y = m. x + b Matestay f(0) = b La pendiente "m" indica la variación de la función " y" por unidad de variación de la variable independiente "x"

Transcripción

1 LA FU CIÓ LI EAL O AFÍ : La función más simple en la matemática es la función lineal o de primer grado, donde la incógnita aparece sólo elevada a la primera potencia. Su forma general es: = m. + b pendiente Ordenada al origen La representación gráfica de esta función es una línea recta. Donde m es un número constante llamado "pendiente de la recta" b es otro número constante llamado "ordenada al origen". Significado de la Ordenada al Origen "b": = f() = m. + b f(0) = m. 0 + b f(0) = b Gráficamente la ordenada al origen "b" es el punto donde la recta corta al eje "". O sea que es la ordenada que le corresponde al origen de las abscisas ( = 0). Matesta Significado de la Pendiente "m": La ordenada al origen "b" es el valor que toma la función cuando vale cero Si P (X ;Y ) f() Si P (X ;Y ) f() Y = m. X + b Y = m. X + b Y Y = m. X + b (m. X + b) Y Y = m. X + b m. X b Y Y = m. (X X ) Y Y = m = X X La pendiente "m" indica la variación de la función " " por unidad de variación de la variable independiente "" Instituto Nacional / COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

2 La Funcion Lineal Afin La pendiente m, como su nombre lo indica refleja la inclinación de la recta. Representación gráfica de la recta sin hacer tabla de valores. Siempre es posible representar una recta sin necesidad de hacer la tabla de valores. Para ello se procede así: ) Se ubica la ordenada al origen "b" en el eje, con lo cual se obtiene un punto de la recta. ) A partir de este punto se corren tantas unidades como marca el denominador de la pendiente " " hacia la derecha luego se suben o bajan tantas unidades como marca el numerador de la pendiente " ", dependiendo del signo positivo o negativo de la misma. Así se halla un segundo punto de la recta, que al unirse con el primero permite trazar la recta. Por ejemplo: =. + b = f(0) = m = = = Ordenada al Origen b = m = = Matesta = 0 El signo de la pendiente determina si la recta es creciente o decreciente: Si la pendiente es positiva (+) la función es creciente, lo cual significa que si aumentamos la en un cierto " ", la también aumentará en un cierto " ". Si la pendiente es negativa ( ) la función será decreciente por tanto ante un aumento de la habrá una disminución de la. Algunas rectas son de la forma = b, lo cual implica que la pendiente m es cero pues no aparece el término m.. Esta es la llamada función constante su gráfica es una recta horizontal la cual no es ni creciente ni decreciente sino estacionaria. También ha rectas del tipo = m. en las cuales la ordenada al origen es cero, b = 0. Estas rectas pasan por el origen de coordenadas, o sea por el punto (0,0). Por último se puede considerar a las rectas verticales, si bien no son funciones desde el punto de vista matemático (pues no cumplen las Instituto Nacional / COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

3 La Funcion Lineal Afin condiciones de eistencia unicidad). Tienen la forma = c, siendo c un número constante cualquiera. Todos estos casos particulares de rectas se ejemplifican a continuación: = + = + = = = Á GULO DE I CLI ACIÓ DE U A RECTA : El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo formado entre el eje (en su sentido de crecimiento) la recta, medido en sentido antihorario o positivo. Matesta Recta Creciente α es agudo m > 0 (+) Recta Decreciente α es obtuso m < 0 ( ) α α α m = tg (α) = La pendiente "m" es igual a la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación. Instituto Nacional / COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

4 La Funcion Lineal Afin La recta que tiene un ángulo de inclinación de 90º (recta vertical), no es función pues no cumple las condiciones de eistencia unicidad. Correspondería a una recta de pendiente que tiende a infinito. La tangente de 90º no eiste, por lo cual a esta recta no puede asociársela con una función (no tiene ni pendiente, ni ordenada al origen). Si se quiere calcular el ángulo de inclinación de una recta con pendiente "m" conocida: tg (α) = m α = arc tg (m) El ángulo de inclinación de una recta es igual al arco tangente de la pendiente "m" CEROS DE LA FU CIÓ LI EAL Se llaman ceros de una función a los valores de que hacen cero a la función o sea a la. En una función lineal solo puede haber un cero, pero otras funciones pueden tener más de uno. Gráficamente son los puntos donde la gráfica de la función corta al eje. Para obtener los ceros de una función, se reemplaza la por cero se despeja el valor de. En este ejemplo: =. + 0 =. + =. = Matesta Cero de la función X = Se observa en la gráfica que éste es el valor de "" donde la recta corta al eje "" 0 Para Practicar ) Dadas las siguientes funciones lineales Graficar usando los conceptos de pendiente ordenada al origen. Hallar el cero, igualando la función a cero despejando la. Verificar su ubicación en el gráfico. Decir si la función es creciente, decreciente o constante. Instituto Nacional / COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

5 La Funcion Lineal Afin a) = b) = c) = d) = + e) = f) + = 6 ) Dadas las siguientes gráficas, hallar la función lineal correspondiente a) b) c) d) e) 7 f) Matesta Respuestas: ) a) b) c) creciente constante decreciente X = / no tiene cero. X = 0 Instituto Nacional / COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

6 La Funcion Lineal Afin d) e) f) creciente decreciente decreciente X = / X = X = ) a) = + b) = c) = d) = e) = f) = + RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas si tienen igual pendiente. Recta = m. + b Si m = m R // R Recta = m. + b Matesta Dos rectas coincidentes también son paralelas Por ejemplo, las rectas: = + = m = = = Son paralelas 0 Instituto Nacional 6/ COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

7 La Funcion Lineal Afin RECTAS PERPE DICULARES Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son opuestas recíprocas, o sea la pendiente de una de ellas es igual a la otra invertida (dada vuelta) cambiada de signo. Recta = m. + b Si m = R R Recta = m. + b m Las pendientes de rectas perpendiculares son opuestas recíprocas: Por ejemplo, las rectas: m = + = -½ + m = = = m Son perpendiculares Matesta HALLAR LA ECUACIÓ DE U A RECTA A) Conocido un punto de la recta P ( ; ) su pendiente "m": 0 Dado un punto P ( ; ) que pertenece a una recta de pendiente "m": P ( ; ) Datos P m Para un punto cualquiera de la recta P(;) se cumple: m = m = m = ( ) ( ) = m Ecuación punto-pendiente P Instituto Nacional 7/ COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

8 La Funcion Lineal Afin Por ejemplo, dado un punto P (;) que pertenece a una recta de pendiente m =, la ecuación de la recta será: Datos P (;) m = = m( ) = ( ) = + = + Matesta B) Conocidos dos puntos de la recta P ( ; ) P ( ; ): = 0 = Una forma alternativa de solucionar este problema sería: = m + b = + b =. + b = b = b P Sólo resta hallar la ordenada al origen "b" Para ello se reemplaza "" e "" por las coordenadas del punto conocido P ( ; ) se despeja "b": = + Armándose así la ecuación de la recta Dados dos puntos de la recta P ( ; ) P ( ; ): Datos P ( ; ) P ( ; ) Para un punto cualquiera de la recta P(;) se cumple, como vimos en A): ( ) = m P P = ( ) Ecuación punto-punto La pendiente "m" no se conoce pero se puede calcular mediante: m = m = Instituto Nacional 8/ COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

9 La Funcion Lineal Afin Por ejemplo, dado los puntos P (;) P (;) que pertenecen a una recta, la ecuación de la misma será: P (;) Datos P (;) Para Practicar ( ) = = ( ) = ( ) = = Se puede comprobar los resultados obtenidos mediante el uso de los simuladores digitales: Función Lineal o el Graficador de funciones. P Matesta P 0 = = = ( ) = + + = + Ecuación de la recta que pasa por los puntos dados ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P( ;) tiene una pendiente de /. Graficar ( = / + ) ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A( ; ) B(6;). Graficar ( = / + ) ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(; ) es paralela a la recta de ecuación: + = 0. Graficar ( = / ) ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto R(;) es perpendicular a la recta que pasa por A(0;) B(;0). Graficar ( = ) ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto S( ;) tiene un ángulo de inclinación de. Graficar ( = ) 6) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto T( ;) es perpendicular a la recta de ecuación =. Graficar ( = ) Instituto Nacional 9/ COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

10 La Funcion Lineal Afin 7) Hallar la ecuación de la recta que tiene un cero en es perpendicular a la recta que pasa por A(;) B(; ). Graficar ( = / + ) 8) Un rectángulo tiene dos vértices en A(0;) B(;). Los vértices restantes C D se hallan sobre la recta 7 = 0; hallar: a) La ecuación de la recta que contiene al lado AC. b) El vértice C. c) La ecuación de la recta que contiene al lado BD. d) El vértice D. e) El perímetro la superficie del triángulo. a) = / + b) C(; ) c) = / + / d) D(7; ) e) P = 0; Sup = 9) Se sabe que la hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene como etremos a los puntos A( ;) B(6; ). Si el cateto que pasa por B es paralelo a la recta = 0, hallar: a) La ecuación de la recta que contiene al otro cateto. b) Las coordenadas del vértice restante C. c) El perímetro la superficie del triángulo. Graficar a) = / / b) C(; ) c) P = 9 ( ) Matesta + ; Sup =, 0) Uno de los lados congruentes de un triángulo isósceles tiene como etremos los puntos A(;) B(7;). Si la recta que contiene al lado desigual tiene ecuación + = ; hallar: a) La ecuación de la recta que contiene a la altura del triángulo con respecto a la base desigual. b) Las coordenadas del vértice restante C. c) El perímetro la superficie del triángulo. Graficar a) = 0 b) C(7; ) c) P = 0 + ; Sup = 0 ) Uno de los lados congruentes de un triángulo isósceles tiene como etremos los puntos A( ;) B(;). Si en el vértice A se unen los dos lados congruentes el tercer vértice C se halla por encima de B; hallar: a) La ecuación de la recta que contiene al otro lado congruente AC si el ángulo desigual en A mide 6 ' 6,7''. b) Las coordenadas de C. c) El perímetro del triángulo. Instituto Nacional 0/ COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

11 La Funcion Lineal Afin d) La ecuación de la recta que contiene al lado desigual BC. e) La ecuación de la recta que contiene a la altura del triángulo con respecto a la base desigual BC. f) El punto medio de la base desigual BC. g) La longitud de la altura con respecto a dicha base desigual. h) La superficie del triángulo. Graficar a) = / + 7/ b) C(;) c) P = 0 + d) = + 7 e) = + f) P m (/; 9/) g) h = 7 h) Sup = 7/ ) Calcular el valor (o los valores) de k para que la recta de ecuación k + = 0 sea paralela a k + = 0 (k = ± ) ) Calcular el valor (o los valores) de k para que la recta de ecuación + 9k = 0 sea perpendicular a k = 0 (k = ± /) FORMAS DE LA ECUACIÓ DE U A RECTA La recta tiene tres formas de epresión: ) Forma Eplícita: Es la forma que a hemos visto. Cada recta admite una sola forma eplícita. pendiente Matesta = m. + b Ordenada al origen ) Forma General: Es una forma implícita. Cada recta admite infinitas formas generales de epresión, puesto que multiplicando los dos miembros de la epresión general dada por un mismo número se obtienen epresiones equivalentes. A + B + C = 0 No confundir a A con la pendiente m, que es el número que multiplica a sólo en la forma eplícita. También puede haber otras formas implícitas donde quede algún término en el segundo miembro. Se considera implícita cualquier forma de epresión donde la función no esté despejada, o sea cualquier forma que no sea eplícita. Instituto Nacional / COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

12 La Funcion Lineal Afin Para llevar una epresión implícita de una recta a la forma eplícita sólo ha que despejar la, haciendo los traspasos de términos necesarios. ) Forma Segmentaria: Los parámetros de la recta epresada en forma segmentaria son: ) La abscisa al origen, cero o raíz a. ) La ordenada al origen b. Q (0; b) a + = b b P (a; 0) Probaremos que los puntos P Q pertenecen a la recta dada en forma segmentaria: En P (a; 0): a 0 + = a b a = (Se prueba) a En Q (0;b): Matesta a 0 b + = a b b = (Se prueba) b Si disponemos de la ecuación eplícita de la recta, queremos obtener la forma segmentaria: = + + = + =. + = Partimos de la forma eplícita Despejamos el término independiente Dividimos ambos miembros por dicho número para asegurar un en el segundo miembro Obtenemos la forma segmentaria Instituto Nacional / COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

13 La Funcion Lineal Afin Q (0; ) b = P (; 0) a = Las rectas que pasan por el origen de coordenadas (0;0), no admiten la forma segmentaria de epresión; pues en ese caso a b son iguales a cero no podemos armar la epresión segmentaria con e dividiéndose por cero. El Simulador Digital "Función Lineal" dispone de un simulador adicional "Forma Segmentaria" (que puede llamarse presionando la tecla respectiva) que permite ingresar los parámetros "a" "b" de la forma segmentaria muestra las distintas posiciones de la recta que se obtienen. Para Practicar Se puede comprobar los resultados obtenidos mediante el uso de los simuladores digitales: Función Lineal o el Graficador de funciones. Matesta ) Dadas las siguientes funciones lineales, convertir sus epresiones a las otras dos formas: a) = ( 0 = 0 ; + = ) 0 b) = 0 ( = ; + = c) + = d) + = 7 ( = 7 e) = ( = + ; +0 = 0) ; + = ) + ( + 6 = 0 ; 6 + = ) ) Instituto Nacional / COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

14 La Funcion Lineal Afin f) + 6 = ( = ; 6 8 = 0) PROBLEMAS CO FU CIO ES LI EALES Eisten problemas dados en lenguaje coloquial (o hablado) que se deben resolver empleando los conocimientos adquiridos de función lineal. Por ejemplo en problemas de orientación económica, el costo total de producir "" artículos a menudo es una función lineal de "". Dicha función de costo tiene la forma: Ecuación de Costo Número de unidades fabricadas C() = C v. + C f El costo por unidad es igual a la pendiente de la recta determina un costo variable al multiplicarse por la cantidad "" de artículos producidos. Matesta El costo fijo de desarrollar una cierta actividad que corresponde a la ordenada al origen de la recta En los problemas de tipo económicos, también se habla de ingresos de la empresa. A menudo los ingresos se pueden hallar multiplicando el precio de venta del artículo por el número "" de artículos vendidos. Ecuación de Ingreso Número de unidades fabricadas I() = p. Precio de venta del producto Por último se define la "utilidad", "beneficio" o "ganancia" a la diferencia entre ingresos costos. Instituto Nacional / COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

15 La Funcion Lineal Afin Ecuación de Utilidad Costo U() = I() C() Ingreso Por ejemplo: Una compañía que fabrica botellas de vidrio tiene una estructura de costos lineal. Debe abonar la suma de $ 000 mensuales por alquiler de las instalaciones sueldos; además $ 0, de materia prima por cada botella producida. Si el precio de cada botella de vidrio en el mercado es de $ 0,, hallar: a) La funciones de costo, ingreso utilidad de la compañía en función del número "" de botellas fabricadas. b) El costo total de producir botellas en el mes. c) El ingreso por vender botellas. d) El número de botellas a fabricar vender para llegar a la situación de equilibrio (Ingreso igual al Costo). e) La utilidad por fabricar vender botellas al mes. f) El número de botellas a fabricar vender para obtener una utilidad de $ 000. a) C() = C v. + C f I() = p. Matesta C() = 0, ($/unidad). + $ 000 I() = 0, ($/unidad). U() = I() C() U() = $ 0, ($ 0, + $ 000) = $ 0, $ 0, $ 000 U() = 0,0 ($/unidad) $ 000 b) C() = 0, ($/unidad). + $ 000 C() = 0, ($/unidad) (unidades) + $ 000 C() = $ 00 c) I() = 0, ($/unidad). I() = 0, ($/unidad) (unidades) = $ 00 Instituto Nacional / COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

16 La Funcion Lineal Afin I() = $ 00 d) I() = C() 0, = 0, , 0, = 000 0,0 = 000 = 000 0,0 = 000 botellas e) U() = $ 0,0 $ 000 U(7 000) = $ 0, $ 000 U(7 000) = $ f) U() = $ 0,0 $ 000 $ 000 = $ 0,0 $ 000 $ $ 000 = $ 0,0 $ = $ 0,0 $ $ 0,0 = = botellas Matesta Para Practicar Resolver los siguientes problemas: ) Una compañía de telefonía celular ofrece dos planes: Un plan con factura, con abono fijo de 80 minutos "libres" a un precio de $ por mes. El costo por cada minuto adicional es de $ 0,8. Otro plan con tarjeta prepaga, sin costo fijo pero con un costo de $,0 por cada minuto de uso. a) Hallar la forma analítica de las funciones de costo de ambos planes. b) Representar las funciones de costo de ambos planes en una misma gráfica, en función del número "" de minutos hablados. c) Si un cliente usa el servicio un promedio de 0 minutos al mes, Qué plan le conviene más? Con factura o prepago? Cuánto pagaría en ambos casos? Instituto Nacional 6/ COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

17 La Funcion Lineal Afin d) Si un cliente usa el servicio un promedio de 0 minutos al mes, Qué plan le conviene más? Con factura o prepago? Cuánto pagaría en ambos casos? e) Cuál es el tiempo promedio de uso para el cual a un usuario le resultaría indistinto uno u otro plan? ) Un escalador trepa una montaña en tres etapas: en la primera recorre una cuarta parte de la altura total; en la segunda dos tercios de lo que le queda aún le faltan 00 m. Cuál era la altura de la montaña? ( 600 m) ) Diego, Hugo Luís le compran un regalo a su madre gastando en total $ 6. Si Diego puso el doble de Hugo Luís una tercera parte de Diego Cuánto dinero puso cada uno? (Diego = $ 90 ; Hugo = $ ; Luís = $ 0) Matesta Instituto Nacional 7/ COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

18 La Funcion Lineal Afin ) ) Traba jo Práctico : Función Lineal Dadas las siguientes funciones lineales Graficar usando los conceptos de pendiente ordenada al origen. Hallar el cero, igualando la función a cero despejando la. Verificar su ubicación en el gráfico. Decir si la función es creciente, decreciente o constante. a) = + b) = + c) = d) = 0 e) 6 = 0 f) = Dadas las siguientes gráficas, hallar la función lineal correspondiente. a) b) c) d) e) f) Recta 6 Matesta ) ) ) 6) Calcular el valor (o los valores) de k para que la recta de ecuación k + = 0 sea perpendicular a 9 + k = 0 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ;) es paralela a la recta de ecuación + = Calcular el valor (o los valores) de k para que la recta de ecuación k + = 0 sea paralela a k + = 0 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto S( ; ) tiene un ángulo de inclinación de. Instituto Nacional 8/ COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

19 La Funcion Lineal Afin 7) 8) 9) 0) ) En un triángulo isósceles rectángulo que tiene su base desigual sobre el eje, el vértice opuesto a la misma en (0; ) se halla inscripto un rectángulo de modo que P(;) es su vértice superior derecho en el primer cuadrante: a) Realizar una representación gráfica de la situación planteada. b) Encontrar una epresión para el área del rectángulo A() que dependa sólo de "". c) Calcular el área del rectángulo si la abscisa del punto P es =. Un paralelogramo con un par de lados opuestos horizontales, tiene dos vértices opuestos en P( ;) R(;). Los otros dos lados opuestos paralelos entre sí tienen la dirección de la recta: 8 = 0. Hallar: a) Las coordenadas de los otros dos vértices Q S. b) El perímetro la superficie del paralelogramo. c) La amplitud de los ángulos interiores del polígono. d) Graficar. Un trapecio tiene sus bases horizontales, con su base maor de vértices P( ;) Q(;) su base menor sobre el eje de abscisas. Los lados laterales pertenecen a rectas paralelas a: + = 0 + = respectivamente a P Q. Hallar: Matesta a) Las coordenadas de los otros dos vértices R S. b) El perímetro la superficie del trapecio. c) La amplitud de los ángulos interiores del polígono. d) Graficar. Ana sale de compras gasta la mitad de su dinero en el supermercado, luego pasa por una tienda de ropas gasta las dos quintas partes de lo que le queda. Si regresa con 7 $ Cuál era el monto inicial con que disponía? Un turista desea alquilar un automóvil por un día. Dos empresas le ofrecen lo siguiente: La empresa "A" le cobra $ 0 por día además $,0 por cada kilómetro recorrido. La empresa "B" le cobra $ 60 por día, pero sólo $,0 por km. Instituto Nacional 9/ COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

20 La Funcion Lineal Afin a) Si el turista planea recorrer 7 km. Qué empresa le conviene más contratar? b) Si en cambio sólo piensa viajar 0 km Cuál le convendría más? c) Cuál es el kilometraje recorrido para el cual sería indistinto contratar una empresa o la otra? ) Una empresa de banquetes ofrece un servicio consistente en el alquiler de un salón de fiestas por $ 00 la noche un servicio de comida por $ 0 el tenedor. a) Epresar el costo en función del número de comensales. b) Cuánto costará si se reciben a invitados? c) Cuántos invitados concurrieron si la cuenta final fue de $ 0? Matesta Instituto Nacional 0/ COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

21 La Funcion Lineal Afin Respues tas del Trabajo Práctico : "Función Lineal" ) a) b) c) decreciente X = / decreciente X = / creciente X = 0 ) ) a) d) / R: es cero constante = + b) d) = 0 e) k = ± 6 X = 6/ e) f ) creciente Matesta No es función = + 6 c) = = f ) = ) = + ) k = ± 6) = + Instituto Nacional / COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.

22 La Funcion Lineal Afin 7) a) C b) A() = +0 P(;) c) A() = A(;0) B( ;0) 0 8) 9) a) Q( ;) S(;) b) P = 8 + ; Sup = c) π = 6, ; θ =,69 ; ρ = 6, ; ψ =,69 d) P π Q θ ψ Matesta 0 a) R(;0) S( ;0) b) P = + 7 ; Sup = 0 c) π = 7,96 ; θ =, ; ρ = 6,87 ; ψ = 0,0 S ρ R d) P π θ Q 0) ) $ 0 a) La empresa "B" b) La empresa "A" c), km S ψ 0 ρ R ) a) C() = $ 00 + $ 0. b) $ 90 c) 8 comensales Instituto Nacional / COMPILED BY PROF. Carlos Esta Fuentes.