DP. - S - 59 7 Matemáticas ISSN: 988-79X a b = a b cos(a, b) a b = a b + a b + a b GEOMETRÍ NLÍTI EN EL ESPIO PRODUTO ESLR ando sabemos el ánglo qe foman a y b ando sabemos las coodenadas de a y b a = (a, a, a ) ; b = (b, b, b ) ando los ectoes son pependiclaes s podcto escala seá igal a. a b a b = PRODUTO VETORIL Dados los ectoes (,, ) (,, ) i j k x = El ecto qe eslta de este deteminante es pependicla a y, y s módlo coincide con el áea del paalelogamo qe foman y. x = S paalelepípedo = x ; S tiánglo = x ; V paalelepípedo =,, w OORDENDS DE UN VETOR LIRE Dados los pntos (a, b, c ) y (d, e, f ) el ecto con oigen en y extemo en se calcla: = (d a, e b, f c) EUIONES DE L RET EN EL ESPIO P(x, y, z ) (,, ) (x, y, z) = (x, y, z ) + t Ecaciones de la ecta P(x, y, z ) (,, ) (x, y, z) = (x, y, z ) + t(,, ) Ecación ectoial. x = x + t y = y + t Ecaciones paaméticas. z = z + t x x = y y = z z Ecación contina x + y + z + D = ' x + ' y + ' z + D' = Intesección de dos planos o ecación geneal. Paa halla el ecto de na ecta expesada como intesección de dos planos basta con efecta a x b, siendo a = (,, ) y b = (', ', ' ) Paa halla n pnto sólo hay qe dale a la "x" o a la "y" o a la "z" n alo abitaio, sstitilo en el sistema y despeja las otas dos incógnitas. Vecto diecto de na ecta dada po la intesección de planos : π : x + y + z + D = π : x + y + z + D = d = n π x n π www.alamatematica.com
bel Matín EUIONES DEL PLNO EN EL ESPIO Es necesaio conoce n pnto y ectoes diectoes: P(x, y, z ) (,, ) (,, ) (x, y, z) = (x, y, z ) + t + s (x, y, z) = (x, y, z ) + t (,, ) + s (,, ) Ecación ectoial. x = x + t + s y = y + t + s Ecaciones paaméticas. z = z + t + s Ecación geneal o implícita π : x + y + z + D = x x y y z z = EUIÓN SEGMENTRI x y z + + = a b c Los aloes a, b, c se denominan, espectiamente, abscisa, odenada, y cota en el oigen. EN L PRÁTI, FORM HITUL DE HLLR L EUIÓN DE UN PLNO Un plano π también se pede halla sabiendo n pnto y sólo n ecto, siempe y cando ese ecto sea pependicla al plano ( n π, denominado ecto nomal). Las coodenadas de ese ecto coinciden con los coeficientes (,, ) del plano. Paa detemina el témino independiente D del plano, sólo hay qe sstiti las coodenadas del pnto qe nos den y despeja D. π: x + y + z + D = O n π (,, ) POSIIONES RELTIVS DE DOS RETS () Dadas dos ectas y s po ss ecaciones geneales: x + y + z + D = "x + "y + "z + D" = ' ' ' : s : ' x + ' y + ' z + D' = '"x + '"y + '"z + D'" = " " " '" '" '" M* = ' ' ' " " " '" '" '" Entonces se estdian los angos de M y M*: g(m) g(m*) Posición de las ecta aso I 4 Rectas czadas aso II Rectas secantes aso III Rectas paalelas aso IV Rectas coincidentes () Dadas dos ectas y s, de las qe conocemos el ecto diecto y n pnto de cada na: (,, ) (,, ) (x, y, z ), (x, y, z ) ; M* = x x y y z z g(m) g(m*) Posición de las ecta aso I Rectas czadas aso II Rectas secantes aso III Rectas paalelas aso IV Rectas coincidentes D D' D" D'" GEOMETRÍ DE L RET Y PLNO EN EL ESPIO
DP. - S - 59 7 Matemáticas ISSN: 988-79X POSIIONES RELTIVS DE DOS PLNOS Sean los planos: π: x + y + z + D = π': 'x + 'y + 'z + D' = y las matices: ' ' ' D M* = ' ' ' D' g(m) g(m*) Posición de los planos aso I Planos secantes D ' ' ' D' aso II aso III Planos paalelos y distintos D = = ' ' ' D' Planos coincidentes D = = = ' ' ' D' Sea la ecta dada en foma geneal: POSIIONES RELTIVS DE UN PLNO Y UN RET : x + y + z + D = ' x + ' y + ' z + D' = El plano: π: '' x + '' y + '' z + D'' = y las matices: ' '' ' '' ' '' M* = ' '' ' '' ' '' D D' D'' g(m) g(m*) Posición de los planos aso I Recta y plano secantes aso II Recta y planos paalelos aso III Recta contenida en el plano www.alamatematica.com
bel Matín POSIIONES RELTIVS DE TRES PLNOS π: x + y + z + D = π': 'x + 'y + 'z + D' = π'': ''x + ''y + ''z + D'' = ' '' ' '' Sean los planos: y las matices: ' M* = ' '' '' g(m) g(m*) Posición de los planos ' '' ' '' D D' D'' aso I Planos secantes en n pnto (a) Planos secantes dos a dos foman na speficie pismática aso II (b) Dos planos paalelos cotados po el oto (a) Plano distintos y se cotan en na ecta aso III (b) Dos coincidentes y el oto los cota. aso IV (a) Planos paalelos y distintos dos a dos (b) Dos son coincidentes y el oto paalelo a ellos y distinto. aso V Planos coincidentes 4 GEOMETRÍ DE L RET Y PLNO EN EL ESPIO
DP. - S - 59 7 Matemáticas ISSN: 988-79X ÁNGULO ENTRE DOS RETS Sean y s los ectoes de dos ectas y s α cos α = cos (, s) = cos (, s ) = s s ÁNGULO ENTRE DOS PLNOS Sean y s los ectoes nomales de dos planos π π' α cos α = cos (, s) = cos (, s ) = s s ÁNGULO ENTRE UN PLNO Y UN RET Sea n π el ecto nomal del plano Sea el ecto diecto del la ecta n π β n π α π x + y + z + D = cos β = cos ( n π, ) = El ánglo pedido es α: α = 9 - β nπ n Distancia ente dos pntos d(p, Q) = PQ P(x, y, z ) Q(x, y, z ) π d(p, Q) = x) + ( y y) + ( z ) ( x z Distancia de n pnto a na ecta P Q d(p, ) = P www.alamatematica.com 5
bel Matín Distancia de n pnto a n plano P(x, y, z ) ; π: x + y + z + D = P (x, y, z ) π x + y +z + D = d(p, π) = x + y + z + D + + Ecación del plano qe contiene pntos no alineados Un plano π qeda deteminado po n pnto y dos ectoes independientes ente sí qe sean paalelos a π = (b, b, b ) = (c, c, c ) x a y b z c π : b c b c Desaollamos el deteminante y esolemos la ecación paa obtene la ecación del plano Vecto diecto del plano si tenemos ectas qe contiene el plano b c = i j x y = : y z = k = i + k + j = (,, ) = (,, ) VETOR DIRETOR DE UN RET PERPENDIULR OTRS DOS QUE SE RUZN Paa qe t y t s i j k t = x s = (4 ) i + ( ) j + ( ) k = i + j - k = (,, - ) 6 GEOMETRÍ DE L RET Y PLNO EN EL ESPIO