Zoa Próxima ISSN: 1657-2416 jmizzuo@uiorte.edu.co Uiversidad del Norte Colombia Cabeza de Vergara, Leoor Cavilacioes sobre el iterés simple Zoa Próxima, úm. 12, eero-juio, 2010, pp. 158-175 Uiversidad del Norte Barraquilla, Colombia Dispoible e: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=85316155011 Cómo citar el artículo Número completo Más iformació del artículo Págia de la revista e redalyc.org Sistema de Iformació Cietífica Red de Revistas Cietíficas de América Latia, el Caribe, España y Portugal Proyecto académico si fies de lucro, desarrollado bajo la iiciativa de acceso abierto
Cavilacioes sobre el iterés simple Thikig about the simple iterest Leoor Cabeza de Vergara zoa próxima Roberto Agulo. Ámame. Acuarela sobre papel (detalle). zoa próxima Revista del Istituto de Estudios e Educació Uiversidad del Norte º 12 eero-juio, 2010 ISSN 1657-2416 LEONOR CABEZA DE VERGARA MATEMÁTICO; ESPECIALISTA EN ADMINISTRACIÓN FINANCIERA Y MAGÍSTER EN ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS PROFESORA DEL TC. DEPARTAMENTO DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS UNIVERSIDAD DEL NORTE. lcabeza@uiorte.edu.co
Como producto de las reflexioes sobre la coceptualizació del iterés simple surgiero dos pregutas a ivel de clase: Por qué, bajo la modalidad del iterés simple, el presete de cada ua de las cuotas costates vecidas o es igual al presete de la aualidad vecida?, y Qué porció de ua cuota vecida bajo el iterés simple se asiga a iterés y a capital? Para trabajar estos iterrogates se partió de u caso práctico y co el soporte coceptual de iterés simple, series, serie armóica, propiedades de las desigualdades de las series y el cocepto de itegral se comprobó y demostró la diferecia etre el presete de ua aualidad vecida y la suma del presete de cada cuota vecida. Seguidamete se determió ua ecuació que permitió discrimiar, e cada cuota vecida, bajo la modalidad de iterés simple, que porció se asiga al pago de itereses y a capital respectivamete. Este trabajo permite eriquecer y profudizar la producció de la líea Cotextualizació de las Matemáticas Fiacieras adscrito al grupo Iovar del Caribe. palabras clave: terés, Iterés, iterés simple, aua aua lidades, presete, valor del diero e el tiempo. RESUMEN ABSTRACT As a product of discussios o the use of simple iterest ad its coceptualizig two questios emerged i the class: Why, uder the form of simple iterest, preset, each of the shares fixed costats is ot equal to the preset of the auity due? ad What, portio of a fee simple iterest expired uder allocated to iterest ad capital? To work these questios we started with a case ad with the coceptual support of simple iterest, series, harmoic series, properties of iequalities of the series ad the itegral cocept the differece betwee the preset of a auity due ad the amout of each istallmet was verified ad prove. Followig a equatio was determied that could discrimiate each share expired, the portio allocated to iterest ad capital terms. This work eriches ad icreases group productio of Cotextualizatio of Fiacial Mathematics attached to the Caribbea Iovate Group. key words: iterest, simple, paymet, preset fecha de recepció: 30 de oviembre de 2009 fecha de aceptació: 31 de marzo de 2010
Leoor Cabeza de Vergara INTRODUCCIÓN Como docete de Matemáticas Fiacieras he preseciado periódicamete la geeració de dos iquietudes cuado se trabaja el cocepto del iterés simple; las mismas hace referecia al presete de ua aualidad vecida: Por qué la suma de los presetes de las cuotas pactadas para liquidar u préstamo o es igual al presete de ua aualidad vecida bajo la modalidad del iterés simple? La otra iquietud es: Cómo se distribuye la cuota pactada, Qué porció de esta cuota se asiga para el pago de itereses y cuál es el aboo al capital? Este trabajo explica y solucioa estos dos iterrogates. Cuado se trabaja el cocepto de iterés compuesto estas iquietudes o se preseta; bajo esta modalidad los itereses se liquida sobre saldo, pero e el iterés simple esto o ocurre, es decir, o existe capitalizació, los itereses se liquida sólo sobre capital. Por esto a los estudiates les es difícil eteder cómo se descompoe ua cuota bajo la modalidad del iterés simple y por qué e el iterés simple o puede traer a presete las cuotas fijas costates y decir que este es el préstamo. A lo largo de los años se ha explicado esto, apoyádose e la defiició de iterés simple e iterés compuesto, pero se ha querido demostrar estas dos afirmacioes. E la modalidad de iterés compuesto esto es muy fácil de demostrar y observar, pero bajo el cocepto del iterés simple, que o permite la capitalizació, o es ta secillo dar respuesta a esto. Para facilitar la compresió se partió de u caso particular dode se mostró cada uo de los iterrogates y se procedió luego a geeralizar estos resultados apoyádose e coceptos básicos como: iterés simple, iterés compuesto, la diferecia que existe etre los dos, el cocepto de serie, progresió aritmética, (cocepto que permitió la costrucció de la coceptualizació del iterés simple), el cocepto de serie armóica y las propiedades de las desigualdades de las series. Para lograr probar cada ua de las dos afirmacioes se buscó apoyo e la demostració matemática y e los coceptos ateriormete citados. Este es u trabajo simple que busca mostrar a los curiosos de estos temas cómo se puede sustetar estas afirmacioes. Como producto de este trabajo se demostró que e el iterés simple cuado se habla de aualidades o cuota costate vecida, al o poder liquidar los itereses sobre saldo sio, sólo sobre capital, o podemos traer a presete cada cuota, dado que se estaría deduciedo uos itereses que o so los correctos, lo cual os lleva a costruir u presete meor al valor origial. Las equivalecias que se ha costruido bajo el iterés simple, asumiero el uso de cada cuota hasta el periodo, y cosiderado así uos itereses sobre los itereses que está detro de cada cuota; itereses que se descueta al traer este futuro a presete. E el caso de la descomposició de la cuota e capital e itereses, se geeró ua ecuació que permite la distribució de los itereses totales a liquidar sobre el capital, e cada cuota a cacelar. 160 ZONA PRÓXIMA Nº 12 (2010) PÁGS. 158-175
cavilacioes sobre el iterés simple MARCO CONCEPTUAL Es importate teer presete que el diero tiee diferete valor a lo largo del tiempo; es decir, el diero de hoy tedrá u meor valor detro de años, se asume que e parte esto se debe a la iflació que se refleja e ua pérdida de poder adquisitivo pero tambié hay que teer presete que las persoas por lo geeral prefiere cosumir hoy que e el futuro. Si hoy se ivierte, se espera que e u futuro este diero geere más diero; es decir si ua persoa etrega su diero al cabo del tiempo espera recibir algo más; que se le recoozca lo que dejó de adquirir; hoy esto es lo que se cooce como Itereses, es decir, el costo por el uso del diero; pero este costo depede del precio que se pacta por cada uidad moetaria, el peso, que se utilice e u itervalo de tiempo y es llamado tasa de iterés. Cuado se habla de iterés existe tres tipos de iterés; iterés simple, iterés compuesto e iterés cotiuo. E el iterés simple se asume que los itereses que se paga o recibe e u período determiado se liquida solo sobre capital, es decir; los itereses acumulados gaados e períodos ateriores o gaa itereses, período tras periodo los itereses recibidos o pagados so fijos o so costates. Por ejemplo, si ivierte P ($ 1. 000.000) hoy y se acuerda pagar 2% mes, iterés simple, cada mes se recibe $ 20.0000. Si esta iversió la matiee por cuatro meses, al cabo de los cuatro meses se tiee u saldo $1.080.000; e el segudo mes o se recooció el uso de los $20.000 que se causaro e el primer mes, e el tercer mes tampoco se recooció u solo peso por el uso de los $40.000 de itereses gaados y acumulados y así sucesivamete cada mes, los itereses se liquidaro mesualmete solo sobre la iversió $1.000.000. Cuado se pacta iterés compuesto, se recooce los itereses sobre saldo, es decir; los itereses devegados e periodos ateriores recibe itereses, al igual que el capital, es decir; se capitaliza. Siguiedo co el ejemplo aterior pero pactado u iterés compuesto para esta iversió, se acepta pagar itereses sobre saldo, es decir sobre el $1.000.000 ivertido y sobre los itereses que se gaa e cada mes. Al termiar el primer mes se tiee u saldo de $1.020.000, ese saldo se trabaja e el segudo mes y por haber pactado iterés compuesto se debe pagar el uso de todo el diero, es decir $ 1.020.000*.02 = $20.400, total saldo $1.040.400. Todo este diero se trabaja e el tercer mes y se debe liquidar los itereses sobre saldo, $ 1040.000*0.02 =$20.808; el uevo saldo al termiar el tercer mes es $1.061 208; luego al iiciar el cuarto mes se tiee $ 1.061.208 y el saldo al termiar el cuarto mes $1.061.208+ ($1.061208*0.02) = 1.082.432, 16. Se puede cocluir que bajo la modalidad del iterés compuesto se capitalizó. E cada periodo se recooció el uso del capital más los itereses. Los tipos de iterés aalizados ateriormete, iterés simple y compuesto, cosidera ua tasa que se comporta discretamete, es decir, el período de capitalizació se asume e itervalos de tiempo fijos, costates: años, semestres, trimestres y meses. ZONA PRÓXIMA Nº 12 (2010) PÁGS. 158-175 161
Leoor Cabeza de Vergara E el iterés cotiuo, el período de capitalizació es ifiitesimal, por tato el período de capitalizació puede tomar cualquier valor e u itervalo de tiempo; éste puede ser aual, semestral, trimestral. Si se deposita hoy $P y se matiee este depósito períodos, bajo ua tasa de iterés cotiuo, al cabo de este tiempo debe teer el capital más los itereses devegados. E el tiempo t el depósito origial se ha trasformado e u capital C(t ), e el istate (t + ), 0 o 0 t el capital asciede a C(t + ); el icremeto del capital de t a (t + ) es producto de los itereses 0 t 0 0 t causados e ese itervalo de tiempo, la razó de cambio del capital e el itervalo [t ;(t + )] se 0 0 t expresa por: C(t 0 + t ) - C(t 0 ) ; dado que el período de capitalizació es ifiitesimal, se asume t que t 0 y se trasforma la razó aterior e: Lim C(t + ) _ C(t ) = dc ; como la derivada del capital co respecto al tiempo, 0 t 0 t 0 dt t Pero esto correspode al iterés causado e el período. C. r. dc dc Luego dt = C. r; difereciado esta ecuació se obtiee: C = r dt Como el objetivo es calcular a qué equivale el depósito iicial P al cabo de período ifiitesimales, se debe procede a itegrar: F F dc = r dt L C = r t = L (F) L P =. r; C P 0 P 0 esto se puede expresar como: L (F/P) =.r; apoyádose e la defiició de logaritmos, esta ecuació es equivalete a: e r = (F/P) ; despejado, F = P. e r, futuro de u valor presete bajo el iterés cotiuo. F = P e r. (Cabeza & Castrilló, 2008, p. 106) E el desarrollo de este trabajo se trabaja co las siguietes equivalecias tomadas de (Cabeza & Castrilló, 2008, pp. 8-9; 21) F = P ( 1+.i ) Futuro de u valor presete, Iterés simple. Equivalecia 1 P = F/ ( 1+.i ); Presete de ua catidad futura, iterés simple. Equivalecia 2. P =. A. [2 + i. (-1)] Presete de ua aualidad vedida iterés simple 2. (1 + i. ) Equivalecia 3 162 ZONA PRÓXIMA Nº 12 (2010) PÁGS. 158-175
cavilacioes sobre el iterés simple Para la demostració de los iterrogates de este trabajo es importate teer claro que serie es la suma de los térmios de ua sucesió, puede ser fiita o ifiita. Ua serie co térmios a se represeta como dode N es el térmio fial de la serie. Las series ifiitas so aquellas dode i toma todos los valores de los úmeros aturales, es decir, i=1,2, 3,4 Las series puede ser covergetes o divergetes. E Calculo, ua serie es diverge si o existe o si tiede a ifiito; coverge si Dode L є R. Otro cocepto es el de serie parcial, etedido como la suma de térmios de ua sucesió Detro de las series matemáticas existe ua muy importate, la serie o progresió aritmética, que soporta la coceptualizació del iterés simple. Ua progresió aritmética es ua sucesió e la que existe u úmero d llamado diferecia comú, co la propiedad de que (a +1 - a ) =d para todo. (Protter & Morey, 1986, p. 111) esta progresió cumple que la suma de térmios de ua progresió aritmética es igual a: S = a. [ 2+ (-1) d] Ecuació 1 2 S = Suma de los térmios de ua progresió aritmética a= Primer térmio de la progresió d= Diferecia costate etre cada termio de la progresió y el aterior = Número de térmios de la progresió. Otra serie bastate útil, es la serie armóica (1/K), La serie armóica es divergete (Taylor & Wade, 2008, p. 761) Pero para el caso de sumas parciales la fució f(t)= L t está dada por el área bajo la curva f=(1/t) etre [1; t] es decir: t L t = (1/x) dx que es aproximadamete igual a: x= (1/X). 1 =1 K=1 Dado que la itegral es el área bajo la curva (1/X) y se cooce que x es creciete, ya que x +1 es igual a x mas el área etre x = y x = + 1, y la sucesió (1/x) esta acotada por 1, puesto que los valores de x se puede colocar e u cuadrado de área 1. E coclusió X, la serie parcial (1/x), tiee límite. Además, de acuerdo al segudo teorema fudametal del cálculo (Purcell, Rigdo & Varberg, 2007, p. 243) dice que si ua fució f(x) es cotiua e u itervalo [a;b] y hay ua ati derivada F(x) de f(x) etoces : b f(x) dx =F(b) F(a) a t ZONA PRÓXIMA Nº 12 (2010) PÁGS. 158-175 163
Leoor Cabeza de Vergara Detro de este repaso de coceptos es importate recordar ciertas propiedades de las series y para esto el carácter de ua serie o cambia si se multiplica por u umero K 0. E este caso: ka etoces k a =1 =1 a =1 =1 y b so series covergetes co límites S 1 y S 2, etoces Si: (a + b ) = S 1 + S 2 =1 Comparació por diferecia Dadas dos series a y b tales que a b para todo 0: a) Si a diverge, etoces b diverge. b) Si b coverge, etoces a coverge. Co base e estos coceptos se tratara de soportar la siguiete disertació. Objetivos Explicar bajo la modalidad del iterés simple, porque el presete de cada ua de las cuotas fijas costates vecidas o es igual al presete de ua aualidad vecida. Determiar bajo la modalidad del iterés Simple que porció de ua cuota fija vecida se asiga a itereses y a capital e cada período. Desarrollo Para dar respuesta a estos dos iterrogates, se ha propuesto u caso particular, para luego si, geeralizar y poder ecotrar las equivalecias respectivas. Caso Se realiza u préstamo de $4.000.000 y se pacta cacelarlo e siete cuotas iguales, a ua tasa de iterés de 6% semestral bajo la modalidad del iterés simple. Se desea calcular el valor de la cuota y costruir ua matriz de pago que muestre cómo se distribuye la cuota etre itereses y aboos a capital y compare el presete de cada cuota co el presete de ua aualidad vecida, iterés simple. Solució P = $4.000.0000 0 1 2 ////////// 7 semestres A A A 164 ZONA PRÓXIMA Nº 12 (2010) PÁGS. 158-175
cavilacioes sobre el iterés simple I = 6% semestral A =? - Despejado A de la equivalecia 3, presete de ua aualidad vecida se obtiee: A = 2 P [1 + i ] [2 + ( 1) i] - Reemplazado e la fórmula se tiee: 2 $4.000.00 [1+ 7 0.06] A = = $ 687 651,33 7 [2 + (7 1) 0.06] La cuota que se debe cacelar semestralmete es de $ 687. 651,33 Como uo de los objetivos es verificar que el presete de cada ua de las cuotas costates bajo la modalidad del iterés simple o es igual al préstamo, para comprobar ésto se utilizó la equivalecia 2; presete de ua catidad futura, presetada e marco coceptual (págia 164) que permite traer ua catidad de diero períodos atrás a ua tasa i y se comparó co el resultado obteido por la equivalecia 3; futuro de ua catidad presete, que permite buscar el valor de $P, periodos después a ua tasa i, y el resultado de trae a pesos de hoy estos futuros co la equivalecia 2, esto se muestra e la tabla siguiete. ZONA PRÓXIMA Nº 12 (2010) PÁGS. 158-175 165
Leoor Cabeza de Vergara Tabla. 1 Comparació del presete de ua aualidad vecida vs el presete de cada cuota iterés simple (1) N (2) A (3) Presete de cada cuota (4) Futuro de cuota (5) Presete de cada cuota (4) 0 1 $ 687.651,33 $648.728 $ 935.206 $658.596 2 $ 687.651,33 $613.974 $ 893.947 $629.540 3 $ 687.651,33 $582.755 $ 852.688 $600.484 4 $ 687.651,33 $554.558 $ 811.429 $571.429 5 $ 687.651,33 $528.963 $770.169 $ 542.373 6 $ 687.651,33 $505.626 $728.910 $513.317 7 $ 687.651,33 $484.262 $687.651 $ 484.262 Total $ 4.813.559,32 $ 3.918.865 $ 5.680.000 $ 4.000.000 Fuete. Elaboració propia. Si se observa la columa (3), se tomó cada cuota y se trajo a pesos de hoy, co la equivalecia (3) presete de u valor futuro; ejemplo: Cuota 3: P = $687.651, 33/ (1 + 3 0, 06) = $ 582.755. La suma de estas cuotas es diferete a $4.000.000; se obtuvo u valor de $3.918.865; E la columa (4) se tomó cada cuota A, columa (2) y se llevó a futuro utilizado la equivalecia (1), futuro de u valor presete; F= $687.651,33 (1+ 3 0,06) = $852.688; sumado todos los futuros se obtuvo u valor de $5 680 000, pero si se trae este valor a pesos de mometo cero co la equivalecia (2), presete de u valor futuro, es igual al préstamo; P= $5.680 000/ (1+ 7*0.06) = $ 4 000 000, ahora si se suma las filas de la columa (5) que represeta el presete de cada cuota ubicada e el semestre siete, se obtiee ua sumatoria igual a $ 4. 000.000. Geeralizado el aterior ejemplo, se puede cocluir: P = A (1 + (J -1)* i) =. A. [2 + i. (-1)] A (1+ *i) 2.(1 + i. ) (1+j*i) Utilizado el cocepto de serie aritmética se puede demostrar la igualdad de los dos primeros térmios. 166 ZONA PRÓXIMA Nº 12 (2010) PÁGS. 158-175
cavilacioes sobre el iterés simple P = A (1 + (J -1) i) = A [ 1+ (1+i)+(1+2i)+(1+3i).+ (1+(-1) i)] (1+ i) (1+ i) El factor [ (1+i)+(1+2i)+(1+3i).+ (1+(-1) i)]= [ + i+ 2i+ 3i+ + (-1)i] los sumados desde i hasta (-1) i es la suma de los térmios de ua sucesió aritmética y utilizado la propiedad comutativa y sacado factor comú i, se pretede calcular esta suma S -1; suma que se puede expresar de mayor a meor o de mayor a meor, esto por la comutatividad de los úmeros reales: S -1. = [1 + 2 + 3 + 4 +.+ (-1)] S -1 = [(-1) + (-2) + (-3) + (-4) +.+ 1] 2S -1 = [ + + + + + ] Luego, se está sumado (-1) veces la misma catidad, por tato: 2S -1 = (-1) etoces S -1 = (-1) / 2. Reemplazado: P = A (1 + (J -1) i) = A* [ + i(-1) ] =A* [ 2+ (-1) i] Equivalecia 4 (1+ *i) (1+ *i) 2 2(1+i) Tomado los datos reales de la tabla #1 se puede cocluir que se recooció el uso de cada ua de las siete cuotas de $687.651,33 hasta el fial del semestre siete, hay que recordar que e cada ua de estas cuotas está icluido ua porció para liquidar itereses y si se revisa la defiició de iterés simple, se esta recoociedo itereses sobre estos itereses. El criterio que se utilizó fue: dado que la cuota o se liquida e el mometo establecido, se recooció el costo del uso de este diero bajo la modalidad de iterés simple; esto es igual a que el préstamo de $4.000,000 lo liquidara co u solo pago e el semestre siete, lo cual se puede calcular por: F = A [2 + i (-1)] = $ 5.680.000; como A ; A k = A = $ 4.813.559,32 2 k=1 Luego: A [2 + i (-1)] - A = Itereses recoocidos por las cuotas que o se liquidaro e su 2 mometo (período ) y se liquidará todas e el periodo A[2+ (-1)i - 1] = A [ 2+ (-1) i 2] = A (-1)i = ( -1) Ai 2 2 2 2 ZONA PRÓXIMA Nº 12 (2010) PÁGS. 158-175 167
Leoor Cabeza de Vergara Para el caso particular se tiee: $ 5.680.000 - $ 4.813.559,32= $866.440,68 = (-1) A i = 7 6 $ 687.651,33 0.06 = $866.440,68 2 2 Los itereses recoocidos por todas las cuotas que se liquidará e el periodo : I f = ( -1) Ai Equivalecia 5. 2 I f = Itereses totales pagados por el préstamo e el periodo = Número de cuotas pactadas A= La cuota costate pagada cada período. A i represeta el costo del uso de la cuota e u período y se recooce este costo por cada uo de los períodos que se utiliza cada cuota, que correspode a la suma de los (-1) úmero aturales; (-1) / 2, Esto es acorde co el cocepto de la suma de térmios de ua serie aritmética. Siguiedo e este orde e la tabla 1 se puede observar que el presete de cada cuota o es igual al préstamo; columa (3); y se represeta e la última parte de la desigualdad dode se trajo a pesos de hoy cada cuota A, se geera la siguiete serie parcial: A (1+j*i) A= es la cuota costate = Número de cuotas pactadas i= La tasa de iterés, lo que se recooce por cada peso que se utiliza e u itervalo de tiempo. Utilizado las propiedades de las desigualdades: 0< i < 1 0< j i j 1<(1+ j i) (1+j) Por propiedad de las desigualdades se puede cocluir: 1/(1+j i) < 1 1/(1+j) < 1 [1/(1+j)] < [ 1/(1 +j i)] Por tato: 0< [1/(1+j)] < [ 1/(1 +j i)] < 1 Como: 0< j, etoces 0< (j+1 ) (+ 1); por tato [1/( 1+)] [1/ ( 1+ j)]. Luego: [1/( 1+)] [1/(1+j)] < [ 1/(1 +j i)] < 1 168 ZONA PRÓXIMA Nº 12 (2010) PÁGS. 158-175
cavilacioes sobre el iterés simple 1 < 1 < Iecuació 1 (1+) (1+j) (1+j i) Reemplazado e la iecuació 1; por 7 se obtiee: 7 7 0.875 = 7 1 < 1 < 7 (1+7) (1+j) (1+j i) Multiplicado la iecuació 1, por ua catidad mayor que cero la desigualdad se matiee, etoces si A= $687.651,33 se tiee: 7 $601 694, 91 A < $4.813.559,32 (1+j i) Dado que lo que se quiere probar es que la suma de los presetes de cada cuota es diferete a P: 0< j < ; 0< i< 1 luego; 0 < i j < (j -1) < j etoces, (j -1)i < j i, Sumado a ambos lados de la desigualdad la misma catidad real mayor que cero la desigualdad se matiee: [1+ (j -1) i] < [1 +j i] [ 1+]; Iecuació 2 Por propiedades de los úmeros reales y las desigualdades si a<b etoces (1/b)< a; si a y b so positivos; tomado los dos primeros térmios de la iecuació 2, se tiee: [1/(1+j i)] < [1+ (j -1) i] si j toma valores de 1 hasta se tiee: 1 < (1 + (J -1) i) (1+j i) El segudo térmio es la suma de los térmios de ua serie parcial aritmética y que se demostró e la ecuació 4; e la págia aterior; por tato: 1 < (1 + (J -1)* i) = [ 2+ (-1) i] J=1 (1+j*i) J=1 2 Multiplicado la iecuació 1 por A; A>0 : A A < A < A (1+) (1+j) (1+j*i) P = A[ 2+ (-1) i] < A[ 2+ (-1) i] = F 2 (1 + i) 2 ZONA PRÓXIMA Nº 12 (2010) PÁGS. 158-175 169
Leoor Cabeza de Vergara Es de aotar que P está e el tiempo cero (0) y cada cuota que se suma e A se ubica e u período superior a cero, por tato; P < A <F, luego se espera que: A A < P <A <F (1+i) j=1 (1+j i) Apoyádose e el cocepto de la serie armóica que dice que ua serie parcial de ua serie armóica ( 1/X ) defiida como el úmero armóico, crece aproximadamete ta rápido como el logaritmo atural de, ( Porter y Morrey, 1986, p. 574) esto es porque la suma se aproxima a la itegral de (1/x) dx = L() 1 Para el caso X = 1+ j i; dj=dx/i; el límite superior es igual a (1 + i) y el límite iferior de la itegral es (1 +i) y por el segudo teorema fudametal del cálculo esto es: (1+i) (1/(1+ j i)) dj = (1/i) (1/x) dx = L[(1+ i)/ (1+i)] / i 1 (1+i) A se aproxima ~ A[L((1+ i)/(1+i))] P J=1 (1+j*i) i Como el diero tiee diferete valor e el tiempo, las cuotas ubicadas e el período cero tiee u valor meor a la cuota y por ede la suma de las cuotas, períodos atrás, debe ser como máximo el valor de cotado del bie. Tomado los datos del caso: A ~ A[L((1+i)/(1+i)] = 687 651, 33[ L(1+0,06*7)/(1,06)] = 3 351 016,20 < P J=1 (1+j*i) 0,06 0,06 Co esto se demuestra matemáticamete que el presete de cada cuota o es igual al préstamo, lo cual se explica porque e el iterés simple o se paga los itereses sobre el saldo, al traer cada cuota a presete se estaría descotado u iterés que o se liquida sobre la porció del capital que trabajo e el período sio sobre todo el capital, que luego se distribuye e las cuotas, esto se demostrará e los siguietes párrafos. El segudo objetivo es ecotrar ua equivalecia matemática que permita distribuir la cuota del iterés simple e capital e itereses, para esto se seguirá co el mismo caso. Como se plateó e los párrafos 170 ZONA PRÓXIMA Nº 12 (2010) PÁGS. 158-175
cavilacioes sobre el iterés simple ateriores, para calcular el presete de cada cuota j se cosidera el uso de cada cuota e los ( j) períodos, luego se trae esta cuota a valor presete, lo cual permite descotar los itereses recoocidos del período j al período y se determia el valor de la cuota e el mometo cero, esto permite calcular la diferecia etre la cuota (A) y el presete de la cuota e cada período, lo que correspode a los itereses que se está liquidado detro de cada cuota, como se observa e la siguiete tabla. Tabla. 2 Itereses liquidados por cuota N A PRESENTE FUTURO PRESENTE A PRESENTE (1) (I) (II) (1) (II) INTERESES LIQUIDADOS EN CADA CUOTA - $ 687.651,33 A*{1+(N-1)i}/(1+i) $ 935.205,81 $658.595,64 $ 29.055,69 1 $ 687.651,33 A*{1+(N-2)i}/(1+i) $ 893.946,73 $ 629.539,95 $ 58.111,38 2 $687.651,33 A*{1+(N-3)i}/(1+i) $ 852.687,65 $600.484,26 $ 87.167,07 3 $ 687.651,33 A*{1+(N-4)i}/(1+i) $ 811.428,57 $ 571.428,57 $ 116.222,76 4 $ 687.651,33 A*{1+(N-5)i}/(1+i) $ 770.169,49 $ 542.372,88 $ 145.278,45 5 $ 687.651,33 A*{1+(N-6)i}/(1+i) $ 728.910,41 $ 513.317,19 $ 174.334,14 6 $687.651,33 A*{1+(N-7)i}/(1+i) $ 687.651,33 $ 484.261,50 $ 203.389,83 7 Total $4.813.559,32 $ 4.000.000,00 $ 813.559,32 - Fuete. Elaboració propia. ZONA PRÓXIMA Nº 12 (2010) PÁGS. 158-175 171
Leoor Cabeza de Vergara Geeralizado este caso para cualquier úmero de cuotas(), tasa (i) y cuota (A) se obtiee Tabla. 3 Itereses liquidados para cuotas 1 2 3 4 J A FUTURO (a) PRESENTE (b) A (b) =(C) (C ) INTERESES LIQUIDADOS EN CADA CUOTA - A A*{1+(-1)i} A*{1+(-1)i} /(1+i) A-A*{1+(-1)i}/(1+i) Ai/ (1+i) A A*{1+(-2)i} A*{1+(-2)i} /(1+i) A- A*{1+(-2)i}/(1+i) 2Ai/(1+i) A A*{1+(-3)i} A*{1+(-3)i} /(1+i) A- A*{1+(-3)i}/(1+i) 3Ai/(1+i) A A*{1+(-4)i} A*{1+(-4)i} /(1+i) A-A*{1+(-4)i}/(1+i) 4Ai/(1+i) J A A*{1+(-J)i} A*{1+(-J)i} /(1+i) A- A*{1+(-J)i}/(1+i) jai/(1+i). A A*{1+(-(-1)i} A*{1+(-(-1)i}/(1+i) A- A*{1+ i}/(1+i) (-1)Ai/(1+i) A A*{1+(-)i} A*{1+(-)i}/(1+i) A- A*{1+(-)i}/(1+i) Ai/(1+i) Total A Ai J Fuete. Elaboració propia. (1+i ) J=1 De acuerdo a lo desarrollado e la tabla, cuota por cuota se observa que los itereses liquidados e cada cuota so iguales a: jai/ (1+i), dode J = 1, 2, 3, 4..,. Equivalecia 6 Además la suma de los itereses que se recooce e cada cuota es igual a la diferecia etre la suma de las cuotas A, meos el préstamo; A P = I; (I; total de itereses recoocidos). Dado que se tiee la suma de los primeros úmeros aturales, y esto represeta ua serie aritmética se puede cocluir que: 172 ZONA PRÓXIMA Nº 12 (2010) PÁGS. 158-175
cavilacioes sobre el iterés simple J = (+1) /2 y por ede Ai J = Ai ( +1) = I J=1 (1+i ) J=1 (1+i ) 2 Se busca expresar el iterés liquidado e cada cuota e fució del iterés total que se liquida; despejado A de la ecuació aterior se puede cocluir: A = 2I. (1+i) /(+1) i Remplazado e la equivalecia 6, se tiee: [2I. (1+i)]. [ J. i] = 2.I.J (+1) i (1+i) (+1) Bajo la modalidad de iterés simple los itereses que se recooce e cada cuota se calcula bajo la siguiete expresió: Ij = 2.I.J dode J = 1, 2, 3, 4.., Equivalecia 7 (+1) I = Total de itereses recoocidos e los períodos J = Número del período a calcular = Número total de cuotas pactadas Ij = Itereses recoocidos e cada cuota j Comprobado lo ecotrado e la siguiete matriz de amortizació para el caso que se plateó: Tabla. 4 Matriz de pago Semestre Cuota Itereses Aboo a capital Saldo 0 $ 4.000.000,00 1 $ 687.651,33 $ 29.055,69 $ 658.595,64 $ 3.341.404,36 2 $ 687.651,33 $ 58.111,38 $ 629.539,95 $ 2.711.864,41 3 $ 687.651,33 $ 87.167,07 $ 600.484,26 $ 2.111.380,15 4 $ 687.651,33 $ 116.222,76 $ 571.428,57 $ 1.539.951,57 5 $ 687.651,33 $ 145.278,45 $ 542.372,88 $ 997.578,69 6 $ 687.651,33 $ 174.334,14 $ 513.317,19 $ 484.261,50 7 $ 687.651,33 $ 203.389,83 $ 484.261,50 $ - Totales $ 4.813.559,32 $ 813.559,32 $ 4.000.000,00 Fuete. Elaboració propia. Aalizado la tabla se observa que la suma de las siete cuotas es de $ 4.813.559,32 y el capital que se debe cacelar es de $4.000.000; luego la diferecia de $813.559,32 represeta los itereses que se debe pagar por el préstamo (I =P A). Es importate aotar que dado que se está trabajado ZONA PRÓXIMA Nº 12 (2010) PÁGS. 158-175 173
Leoor Cabeza de Vergara co iterés simple, los itereses de cada período o se calcula sobre saldo, los itereses totales se distribuye mediate u factor e cada período mediate la expresió ecotrada: Para calcular los itereses correspodietes al período uo (J=1): Itereses del período uo es igual a: $813.559,32 2 1/[7 (7+1)] = $29.055,69, y así sucesivamete. El pago de los itereses se puede pactar de dos formas y como es iterés simple o hay capitalizació; esto sería; cacelar al iicio ua mayor catidad de itereses y meor aboo a capital o cacelar al iicio meor catidad de itereses y mayor aboo a capital como se acaba de demostrar. Si se toma la primera opció, la ecuació sería: 2 Iterés del período Ij = I. (+1 - J). Equivalecia 8 (+1) I = = J = Ij = Itereses totales Número de períodos Período de aálisis Iterés del período j Esto implicaría que la tabla de amortizació se ivierte. Para calcular los itereses correspodietes al período uo (1): Itereses del período uo es igual a: $813.559,32 [7+1-1] 2/[7 (7+1)] = $203.389,83. y así sucesivamete. Esto implica ivertir la matriz de pago. Coceptualmete tiee más setido la primera opció El aboo a capital es la diferecia etre la cuota y los itereses correspodietes a cada período. Aboo a capital = Cuota Itereses del período CONCLUSIONES Como el diero tiee diferete valor e el tiempo y el uso del diero tiee costo, bajo este criterio y el cocepto de iterés simple, se afirma: si se usa diero se debe pagar por él, si se aplica iterés simple, se debe pagar sólo sobre capital, cuado se descompoe el pago de u préstamo bajo la modalidad de iterés simple e cuotas o aualidades vecidas e periodos, se distribuye los itereses que se liquidaría e el período, si e los períodos o se paga igua de las cuotas acordadas, por esto, al costruir el presete de ua aualidad vecida bajo el iterés simple se lleva a futuro cada cuota y luego se descueta estos itereses, trayedo a presete al mometo cero cada cuota, mediate este criterio se descueta los itereses recoocidos por el uso de cada cuota del periodo j al período, es decir, por trabajar la cuota (- j) períodos, dode j= 1,2,.., luego, la diferecia etre este presete y la cuota que se cacela sólo icluye los itereses que se liquida por cuota. 174 ZONA PRÓXIMA Nº 12 (2010) PÁGS. 158-175
cavilacioes sobre el iterés simple El total de itereses recoocidos por el uso de cada ua de las cuotas, del período j al periodo se defie por I f I f = ( -1) Ai Ecuació 5. 2 Es cierto que el presete de cada cuota vecida es meor al valor presete de ua aualidad vecida es decir, meor al préstamo; esto se debe a que por ser iterés simple los itereses o se liquida sobre saldo y al traer a presete cada cuota se estaría descotado u iterés superior al pactado realmete por el préstamo; para este caso es $813.559,32 que correspode a (I= A P); se puede afirmar: A se aproxima ~ A[L((1+i)/(1+i))] < P = A[2+(-1)i] J=1 (1+j*i) i 2(1+i) I f = Itereses totales pagados por el préstamo e el periodo = Número de cuotas pactadas A= La cuota costate pagada cada período. Si se observa la tabla 1 los datos de la columa (3) so meores que los de la columa (5); es decir se está descotado más itereses de lo acordado, lo cual o es correcto, esto se comprueba e la solució del segudo iterrogate. E cada cuota pactada bajo la modalidad de iterés simple se distribuye etre capital e itereses, pero los itereses o se liquida sobre saldo. La siguiete expresió permite determiar el iterés que se liquida e cada cuota j ( I j ) I j = 2.I.J dode J = 1, 2, 3, 4.., Equivalecia 7 (+1) I = Total de itereses recoocidos e los períodos. = A - P J = Número del período a calcular Ij = Itereses liquidados e cada cuota j. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Cabeza, L. & Castrillo, J. (2008). Matemáticas Fiacieras. Barraquilla: Edicioes Uiorte. Protter, M. & Morrey, Ch. (1986). Cálculo co geometría aalítica. México: Addiso Wesley Iberoamericaa S.A. Purcell, E. J.; Rigdo, S.E. & Varberg, D.E. (2007). Cálculo. México: Pearso Educatio Taylor, H. & Wade, Th. (2008). Cálculo diferecial e itegral. México: Limusa. ZONA PRÓXIMA Nº 12 (2010) PÁGS. 158-175 175