x) = f (n+1) (c) (n+1)! (x x 0 ) n+1, donde R n es el resto de Taylor de orden n de f en el punto x 0. El resultado anterior también se verifica para n =0, de hecho, la afirmación que resulta para este valor de n no es otra que el Teorema del valor medio aplicado a la restricción de f al intervalo cerrado de extremos x 0 y x. Vemos así que el Teorema de Taylor es una extensión del Teorema del valor medio. Ejemplo 3.6 Encuentra un valor aproximado del número real e. Para ello, consideramos la función f : R R definida por f(x) =e x,paratodox R. Es inmediato que, cualquiera que sea el natural n, la función f es n veces derivable en todo punto x de R yseverifica que f (n) (x) =e x, para cada n N. Obviamente f es de clase C en R y, por tanto, se verifican las hipótesis del

3.4. Aproximación de raices. Método de Newton-Raphson 107 Teorema de Taylor para cualquier natural n. Si lo aplicamos con x 0 =0y x =1, obtenemos un punto c en el intervalo ]0, 1[ tal que, R n (1) = f(1) P n (1) = f (n+1) (c) (n +1)! = e c (n +1)!, donde R n (resp. P n ) es el resto (resp. polinomio) de Taylor de orden n de f en el punto cero. Es claro entonces que R n (1) < 3 (n +1)!. Obsérvese además que R n (1) es el error que se comete al considerar a P n (1) como valor de f(1), es decir, como valor de e. La fórmula de Taylor (en este caso recibe el nombre de desarrollo de MacLaurin, ya que está centrada en el punto x 0 =0), es f(x) =e x =1+ x 1! + x! + + xn n! + e c (n +1)! xn+1 3 con 0 < c < 1. Puesto que la sucesión { (n+1)!} converge a cero, podemos conseguir una aproximación de e conunerrorque,envalorabsoluto,seatan pequeño como se desee. De acuerdo con la desigualdad anterior, bastará tomar n suficientemente grande. Así por ejemplo, el número real P 6 (1) = 1 + 1 1! + 1! + 1 3! + 1 4! + 1 5! + 1 =. 7181 6! es una aproximación del número e con un error inferior, en valor absoluto, a 3 7! = 1 1680 yportantoinferiora10 3. En general, la suma 1+ 1 1! + 1! +... + 1 n! 3 da un valor aproximaddo del número e con un error menor que (n+1)!. 3.5 Aproximación de raices. Método de Newton- Raphson Este método tiene por objeto aproximar la raíz de una función mediante su recta tangente. Sea f : A R una función dos veces derivable con ]x 0,b[ A (ademássesuponequelaecuaciónf(x) =0tiene una única raíz en el intervalo ]x 0,b[). Como sabemos, la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x 0,f(x 0 )) es: y f(x 0 )=f 0 (x 0 )(x x 0 ) El punto de corte de dicha tangente con el eje de abcisas es x 1 = x 0 f(x 0) f 0 (x 0 )

108 TEMA 3. DERIVABILIDAD Tomamos el valor x 1 como primera aproximación del valor de la raíz. Ahora consideramos el punto (x 1,f(x 1 )) y se repite el proceso, la ecuación de la recta tangentealagráfica de f en el punto (x 1,f(x 1 )) es: y f(x 1 )=f 0 (x 1 )(x x 1 ) y el punto de corte x de dicha tangente con el eje de abcisas: x = x 1 f(x 1) f 0 (x 1 ) En general x n+1 = x n f(x n) f 0 (x n ) Observación 3.7 El método de Newton Raphson no siempre proporciona una sucesión de valores que tiendan a la raíz de la ecuación f(x) =0). Hay dos dificultades posibles: 1. En alguna iteración x i podemos obtener f 0 (x i ) = 0 con lo cual ya no podemos seguir con el proceso (puesto que en el paso siguiente para calcular x i+1 se requiere la división por f 0 (x i )). Este problema puede subsanarse con una elección adecuada del x 1. Así pues, antes de aplicar el método anterior en un intervalo conviene elegir como punto de inicio aquel extremo del intervalo en el que los signos de f y f 00 sean iguales (véase el ejemplo siguiente).. Más serio resulta el problema cuando el método no converge para ninguna elección del punto inicial (salvo que tomemos el cero exacto de f al empezar). De hecho puede probarse que una condición suficiente para que lasucesiónanteriorconverjaalasoluciónesque f(x) f 00 (x) [f 0 (x)] < 1 Ejemplo 3.8 Aproxima la raíz que la ecuación x 3 x +1 = 0 posee en el intervalo ], 1[, aplicando el método de Newton-Raphson con dos iteraciones. Para resolver este ejemplo, elegimos el extremo más conveniente: Tomamos por tanto x 0 =. Así pues, f(x) =x 3 x +1 f 0 (x) =3x 1 f 00 (x) =6x f( ) = 5 < 0 f 00 ( ) = 1 < 0 x 1 = f( ) 5 f 0 = ( ) 11 = 17 11 = 1.54

3.5. Funciones convexas 109 11 ) x = 17 11 f( 17 f 0 ( 17 11 ) = 1.36 Ejercicio 3.9 Considera x 0 =ylaecuaciónx =0para calcular, utilizando el método de Newton-Raphson, las seis primeras cifras decimales de.

14 TEMA 4. INTEGRACIÓN 4.3.1 La regla de los trapecios Una forma de aproximar el valor de la integral definida anterior es usar n trapecios como indican las siguientes figuras: donde hemos dividido el intervalo [0, 5π 6 ] en, 4 y 6 partes iguales, respectivamente. Si en cada caso aproximamos el valor real del área por la suma de las áreas de los trapecios que se forman obtenemos los siguientes valores: 1.59164, 1.79893 y 1.83633.

4.3. Integración numérica 15 En este caso R 5π 6 senxdx =1+ 3 0 que aproximadamente es 1.86603. continua. Para cada partición del in-, la regla de los Teorema 4.10 Sea f :[a, b] R + 0 tervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de longitud b a n trapecios para aproximar R b f(x)dx viene dada por a Z b a f(x)dx b a n [f(x 0)+f(x 1 )+f(x )+ +f(x n 1 )+f(x n )] además, cuando n, el miembro de la derecha tiende a R b f(x)dx. Si f tiene a derivada segunda continua en [a, b], elerrore cometido al aproximar R b a f(x)dx por la regla de los trapecios es (b a)3 E 1n [max(f 00 (x))], a x b. 4.3. La regla de Simpson En este caso aproximamos f por polinomios de segundo grado. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de longitud b a n pero esta vez exigimos que n sea par y poder así agrupar los intervalos en la forma: a = x 0 <x 1 <x x <x 3 <x 4. x n <x n 1 <x n = b Cada tres puntos consecutivos tal y como los hemos agrupado podemos considerar el polinomio de grado menor o igual a dos que pasa por dichos puntos (sabemos que éste es único) y usamos dicho polinomio como aproximación de la función f(x) en dicho subintervalo. El área total será por tanto la suma de las áreas encerradas por cada polinomio de segundo grado y el eje de abcisas tal y como se observa en la siguiente figura para el caso concreto de R 5π 6 senxdx, 0 dividiendo el intervalo en dos subintervalos, donde hemos representado en trazo más grueso la función seno y, en trazo menos grueso la función polinómica de

16 TEMA 4. INTEGRACIÓN grado que pasa por los puntos (0,sen0), ( 5π 1,sen5π 1 ) y ( 5π 6,sen5π 6 ): Las aproximaciones que se obtienen dividiendo en, 4 y 6 subintervalos son, respectivamente: 1.9040, 1.86803, 1.86641. Teorema 4.11 Sea f :[a, b] R + 0 valo [a, b] en n subintervalos (n par), cada uno de longitud b a n continua. Paracadaparticióndelinter-, la regla de Simpson (mirar) para aproximar R b f(x)dx viene dada por a Z b a f(x)dx b a n 3n [f(x X 1 0)+ f(x k )+4 k=1 n X f(x k 1 )+f(x n )]. Además, cuando n, el miembro de la derecha tiende a R b f(x)dx. Si f tiene a derivada cuarta continua en [a, b], el error E cometido al aproximar R b a f(x)dx por la regla de Simpson es E k=1 (b a)5 180n 4 [max(f 0v (x))], a x b.

Teorema.14 (de Bolzano) Sean a y b númerosrealestalesquea<by f :[a, b] R una función continua en [a, b]. Supongamos que f(a)f(b) < 0. Entonces existe x 0 ]a, b[ tal que f(x 0 )=0. Por ejemplo, si consideramos la función f :[0, ] R tal que f(x) =x 1, se tiene que es continua en [0, ] yquef(0) = 1 y f() = 3. La situación es la siguiente: Una aplicación interesante del Teorema de Bolzano es la obtención de raices de ecuaciones de forma aproximada mediante el método de bisección. En muchas ocasiones es necesario resolver ecuaciones de la forma f(x) =0para las que no existe una fórmula que permita hallar sus raíces. Es necesario entonces utilizar métodos que permitan aproximar las raíces mediante sucesiones de valores c 1,c,..., que converjan a dichas raíces. Estudiaremos un método que nos servirá en el caso de que tengamos una función f :[a, b] R continua que verifique que f(a)f(b) < 0, es decir, que nos permita aplicar el Teorema debolzanoalafunciónf en el intervalo [a, b]. Sabemos por tanto, que existe c ]a, b[ tal que f(c) =0. A continuación consideramos el punto medio del intervalo [a, b], c 1 = a+b y estudiamos el signo de f( a+b a+b ). Si f( ) 6= 0,(si f( a+b )=0habremos encontrado ya raíz) aplicamos de nuevo el Teorema de Bolzano pero ahora a [a, a+b a+b ] si f(a)f(a+b ) < 0 óa[,b] si f(a+b )f(b) < 0. Se repite el proceso obteniendo así c,c 3,...y terminamos al determinar la raíz con un error aceptado. De hecho, podemos acotar el error cometido en cada aproximación mediante la desigualdad: E i = c i r b a i, donde denotamos por r alaraízexactabuscada. Ejemplo.15 Dada la ecuación 3x 3 x 1=0, aplica el método de bisección cuatro veces, empezando en el intervalo cerrado y acotado [ 1, 1]. Definimos

.3. Funciones continuas definidas en intervalos 85 f :[ 1, 1] R tal que f (x) =3x3 x 1. Claramente f verifica las hipótesis del Teorema de Bolzano, por tanto, existe c ] 1, 1[ tal que f(c) =0. Sea pues 1 +1 c 1 = =0.75 ycomof(0.75) = 0.484375, la raíz está en ]0.75, 1[. Continuando el proceso i a i b i c i f(c i ) 1 0.5 1 0.75 0.484375 0.75 1 0.875 0.134766 3 0.75 0.875 0.815 0.03369 4 0.815 0.875 0.84375 0.041718 La cuarta iteración es c 4 =0.84375. Una cota del error cometido sería E 4 = c 4 r b a 4 = 0.5 16 =0.0315 Ejercicio.16 Utiliza el método de bisección para aproximar la raíz real de la ecuación x 3 x 1=0 con error menor que 1 64. Consideraparaellof(x) =x3 x 1 en el intervalo [1, ] El Teorema de Bolzano afirma que una función continua en un intervalo cerrado y acotado, con valores de distinto signo en los extremos del intervalo, ha de anularse al menos en un punto. De forma más general, si una función continua en un intervalo (de cualquier tipo) toma dos valores, ha de tomar necesariamente todoslosvalorescomprendidosentreellos,afirmación que enunciamos en el siguiente resultado: Corolario.17 (Teorema del valor intermedio) Sea f : I R una función continua en un intervalo I. Entonces f(i) es un intervalo. Ejemplo.18 La función f :]0, 3[ R definida por x si 0 <x 1 f(x) = 3 x si 1 <x x 3 si <x<3 es continua en ]0, 3[ y su imagen es el intervalo [ 1, 1] (véase gráfica siguiente).

86 TEMA. CONTINUIDAD Bajo las hipótesis del corolario precedente, el intervalo imagen no es en general del mismo tipo que el intervalo de partida, como se muestra en el ejemplo anterior. Sin embargo, si el intervalo de partida es cerrado y acotado, la imagen mediante una función continua de un intervalo de este tipo es también un intervalo cerrado y acotado. Teorema.19 (Weierstrass) La imagen mediante una función continua de un intervalo cerrado y acotado es un intervalo cerrado y acotado. Por tanto, toda función continua en un tal intervalo tiene máximo y mínimo absolutos. Una función continua en un intervalo que no sea cerrado y acotado puede no estar acotada (f :]0, 1[ R: f(x) = 1 x, x ]0, 1[) y por tanto carecer de alguno o de ambos extremos absolutos, o puede incluso estar acotada y no tener extremos absolutos (g : R + R: f(x) = 1 1+x, x R+ ). A continuación estudiaremos algunos hechos que nos dan importantes relaciones entre la monotonía y la continuidad. Teorema.0 Sea f : A R una función real de variable real monótona tal que f(a) es un intervalo. Entonces f es continua. Corolario.1 Sea I un intervalo y f : I R una función estrictamente monótona. Entonces f 1 es continua. Una función estrictamente monótona es, como sabemos, inyectiva pero la afirmación recíproca no es cierta en general (piénsese en la función g : R R tal que g(x) =x si x 0 y g(x) = 1 x si x>0). Sin embargo, ambas propiedades son equivalentes para funciones continuas definidas en un intervalo. Teorema. Sea I un intervalo y f : I R una función continua e inyectiva. Entonces f es estrictamente monótona. Como consecuencia, f 1 es continua.