Tema 3: Itroducció a la probabilidad Tema 3: Itroducció a la probabilidad 3.1 Itroducció Equiprobabilidad Métodos combiatorios Objetivos del tema: l fial del tema el alumo será capaz de: Compreder y describir los sucesos de u experimeto mediate gráficos, tablas, etc. Calcular probabilidades de sucesos simples y compuestos Iterpretar y calcular probabilidades codicioadas Cocepto y propiedades Idepedecia de sucesos Teorema de ayes 1 Determiar la idepedecia de sucesos y utilizarla para calcular probabilidades Utilizar el Teorema de ayes para el cálculo de probabilidades codicioadas 2 Tema 3: Itroducció a la probabilidad 3.1 Itroducció 3.1 Itroducció U ivestigador puede teer el objetivo de: Describir los resultados de u experimeto cocreto Estadística descriptiva Extraer coclusioes geerales aplicables e situacioes similares Equiprobabilidad Métodos combiatorios Iferecia Necesitamos probabilidad Cocepto y propiedades Idepedecia de sucesos Teorema de ayes El cálculo de probabilidades os proporcioa las reglas para el estudio de experimetos co u compoete aleatorio 3 4
Tema 3: Itroducció a la probabilidad 3.1 Itroducció 3.1 Equiprobabilidad Métodos combiatorios Cocepto y propiedades Idepedecia de sucesos Teorema de ayes Experimeto: Proceso de observar ua característica s Lazar ua moeda tres veces y observar el úmero de caras Medir la corriete e u cable de cobre Cotar el úmero de llamas que llega a ua cetralita e ua hora Medir la resistecia a la compresió del hormigó 5 6 Medir la corriete que atraviesa u cable de cobre Medir la corriete que atraviesa u cable de cobre Repetimos el experimeto e distitas partes Repetimos el experimeto e distitos mometos Obteemos distitos resultados Errores de medida Debido a las variables o cotroladas Impurezas del cobre Calibre del cable 7 8
Diremos que u experimeto es aleatorio si ve verifica las siguietes codicioes: Si esta variabilidad es pequeña o afectará a los resultados del experimeto Si la variabilidad es alta puede ecubrir resultados importates Nuestro objetivo 1. Puede repetirse idefiidamete, siempre e las mismas codicioes 2. tes de realizarlo o se puede predecir el resultado que se va a obteer 3. El resultado que se obtega, perteece a u cojuto previamete coocido de posibles resultados 9 10 Sucesos Sucesos Cuado se realiza u experimeto aleatorio diversos resultados so posibles. El cojuto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (E). Se llama suceso cotrario (complemetario) de u suceso, al formado por los sucesos que o está e Se llama suceso a u subcojuto de resultados Suceso elemetal Siempre ocurre uo de ellos So mutuamete excluyetes Suceso compuesto Uioes de sucesos elemetales El suceso seguro, E, es aquel que siempre ocurre al realizar el experimeto El suceso imposible, Ø, es aquel que uca ocurre como resultado del experimeto 11 12
Operacioes co sucesos Operacioes co sucesos Se llama suceso itersecció de y, o, al formado por los resultados experimetales que está simultáeamete e y INTERSEC. Se llama suceso uió de y, U, al suceso formado por los resultados experimetales que está e o e (icluyedo los que está e ambos) UNIÓN Se dice que dos sucesos y so icompatibles si o puede ocurrir a la vez, Ø Se llama suceso diferecia de y, -, al formado por todos los sucesos de que o está e, es decir, Cosecuecia: 13 E- 14 Se utiliza ua balaza digital para pesar las piezas producidas por ua máquia. Se utiliza ua balaza digital para pesar las piezas producidas por ua máquia. Peso 11gr Peso 15gr C Peso 5gr Peso 11gr Peso 15gr C Peso 5gr I 11gr Peso 15gr U C Peso 15gr I C C 5< Peso 15gr C 15 11 15 16
Se utiliza ua balaza digital para pesar las piezas producidas por ua máquia. Se utiliza ua balaza digital para pesar las piezas producidas por ua máquia. Peso 11gr Peso 15gr C Peso 5gr I 11gr Peso 15gr U C Peso 15gr I C C 5< Peso 15gr Peso 11gr Peso 15gr C Peso 5gr I 11gr Peso 15gr U C Peso 15gr I C C 5< Peso 15gr C 15 17 C 18 Se utiliza ua balaza digital para pesar las piezas producidas por ua máquia. Peso 11gr Peso 15gr C Peso 5gr C I 11gr Peso 15gr U C Peso 15gr I C C 5< Peso 15gr 19 5 15 Hay ciertas propiedades de la uió, itersecció y suceso cotrario que so coocidas bajo las leyes de Morga UI IU Leyes de Morga Itersecció de Uió de 20
Tema 3: Itroducció a la probabilidad 3.1 Itroducció 3.2 3.3 Cocepto Cocepto de de probabilidad probabilidad y propiedades propiedades Equiprobabilidad Métodos combiatorios Cocepto y propiedades Idepedecia de sucesos Teorema de ayes 21 E u experimeto aleatorio, cuado el úmero de veces que se repite aumeta, la frecuecia relativa o de veces que ocurre f () coverge hacia ua catidad que llamamos probabilidad: Frecuecia relativa del úmero de caras obteidos e lazamietos sucesivos de ua moeda Coverge a 1/2 Pr() lim () f 22 E u experimeto aleatorio, cuado el úmero de veces que se repite aumeta, la frecuecia relativa o de veces que ocurre f () coverge hacia ua catidad que llamamos probabilidad: Frecuecia relativa del úmero de caras obteidos e lazamietos sucesivos de ua moeda Pr() lim () f E u experimeto aleatorio, cuado el úmero de veces que se repite aumeta, la frecuecia relativa o de veces que ocurre f () coverge hacia ua catidad que llamamos probabilidad: Pr() lim () f Tambié podemos eteder la probabilidad como el grado de certeza que se posee sobre u suceso, basada e experiecias previas La probabilidad depede del grado de iformació dispoible: Los sucesos posibles al realizar el experimeto Coverge a 1/2 23 La evidecia empírica existete respecto a la ocurrecia de los Estadística: Profesora sucesos María Durbá 24
Dado u espacio muestral, E, defiimos probabilidad como ua fució, P, que asiga a u suceso u valor umérico P(), verificado las siguietes reglas (axiomas) Estos axiomas o asiga probabilidades a sucesos, pero facilita el cálculo de probabilidades de uos sucesos a partir de la probabilidad de otros: 1. 0 P() 1 2. P(E)1 3. P(U)P()+P() si Ø El tercer axioma se geeraliza a cualquier úmero de sucesos de disjutos: 2 1 5 4 3 5 5 Pr Ui Pr i i1 i 1 ( ) 1. P() 1 - P() E 1 Pr() + Pr() 2. P( ) 0 3. Si P() P() 4. P(-) P() - P( ) 5. P( ) P() + P() - P ( ) 25 26 Estos axiomas o asiga probabilidades a sucesos, pero facilita el cálculo de probabilidades de uos sucesos a partir de la probabilidad de otros: Estos axiomas o asiga probabilidades a sucesos, pero facilita el cálculo de probabilidades de uos sucesos a partir de la probabilidad de otros: 1. P() 1 - P() 2. P( ) 0 E Pr( ) 1 Pr( E) 1 1 0 3. Si P() P() 4. P(-) P() - P( ) 5. P( ) P() + P() - P ( ) 1. P() 1 - P() 2. P( ) 0 3. Si P() P() 4. P(-) P() - P( ) 5. P( ) P() + P() - P( ) ( ) Pr() Pr()+Pr( ) 27 28
Estos axiomas o asiga probabilidades a sucesos, pero facilita el cálculo de probabilidades de uos sucesos a partir de la probabilidad de otros: Estos axiomas o asiga probabilidades a sucesos, pero facilita el cálculo de probabilidades de uos sucesos a partir de la probabilidad de otros: 1. P() 1 - P() 2. P( ) 0 3. Si P() P() 4. P(-) P() - P( ) 5. P( ) P() + P() - P( ) ( ) ( ) Pr() Pr( ) + Pr( ) Pr() Pr( ) + Pr(-) 29 1. P() 1 - P() 2. P( ) 0 3. Si P() P() 4. P(-) P() - P( ) 5. P( ) P() + P() - P( ) (-) (-) ( ) Pr( )Pr()-Pr( )+Pr()-Pr( )+Pr( ) 30 : Faros de coche U fabricate de faros de coches cotrola co regularidad la duració y la itesidad de la luz cuado so sometidos a elevada humedad y temperatura. E la siguiete tabla se preseta las probabilidades de teer u comportamieto satisfactorio e cuato a itesidad y duració: Itesidad Satisfactorio No Satisfactorio Satisfactorio 0.062 Duració No Satisfactorio 0.023 0.015 Itesidad : Faros de coche Satisfactorio No Satisfactorio Satisfactorio e itesidad Satisfactorio e duracio Satisfactorio 0.062 Duració Pr( ) Pr( ) No Satisfactorio 0.023 0.015 Pr( ) Pr( ) 1. Cuál es la probabilidad de que la duració de u faro sea satisfactoria? 2. Cuál es la probabilidad de que u faro tega itesidad satisfactoria o o tega duració satisfactoria? 31 32
: Faros de coche : Faros de coche Duració Duració Itesidad Satisfactorio No Satisfactorio Itesidad Satisfactorio No Satisfactorio Satisfactorio 0.023 Satisfactorio 0.023 No Satisfactorio 0.062 0.015 No Satisfactorio 0.062 0.015 Satisfactorio e itesidad Satisfactorio e duracio Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Satisfactorio e itesidad Satisfactorio e duracio Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) 1. Cuál es la probabilidad de que la duració de u faro sea satisfactoria? Pr()? ( ) ( ) Pr() Pr( ) + Pr( ) + 0.062 62 Tercer xioma P(U)P()+P() si Ø 2. Cuál es la probabilidad de que u faro tega itesidad satisfactoria o o teg duració satisfactoria? Pr( ) Pr() + Pr() Pr( ) Pr( ) 23 + 0.038 0.023 38 Pr() Pr( ) + Pr( ) + 0.023 23 Pr() 1 Pr() 1 62 0.038 34 Tema 3: Itroducció a la probabilidad 3.1 Itroducció 3.3 Equiprobabilidad Métodos combiatorios Cocepto y propiedades Idepedecia de sucesos Teorema de ayes 35 Equiprobabilidad Si u experimeto cualquiera puede dar lugar a u úmero fiito de resultados posibles, y o hay razó que privilegie a u resultado frete a otro. Calcularemos la probabilidad de u suceso de la forma siguiete: Dado u suceso compuesto que cotiee f sucesos elemetales, su probabilidad será: casos favorables( f ) Pr( ) casos posibles( ) 1 Probabilidad de cada suceso elemetal Regla de Laplace 36
s Equiprobabilidad Lazamieto de ua moeda { } E C, X Pr( C) 1/2 E ocasioes o es fácil determiar los sucesos elemetales coteidos e u suceso : Lazamieto de u dado E { 1, 2,3, 4,5,6} Pr(3) 1/ 6 : Lote de ordeadores Extracció de cartas de la baraja E { s de copas, dos de copas... } E u lote de 9 ordeadores hay 3 que so defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al ispeccioar dos de ellos elegidos al azar resulta ser defectuosos: Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? Pr(Sacar ua carta de oros) 10 / 40 37 Rechazar el lote Ecotrar dos defectuosos casos favorables Pr( ) casos posibles De cuátas maeras puedo seleccioar 2 defectuosos De cuátas maeras puedo seleccioar dos ordeadores : Lote de ordeadores E u lote de 9 ordeadores hay 3 que so defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al ispeccioar dos de ellos elegidos al azar resulta ser defectuosos: Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? : Lote de ordeadores E u lote de 9 ordeadores hay 3 que so defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al ispeccioar dos de ellos elegidos al azar resulta ser defectuosos: Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? De cuátas maeras puedo seleccioar 2 defectuosos? De cuátas maeras puedo seleccioar 2 defectuosos? 39 40
: Lote de ordeadores E u lote de 9 ordeadores hay 3 que so defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al ispeccioar dos de ellos elegidos al azar resulta ser defectuosos: Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? : Lote de ordeadores E u lote de 9 ordeadores hay 3 que so defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al ispeccioar dos de ellos elegidos al azar resulta ser defectuosos: Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? De cuátas maeras puedo seleccioar 2 defectuosos? De cuátas maeras puedo seleccioar 2 ordeadores de etre los 9? De 3 maeras 41 42 Combiatoria Nos ayuda a calcular el úmero de reordeacioes de de e k k IMPORT EL ORDEN VRICIONES NO IMPORT EL ORDEN COMINCIONES SIN REEMPLZMIENTO V k C k! ( r)! k Si k Permutacioes objetos tomados CON REEMPLZMIENTO CR VR k k + k 1 k k 43 : Lote de ordeadores E u lote de 9 ordeadores hay 3 que so defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al ispeccioar dos de ellos elegidos al azar resulta ser defectuosos: Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? Los ordeadores se elige simultáeamete si reemplazamieto El orde detro del grupo o importa Combiacioes casos favorables Pr( ) casos posibles De cuátas maeras puedo seleccioar 2 defectuosos 2 3! C 3 3 2!1! Hay 3 ordeadores defectuosos 44
: Lote de ordeadores E u lote de 9 ordeadores hay 3 que so defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al ispeccioar dos de ellos elegidos al azar resulta ser defectuosos: Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? Los ordeadores se elige simultáeamete si reemplazamieto El orde detro del grupo o importa Combiacioes : Lote de ordeadores E u lote de 9 ordeadores hay 3 que so defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al ispeccioar dos de ellos elegidos al azar resulta ser defectuosos: Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? Los ordeadores se elige simultáeamete si reemplazamieto El orde detro del grupo o importa Combiacioes Pr( ) casos favorables casos posibles De cuátas maeras puedo seleccioar 2 ordeadores 2 9! C 9 36 2!7! 45 Hay 9 ordeadores e el lote 3 Pr( ) 36 46 Tema 3: Itroducció a la probabilidad 3.1 Itroducció Cocepto y propiedades Equiprobabilidad Métodos combiatorios 3.4 Probabilidad codicioada Cocepto y propiedades Idepedecia de sucesos Teorema de ayes 47 Cetra el foco de ateció e el hecho que se sabe que ha ocurrido el eveto Estamos idicado que el espacio muestral de iterés se ha reducido sólo a aquellos resultados que defie la ocurrecia del eveto 2 casos favorables Etoces, P( ) mide la probabilidad relativa de co respecto al espacio 5 casos posibles reducido 2 2/9 Pr( ) Pr( ) 5 5/9 Pr( ) 48.
P() 0,25 P() 0,10 P( ) 0,10 Pr( ) 1 Pr( )1 Pr( ) P() 0,25 P() 0,10 P( ) 0,08 Pr( ) Pr( ) Pr( )0,8>Pr() P() 0,25 P() 0,10 P( ) 0,005 Pr( )0,05<Pr() P() 0,25 P() 0,10 P( ) 0 Pr( ) 0 P( )0 50 Cocepto y propiedades Pr( ) 1 Pr( ) 0 Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( )Pr( ) Pr( )Pr( ) Pr( ) Pr( ) Importate: Pr( ) > 0 Pr( ) Pr( ) 51 Por lo tato el 90% o tiee fallos visibles e la superficie. Tambié se ha ecotrado que el 5% de la piezas que o tiee fallos superficiales so Pr( ) 0.05 fucioalmete defectuosas 100% piezas Maufacturadas Se ha ecotrado que el 25% de las piezas co fallos superficiales so fucioalmete defectuosas Pr( ) 0.25 Se sabe que el 10% de las piezas maufacturadas tiee fallos visibles e la superficie. Pr( ) Pr( ) 0.1 Suceso { pieza fucioalmete defectuosa} { pieza tiee ua fallo visible e la superficie} Qué porcetaje de piezas tiee fallos y o es fucioalmete defectuosa? Pr( ) Pr( ) Pr( ) (1 Pr( )) Pr( ) 0.75 0.1 0.075 7.5%
Idepedecia de sucesos Diremos que dos sucesos so idepedietes si el coocimieto de la ocurrecia de uo o modifica la probabilidad de ocurrecia del otro y so idepedietes si: Ua aplicació del cocepto de idepedecia es el cálculo de la Fiabilidad de u sistema. Se deomia Fiabilidad de u sistema a la probabilidad de que el sistema fucioe correctamete. Si la probabilidad de que u iterruptor cualquiera esté cerrado es 9, cuál es la probabilidad de que pase corriete de a? Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( )Pr( ) Pr( )Pr( ) 2 Pr(pasar corriete de a ) 9 801 53 54 Teorema de ayes uque la fiabilidad de cada compoete sea alta, si hay muchos compoetes, la fiabilidad del sistema puede ser baja. Para aumetar la fiabilidad podemos poer varios sistemas e paralelo: 1 2 S 1 3 4 Pr(pasar corriete de a ) Pr(S1 S 2) 1 Pr(o pasar corriete de a ) 1 Pr(S1 S 2) 1 ( Pr(S 1) Pr(S 2) ) S 2 Pr(S ) 1 Pr(S ) 1 801 0.0199 1 1 2 Pr(pasar corriete de a ) 1 0.0199 996 Ha aumetado la fiabilidad e u 2% 55 1 2 3 4 Cosideramos u experimeto que se realiza e dos etapas: e la primera, los sucesos posibles 1, 2, 3, 4 So tales que la uió de todos ellos forma el espacio muestral, y sus iterseccioes so disjutas. 56
Teorema de ayes Teorema de ayes 1 2 E la seguda etapa, todo suceso depede de lo sucedido e la primera etapa y puede ser descompuesto e sucesos disjutos 1 2 Si coocemos la probabilidad de que ocurra habiedo ocurrido i, etoces podemos calcular la probabilidad de. ( 1 ) U ( 2 ) U ( 3 ) U ( 4 ) Probabilidad Codicioada P( )P( )P() 3 4 3 4 P() P( 1 ) + P( 2 ) + P( 3 ) + ( 4 ) 57 P( 1 ) P( 1 ) + P( 2 ) P( 2 ) + P( 3 ) P( 3 ) + P( 4 ) P( 4 ) 58 1 2 3 4 si ocurre, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrecia de cada i. Pr( ) Pr( i) Pr( i) Pr( i ) Pr() dode P() se puede calcular usado el teorema de la probabilidad total: P() P( 1 ) P( 1 ) + P( 2 ) P( 2 ) + P( 3 ) P( 3 ) + P( 4 ) P( 4 ) i 59 Por lo tato el 90% o tiee fallos visibles e la superficie. Tambié se ha ecotrado que el 5% de la piezas que o tiee fallos superficiales so Pr( ) 0.05 fucioalmete defectuosas 100% piezas Maufacturadas Se ha ecotrado que el 25% de las piezas co fallos superficiales so fucioalmete defectuosas Suceso { pieza fucioalmete defectuosa} { pieza tiee ua fallo visible e la superficie} Pr( ) 0.25 Se sabe que el 10% de las piezas maufacturadas tiee fallos visibles e la superficie. Pr( ) Pr( ) 0.1 1. Cuál es la probabilidad de que ua pieza sea fucioalmete defectuosa? 2. Si sabemos que la pieza es fucioalmete defectuosa, cuál es la probabilidad que o tega fallos superficiales? 60
1. Cuál es la probabilidad de que ua pieza sea fucioalmete defectuosa? 2. Si sabemos que la pieza es fucioalmete defectuosa, cuál es la probabilidad que o tega fallos superficiales? 1. Cuál es la probabilidad de que ua pieza sea fucioalmete defectuosa? Pr() Pr( ) Pr() + Pr( ) Pr() 0.25 0.1+0.05 0.07 Pr() 0.1 Pr( ) 0.25 0.75 0.1 0.25 0.75 Pieza 0.05 5 61 Pieza 0.05 5 62 2. Si sabemos que la pieza es fucioalmete defectuosa, cuál es la probabilidad que o tega fallos superficiales? Pr( ) Pr() 0.05 Pr( ) Pr() 0.25 0.1+0.05 0.045 0.64 0.07 0.25 0.1 0.75 Pieza 0.05 5 63