INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: GEOMETRÍA DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N FECHA DURACION 0 3 ABRIL 3 DE 07 9 UNIDADES INDICADORES DE DESEMPEÑO. Halla la pendiente la ecuación de una línea recta en sus diferentes formas para hacer uso adecuado de algoritmos.. Resuelve situaciones propuestas con la línea recta con base en algunos parámetros dados. 3. Soluciona problemas planteados para emplear el paralelismo la perpendicularidad entre rectas. 4. Escucha respeta la opinión de sus compañeras. 5. Realiza las actividades de clase enriqueciendo sus conocimientos. LA FUNCIÓN LINEAL: Ecuaciones aplicaciones de la línea recta. Matemáticamente eisten varios tipos de funciones reales entre los que está la función lineal, la cual tiene muchas aplicaciones no sólo en el área de matemáticas, sino en otras áreas como economía costos en las cuales los conceptos de oferta demanda pueden relacionarse mediante una función lineal; además, la función lineal representa gráficamente una línea recta, la cuál tiene dos parámetros esenciales como lo son la dirección la pendiente. ECUACIÓN GENERAL DE LA LÍNEA RECTA: Una ecuación dada corresponde a la de una línea recta cuando el único eponente de la variable de la variables es, además ambas variables no pueden aparecer en el mismo término. La ecuación general de una recta es: a + b + c = 0. La variable recibe el nombre de variable independiente (porque le podemos dar el valor que deseemos) la variable se denomina variable dependiente (porque su valor depende del valor que se le asigne a ). INCLINACIÓN (Ó DIRECCIÓN) Y PENDIENTE de una línea recta. La inclinación ó dirección de una recta es el ángulo que dicha recta forma con el eje horizontal equis (a la derecha de éste) la pendiente (representada con la letra m) se ha definido como la tangente de dicho ángulo o de dicha inclinación, es decir, m = tan siendo la inclinación de la recta. Cuando la inclinación es un ángulo agudo (entre 0 90 ) la pendiente es positiva, pero si la inclinación es un ángulo obtuso (entre 90º 80º) la pendiente es negativa. Cuando la recta es horizontal su inclinación es 0º por lo tanto su pendiente m = 0 (m = tan0º entonces m = 0). Cuando la recta es vertical su inclinación es 90º por lo tanto su pendiente no eiste porque: m = tan90º tan90º no eiste, luego su pendiente no eiste. Por la geometría euclidiana es bien sabido que para que una recta quede completamente definida, es necesario conocer como mínimo dos puntos por donde pase
dicha recta. Además, cuando se conocen dos puntos por donde pasa la recta (digamos (, ) (, ) ) su pendiente se puede calcular mediante la siguiente epresión: FUNCIÓN LINEAL: La ecuación general de la recta se puede llevar a la forma: = f() = m + b, llamada función lineal o afín, donde m es la pendiente de la recta corresponde al coeficiente de después de haber despejado a la variable. El parámetro b se denomina intercepto con el eje Y corresponde al punto (0,b) que es el punto donde la recta corta al eje Y. EN RESUMEN, para hallar la pendiente de una recta es necesario tener en cuenta que: m Si nos dan la inclinación (ángulo), su pendiente (m) es: m = tanθ, siendo θ la inclinación. Si nos dan dos puntos por donde pasa la recta, su pendiente se calcula así: m donde (, ) (, ) son los dos puntos dados por donde pasa la recta. Si nos dan la ecuación general de la recta, su pendiente se halla despejando de dicha ecuación completamente a Y la pendiente es el coeficiente de X después de haber despejado a Y, es decir, se lleva a la forma = m + b m es la pendiente. Recordemos que esta ecuación a la habíamos analizado decíamos que el parámetro b era el intercepto con el eje Y el punto era (0, b). * FORMAS PARA HALLAR LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA RECTA: Para hallar la ecuación de una línea recta es necesario conocer un punto por donde la recta pasa (, ) el valor de su pendiente m, o conocer dos puntos por donde la recta pasa (, ) (, ). Ecuación punto pendiente: Es aquella ecuación que se emplea cuando me piden hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto dado (digamos (, )) conocemos además el valor m de su pendiente. En este caso se emplea la ecuación: m( ) Ecuación punto punto: Es aquella ecuación que se emplea cuando me piden hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados digamos (, ) (, ). En este caso se emplea la ecuación: ( )
Ecuación de una recta paralela al eje : Toda recta que sea paralela al eje tiene el mismo valor de su ordenada () en todos sus puntos; por lo tanto la ecuación de una recta que es paralela al eje que pasa por el punto (, ) es: Su ecuación no tiene la variable. = Ecuación de una recta paralela al eje : Toda recta que sea paralela al eje tiene el mismo valor de su abscisa () en todos sus puntos; por lo tanto la ecuación de una recta que es paralela al eje Y que pasa por el punto (, ) es: Su ecuación no tiene la variable Y. = * RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES: - Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma inclinación, es decir, cuando sus pendientes son iguales: m = m - Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es igual a, es decir, sus pendientes son recíprocas con signos contrarios: m. m = - * PUNTOS COLINEALES: Son aquellos que están sobre la misma línea recta; por lo tanto por ser colineales la recta que los contiene tiene la misma pendiente. PUNTOS DE CORTE DE UNA RECTA CON LOS EJES COORDENADOS: Para hallar los puntos de corte o interceptos de una recta con los ejes coordenados se procede así: - Con el eje : Se reemplaza en la ecuación dada a Y por cero se despeja X, formándose el punto de corte (X, 0) siendo X el valor despejado. - Con el eje : Se reemplaza en la ecuación dada a X por cero se despeja Y, formándose el punto de corte (0, Y) siendo Y el valor despejado.. Dadas las siguientes ecuaciones correspondientes a líneas rectas: a. - 3 = 0 b. 3 + = - 5 c. 4 = 3 d. 0 + 5 = - e. 3 + = 0 f. - 6 = 0 g. 4 3 = 0. h. 5 = 6 Indico: a. Cuáles pasan por el origen. b. Cuáles son paralelas al eje Y? 3
c. Cuáles son paralelas al aje X?. d. Cuáles no pasan por el origen?. e. Halla la pendiente el intercepto con el eje Y de las rectas anteriores. f. Cuáles de las rectas dadas tienen como inclinación un ángulo agudo (están inclinadas hacia la derecha)?, Un ángulo obtuso (están inclinadas hacia la izquierda)?, su pendiente es cero?, su pendiente no eiste?. g. Halla la inclinación o dirección de cada una de las rectas anteriores.. Halla la pendiente de la recta de acuerdo con la condición dada: a. Su inclinación es 35. b. De la recta que pasa por los puntos P(3, - 7) Q(- 4, - 5). b. De la recta que pasa por los puntos M(- 4/3, 3/5) N(- /7, 5) c. De la recta cua ecuación es /5 - /3 = - 7. De acuerdo con los conceptos de inclinación pendiente determino la pendiente de las rectas cuas condiciones se dan a continuación. Determina también el intercepto con el eje en los casos que sea posible. a. De la recta cua inclinación es 45º. b. De la recta cua inclinación es 30º. c. De la recta cua inclinación es 0º. d. De la recta cua inclinación es 90º. e. De la recta cua ecuación es = 5 - f. De la recta cua ecuación es = - 7 + /5 g. De la recta cua ecuación es = (5 + ) / 3 h. De la recta cua ecuación es: - + 3 + 5 = 0 i. De la recta cua ecuación es 3 = - 8 j. De la recta que pasa por los puntos: D (3, 5) E (-, 5). k. De la recta que pasa por los puntos M(3, 5) N(3, - ). l. De la recta que pasa por los puntos C(- 3/4, - /) M(, - 3) m. De la recta cua ecuación es / - /3 = -. Yo solita en mi casita I. Hallo la ecuación de la recta de acuerdo con la condición dada: a. Pasa por el punto (5, - 3) su pendiente es 7. b. Pasa por el punto (- /, 3) su inclinación es 35º. c. Pasa por los puntos Q(-, 8) (- 4, 3) d. Pasa por los puntos M(-/5,) N(- 3/, - ). e. Pasa por el punto (- 5, 7) es paralela al eje. f. Pasa por el punto (- 3/4, - /7) es paralela el eje. g. Pasa por el punto (- 3, 5) es paralela a la recta cua ecuación es 4 - + 9 = 0. 4
h. Pasa por le punto (- 8, 3) es perpendicular a la recta cua ecuación es 3 = 4. II. Dado el triángulo cuos vértices son los puntos A(, -), B(4, 4) C(7, - ), hallo la ecuación de cada unos de sus tres lados epresada en forma general. Realizo mu ordenadamente los siguientes ejercicios (los que no termine en la clase, los haré en la casita: a. Empleando pendientes determino si los puntos P(3,4), Q(8,5) R(3,6) son o no colineales. b. Determino el valor de k para que la recta 3 7k = 0 pase por el punto (-,). c. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3,). La abscisa de otro punto de la recta es 4; hallo su ordenada. d. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto R(- 3, ); la ordenada de otro punto de la recta es 4. Hallo su abscisa. f. Hallo el valor de K para que la recta cua ecuación es 3 4k + = 0 pase por el punto (- 3,) g. Hallo el valor de b para que la recta cua ecuación es b 3 = 4b tenga una inclinación de 45. h. Hallo el valor de K para que la recta que pasa por los puntos N(3k, ) S(5, -) tenga una inclinación de 0. Con toda mi responsabilidad e interés trabajo en mi casa los siguientes ejercicios (lo que no entienda lo debo consultar). Oe Carolina Ocampo... no saldré esta semana porque estaré juiciosa en mi casa haciendo esta actividad. Haz tú lo mismo.. Del teto GLIFOS 0 que encuentro en el bibliobanco, en la biblioteca o en la fotocopiadora, resuelvo de la pág. 95 los numerales: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.. Del mismo teto anterior soluciono de la pág. 9 los numerales, 5, 6 4. 3. Verifico si las rectas 3 + 5 + 7 = 0 5 3 = 0 son perpendiculares, paralelas o transversales 4. Encuentro la ecuación de la recta que pasa por el punto (-, 3) es paralela a la recta 3 5 + = 0. 5. El mismo numeral anterior pero perpendicular a la recta dada. 6. Encuentro la ecuación de la recta que pasa por el punto (- 5, 4) es paralela a la recta que pasa por los puntos (-, 3) (, -). 7. El mismo ejercicio anterior pero siendo las rectas perpendiculares. 5
* DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA: Sea la ecuación general de una recta A + B + C = 0 el punto (, ) que no está en la recta, la distancia D de dicho punto a la recta se halla mediante la siguiente epresión: D A B A B C Una de las aplicaciones que tiene esta fórmula es en el cálculo de la altura de un triángulo, así por ejemplo, si conocemos los tres vértices de un triángulo cualquiera, para hallar su altura se halla la ecuación de la recta donde está la base del triángulo la altura será la distancia del vértice opuesto a dicha base a la recta cua ecuación se ha hallado. Las siguientes preguntas son de selección múltiple con única respuesta. (Justifico mi elección).. Una recta paralela a la recta: 3 5 = 7, es: A. 5 3 = 8. B. 3 + 5 = 4. C. 3 5 = D. 6 0 = - 7.. Dadas las rectas: 3 5 + 9 = 0 5 = - 3, puedo decir que son: A. Paralelas. B. Perpendiculares. C. Oblicuas. D. No se cortan. 3. La ecuación de la recta que pasa por el punto (, ) que es paralela a la recta 3 3 = 0, es: A. 3 = 3. B. 3 = 0. C. = - D. = 3. 4. De la recta que tiene como ecuación: 3 + = 0, puedo afirmar que: A. Su pendiente es 3/ su intercepto con el eje es (0, 6). B. Su pendiente es 3/ su intercepto con el eje es (0, 6). C. Su pendiente es 3/ su intercepto con el eje es (0, - 6). D. Su pendiente es 3/ su intercepto con el eje es (0, - 6). 5. Dadas las rectas L, L L 3 cuas ecuaciones generales son: L : 3 8 = 0 L : - 6 + 4 + = 0 L 3 : 3 + 3 = 0 Y se dan además las siguientes condiciones: I. L L II. L // L C. L L3 De acuerdo a las condiciones dadas se cumple: A. Sólo la condición I. B. Sólo las condiciones I II. C. Sólo las condiciones II. III. D. Sólo las condiciones I. III. EL CONOCIMIENTO SIN TRANSFORMACIÓN NO ES SABIDURÍA 6