Resolución de ecuaciones. Ecuaciones de er y º grado Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) + 8 b) 0 c) 8 d) ( ) 0 P I E N S A Y C A L C U L A a) b) c) ± 9 d) 0, Resuelve las siguientes ecuaciones: + + / + 9 8 9 6 7 + 7 0 0, / 6 0 A P L I C A L A T E O R Í A + / 6 ( ) + 7 /, 8 9 /, / 9 0 /, SOLUCIONARIO
0 ( )( ) 6, + + + 0, Determina, sin resolverlas, cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones: a) + 0 b) + 7 0 c) + 6 + 9 0 d) + 0 a) D 6 ò tiene dos soluciones reales. b) D 7 ò no tiene soluciones reales. c) D 0 ò tiene una solución real. d) D ò tiene dos soluciones reales. Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios de segundo grado: a) b) + c) d) a) ( + /)( ) b) ( ) c) ( + /)( ) d) ( /). Ecuaciones bicuadradas, racionales e irracionales Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) b) c) + a) b) c) P I E N S A Y C A L C U L A Resuelve las siguientes ecuaciones: 0 + 9 0,,, 6 0, 6 7 + 6 0,,, 7 0,, 0 A P L I C A L A T E O R Í A TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
8 + 0,,, 9 6 8 0 0, 0 6 6 7 0, /7, 6, 7 + + + 6 /7, +, + + + + 6, /, 6 8 + 9 + 7 0 0 0 6 0 No tiene solución. + + + 7 + 7 SOLUCIONARIO
. Ecuaciones eponenciales y logarítmicas Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) 9 b) c) d) 9 P I E N S A Y C A L C U L A e) log 0 f) log g) log h) log a) b) c) d) 0 e) f) d) 9 f) /9 Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) 7 b) 7 + a) b) a) b) /8 a) b) a) log 0 b) log a) b) 6 6 a) log b) L a) b) e 8 + 80 9 + 6 0, 0 + + + 9 6 + + 8 0 6 A P L I C A L A T E O R Í A Resuelve las siguientes ecuaciones: 7 8, log 6 0,68 log + log 6 0 TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
/ + log log 0, log + log 6 log + log 80 / 7 log ( ) + log 0 log 6 8 log log + log. Resolución de problemas Calcula mentalmente: a) el lado de un cuadrado cuya área es de 6 m b) dos números enteros consecutivos cuya suma sea P I E N S A Y C A L C U L A a) 6 m b) 7, 8 9 0 Halla dos números que sumen 8 y cuyo producto sea Número (8 ) Un número es El otro número es Se ha mezclado aceite de girasol de 0,8 el litro con aceite de oliva de, el litro. Si se han obtenido 00 litros de mezcla a,6 el litro, calcula cuántos litros se han utilizado de cada clase de aceite. Capacidad (l) Precio ( /l) Dinero ( ) Girasol 0,8 A P L I C A L A T E O R Í A Oliva 00, 0,8 +,(00 ) 00,6 ò 00 Aceite de girasol: 00 litros. Aceite de oliva: 00 litros. Oliva 00, 0,8 +,(00 ) 00,6 6 SOLUCIONARIO
Dos motos salen juntas de una ciudad para recorrer 60 km a velocidad constante. La segunda moto lleva una velocidad de 0 km/h más que la primera, y tarda una hora menos en hacer el recorrido. Calcula las velocidades de las dos motos. Tiempo de la ª moto Tiempo de la ª moto 60 60 + 0 ò 8, 7 Velocidad primera moto 60/8 70 km/h Velocidad segunda moto 80 km/h Halla las dimensiones de un rectángulo en el que la base es cm mayor que la altura y cuya área sea de cm + ( + ), 6 Las dimensiones son cm y 6 cm Dos grifos,abiertos a la vez,llenan un depósito en 6 h. El segundo grifo tarda en llenar el depósito h más que el primero, estando éste cerrado. Calcula el tiempo que tardan en llenar el depósito por separado. Tiempo del primer grifo Tiempo del segundo grifo + + + 6 0, El primer grifo tarda 0 h El segundo grifo tarda h En una tienda se compraron unos adornos de porcelana por 69. Se rompieron y los que quedaron se han vendido a más de lo que costaron. Si se ha obtenido un beneficio de 8, cuántos adornos se compraron? N de adornos 69 ( )( ) + 69 + 8 7, / Se han comprado 7 adornos. TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 7
Ejercicios y problemas. Ecuaciones de er y º grado Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: 0 /, / 6 6 + /, 8 ( ) + ( ) 6 ( )( + ) 0, 7 ( ) + 0 0, / 8 6 0, 6 66 + + ( + )( ) + 7, + 0 0, /6 67 + + + Resuelve las siguientes ecuaciones: + 9 0 60 + + 6 / 68 /, 69 ( )( ) + + ( ) + + 6 6 6 ( ) 8 6, 6 + 6 7 0 70 7 + ( ) + ( + )( ) ( + ) 7 8 SOLUCIONARIO
7 7 +, + 0 ( )( ) + ( ) 9 /7, 0 80 + 0,,, 8 7/, 7 ( + ) ( )( ) 7( ) 8 + 6 /, 8 0 0. Ecuaciones bicuadradas, racionales e irracionales Resuelve las siguientes ecuaciones: 7 6 9 + 8 0, 76 + 7, 77 8 9 0,, 8 8 86 9 + + + 8/, / + + 0 6 9 78, + 79 + 6 + 87 + + 8 88 + 9/, ( ) TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 9
Ejercicios y problemas 89 9 0, 90 + 7 + 9 /, + 98 99 00 + + 9 6/7, / + + + + + 9 9 +, + 6 8 + 7 0, 8 0 + 6 0,,, 0, /9 9 + 0 6 + 0, 9 6 + 0 /, /, /, / 96 + + 7 97 + 6 +, /. Ecuaciones eponenciales y logarítmicas Resuelve las siguientes ecuaciones: 0 + +, 0 6, 0 SOLUCIONARIO
06 6 + 0, + 8 + 07 + + + 08 + 9 + +, 09 + 0, 0 6 96 6 + + 6 7 9 + 6 8 + + + + 7 9 ( ) log 0,6 log 6 + 0, + 6 0, 0 +, 0 e + + L,78 L 9 9 + + 9 /, log ( + + 0) + log ( ), TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
Ejercicios y problemas log log log + log log + log ( + ) 6 log log ( + ) 0 7 L + L ( + ) L + log log 00 log ( ) + log log ( ) 7 log log (7 ), 6 log (6 ) log (7 ) 0, 8 log + log log ( + ) + log 7 log + / + log + log 9 log + log 6 0 8 ( + ) log + log 0 log, 0 L L L 0 log + log 000 log log log ( + ) / 0. Resolución de problemas 9 Halla dos números tales que su suma sea 0 y la diferencia de sus cuadrados sea 60 Número (0 ) 60 8 Los números son y 8 0 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide cm. Si el cateto mayor mide 7 cm más que el cateto menor, cuál es la longitud de los catetos? SOLUCIONARIO
cm Dos obreros, trabajando juntos, tardan días en realizar una obra. Se sabe que el segundo obrero, trabajando solo, tardaría 0 días más que el primero. Calcula el tiempo que emplean en realizar dicha obra por separado. + ( + 7), Los catetos miden cm y cm La solución negativa no es válida. Se mezcla avena de 0, /kg y centeno de 0, /kg para hacer pienso para vacas. Si se hacen 000 kg de pienso a 0, /kg, cuántos kilos de avena y de centeno se han utilizado? Peso (kg) Precio ( /kg) Dinero ( ) + 7 Avena 0, 0, + 0,( 000 ) 000 0, 000 Avena: 000 kg Centeno: 000 kg Un coche y una moto salen a la vez de dos ciudades, A y B, el uno hacia el otro por la misma carretera. La velocidad del coche es de 00 km/h y la velocidad de la moto es de 70 km/h. Si la distancia entre las ciudades es de 0 km, cuánto tiempo tardarán en encontrarse? Tiempo 00 + 70 0 Tardan h en encontrarse. Centeno 000 0, Mezcla 000 0, 0, + 0,( 000 ) 000 0, Tiempo que tarda el primer obrero: Tiempo que tarda el segundo obrero: + 0 + + 0 0, 6 El primer obrero tarda 0 días y el segundo 0 días. Varios amigos han preparado un viaje de vacaciones que cuesta 000. Un amigo tiene problemas y los demás deciden pagar 00 más cada uno. Calcula el número de amigos que son. Nº de amigos 000 000 + 00, El número de amigos son La edad de un padre es seis veces la del hijo. Si dentro de dos años la edad del padre será cinco veces la del hijo, calcula la edad de cada uno. Edad del hijo Edad del padre Hoy 6 6 + ( + ) ò 8 La edad del hijo: 8 años. La edad del padre: 8 años. Dentro de años + 6 + TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
Ejercicios y problemas Para ampliar 6 7 9 + 0 + + 8 + 6 8 9 9 + /, /, +, 0 log log 0 0 +, + + /, 6 0 + +, 0 7 0 8, 9 + + + + + + + /, + + + + 6 60 +, + + 7 + 7 6 + + +, 6 SOLUCIONARIO
67 + + + + + + + + 0 6 + + + + 68 + + + + + + 7/9 log 7 log + log 9,89 log log 6 + 8, 69 log 7 + + log + + log 6 + 70 log log 9/7 0 66 + 7 log (0 ) log ( ) Problemas 7 Halla las raíces de una ecuación de segundo grado, sabiendo que su suma es 0 y su producto es 7 Halla un número tal que al elevarlo al cuadrado sea 0 unidades mayor. Suma de las raíces: S 0 Producto de las raíces: P 0 + 0 7, Número + 0, El número es o TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
Ejercicios y problemas 7 Halla un número que eceda a su raíz cuadrada en 6 unidades. Número + 6 69 El número es 69 78 Si se aumenta cm la longitud de cada una de las aristas de un cubo, el volumen del mismo aumenta 8 cm. Calcula la longitud de la arista. 7 Halla dos números enteros sabiendo que el mayor ecede en 6 unidades al menor, y la suma de sus inversos es /9 Número menor Número mayor + 6 + + 6 9 9/, Los números son y 9 La solución 9/ no se acepta porque no es entera. Arista ( + ) + 8, 7 La arista mide cm 79 Una finca rectangular tiene una superficie de 000 m. Si un lado de la finca tiene 0 m más que el otro, calcula las dimensiones de la finca. 76 Halla dos números pares consecutivos cuyo producto eceda a su suma en unidades. Primer número Segundo número + ( + ) + + + 6, 6 Los números son, y, 0 + 0 ( + 0) 000 0, 80 Las dimensiones son 0 m por 80 m 77 El dividendo de una división es 6 y el cociente y el resto son iguales. Si el divisor es el doble que el cociente, cuál es el divisor? 80 El perímetro de un triángulo rectángulo mide 8 cm, y su hipotenusa mide 0 cm. Calcula la longitud de los catetos. Cociente Resto Divisor + 6 7/, 8 El divisor es 6 0 cm 8 0 6 SOLUCIONARIO
+ (8 0 ) 0, 6 Los catetos miden cm y 6 cm 8 La diagonal de un rectángulo mide cm. Calcula las dimensiones del rectángulo, sabiendo que la altura es / de la base. m 96 6, 6 Las diagonales miden cm y 6 cm + ( ), Las dimensiones son cm y 0 cm 8 Si se aumenta en tres centímetros el lado de un cuadrado, el área aumenta en 8 cm. Calcula la longitud del lado del cuadrado inicial. + 8 Se tiene un cuadrado cuyo lado es cm mayor que el lado de otro cuadrado. Si entre los dos cuadrados se tienen cm, calcula el área de cada uno de ellos. ( + ) + 8 La longitud del cuadrado inicial es cm 8 Se tiene un rectángulo de 0 cm de perímetro. Si se reduce en cm la base y en cm la altura, el área disminuye en 8 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo. + ( + ) 8, El área es de 6 cm y de 69 cm 8 + Calcula la longitud de las diagonales de un rombo de 96 cm de área, sabiendo que la diagonal menor es / de la diagonal mayor. 0 0 (0 ) ( )(0 ) + 8 6 Las dimensiones del rectángulo son 6 cm y cm TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 7
Ejercicios y problemas 86 Se funde plata de ley 0,7 con plata de ley 0,9 para conseguir una aleación de 00 g de una ley 0,7. Calcula la cantidad de cada tipo de plata que se ha usado. Tiempo que emplea Alba Tiempo que emplea Pablo ( ) 6/, Se emplea horas y minutos, luego Pablo alcanza a Alba a las h min Peso (g) Ley Plata 0,7 Plata 00 0,9 0,7 + 0,9(00 ) 00 0,7 80 Plata de ley 0,7 pesa 80 gramos. Plata de ley 0,9 pesa 0 gramos. Aleación 00 0,7 0,7 + 0,9(00 ) 00 0,7 89 Dos autobuses de línea salen a la misma hora de dos ciudades,a y B, separadas por 00 km. Los dos autobuses salen por la misma carretera el uno hacia el otro. Si el autobús que sale de A lleva una velocidad de 90 km/h y el que sale de B lleva una velocidad de 0 km/h, cuánto tiempo tardarán en encontrarse? Tiempo que tardan en encontrarse 90 + 0 00 Tardan horas en encontrarse. 87 88 Se mezcla leche del tipo A, con un % de grasa, con otra leche del tipo B, con un 8% de materia grasa. Si se obtienen 0 litros de mezcla con un 6% de materia grasa, cuántos litros de cada tipo de leche se han utilizado? Capacidad (l) Grasa Leche A 0,0 0,0 + 0,08(0 ) 0 0,06 0 Leche A: 0 litros. Leche B: 0 litros. Leche B 0 0,08 Mezcla 0 0,06 0,0 + 0,08(0 ) 0 0,06 A las nueve de la mañana, Alba sale en bicicleta de una población A, a una velocidad de km/h. Dos horas después, sale en su búsqueda Pablo con una motocicleta a km/h. A qué hora alcanzará Pablo a AIba? 90 9 Un grifo B tarda en llenar un depósito h más que otro grifo A. Si a la vez llenan el depósito en h 0 min, cuánto tardarán en llenar el depósito por separado? Tiempo que tarda en llenar el depósito el grifo A Tiempo que tarda en llenar el depósito el grifo B + ò + + +, El grifo A tarda horas, y el B, 6 horas. Dos desagües abiertos a la vez vacían un depósito en h. Si se abre solo uno de ellos, tardaría en vaciar el depósito 6 h menos que el otro. Calcula el tiempo que tardan en vaciar el depósito los dos desagües por separado. Tiempo que tarda en vaciar el depósito el primer desagüe 8 SOLUCIONARIO
Tiempo que tarda en vaciar el depósito el segundo desagüe 6 + 6 0, 6 Tiempo que tarda en vaciar el depósito el primer desagüe 0 h Tiempo que tarda en vaciar el depósito el segundo desagüe h La solución 6 no tiene sentido. 9 Se han comprado por 7 unas zapatillas de deporte y un balón que costaban 0. Si en las zapatillas han rebajado el 0%, y en el balón, el 0%, cuál era el precio inicial de cada producto? Precio de las zapatillas Precio del balón 0 0,8 + 0,7(0 ) 7 0 El precio de las zapatillas es 0, y el del balón, 0 9 Se han pagado 0 por un lector de DVD y una tarjeta de red que ahora se deben cambiar. Si en la venta se pierde el 0% en el lector de DVD, y el 60% en la tarjeta, y se han obtenido 88, cuál era el precio inicial de los dos artículos? Son estudiantes. 9 96 Pablo tiene años, y su madre, 0. Cuántos años deben transcurrir para que la edad de la madre sea el doble que la de Pablo? Pablo Madre 0 + ( + ) 0 Dentro de 0 años. Un padre tiene el quíntuplo de la edad de su hijo. Si el padre tuviera 0 años menos y el hijo 8 años más, la edad del padre sería el doble que la del hijo. Calcula la edad actual de cada uno. Edad del hijo Edad del padre Hoy 0 Hoy ( + 8) 0 El hijo tiene años, y su padre, 60 Dentro de años + 0 + + 8 0 Precio del DVD Precio de la tarjeta 0 0,7 + 0,(0 ) 88 60 El precio del DVD es 60 y el de la tarjeta 90 9 Un grupo de estudiantes alquila un piso por 00 al mes. Si aumentase el grupo en uno más, se ahorrarían cada uno. Cuántos estudiantes son? Número de estudiantes 00 00 + +, 97 La edad de una madre y un hijo suman 60 años, y dentro de dos años la edad de la madre será el triple de la del hijo. Calcula la edad actual de cada uno. Edad del hijo Edad de la madre Hoy 60 ( + ) 60 + El hijo tiene años, y su madre, 6 Dentro de años + 60 + 98 Se tiene un cultivo con células que se reproducen por bipartición cada hora. Si se tienen inicialmente células, cuántas horas han de transcurrir para que en el cultivo haya 0 células? TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 9
Ejercicios y problemas Tiempo 0 0 Deben transcurrir 0 horas. 99 Una población de peces se reproduce según la fórmula N 0 t, donde N es el número de peces y t es el número de años. Cuántos años deben transcurrir para que haya más de 00 000 peces? Tiempo t 0 t 00 000 t 8,9 años. Para que haya más de 00 000 deberán pasar 8,9 años. Para profundizar 00 Resuelve la siguiente ecuación: + + +, (no es válida) 0 Resuelve la siguiente ecuación: 6 (Haz el cambio de variable z ) Primer número Segundo número + ( + ) 6, Los números son y, o bien y 0 0 En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 0 cm, y su altura correspondiente mide cm. Cuánto miden los segmentos que el pie de dicha altura determina sobre la hipotenusa? (0 ) 8, Los segmentos miden 8 cm y cm La diagonal de un rectángulo mide 0 cm. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden cm y cm 0 cm 8, 7 0 0 Halla un número tal que al sumarle 6 unidades sea un cuadrado perfecto, y al restarle 6 unidades su resultado sea la raíz del cuadrado perfecto anterior. Número 6 + 6 0 Halla dos números enteros consecutivos tales que la diferencia de sus cubos sea 6 + (/) 0 0 cm 8, 8 Las dimensiones son 8 cm y 6 cm, respectivamente. 06 Se alean dos lingotes de oro. Uno de ellos con una ley 0,7, y otro con una ley 0,6. Si se han conseguido 00 gramos de aleación con una ley 0,69, cuántos gramos pesaba cada lingote de oro? 60 SOLUCIONARIO
07 08 Peso (g) Ley Oro 0,7 Oro 00 0,6 0,7 + (00 )0,6 00 0,69 00 Oro de ley 0,7 pesa 00 gramos. Oro de ley 0,6 pesa 00 gramos. Aleación 00 0,69 0,7 + (00 )0,6 00 0,69 Una moto y un coche salen a la misma hora de la ciudad A en dirección a la ciudad B, que dista 80 km. La velocidad de la moto es / de la velocidad del coche, y llega minutos más tarde que éste. Calcula las velocidades de los dos vehículos. Tiempo que tarda el coche Tiempo que tarda la moto + 0, 80 80 + 0, / 0,8 h 8 min El coche lleva una velocidad de 00 km/h, y la moto, de 80 km/h Un alumno ha obtenido una nota final de 6, puntos en matemáticas. Los eámenes valen el 80% de la nota, y los trabajos, el 0%. Sabiendo que entre eámenes y trabajos suma puntos, qué nota sacó en cada apartado? Nota de eámenes Nota de trabajos 0,8 + 0,( ) 6, 6 En los eámenes sacó un 6 y en los trabajos un 8 09 0 Un padre tiene años, y sus hijos, 0 y 8 años. Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea igual a la suma de las edades de los hijos? Edad del padre Edad del er hijo Hoy 0 Dentro de años + 0 + Edad del º hijo 8 8 + + 0 + + 8 + 7 Deben transcurrir 7 años. Una sustancia radiactiva tiene un período de semidesintegración de 0 años, es decir, que cada 0 años la masa de la sustancia se reduce a la mitad. Si se tienen 00 g de dicha sustancia, en cuánto tiempo se trasformarán en g? Período 00(/) Tienen que transcurrir 0 0 años. Se ha comprado un ordenador por 00,y se sabe que su valor se deprecia un 0% cada año. Cuánto tiempo debe transcurrir para que el ordenador valga menos de 00? Tiempo 00 0,8 00,9 Tienen que transcurrir,9 años. TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 6