Universidad de la República Cálculo diferencial integral en una variable Facultad de Ingeniería - IMERL Primer semestre 018 Práctico Semana 10 1. Propiedades generales de las funciones continuas 1. Sean a,b,c y d numeros reales tales que a < b y c < d. Bosquejar, si es posible, una función f continua que cumplan. a) f : (a,b) [c,d], f ((a,b)) = (c,d) b) f : (a,b) [c,d], f ((a,b)) = [c,d] c) f : (a,b) [c,d], f ((a,b)) = (c,d] d) f : [a,b] [c,d], f ([a,b]) = (c,d) e) f : [a,b] [c,d], f ([a,b]) = [c,d] f ) f : (a,b) R, f ((a,b)) = R g) f : [a,b] R, f ([a,b]) = R h) f : R [c,d], f (R) = [c,d] i) f : R [c,d], f (R) = (c,d). Eistencia de soluciones a) Demuestre que la ecuación dada + cos() = 0 tiene al menos una solución. b) En los siguientes casos, hallar un entero n para el cual eiste tal que n n + 1 y f () = 0: a) 3 + 3 b) 5 + 5 4 + + 1 c) 5 + + 1 d) + e c) Demostrar que eiste un número tal que: c) 117 + a) sin() = 1 b) 5sin() = cos() 534 1 + + sin () = 11 d) 163 179 + 1 + + sin () = 119 e) 5 = 1 + 3 d) Eamen, Julio 015, parte del problema 3 Probar que la siguiente ecuación tiene una solución en el intervalo (1,): ( ) 1 5 = log() e e) Considere la ecuación 1 4 = cos(). 1) Muestre que tiene al menos una solución. ) Muestre que tiene al menos dos soluciones. 3) Muestre que tiene al menos tres soluciones. 1
3. Dados a,b positivos probar que la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo ( 1,1). a 3 4 + 4 + b 3 + 4 4 = 0 4. Sea f : R R una función continua tal que eiste un par a,b R con a < b y f (a) < 0 < f (b). Sea A el conjunto definido por A = y > a : f (z) < 0 : z [a,y]}. Probar que A esta acotado, no tiene maimo y sup(a) es una raíz de f. 5. Puntos fijos Dada f una función, un punto fijo de f es un valor c tal que f (c) = c. Notar que una función puede tener varios puntos fijos, uno solo o ninguno. a) Sea f : [0,1] [0,1] una función continua. Probar que f tiene al menos un punto fijo. b) Sea f : R R una función continua y monotona decreciente. Probar que f tiene al menos un punto fijo. c) De un ejemplo de una función f : R R continua y sin puntos fijos. 6. Sea f : R R una función continua. Probar o dar un contraejemplo para las siguientes afirmaciones a) La función f esta acotada si solo si tiene máimo y mínimo. b) Si f tiene máimo y mínimo entonces esta acotada. c) Si eisten a,b R tal que f () = a y f () = b, entonces f esta acotada. d) Si f esta acotada entonces eisten a,b R tal que f () = a y f () = b e) Si eisten a,b R tal que f () = a y f () = b, entonces f tiene máimo y mínimo. f ) Si eisten a,b R tal que f () = a y f () = b, entonces f tiene máimo o mínimo. g) Si eiste a R tal que f () = a = f (), entonces f tiene máimo y mínimo. h) Si eiste a R tal que f () = a = f (), entonces f tiene máimo o mínimo. i) Si f () = + = f () entonces f tiene mínimo. 7. Polinomios a) Todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz. b) Mostrar que la paridad de la cantidad de raíces contadas con multiplicidad es igual a la paridad del grado del polinomio. c) Sea f : R R un polinomio. Probar que eiste y R, tal que f (y) f () : R. d) Sea φ : R R una función continua tal que φ() n = 0 = φ() + n 1) Probar que si n es impar, entonces eiste R tal que n + φ() = 0. ) Probar que si n es par eiste un numero y tal que y n + φ(y) n + φ(), R e) Dado un polinomio P decimos que una raíz ha sido separada si se ha encontrado un intervalo [a,b] que contiene esta raíz y ninguna otra. Separar las raíces reales de cada uno de los siguientes polinomios (todos tienen 4 raices). Comentarios: Estudiar P ( n ) para n Z a) 3 4 3 36 + 36 8 b) 4 14 + 14 1 c) 4 + 4 3 + 6 +
8. Etremos absolutos a) Primer parcial, primer semestre 010. Sean a R y f : R R tal que f () = a si 1 a si > 1 El valor de a que hace que f sea continua y no tenga tenga etremos absolutos es... b) Primer parcial, primer semestre 007. Sean las funciones f,g : R R tales que son continuas y Indicar la opción correcta. f () = f () = 0 y + g() = g() = + + (A) f alcanza un máimo y g alcanza un mínimo. (B) f alcanza un máimo y g alcanza un mínimo. (C) f esta acotada pero no alcanza ni mínimo ni máimo y g alcanza un mínimo. (D) f alcanza un mínimo y g esta acotada superiormente. (E) f alcanza un mínimo y g no esta acotada. 9. Determine eistencia de maimo y minimo de las siguientes funciones R. En caso de que eistan, calcularlos. a) f () = + b) f () = 3 + + + 1 c) f () = 4 + 4 d) f () = sin () e) f () = 9 7 + 3 f ) f () = 5 + 3 + + 1 g) f () = 1 + 1 10. Para cada una de las siguientes funciones decida cúales están acotadas superior o inferiormente en el intervalo que se indica, y cuáles alcanzan su valor máimo o mínimo. a) f () = en ( 1,1) b) f () = en R c) f () = en [0,+ ) si a d) f () = en ( a 1,a + 1) con a > 1 a + si > a 0 si Q si Q e) f () = 1 q si = p q, donde p q fraccion irreducible en [0,1] f ) f () = en [0,a] 0 si Q 11. Primer parcial, primer semestre 007, MO Sea f : R R una función. Se concideran los siguientes enunciados: Enunciado I: Si f es continua en todo punto R, entonces la imagen por f de cualquier intervalo cerrado y acotado es tambien un intervalo cerrado y acotado. Enunciado II: Si la imagen por f de cualquier intervalo cerrado y acotado es un intervalo cerrado y acotado entonces f es una función continua para todo R. (A) Ambos enunciados son verdaderos. (B) El Enunciado II es verdadero pero, el Enunciado I es falso, y un contraejemplo es la función f tal que f () = sin ( ) 1 si 0 0 si = 0. (C) El Enunciado I es verdadero pero, el Enunciado II es falso, y un contraejemplo es la función f tal ( ) sin 1 si 0 que f () = 0 si = 0. 3
(D) El Enunciado I es verdadero pero, el Enunciado II es falso, y un contraejemplo es la función f tal si 0 que f () = 0 si = 0. (E) Ambos resultados falsos. 1. Sea f : R R una función continua tal que f () + 1, para todo R. Calcule f (R). 13. a) Sea f : [a,b] R tal que f es continua y f () es racional para todo. Qué puede decirse acerca de f? b) Sea f : [ 1,1] R una funcion continua, tal que +(f ()) = 1. Demuestre que o bien f () = 1 o bien f () = 1 c) Cuántas funciones continuas f : R R hay que satisfagan (f ()) =. Función eponencial 1. Mostrar que eiste un valor e R tal que log(e) = 1. A partir de las propiedades de log vistas en el práctico 6, probar que log(e ) = para todo Q. Probar que la función ep() = e es la inversa de log.. a) Sean g : I R continua y estrictamente monotona en un entorno de a I. Dada f : J R probar que f () eiste, si solo si f (g()) eiste y ademas se cumple que g(a) a b) Probar que Deducir que f () = f (g()) g(a) a + e = +, n N n log() + α = 0, α R + c) A paritr de la parte a), tomando g() = log() calcular los siguientes ites Calcular los siguientes ites e 1 a) = 1 0 b) 0 e 1 c) 1 e 1 1 1 e 3 +1 1 d) 1 3 + 3 e) 0 e cos() f ) h) + e +1 e e sin() cos() 0 g) 0 e sin() cos() i) + elog (+1) e log () 4
3. Aplicaciones 1. Sea F la función que le asgina a cada punto del planeta tierra su temperatura, asumamos que la tierra tiene forma esférica perfecta, y que la función F es continua. Discutir si la siguiente afirmación es verdadera: Eisten dos puntos antipodales (diametralmente opuestos en la esfera) que tienen la misma temperatura.. Lema del Sol Naciente Suponga que tenemos una región montañosa como en la figura. Denominamos f () a la altura de cada punto y donde la coordenada crece hacia el este. Asuma que f es continua. En el momento del Alba, podemos suponer que los rayos de sol son horizontales, habra lugares con sombra y lugares sin sombra. Llamamos S = : en el punto (,f ()) hay sombra} a) Discutir que S si solo si y > tal que f () < f (y). Esta es la definición formal de S. b) Suponga que (a,b) S y a S, b S, en particular f (a) f (b). 1) Suponga que f (a) > f (b), demuestre que el máimo de f en [a,b] es f (a). ) Demuestre que esto lleva a una contradiccion por tanto f (a) = f (b) c) Sea p tal que eiste un intervalo I para el cual p I que cumple la siguiente propiedad, I S si solo si < p. Mostrar que f (p) es un pico, es decir un máimo relativo. 3. Un reloj averiado marca inicialmente un tiempo t 0. El reloj puede adelantar o atrasar, pero cuenta con eactitud periodos de 1 horas, es decir, pasadas 1 horas el reloj marca un tiempo t 0 + 1 horas. Demuestre que en algún momento dicho reloj mide con eactitud una hora. 4. Suponga que tiene un resorte colgando desde el techo, y lo estira hacia abajo. Es cierto que algún punto del resorte quedara en su posición original? Suponga que tiene un resorte sobre una superficie latreral (digamos una mesa) y lo contrae desde los etremos, aplicando fuerza similar, pero sin saber si es igual o no Es cierto que algún punto del resorte quedará en su posición original? 5
4. Opcionales 1. Distancia a una curva a) Suponga que f es continua en [a,b], y sea cualquier número. Demuestre que eiste un punto en la gráfica de f que es el que está más al punto (,0), en otras palabras, eiste un y de [a,b] tal que la distancia de (,0) a (y,f (y)) es menor igual que la distancia (z,f (z)) para todo z de [a,b]. Recordar que la distancia entre dos puntos del plano P = (p 1,p ) y Q = (q q,q ) es d(p,q) = (p 1 q 1 ) + (p q ). b) Muestre que este resultado no es cierto si [a,b] se sustituye por (a,b). c) Demuestre que el resultado es cierto si [a,b] se sustituye por R.. Demuestre que no eiste una función continua f : R R tal que la preimagen de cada punto tenga valores, es decir #f 1 (y) = para todo y R. Ejercicios mínimos obligatorios Día 1 Ejercicio 1.1 Ejercicio 1..a y dos partes de 1..b y 1..c Ejercicio 1.3 Ejercicio 1.5 Día Ejercicio 1.6 tres partes Ejercicio 1.9 uno por fila Ejercicio 1.10 uno por fila Ejercicio 1.7 menos parte e. Día 3 1. Ejercicio..a..c.a y 3 partes más del..c. Ejercicio.3 3. Ejercicio 3. o 3.3 6