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SERIE CORONEL 01 (C) Serie Coronel, 2012 (C) 2012. Pedro Pablo Coronel Pérez / Pablo Josué Coronel López DEPÓSITO LEGAL: lf07620125103481 ISBN: 978-980-12-6070-7 Diagramación interna: Estudiográfico, 2012 Diseño de portada: Elkin J. Calle Cortés CORRECCIÓN DE TEXTOS Lcdo. Pedro A. Coronel L. IMPRESIÓN: Litoformas, San Cristóbal [Octubre, 2012] TIRAJE: 500 ejemplares. TIPO DE SOPORTE: Papel Bond base 20 gr/cm 2 Las observaciones, sugerencias y correspondencia se ruega hacerlas llegar a los siguientes correos electrónicos: pedro_coronel1955@hormail.com / pablocoronel19@hotmail.com Impreso en la República Bolivariana de Venezuela Printed in the Bolivarian Republic of Venezuela Las publicaciones de la SERIE CORONEL gozan de protección de los derechos de propiedad intelectual en virtud del Protocolo a la Convención Universal Sobre Derechos de Autor. Sin previa autorización por escrito por parte del editor, quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas por las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía, el tratamiento informático y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. Reservados todos los derechos. 2 3
A mis hijos Pedro A. Coronel L. y Pablo J. Coronel L. A mis padres Ángel I. Coronel A. y María del C. Pérez de Coronel. A mis padres Pedro P. Coronel P. y Marisol López G. La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Descartes (1596 1560) / Filósofo y matemático francés 4 5
ÍNDICE Prólogo Breve fundamento teórico Bibliografía Límites Algebraicos Indeterminados de la forma matemática Límites Trigonométricos Indeterminados de la forma matemática Límites Indeterminados de la forma matemática Límites Indeterminados de la forma matemática Límites Indeterminados de la forma matemática Ejercicios complementarios 09 11 15 17 33 51 77 107 143 6 7
PRÓLOGO El propósito de este libro, es presentar a los alumnos que inician sus estudios universitarios una serie de problemas sobre límites, muy representativos y resueltos en forma detallada. Evidentemente será de gran utilidad para estudiantes de Ingeniería, Ciencias, Tecnología o cualquier especialidad donde el Cálculo Matemático sea un requisito indispensable dentro del pensum de estudio. Por otra parte, la gran cantidad de ejercicios, permite que el material también pueda ser utilizado como texto guía tanto por el alumno como por el profesor en el desarrollo de este importante tema de cálculo. Todos los problemas que aquí se presentan están relacionados con límites de las formas que son las indeterminaciones más frecuentes aunque también han sido cuidadosamente incluidos algunos límites que se pueden resolver en forma inmediata. Los ejercicios han sido seleccionados con el objeto de ampliar los conocimientos adquiridos en clase, así como también para que el alumno adquiera práctica en la resolución de problemas y así prevenirle ante las dificultades con que normalmente se tropieza el principiante. Los autores se han esmerado en la explicación de los procedimientos utilizados para la resolución de cada uno de los problemas. Sin embargo, de manera intencional, en algunos se ha omitido ciertos pasos explicativos, con la finalidad de obligar al alumno a reflexionar sobre algunos conocimientos básicos del álgebra elemental o sobre procedimientos que ya han sido utilizados en problemas previos con la única finalidad de contribuir a mejorar el proceso de aprendizaje. 8 9
BREVE FUNDAMENTO TEÓRICO Propiedades de los límites Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades: Límite de Expresión Una constante La función identidad El producto de una función y una constante Una suma Una resta Un producto Un cociente Una potencia Un logaritmo El número e 10 11
Indeterminaciones Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere como el límite que tiende a infinito y 0 al límite cuando tiende a 0; y no al número 0): Productos con infinito: Infinito por un número Operación Indeterminación Infinito por infinito Infinito por cero Cocientes con infinito y cero: Cero partido por un número Definición del teorema del encaje o teorema del emparedado que dice: Operaciones con Infinito Sumas con infinito: Un número partido por cero Un número partido por infinito Infinito partido por un número Infinito más un número Cero partido por infinito Infinito más infinito Infinito partido por cero Infinito menos infinito Cero partido por cero 12 13
Infinito partido por infinito BIBLIOGRAFÍA Potencias con infinito y cero: Un número elevado a cero Cero elevado a cero Infinito elevado a cero Cero elevado a un número Un número elevado a infinito Larson R, Hostetler R. Y Edwards B. (1995). Cálculo. Volumen 1. México. McGraw-Hill. Zill G, Dennis (1985). Cálculo con Geometría Analítica. México, Grupo Editorial Iberoamérica. Wisniewski Piotr M. y Banegas G. Ana L. (2004). Introducción a las matemáticas universitarias. México. McGraw-Hill. Pita R, Claudio. (1998). Cálculo de una variable. México, Prentice- Hall Hispanoamericana. Universidad Nacional Abierta (2011) Matemática II: Límites y Continuidad de Funciones Reales de Variable Real. Caracas, Autor. Cero elevado a infinito Infinito elevado a infinito Uno elevado a infinito 14 15
LÍMITES ALGEBRAICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 001 016 002 017 003 018 004 019 005 020 006 021 007 022 008 023 009 024 010 025 011 026 012 027 013 028 014 029 015 030 16 17
SOLUCIONARIO 002 001 003 18 19
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 031 046 032 047 033 048 034 049 035 050 036 051 037 052 038 053 039 054 040 055 041 056 042 057 043 058 044 059 045 060 20 33 21
054 22 45 23
055 060 24 46 49 25
LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 061 076 062 077 063 078 064 079 065 080 066 081 067 082 068 083 069 084 070 085 071 086 072 087 073 088 074 089 075 090 26 51 27
LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 091 106 092 107 093 108 094 109 095 110 096 111 097 112 098 113 099 114 100 115 101 116 102 117 103 118 104 119 105 120 28 52 29
062 063 30 54 31
099 101 100 102 103 32 68 33 69
LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 121 136 122 137 123 138 124 139 125 140 126 141 127 142 128 143 129 144 130 145 131 146 132 147 133 148 134 149 135 150 34 35 77
LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 151 166 152 153 154 155 167 168 169 170 145 156 171 157 158 159 160 161 162 163 164 172 173 174 175 176 177 178 179 146 165 180 36 78 89 37
LÍMITES ALGEBRAICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 181 196 182 197 183 198 184 199 185 200 186 201 187 202 188 203 189 204 147 190 205 191 206 192 207 193 208 194 209 195 210 38 90 107 39
LÍMITES ALGEBRAICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 211 226 194 212 227 213 228 214 229 215 230 216 231 217 232 218 233 219 220 234 235 195 221 236 222 237 223 238 224 239 225 240 108 40 117 41
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 196 241 246 242 247 243 248 244 249 245 250 197 42 118 143
SOLUCIONARIO 242 241 144 145
250 46 153 47
(C) Serie Coronel [No. 01], 2012 La presente edición, que consta de 500 ejemplares, se imprimió en San Cristóbal, Venezuela, en los talleres gráficos de Litoformas, C.A., durante los meses de octubre-noviembre de 2012. Impreso en la República Bolivariana de Venezuela [Printed in the Bolivarian republic of Venezuela] 48 49
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